第1章质点运动学

基本要求1. 掌握描述质点运动的基本物理量——位置矢量、位移、速度和加速度等概念及其主要性质(矢量性、瞬时性和相对性)。2. 理解运动方程和轨道方程的意义，能应用直线运动方程和运动叠加原理求解简单的质点运动学问题。(1) 已知质点运动方程，求质点的位移、速度和加速度等物理量； (2) 已知速度或加速度及初始条件，求质点的运动方程； (3) 熟练掌握匀变速直线运动、抛体运动的规律。3. 掌握圆周运动中角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度等概念。4. 理解运动的相对性。基本概念和基本规律1. 质点在所研究的问题中，物体的大小和形状可忽略不计时，我们把它看作只具有质量而无大小、形状的理想物体，称为质点。质点是物理学中物体的理想模型。2. 位置矢量(或矢径)r在直角坐标系中点P的位置矢量(如图1.2.1所示)表示为

r=xi yj zk

位置矢量的大小为

r=|r|=x2 y2 z2

位置矢量的方向用方向余弦表示为

cosα=xr，cosβ=yr，cosγ=zr

在二维运动中(如图1.2.2所示)

r=xi yj

r=|r|=x2 y2

θ=arctanyx

式中θ是r与x轴正向间夹角。

图1.2.1

图1.2.2

3. 位移位移是描述质点在t~t Δt时间内位置矢量变化的物理量(如图1.2.3所示)。质点在Δt内由P1到P2的位移等于同一时间内位置矢量的增量Δr：

图1.2.3

Δr=r2-r1=(x2-x1)i (y2-y1)j (z2-z1)k

位移的大小为

|Δr|=(x2-x1)2 (y2-y1)2 (z2-z1)2

位移的方向为

cosα=Δx|Δr|，cosβ=Δy|Δr|，cosγ=Δz|Δr|

注意： ①位移Δr与位置矢量r的物理意义不同，r与时刻t对应，Δr与Δt对应； ②|Δr|≠Δr=r2-r1，Δr=x22 y22 z22-x21 y21 z21； ③位移与参照系的选择有关，具有相对性； ④直线运动中的位移Δx=x2-x1,Δx的正负表示位移的方向沿x轴的正向或负向。4. 速度速度是描述质点的位置随时间变化快慢和方向的物理量。(1) 平均速度

?瘙經-=ΔrΔt=ΔxΔti ΔyΔtj ΔzΔtk=v-xi v-yj v-zk

?瘙經-称为质点在t~t Δt这段时间内的平均速度。(2) 瞬时速度

?瘙經=drdt=dxdti dydtj dzdtk=vxi vyj vzk

?瘙經称为质点在时刻t的瞬时速度，简称速度。注意： ①v=|?瘙經|=v2x v2y v2z=dxdt2 dydt2 dzdt2≠drdt； ②直线运动中v=dxdt，v的正负表示速度的方向沿x轴正向或负向。(3) 平均速率

v-=ΔsΔt

式中Δs是质点在t~t Δt时间内走过的路程，v-称为质点在t~t Δt时间内的平均速率。(4) 瞬时速率

v=dsdt

v称为质点在t时刻的瞬时速率，简称速率。同一瞬间的瞬时速率和瞬时速度的大小是相同的。5. 加速度加速度是描述质点运动速度变化的物理量。(1) 平均加速度

a-=Δ?瘙經Δt=ΔvxΔti ΔvyΔtj ΔvzΔtk

a-称为质点在t~t Δt这段时间内的平均加速度。(2) 瞬时加速度

a=d?瘙經dt=dvxdti dvydtj dvzdtk=d2xdt2i d2ydt2j d2zdt2k=axi ayj azk

a称为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度。(3) 质点作平面曲线运动时的加速度，亦可用自然坐标系中的法向加速度和切向加速度表示： 法向加速度an=v2ρ，方向指向该处的曲率中心，式中v为质点所在处的速率,ρ为质点所在处的曲率半径。切向加速度at=dvdt，正、负表示切向加速度的方向与该处速度方向“同”、“反”。总加速度

a=an at

注意： ①a的方向是速度变化的方向，即Δ?瘙經的极限方向，一般不代表质点的运动方向。②区分?瘙經和a概念： ?瘙經=0，|a|不一定为零； |?瘙經|大，|a|不一定大。③曲线运动中an≠0； 直线运动中an=0，at=dvdt； 直线运动a的正、负表示加速度的方向沿选定轴的正向或负向。6. 圆周运动的角量描述设质点作圆周运动，t时刻质点在A点，t Δt时刻质点运动到B点，如图1.2.4所示。则质点的运动亦可用下述角量描述。

