第3章动量与角动量第2章讲解了牛顿第二定律，主要是用加速度表示的式(2.3)的形式。该式表示了力和受力物体的加速度的关系，那是一个瞬时关系，即与力作用的同时物体所获得的加速度和此力的关系。实际上，力对物体的作用总要延续一段或长或短的时间。在很多问题中，在这段时间内，力的变化复杂，难于细究，而我们又往往只关心在这段时间内力的作用的总效果。这时我们将直接利用式(2.2)表示的牛顿第二定律形式，而把它改写为微分形式并称为动量定理。本章首先介绍动量定理，接着把这一定理应用于质点系，导出了一条重要的守恒定律——动量守恒定律。然后对于质点系，引入了质心的概念，并说明了外力和质心运动的关系。后面几节介绍了和动量概念相联系的描述物体转动特征的重要物理量——角动量，在牛顿第二定律的基础上导出了角动量变化率和外力矩的关系——角动量定理，并进一步导出了另一条重要的守恒定律——角动量守恒定律。3.1冲量与动量定理把牛顿第二定律公式(2.2)写成微分形式，即Fdt=dp(3.1)式中乘积Fdt叫做在dt时间内质点所受合外力的冲量。此式表明在dt时间内质点所受合外力的冲量等于在同一时间内质点的动量的增量。这一表示在一段时间内，外力作用的总效果的关系式叫做动量定理。如果将式(3.1)对t0到t′这段有间积分，则有∫t′t0Fdt=∫p′p0dp=p′-p0(3.2)左侧积分表示在t0到t′这段时间内合外力的冲量，以I表示此冲量，即I=∫t′t0Fdt则式(3.2)可写成I=p′-p0(3.3)式(3.2)或式(3.3)是动量定理的积分形式，它表明质点在t0到t′这段时间内所受的合外力的冲量等于质点在同一时间内的动量的增量。值得注意的是，要产生同样的动量增量，力大力小都可以: 力大，时间可短些；力小，时间需长些。只要外力的冲量一样，就产生同样的动量增量。第3章动量与角动量3.1冲量与动量定理动量定理常用于碰撞过程，碰撞一般泛指物体间相互作用时间很短的过程。在这一过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变。这种力通常叫冲力。例如，球拍反击乒乓球的力，两汽车相撞时的相互撞击的力都是冲力。图3.1是清华大学汽车碰撞实验室做汽车撞击固定壁的实验照片与相应的冲力的大小随时间的变化曲线。图3.1汽车撞击固定壁实验中汽车受壁的冲力 (a) 实验照片； (b) 冲力时间曲线对于短时间Δt内冲力的作用，常常把式(3.2)改写成Δt=ΔP(3.4)式中是平均冲力，即冲力对时间的平均值。平均冲力只是根据物体动量的变化计算出的平均值，它和实际的冲力的极大值可能有较大的差别，因此它不足以说明碰撞所可能引起的破坏性。例3.1汽车碰撞实验。在一次碰撞实验中，一质量为1200kg的汽车垂直冲向一固定壁，碰撞前速率为15.0m/s，碰撞后以1.50m/s的速率退回，碰撞时间为0.120s。试求： (1)汽车受壁的冲量； (2)汽车受壁的平均冲力。解以汽车碰撞前的速度方向为正方向，则碰撞前汽车的速度v=15.0m/s，碰撞后汽车的速度v′=-1.50m/s，而汽车质量m=1200kg。(1) 由动量定理知汽车受壁的冲量为I=p′-p=mv′-mv=1200×(-1.50)-1200×15.0=-1.98×104(N s)(2) 由于碰撞时间Δt=0.120s，所以汽车受壁的平均冲力为=IΔt=-1.98×1040.120=-165 (kN)上两个结果的负号表明汽车所受壁的冲量和平均冲力的方向都和汽车碰前的速度方向相反。平均冲力的大小为165kN，约为汽车本身重量的14倍，瞬时较大冲力还要比这大得多。例3.2棒击垒球。一个质量m=140 g的垒球以v=40m/s的速率沿水平方向飞向击球手，被击后它以相同速率沿θ=60°的仰角飞出，求垒球受棒的平均打击力。设球和棒的接触时间Δt=1.2ms。解本题可用式(3.4)求解。由于该式是矢量式，所以可以用分量式求解，也可直接用矢量关系求解。下面分别给出两种解法。(1) 用分量式求解。已知v1=v2=v,选如图3.2所示的坐标系，利用式(3.4)的分量式，由于v1x=-v,v2x=vcosθ，可得垒球受棒的平均图3.2例3.2解法(1)图示打击力的x方向分量为x=ΔpxΔt=mv2x-mv1xΔt=mvcosθ-m(-v)Δt=0.14×40×(cos60° 1)1.2×10-3=7.0×103(N)又由于v1y=0,v2y=vsinθ，可得此平均打击力的y方向分量为Fy=ΔpyΔt=mv2y-mv1yΔt=mvsinθΔt=0.14×40×0.8661.2×10-3=4.0×103(N)球受棒的平均打击力的大小为F=F2x F2y=103×7.02 4.02=8.1×103(N)以α表示此力与水平方向的夹角，则tanα=FyFx=4.0×1037.0×103=0.57图3.3例3.2解法(2)图示由此得α=30°(2) 直接用矢量公式(3.4)求解。按式(3.4)m?瘙經2,m?瘙經1以及Δt形成如图3.3中的矢量三角形，其中mv2=mv1=mv。由等腰三角形可知,与水平面的夹角α=θ/2=30°，且Δt=2mvcosα，于是F=2mvcosαΔt=2×0.14×40×cosα1.2×10-3=8.1×103(N)注意，此打击力约为垒球自重的5900倍!