CHAPTER1

第1章

0的故事

——无即是有

◎课前对话

老师：1，2，3的罗马计数法是I，II，III。学生：加法很简单嘛。I II，只要将3个I并排写就行了。老师：不过II III可不是IIIII，而是V喔！学生：啊，是这样啊！老师：没错，如果数目变大，那数起来可就费劲啦！

本章学习内容

本章将学习有关“0”的内容。

首先，介绍一下我们人类使用的10进制和计算机使用的2进制，再讲解按位计数法，一起来思考0所起的作用。乍一看，0仅仅是表示“什么都没有”的意思，而实际上它具有创建模式、简化并总结规则的重要作用。

小学一年级的回忆

以下是小学一年级时发生的事，我依然记忆犹新。“下面请打开本子，写一下‘十二’。”老师说道。于是，我翻开崭新的本子，紧握住削尖了的铅笔，写下了这样大大的数字。

老师走到我跟前，看到我的本子，面带微笑亲切地说：“写得不对喔。应该写成12喔。”

当时我是听到老师说“十二”，才写下了10和2。不过那样是不对的。众所周知，现在我们把“十二”写作12。

而在罗马数字中，“十二”写作XII。X表示10，I表示1。II则表示两个并排的1，即2。也就是说，XII是由X和II组成的。

如同“十二”可以写作12和XII，数字有着各种各样的计数法。12是阿拉伯数字的计数法，而XII是罗马数字的计数法。无论采用哪种计数法，所表达的“数字本身”并无二致。下面我们就来介绍几种计数法。

10进制计数法

下面介绍10进制计数法。

什么是10进制计数法

我们平时使用的是10进制计数法。

使用的数字有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10种a。

数位有一定的意义，从右往左分别表示个位、十位、百位、千位……

以上规则在小学数学中都学到过，日常生活中也一直在用，是众所周知的常识。在此权当复习，后面我们将通过实例来了解一下10进制计数法。

分解2503

首先，我们以2503这个数为例。2503表示的是由2、5、0、3这4个数字组成的一个称作2503的数。

这样并排的数字，因数位不同而意义相异。

2表示“1000的个数”。

5表示“100的个数”。

0表示“10的个数”。

3表示“1的个数”。

a 这里的“种”指的是数字的种类，用来说明10进制和2进制中数字复杂程度的差异。如2561中包含四种数字，而1010中只包含两种数字。——译者注

综上所述，2503这个数是2个1000、5个100、0个10和3个1累加的结果。用数字和语言来冗长地说明有些无趣，下面就用图示来表现。

2×1000 5×100 0×10 3×1

如图，将数字的字体大小加以区别，各个数位上的数字2、5、0、3的意义便显而易见了。1000是10×10×10，即10(310的3次方)，(10的2次方)

100是10×10，即102。因此，也可以写成如下形式(请注意箭头所示部分)。

2×103

5×102

0×10 3×1

再则，10是101(10的1次方)，1是100(10的0次方)，所以还可以写成如下形式。

2×103 5×102 0×101

3×100

千位、百位、十位、个位，分别可称作103的位、102的位、101的位、100的位。10进制计数法的数位全都是10n的形式。这个10称作10进制计数法的基数或底。基数10右上角的数字——指数，是3、2、1、0这样有规律地顺次排列的，这点请记住。

3210

2×103 5×102 0×101 3×100

2进制计数法

下面讲解2进制计数法。

什么是2进制计数法

计算机在处理数据时使用的是2进制计数法。从10进制计数法类推，便可很快掌握它的规则。

??使用的数字只有0、1，共2种。

??从右往左分别表示1位、2位、4位、8位……

用2进制计数法来数数，首先是0，然后是1，接下去……不是2，而是在1上面进位变成10，继而是11，100，101……

表1-1展示了0到99的数的10进制计数法和2进制计数法。

0到99的数的10进制计数法和2进制计数法

分解1100

在此，我们以2进制表示的1100(2进制数的1100)为例来探其究竟。

和10进制计数法一样，并排的数字，各个数位都有不同的意义。从左往右依次为：

1表示“8的个数”。

1表示“4的个数”。

0表示“2的个数”。

0表示“1的个数”。

也就是说，2进制的1100是1个8、1个4、0个2和0个1累加的结果。这里出现的8、4、2、1，分别表示23、22、21、20。即2进制计数法的1100，表示如下意思。

