无言的宇宙:隐藏在24个数学公式背后的故事》

序

我希望，本书能揭开那围绕着数学和方程的神秘莫测的面纱，让那些对此有兴趣的人得以窥其真容。

首先让我简略讨论几个有关术语。"方程""公式"和"恒等式"这几个词都用于数学中，并带有略微不同的意义。"公式"的实用意义略强，人们运用公式解方程。"恒等式"的意义不那么深刻，隐含着它们可以通过纯符号操作加以证明的意思。但我在本书内不会刻意强调这些词之间的差别。

你也经常会在本书中看到"公理""定理""假说"和"猜想"这些词。"公理"是对数学家们认为未经证实的事实的陈述。他们这样认为，是因为他们或者确实相信这一公理是普适的真理，或者他们是为方便起见而以此作为讨论的出发点。

"定理"是数学真相的金科玉律，它是根据特定公理体系正式推导所得的陈述。它不受实验误差或认知方式的影响……一例外的是，公理系统本身可能被时代所淘汰。数学确实会发生革命，这些革命通常不是因为定理不正确而发生的，而是因为人们确认，这些定理产生于其上的基础过于严格或过于宽松，或过于不，或与实际情况不够吻合。

"假说"与"猜想"是同义词，它们是尚未证明的数学陈述，但有支持这些陈述的实质性证据。这些证据可能来自类似但较低层次的定理或经验观察或计算机实验。无论如何，数学中的事实永远不能用经验证据、表面上讲得通的道理或统计测试来证明。这是区分数学和实证科学包括物理、生物和化学的原则。

不可避免地，哪些方程入选与个人品味和喜好有关。有些方程几乎是笃定入选的，如爱因斯坦的质能方程E=mc2，这或许是所有方程中有名的。其他方程则除了懂行的读者以外大家都不熟悉，如"连续统假说"。以下是我为确定某方程是否伟大所采用的一些标准。

1.令人惊讶。一个伟大的方程能够告诉我们一些过去不了解的东西。它看上去可能就像炼金术士的一份杰作；它能把一个量转化成另一个开始看上去与之风马牛不相及的量，并对每一步都解释得合情合理。这种魔力仅仅存在于能够发现其中联系的人的大脑之中。

2.简洁。一个伟大的方程具有日本书法般的简朴美感，囊括其中的只有其核心精华。它所叙述的是简单而作用重大的事物。

3.能够产生重大效果。我放弃了几个我认为优美而又发人深省的方程，因为它们终只能进入寥寥几位鉴赏大家的法眼。让人留下深刻印象的方程是那些让数学发生了革命性变化、改变了我们对世界的看法或者改变了我们物质生活的方程。

4.具有普遍意义。数学的大吸引力之一是：一个今天证明为真的方程将永远如此，它不受时尚的虚妄影响，它放之四海而皆准，它不受审查删改或者立法控制。

本书呈献的一些方程并非数学定理，而是物理"定律"或理论，如麦斯韦方程。物理学理论通常是通过数据归纳或"科学方法"证实的，而不是从一套公理推导而来的。与数学定理不同，它们需要经过经验证据和统计检测确认，而且有时候，更为确的实验会证明它们并非。

事实上，数学具有两重性。首先，它是因其本身而存在的一个知识体系；其次，它是表达宇宙知识的一种语言。如果你仅仅把方程视为传递科学信息的一种工具，那你就看不到数学解除我们头脑束缚的方式；如果你仅仅把方程视为智慧的结晶，那你就看不到自然对我们求索"正确"问题的微妙指引。

19世纪德国数学家利奥波德 罗内曾说："上帝创造了整数，其他的都是人类的贡献。"尽管我们并不接近清楚应该在多大程度上接受他的这一名言，但在历提出数学的神灵起源的绝非仅此一人。古代美索不达米亚人认为，数学是书吏守护女神尼沙巴的礼物。公元前20世纪的一位书吏这样写道："尼沙巴是一位喜气洋溢的女性、一位真诚的女性、一位女性书吏、一位通晓万事的女性；她指引着我们，把着我们的手指在陶土上书写。测量杆、闪光的测量员之线、码尺和带来智慧的写字板，这些都是尼沙巴的慷慨赠品。"在巴比伦的数学写字板上，只有当问题解答者在答案结尾处写下"赞美尼沙巴！"时，该问题才算解答完毕。

古代国人认为，数学的创始人是伏羲，传说中国的位皇帝。人们经常把他描绘为手拿一把矩尺的人。3世纪的数学家刘徽写道："远古时代，伏羲创造了能与神灵沟通的八卦。"他还说，伏羲"发明了管控六十四卦变化的九九算法。""八卦"和"六十四卦"是国书法的基本单位，因此，这基本上等同于将文字的发明归功于伏羲；而"九九算法"指的是乘法表。于是，数学并不仅仅是神灵的启迪，而是与文字一起由神灵发明的。

在这些说法中，我们已经可以认出从那时起便源远流长地发展着的三大数学支流。大支流为算术或代数，是数量的科学；第二大支流为几何，是形体的科学；第三大支流为应用数学，是将数学转化为解决工程、物理学和经济学实际问题的手段的科学。

并未明显地表现在以上引文中的是第四大支流——无限的科学，即对无限大与无限小数量的分析，它对于理解任何连续运动或变化的过程来说是至关重要的。数学家简单地称这一分支为"分析"，尽管这个词在数学以外的世界中具有相当不同的含义。

由此，我认为数学的四个主要支流是代数、几何、应用数学和分析。以上四者全都相互交融，并以为奇妙的方式相辅相成；而见证它们之间的相互作用，是作为数学家的一大幸事。差不多每个数学家都发现，自己受到这四大支流之一的吸引强于其他支流，但这一学科的美好与强大无疑来自于所有四大分支。因此，本书四个部分中的每一个都有一个贯穿始终的主题或者说"故事情节"，它们与千百年来这四大分支的进化息息相关。