图1.2.4

θ为半径OA与x轴间夹角，θA，θB分别是质点在A，B两点的角位置，则

Δθ=θB-θA

Δθ称为质点在t~t Δt内对O点的角位移。令

ω=limΔt→0ΔθΔt=dθdt

ω称为质点在t时刻对O点的瞬时角速度(简称角速度)。令

α=limΔt→0ΔωΔt=dωdt

α称为质点在t时刻对O点的瞬时角加速度(简称角加速度)。

角量与线量间的关系：

v=Rω

an=v2R,at=dvdt=Rα

7. 运动方程r(t)质点的位置矢量r(t)(或角位置θ)随时间的变化规律称为质点的运动方程，可表示为

r(t)=x(t)i y(t)j z(t)k

或

θ=θ(t)

质点的运动方程在直角坐标系中亦可用分量式表示为

x=x(t)y=y(t)z=z(t)

运动方程反映了质点的空间位置随时间的变化过程。从运动方程的分量式中消去t，得到x、y、z间的关系式，称为质点的轨道方程。8. 运动叠加原理一个运动可看成几个各自独立进行的运动叠加而成，这称为运动叠加原理或运动独立性原理。例如，抛体运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的叠加。9. 几种简单的运动规律(1) 直线运动的规律(假设运动发生在x轴上)匀速直线运动方程：

x=x0 vt

匀变速直线运动方程：

x=x0 v0t 12at2

变速直线运动方程：

x=x0 ∫t0vdt

v=v0 ∫t0adt

式中x0、v0分别是t=0时质点的初始位置、初始速度。(2) 圆周运动的角量描述规律匀速圆周运动：

θ=θ0 ωt

an=Rω2,at=0

匀变速圆周运动：

θ=θ0 ω0t 12αt2

an=Rω2,at=dvdt=Rα

式中θ0、ω0分别是t=0时质点的初始角位置、初始角速度。(3) 抛体运动规律

图1.2.5

抛体运动(如图1.2.5所示)方程为

x=v0cosθ0t

y=h v0sinθ0t-12gt2

讨论： θ0=0时为平抛运动； θ0=π2时为竖直上抛运动； θ0=-π2且v0=0，则为自由落体运动。10. 运动的相对性由于位置矢量、速度和加速度的大小和方向都与参照系的选择有关，具有相对性，因此同一质点的运动对不同参照系的描述是不同的。设坐标系Ox′y′z′相对于坐标系Oxyz的平动速度为u，则位移为Δr=Δr′ uΔt

速度为?瘙經=?瘙經′ u

或表示为

?瘙經A对C=?瘙經A对B ?瘙經B对C

上式称为速度变换原理或速度合成定理。加速度aA对C=aA对B aB对C

上式称为加速度交换原理或加速度合成定理。解题指导本章的重点是深刻理解位置矢量、位移、速度和加速度等概念，注意其矢量性与相对性。本章习题一般分两大类： 及时类是已知质点的运动方程，利用微分法求各物理量(速度、加速度等)； 第二类是已知速度或加速度及初始条件，利用积分法求运动方程。第二类问题和学会用速度合成定理处理运动的矢量性和相对性问题是本章的难点。在直线运动中，位移、速度和加速度的方向均在一直线上，建立坐标后，这些矢量可作为标量来处理。位移Δx、速度v和加速度a的正负，表示其方向与选定坐标轴的正向一致或相反。应特别注意的是，中学阶段定量研究的是匀变速直线运动，加速度是常量。但大学物理中讨论的是具有普遍意义的运动，加速度不一定是常量，必须用高等数学中的微积分解题。由中学的“常量”到大学的“变量”，这是学习的一个飞跃。质点运动学问题的一般解题程序为： (1) 审清题意，确定研究对象，分析研究对象的运动情况。(2) 选择适当的参照系，建立坐标系。(3) 根据所求物理量的定义，列式并求解。或根据运动的特点和题设条件，列方程求解。(4) 必要时进行分析讨论。[例题1.1]有一物体作直线运动，其运动方程为x=6t2-2t3，式中x的单位为m，t的单位为s。求： (1) 速度和加速度的表达式； (2) t=0,1,2,3,4s时物体的位置x、速度v和加速度a； (3) 第2s内的平均速度； (4) 最初4s内物体的位移、路程、平均速度和平均速率； (5) 讨论物体的运动情况。[解](1) 物体的运动方程

