33时域瞬态响应分析时域分析是重要的分析方法之一。本章要求学生了解系统在外加作用激励下，根据所描述系统的数学模型，求出系统的输出量随时间变化的规律，并由此确定系统的性能，了解系统的时间响应及其组成； 掌握脉冲响应函数等概念，掌握一阶、二阶系统的典型时间响应和高阶系统的时间响应以及主导极点的概念，尤其应熟练掌握一阶及二阶系统的阶跃响应和脉冲响应的有关内容。31图3.1所示的阻容网络中，ui(t)=［1(t)-1(t-30)］(V)。当t=4s时，输出uo(t)约为多少?当t=30s时，输出uo(t)又约为多少?解： Uo(s)Ui(s)=1sCR 1sC=1RCs 1=11×106×4×10-6s 1=14s 1uo(4)≈0.632(V)，uo(30)≈1(V)32某系统传递函数为Φ(s)=s 1s2 5s 6，试求其单位脉冲响应函数。解： Xo(s)Xi(s)=s 1s2 5s 6=-1s 2 2s 3其单位脉冲响应函数为xδ(t)=(-e-2t 2e-3t) 1(t)33某网络如图3.2所示，当t≤0-时，开关与触点1接触，当t≥0 时，开关与触点2图3.1图3.2接触。试求出输出响应表达式，并画出输出响应曲线。解： Uo(s)Ui(s)=R 1CsR R 1Cs=RCs 12RCs 1=s 12s 1ui(t)=ui0 ui1=1 (-2) 1(t)(V)Uo1(s)=s 12s 1Ui1(s)=s 12s 1 -2s=1s 12-2s3时域瞬态响应分析控制工程基础(第4版)习题解则uo1(t)=(e-t2-2) 1(t)(V)uo(t)=uo0 uo1=1 (e-t2-2) 1(t)(V)其输出响应曲线如图3.3所示。图3.3图3.434图3.4所示的系统中，若忽略小的时间常数，可认为dydt=0.5ΔB(s-1)。其中，ΔB为阀芯位移，单位为cm，令a=b(ΔB在堵死油路时为零)。(1) 试画出系统函数方块图，并求Y(s)X(s)； (2) 当x(t)=［0.5 1(t) 0.5 1(t-4s)-1(t-40s)］(cm)时，试求t=0s、4s、8s、40s、400s时的y(t)值，ΔB(∞)为多少?(3) 试画出x(t)和y(t)的波形。解： (1) 依题意可画出如图3.5所示的系统函数方块图，则图3.5Y(s)X(s)=12×0.5s1 0.5s×12=14s 1(2) 该一阶惯性环节的时间常数为T=4(s)当x(t)=［0.5 1(t) 0.5 1(t-4)-1(t-40)］(cm)时，y(0)=0(cm)y(4)≈0.5×0.632=0.316(cm)y(8)≈0.5×0.865 0.5×0.632=0.749(cm)y(40)≈1(cm)y(400)≈0(cm)ΔB(∞)=0(cm)(3) x(t)和y(t)的波形如图3.6(a)、(b)所示。图3.635设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=4s(s 5)，试求该系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。解： 系统闭环传递函数为Xo(s)Xi(s)=4s(s 5)1 4s(s 5)=4s2 5s 4=4(s 1)(s 4)(1) 当xi(t)=1(t)时，Xi(s)=1sXo(s)=Xo(s)Xi(s)Xi(s)=4(s 1)(s 4)1s=1s-43s 1 13s 4则xo(t)=1(t)-43e-t 1(t) 13e-4t 1(t)(2) 当xi(t)=δ(t)时，Xi(s)=1Xo(s)=Xo(s)Xi(s)Xi(s)=4(s 1)(s 4)×1=43s 1-43s 4则xo(t)=43(e-t-e-4t) 1(t)36试求图3.7所示系统的闭环传递函数，并求出闭环阻尼比为0.5时所对应的K值。图3.7解： Xo(s)Xi(s)=Ks(0.1s 1)1 Ks(0.1s 1)=10Ks2 10s 10K则ωn=10K2ζωn=2ζ10K=10解2×0.510K=10，得闭环阻尼比为0.5时所对应的K=10。37设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=1s(s 1)，试求系统的上升时间、峰值时间、较大超调量和调整时间。当G(s)=Ks(s 1)时，试分析放大倍数K对单位阶跃输入产生的输出动态过程特性的影响。