3210

1×23 1×22 0×21 0×20

如此计算就能将2进制计数法的1100转换为10进制计数法。

31×22 0×21 0×20

1×2 1×8 1×4 0×2 0×18 4 0 012

由此可以得出，2进制的1100若用10进制计数法来表示，则为12。

基数转换

接下来我们试着将10进制的12转换为2进制。这需要将12反复地除以2(12除以2，商为6；6再除以2，商为3；3再除以2……)，并观察余数为“1”还是“0”。余数为0则表示“除完了”。随后再将每步所得的余数的列(1和0的列)逆向排列，由此就得到2进制表示了。

用2进制表示12

同样地，我们试将10进制的2503转换为2进制计数法。

我们从图1-2可以知道2503用2进制表示为100111000111。各个数位的权重如下：

1×211 0×210 0×29 1×28 1×27 1×26 0×25 0×24 0×23 1×22 1×21 1×20

在10进制中，基数为10，各个数位是以10n的形式表现的。而2进制中，基数为2，各个数位是以2n的形式表现的。从10进制计数法转换为2进制计数法，称作10进制至2进制的基数转换。

计算机中为什么采用2进制计数法

计算机中一般采用2进制计数法，我们来思考一下原因。计算机在表示数的时候，会使用以下两种状态。

开关切断状态

开关连通状态

虽说是开关，但实际上并不需要机械部件，你可以想象成是由电路形成的“电子开关”。总之，它能够形成两种状态。这两种状态，分别对应0和1这两个数字。

… 0

… 1

1个开关可以用0或1来表示，如果有许多开关，就可以表示为许多个0或1。你可以

想象这里排列着许多开关，各个开关分别表示2进制中的各个数位。这样一来，只要增加

开关的个数，不管是多大的数字都能表示出来。

当然，做成能够表示0～9这10种状态的开关，进而让计算机采用10进制计数法，

这在理论上也是可能的。但是，与0和1的开关相比，必定有更为复杂的结构。另外，请比较一下图1-3和图1-4所示的加法表。2进制的表比10进制的表简单得多吧。

若要做成1位加法的电路，采用2进制要比10进制更为简便。

不过，比起10进制，2进制的位数会增加许多，这是它的缺点。例如，在10进制中

2503只有4位，而在2进制中要表达同样的数则需要100111000111共12位数字。这点从

表1-2中也显而易见。

人们觉得10进制比2进制更容易处理，是因为10进制计数法的位数少，计算起来不

容易发生错误。此外，比起2进制，采用10进制能够简单地通过直觉判断出数值的大小。

人的两手加起来共有10个指头，这也是10进制更容易理解的原因之一。

10进制的加法表

2进制的加法表

不过，因为计算机的计算速度非常快，位数再多也没有关系。而且计算机不会像人类那样发生计算错误，不需要靠直觉把握数字的大小。对于计算机来说，处理的数字种类少、计算规则简单就好不过了。

让我们来总结一下。

10进制计数法中，位数少，但是数字的种类多。

→对人类来说，这种比较易用。

2进制计数法中，数字的种类少，但是位数多。

→对计算机来说，这种比较易用。

鉴于上述原因，计算机采用了2进制计数法。

人类使用10进制计数法，而计算机使用2进制计数法，因此计算机在执行人类发出的任务时，会进行10进制和2进制间的转换。计算机先将10进制转换为2进制，用2进制进行计算，再将所得的2进制计算结果转换为10进制。