x=6t2-2t3

速度

v=dxdt=12t-6t2(m/s)

加速度

a=dvdt=12-12t(m/s2)

(2) 将t的各值代入上述三式，可得各时刻的x、v和a，见表1.3.1：

表1.3.1

t/s01 2 3 4x/m0480-32v/(m/s)060-18-48a/(m/s2)120-12-24-36

(3) 第2s内平均速度

v-1—2=x2-x1t2-t1=8-42-1=4(m/s)

但这不能用下式来计算：

v-1—2=v1 v22

为什么不行？请读者自己思考。(4) 位移

Δx=x4-x0=-32-0=-32(m)

式中负号表示位移的方向沿x轴负向。路程Δs是否等于位移Δx?通常Δs≠Δx，只有在直线运动中速度不改变方向的那段时间内，路程才与位移的大小相等。今由dxdt=12t-6t2=0得t=2s时开始速度改变方向，所以路程为

Δs=Δs1 Δs2=|x2-x0| |x4-x2|=|8-0| |-32-8|=48(m)

平均速度为

v-0—4=x4-x0t4-t0=-324=-8(m/s)

式中负号表示平均速度的方向沿x轴负向。平均速率为

v-0—4=ΔsΔt=484=12(m/s)

(5) 由v=12t-6t2，可见t0； t=2s，v=0； t>2s，v1s，a0，a>0，物体作加速运动； t在1~2s内，v>0，a0，并不表示物体作加速运动； a

x=3t,y=t2 t

式中x、y以m计，t以s计。试求： (1) t=1s和2s时质点的位置矢量，并计算这1s内质点的位移和平均速度； (2) 2s末质点的速度和加速度； (3) 质点的轨道方程。[解](1) 质点的位置矢量为

r=3ti (t2 t)jt=1s时，r1=3i (1 1)j=3i 2j(m)t=2s时，r2=6i 6j(m)根据位移的定义，这1s内的位移为

Δr=r2-r1=(6-3)i (6-2)j=3i 4j(m)

或用位移的大小和方向表示为

|Δr|=(Δx)2 (Δy)2=(6-3)2 (6-2)2=5(m)

θ=arctanΔyΔx=arctan6-26-3=53°

式中θ是位移与x轴正向间夹角。根据平均速度的定义，这1s内的平均速度为

?瘙經-=ΔrΔt=3i 4j2-1=3i 4j(m/s)

(2) 根据速度的定义，可得速度的两个分量vx和vy：

vx=dxdt=3(m/s)

vy=dydt=(2t 1)|t=2=2×2 1=5(m/s)

所以质点在2s末的速度为

?瘙經2=3i 5j(m/s)

或用?瘙經2的大小和?瘙經2与x轴正向间夹角来表示为

v2=v2x v2y=32 52=5.83(m/s)

θ=arctanvyvx=arctan53=59°

式中θ是速度?瘙經2与x轴正向间夹角。根据加速度的定义，它的两个分量ax、ay分别为

ax=dvxdt=0

ay=dvydt=2(m/s2)

所以

a=axi ayj=2j(m/s2)