例3.3火车运煤。一辆装煤车以v=3 m/s的速率从煤斗下面通过(图3.4)，每秒钟落入车厢的煤为Δm=500 kg。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢?(车厢与钢轨间的摩擦忽略不计。)解先考虑煤落入车厢后运动状态的改变。如图3.4所示，以dm表示在dt时间内落入车厢的煤的质量。它在车厢对它的力f带动下在dt时间内沿x方向的速率由零增加到与车厢速率v相同，而动量由0增加到dm v。由动量定理式(3.1)得，对dm在x方向，应有图3.4煤dm落入车厢被带走fdt=dp=dm v(3.5)对于车厢，在此dt时间内，它受到水平拉力F和煤dm对它的反作用f′的作用。此二力的合力沿x方向，为F-f′。由于车厢速度不变，所以动量也不变，式(3.1)给出(F-f′)dt=0(3.6)由牛顿第三定律f′=f(3.7)联立解式(3.5),式(3.6)和式(3.7)可得F=dmdt v以dm/dt=500kg/s，v=3m/s代入得F=500×3=1.5×103(N)3.2动量守恒定律在一个问题中，如果我们考虑的对象包括几个物体，则它们总体上常被称为一个物体系统或简称为系统。系统外的其他物体统称为外界。系统内各物体间的相互作用力称为内力，外界物体对系统内任意一物体的作用力称为外力。例如，把地球与月球看做一个系统，则它们之间的相互作用力称为内力，而系统外的物体如太阳以及其他行星对地球或月球的引力都是外力。本节讨论一个系统的动量变化的规律。3.2动量守恒定律先讨论由两个质点组成的系统。设这两个质点的质量分别为m1,m2。它们除分别受到相互作用力(内力)f和f′外，还受到系统外其他物体图3.5两个质点的系统的作用力(外力)F1,F2,如图3.5所示。分别对两质点写出动量定理式(3.1),得(F1 f)dt=dp1,(F2 f′)dt=dp2将这二式相加，可以得(F1 F2 f f′)dt=dp1 dp2由于系统内力是一对作用力和反作用力，根据牛顿第三定律，得f=-f′或f f′=0，因此上式给出(F1 F2)dt=d(p1 p2)如果系统包含两个以上，例如i个质点，可仿照上述步骤对各个质点写出牛顿定律公式，再相加。由于系统的各个内力总是以作用力和反作用力的形式成对出现的，所以它们的矢量总和等于零。因此，一般地又可得到∑iFidt=d∑ipi(3.8)其中∑iFi为系统受的合外力，∑ipi为系统的总动量。式(3.8)表明，系统的总动量随时间的变化率等于该系统所受的合外力。内力能使系统内各质点的动量发生变化，但它们对系统的总动量没有影响。(注意： “合外力”和“总动量”都是矢量和！)如果在式(3.5)中，∑iFi=0,立即可以得到d∑ipi=0,或∑ipi=∑imi?瘙經i=常矢量∑iFi=0(3.9)这就是说当一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。这一结论叫做动量守恒定律。一个不受外界影响的系统，常被称为孤立系统。一个孤立系统在运动过程中，其总动量一定保持不变。这也是动量守恒定律的一种表述形式。应用动量守恒定律分析解决问题时，应该注意以下几点。(1) 系统动量守恒的条件是合外力为零，即∑iFi=0。但在外力比内力小得多的情况下，外力对质点系的总动量变化影响甚小，这时可以认为近似满足守恒条件，也就可以近似地应用动量守恒定律。例如两物体的碰撞过程，由于相互撞击的内力往往很大，所以此时即使有摩擦力或重力等外力，也常可忽略它们，而认为系统的总动量守恒。又如爆炸过程也属于内力远大于外力的过程，也可以认为在此过程中系统的总动量守恒。(2) 动量守恒表示式(3.9)是矢量关系式。在实际问题中，常应用其分量式,即如果系统沿某一方向所受的合外力为零，则该系统沿此方向的总动量的分量守恒。例如，一个物体在空中爆炸后碎裂成几块，在忽略空气阻力的情况下，这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总动量在水平方向的分量是守恒的。(3) 由于我们是用牛顿定律导出动量守恒定律的，所以它只适用于惯性系。以上我们从牛顿定律出发导出了以式(3.9)表示的动量守恒定律。应该指出，更普遍的动量守恒定律并不依靠牛顿定律。动量概念不仅适用于以速度?瘙經运动的质点或粒子，而且也适用于电磁场，只是对于后者，其动量不再能用m?瘙經这样的形式表示。考虑包括电磁场在内的系统所发生的过程时，其总动量必须也把电磁场的动量计算在内。不但对可以用作用力和反作用力描述其相互作用的质点系所发生的过程，动量守恒定律成立；而且，大量实验证明，对其内部的相互作用不能用力的概念描述的系统所发生的过程，如光子和电子的碰撞，光子转化为电子，电子转化为光子等过程，只要系统不受外界影响，它们的动量都是守恒的。动量守恒定律实际上是关于自然界的一切物理过程的一条最基本的定律。例3.4冲击摆。如图3.6所示，一质量为M的物体被静止悬挂着，今有一质量为m的子弹沿水平方向以速度?瘙經射中物体并停留在其中。求子弹刚停在物体内时物体的速度。