人类使用计算机进行计算的情形

转换为2进制

转换为10进制

10101 10011

使用2进制进行计算

101000

按位计数法

下面来介绍按位计数法。

什么是按位计数法

我们学习了10进制和2进制两种计数法，这些方法一般称作按位计数法。除了10进制和2进制以外，还有许多种类的按位计数法。在编程中，也常常使用8进制和16进制计数法。

●8进制计数法

8进制计数法的特征如下：

使用的数字有0、1、2、3、4、5、6、7共8种。

80的位、81的位、82的位、83的位……(基数是8)

21 19

40

●16进制计数法

16进制计数法的特征如下：

使用的数字有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F共16种。

160的位、161的位、162的位、163的位……(基数是16)

在16进制计数法中，使用A、B、C、D、E、F(有时也使用小写字母a、b、c、d、e、

f)来表示10以上的数字。

●N进制计数法

一般来说，N进制计数法的特征如下：

使用的数字有0，1，2，3，…，N-1，共N种。

N0的位、N1的位、N2的位、N3的位……(基数是N)

例如，N进制计数法中，4位数a3a2a1a0为

a3×N3 a2×N2 a1×N1 a0×N0(a3、a2、a1、a0是0～N-1中的数字。)

不使用按位计数法的罗马数字

按位计数法在生活中最为常见，因此人们往往认为这种方法是理所当然的。实际上，

在我们身边也有不使用按位计数法的例子。例如，罗马计数法。罗马数字至今还常常出现在钟表表盘上。

使用罗马数字的钟表表盘

还有，在电影放映的演职员名单中，也会出现表示年号的MCMXCVIII等字母。这也是罗马数字。罗马计数法的特征如下：

数位没有意义，只表示数字本身

使用I(1)、V(5)、X(10)、L(50)、C(100)、D(500)、M(1000)来记数

将并排的数字加起来，就是所表示的数。

例如，3个并排的I(III)表示3，并排的V和I(VI)表示6，VIII表示8。罗马数字的加法很简单，只要将罗马数字并排写就可以得到它们的和。比如，要计算1 2，只要将表示1的I和表示2的II并排写作III就行了。但是，数字多了可就不太简单了。

例如，计算3 3并不是把III和III并排写作IIIIII，而是将5单独拿出来写作V，所以6就应该写作VI。CXXIII(123)和LXXVIII(78)的加法，也不能仅仅并排写作CXXIIILXXVIII，而必须将IIIII转换为V，VV转换为X，XXXXX转换为L，再将LL转换为C，如此整理得到CCI(201)。在“整理”罗马数字的过程中，必须进行与按位计数法的进位相仿的计算。

罗马计数法中还有“减法规则”。例如IV，在V的左侧写I，表示5-1，即4(在钟表表盘上，由于历史原因也有将4写作IIII的)。让我们试着将罗马数字的MCMXCVIII用10进制来表示。

MCMXCVIII=(M) (CM) (XC) (V) (III)=(1000) (1000-100) (1000-10) (5) (3)=1998

可以发现，MCMXCVIII表示的就是1998。罗马数字真是费劲啊！

指数法则

10的0次方是什么

在10进制的说明中，我们讲过“1是100(10的0次方)”，即100=1。

也许有些读者会产生以下疑问吧。

102是“2个10相乘”，那么100不就是“0个10相乘”吗？这样的话，不应该是1，而是0吧？

这个问题的核心在哪里呢？我们来深入思考一下。问题在于“10n是n个10相乘”这部分。在说“n个10相乘”时，我们自然而然会把n想作1，2，3…。因此，在说“0个10相乘”时，却不知道应该如何正确理解它的意义。

那么，暂且抛却“n个10相乘”这样的定义方式吧。我们从目前掌握的知识来类推，看看如何定义100比较妥当。

众所周知，103是1000，102是100，101是10。

将这些等式放在一起，寻找它们的规律。

103=1000102=100101=10100=?