解： (1) Xo(s)Xi(s)=1s(s 1)1 1s(s 1)=12s2 2×0.5×1s 12得ωn=1(rad/s)则ζ=0.5ωd=ωn1-ζ2=11-0.52=32(rad/s)θ=arccosζ=arccos0.5=π3(rad)所以tr=π-θωd=π-π332≈2.418(s)tp=πωd=π32≈3.628(s)Mp=e-ζπ1-ζ2=e-0.5π1-0.52≈16.3%ts≈3ωnζ=31×0.5=6(s)(进入5%误差带)(2) Xo(s)Xi(s)=Ks(s 1)1 Ks(s 1)=(K)2s2 2×12KKs (K)2得ωn=K(rad/s)ζ=12K则ωd=ωn1-ζ2=K1-12K2=4K-12(rad/s)θ=arccosζ=arccos12K(rad)则(Ⅰ) 当ζ=12K=1，即K=14时，系统为临界阻尼，系统不产生振荡。(Ⅱ) 当ζ=12K>1，即K<14时，系统为过阻尼，系统亦不产生振荡。(Ⅲ) 当ζ=12K=0，即K=∞时，系统为零阻尼，系统产生等幅振荡。(Ⅳ) 当0<ζ<1，即142rad/s； (2) 0≤ζ≤0.707，ωn≤2rad/s； (3) 0≤ζ≤0.5，2rad/s≤ωn≤4rad/s；(4) 0.5≤ζ≤0.707，ωn≤2rad/s。解： (1) 所求区域为图3.10(a)中阴影部分。图3.10(2) 所求区域为图3.10(b)中阴影部分。(3) 所求区域为图3.10(c)中阴影部分。(4) 所求区域为图3.10(d)中阴影部分。313设一系统如图3.11(a)所示。图3.11(1) 当控制器Gc(s)=1时，求单位阶跃输入时系统的响应，设初始条件为零，讨论L和J对响应的影响。 (2) 设Gc(s)=1 Tds,J=1000，L=10，为使系统为临界阻尼，求Td值。(3) 现在要求得到一个没有过调的响应，输入函数形式如图3.11(b)所示。设Gc(s)=1，L和J参数同前，求K和t1。解： (1) Xo(s)Xi(s)=LJs21 LJs2=LJs2 LJ则Xo(s)=LJs2 LJ1s=1s-ss2 LJ2对上式进行拉氏反变换，得xo(t)=1(t)-cosLJt 1(t)由此可知，其单位阶跃响应为等幅振荡，当L增大、J减小时，角频率ω增大。(2) Xo(s)Xi(s)=(1 Tds)LJs21 (1 Tds)LJs2=Tds 1JL2s2 Tds 1为使系统为临界阻尼，需使ζ=1，即Td=2JL=2100010=20(3) 由(1)知Xo(s)Xi(s)=LJ2s2 LJ2当xi(t)=1(t)时xo(t)=1-cosLJt 1(t)所以t1=πωn1-ξ2=πLJ=π101000=10π另有K1-cosLJt (1-K)1-cosLJ(t-t1)=1将t=t1=10π，L=10，J=1000代入上式，得K1-cos101000×10π (1-K)1-cos101000×0=1解之，得K=0.5314图3.12所示为宇宙飞船姿态控制系统方块图。假设系统中控制器的时间常数T=3s，图3.12力矩与惯量比KJ=29rad/s2，试求系统阻尼比。

解： Xo(s)Xi(s)=K(Ts 1)1Js21 K(Ts 1)1Js2=KJ(Ts 1)s2 2×T2KJKJs KJ2则ζ=T2KJ=3229=22≈0.707315设一伺服电动机的传递函数为Ω(s)U(s)=KTs 1。假定电动机以恒定速度ω0转动，当电动机的控制电压u0突然降到0时，试求其速度响应方程式。解： 电动机的控制电压如图3.13所示。图3.13Ω2(s)=KTs 1U2(s)=KTs 1-U0s=KU0s 1T-KU0s则ω2(t)=KU0(e-tT-1) 1(t)又有ω1(t)=ω0=KU0所以ω(t)=ω1(t) ω2(t)=ω0e-t/T 1(t)316对于图3.14所示的系统，如果将阶跃输入θi作用于该系统，试确定表示角度位置θo的方程式。假设该系统为欠阻尼系统，初始状态为静止。解： 依题意，有K［θi(t)-θo(t)］-D θ o(t)=Jθ o(t)得θo(s)θi(s)=KJs2 Ds K=KJ2s2 2×D21KJKJs KJ2则ωn=KJ，ζ=D2KJ所以,当θi(t)=a 1(t)时θo(t)=a1-e-ζωnt1-ζ2sin(ωn1-ζ2t arccosζ) 1(t)=a1-e-D2Jt1-D24KJsin4KJ-D22Jt arccosD2KJ 1(t)图3.14图3.15317某系统如图3.15所示，试求单位阶跃响应的较大超调量Mp、上升时间tr和调整