即加速度的大小为a=2m/s2，方向沿y轴正向。由于加速度不随时间变化，所以本题中质点作匀加速运动。(3) 从质点的运动方程中消去t，即得轨道方程

y=x32 x3

即

x2 3x-9y=0

[例题1.3]一质点沿x轴运动。已知加速度a=4t(SI),t=0时，初速度v0=0，初始位置x0=10m。试求质点的运动方程。[解]根据加速度的定义a=dvdt，得

adt=4tdt=dv

对上式两边积分，得速度v随时间t的变化规律

∫t04tdt=∫v0dv

积分后代入上下限得

v=2t2

又根据速度的定义v=dxdt得

dx=vdt=2t2dt

对上式两边积分后得质点的运动方程

∫xx0dx=∫t02t2dt

x=x0 23t3

将x0=10m代入上式得

x=10 23t2(m)

本题属已知加速度及初始条件(即t=0时的x0、v0)求运动方程的问题，主要根据加速度和速度的定义，通过积分解决。需注意初始条件的运用和定积分的计算方法。[例题1.4]一物体沿x轴运动，开始时物体位于坐标原点，初速度v0=3m/s。若加速度a=4x(SI)，求： (1) 物体经过x=2m时的速度； (2) 物体的运动方程。[解](1) 本题中加速度随x而变化，所以物体作变速直线运动。根据加速度和速度的定义 v=dxdt，a=dvdt，得

vdt=dx

adt=dv=adxv

所以

vdv=adx=4xdx

两边积分：

∫vv0vdv=∫xx04xdx

v2-v20=4(x2-x20)

将x0=0，v0=3m/s及x=2m代入上式得

v=v20 4x2=32 4×22=5(m/s)

(2) 再根据速度的定义得

dx=vdt=v20 4x2dt

所以

∫x0dxv20 4x2=∫t0dt

由积分公式∫dxa2 x2=ln(x a2 x2)，将上式积分，则有

12ln(2x v20 4x2)|x0=t

2x v20 4x2v0=e2t

化简后得运动方程

x=v04(e2t-e-2t)=34(e2t-e-2t)(m)

图1.3.1

需注意： 通常解题时应先用文字式运算，求得结果的文字表达式后，再代入数据进行计算，得出的结果。[例题1.5]如图1.3.1所示，在离水面高度h的岸边上，有人用绳子拉船靠岸。船位于离岸的水平距离s处。当人以v0的匀速率收绳时，试求船的速度和加速度。[解]本题要求?瘙經和a，但船的运动方程未知，因此须先根据已知条件，建立坐标后写出船的运动方程，然后根据定义求?瘙經和a。以人的收绳点为坐标原点，建立坐标系如图1.3.1所示，则船的位置矢量即运动方程为

r=xi-hj

式中h是常量，x随时间而变。根据速度和加速度的定义得

?瘙經=drdt=dxdti

a=d2rdt2=d2xdt2i

根据题意，人的收绳速率为

v0=-drdt=-ddtx2 h2=-xx2 h2dxdt

这里因r=|r|随时间减小，所以drdt0。由上式得

vx=dxdt=-v0x2 h2x

所以船的速度为

?瘙經=-v0x2 h2xi

而

ax=dvxdt=ddt-v0x2 h2x=ddx-v0x2 h2xdxdt=-h2v20x3

所以船的加速度为

a=-h2v20x3i

当船在x=s处时，速度和加速度为

?瘙經=-v0s2 h2si

a=-h2v20s3i

讨论： (1) ?瘙經和a的方向均沿x轴负向，所以船向岸边作加速运动。(2) 由a的表达式，h和v0不变，s随时间减小，|a|随时间增大，所以船作变加速运动。(3) 船的速率v>v0(人的收绳速率)，这是严格按速度的定义求得的，直观上，显然v不等于v0。

图1.3.2

[例题1.6]一石子从倾角为α=30°的斜面上的O点抛出。已知初速度v0=9.8m/s，?瘙經0与水平面的夹角θ=30°，如图1.3.2所示。若忽略空气阻力，试求： (1) 石子落到斜面上的B点离O点的距离l； (2) 石子所到达的较大高度； (3) t=1.5s时石子的速度、切向加速度和法向加速度。[解](1) 石子的运动可看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的加速度为g的匀变速直线运动的叠加。今以O点为原点，建立坐标如图，则石子的加速度分量为