第二，一些分析方面的问题，在开始应用代数的方法以后，变成明显的和容易理解的，这些方法是建立在一次方程组理论的深刻推广(对于无穷多的情形)的基础上的。

后，代数的高深部分在近代物理中找到了应用，即量子力学的基本概念是借助于复杂的并且不初等的代数对象表达的。

代数学史的基本特征如下：

首先必须指出的是：关于什么是代数以及代数的基本问题是什么这两个问题的观念有两次改变，一次是上世纪的前半期，而另一次是在本世纪初。在三个不同时期内，人们将三个很不相同的东西理解为代数学，代数学的这些历史不同于解析几何、微分学及积分学这三种著名的计算学科的历史，后者是由它的创始人——费尔马、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨及其他学者所亲手奠立的，在进一步的蓬勃发展过程中，甚至有时是用大量的新篇章来补充的时候，它们本来面目在原则上却只有较少的改变。

在古代，为了解决某些种类的数学问题而找到的任何法则都是用语句把它记下来，因为那时字母表示法还没有发明。"代数"这个字本身是由九世纪的花刺子模学者的重要的著作的名称产生的，这个学者叫做穆罕默德·阿里·花刺子模(参看章)，在他的著作里产生了个解一次及二次方程的一般性法则。然而字母表示法的引进通常是和维耶特的名字相联系的，他不仅用字母表示未知数，并且开始用字母表示给定的量，笛卡儿对于字母表示法的发展也做了不少工作，于是通常的数也可用字母表示。从这个时候开始，实际上把代数看成是关于字母计算，关于由字母构成的公式的变换以及关于代数方程等等的科学，它与算术的不同在于算术永远是对具体数字的运算。

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