1??101??101??10

每当10右上角的数字(指数)减1，数就变为原先的10分之1。因此，100就是1。综上所述，在定义10n(n包括0)的值时可以遵循以下规则：

指数每减1，数字就变为原来的10分之1。

10-1是什么

不要将思维止步于100之处。对于10-1(10的-1次方)，让我们同样套用这一规则(指数每减1，数字就变为原来的10分之1)。

100˙11

10_1˙

10110_2˙

100110_3˙1000

…

1??101??101??10

规则的扩展

首先让我们做一个小结。我们学习了10n计数法的相关内容。起初，我们把n为1，2，3…时，即101，102，103…想作“1个10相乘”、“2个10相

乘”、“3个10相乘”……然后，我们抛却了“n个10相乘”的思维，寻找到了一个扩展规则：对于10n，n每减1，就变成原来的10分之1。

当n为0时，若套用“10n为n个10相乘”的规则，着实比较费解。于是我们转而求助于“n每减1，就变成原来的10分之1”的规则”，定义出100是1(因为101的10分之1就是1)。

同样地，10-1，10-2，10-3…的值(即n为-1，-2，-3…时)，也适用于这个扩展规则。

如此，对于所有的整数n(…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…)，都能定义10n的值。对于10-3来说，“-3个10相乘”的思维并不直观。但倘若套用扩展规则，即使n是负数，也能“定义出”10的n次方的值。

对20进行思考

让我们用思考100的方法，也思考一下20的值吧。

25˙32

24

˙16

23

˙8

22

˙4

21

˙2

20

˙?

由此可知，对于2n来说，n每减1，数值就变成原来的2分之1。21的2分之1是20，那么20=1。在这里我想强调的是，不要将20的值作为一种知识去记忆，我们更需要考虑的是，如

何对20进行适当的定义，以期让规则变得更简单。这不是记忆力的问题，而是想象力的问题。请记住这种思维方式：以简化规则为目标去定义值。

1??21??21??21??21??2

2-1是什么

让我们参照10-1的规则来思考2-1。20除以2，得到的是2-1，即2-1=12。

“2的-1次方”在直觉上较难理解。鉴于规则的简单化和一致性，2的-1次方可以定

义为2-1=21。同理，2-2=212，2-3=213。

综上所述，可以总结出如下等式：

10 5=1×10×10×10×10×1010 4=1×10×10×10×1010 3=1×10×10×1010 2=1×10×1010 1=1×10100=110-1=1÷1010-2=1÷10÷1010-3=1÷10÷10÷1010-4=1÷10÷10÷10÷1010-5=1÷10÷10÷10÷10÷10

2 5=1×2×2×2×2×22 4=1×2×2×2×22 3=1×2×2×22 2=1×2×22 1=1×2

20

=12-1=1÷22-2=1÷2÷22-3=1÷2÷2÷22-4=1÷2÷2÷2÷22-5=1÷2÷2÷2÷2÷2

看了上面的等式之后，你应该就更能体会100和20为什么都等于1了吧。

到这里，我们给之前所说的“规则”取名为“指数法则”。指数法则的表达式为

=Na b

Na×Nb

即“N的a次方乘以N的b次方，等于N的a b次方”法则(但N≠0)。有关指数

法则的内容，在第7章也会谈到。

0所起的作用

0的作用：占位

这节我们来讨论0的作用。例如，用10进制表示的2503，它当中的0起到了什么作用呢？2503的0，表示十位“没有”。虽说“没有”，但这个0却不能省略。因为如果省略了0，写成253，那就变成另一个数了。

在按位计数法中，数位具有很重要的意义。即使十位的数“没有”，也不能不写数字。这时就轮到0出场了，即0的作用就是占位。换言之，0占着一个位置以保障数位高于它的数字不会产生错位。

正因为有了表示“没有”的0，数值才能正确地表现出来。可以说在按位计数法中0是不可或缺的。

0的作用：统一标准，简化规则

在按位计数法的讲解中，我们提到了“0次方”，还将1特意表示成100。使用0，能够将按位计数法的各个数位所对应的大小统一表示成

10n

否则，就必须特别处理“1”这个数字。0在这里起到了标准化的作用。

如果从高到低各个数位的数字依次为an，an-1，an-