本书是希望在中学数学和高等数学之间搭一座桥梁.以中学数学为起点，逐步展示高等数学的基本思想和方法，便于大学新生快速适应高度抽象的高等数学.反过来，介绍如何把握高等数学的高观点，更好地服务于中学数学的教与学.
本书用数学分析、线性代数和高等几何等现代数学的思想方法解释和理解中学数学，力求用通俗易懂的语言，深入浅出地揭示现代数学的思想方法，找出现代数学与中学数学的结合点，从高观点来引领初等数学，指导中学数学教学.
本书案例翔实，思想新颖，方法简明，可启迪读者的思维，开阔读者的视野，提高读者提出问题、分析问题与解决问题的能力，适合高中学生、教师、师范生，以及数学教育研究者参考.
彭翕成，华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心工程师，毕业于华中师范大学，立志于从事数学文化传播和数学教育技术的普及。已百余篇，出版著作多部。
前言(ⅰ)
1一题多解架构初等、高等数学桥梁(1)
1.1代数(2)
1.2几何(11)
1.3三角(21)
1.4不等式(31)
1.5杂题(49)
2初等数学问题高等数学解答(54)
2.1代数(54)
2.2几何(55)
2.3三角(76)
2.4不等式(79)
2.5杂题(80)
3不等式与函数(86)
3.1不等式篇(86)
3.1.1均值不等式的引入和证明(86)
3.1.2从课本上的简单不等式谈起——从初等数学到高等数学(87)
3.1.3小学题？中学题？大学题？(89)
3.1.4解读神证明(89)
3.1.5也说Nesbitt不等式(94)
3.1.6均值不等式的隔离(96)
3.1.7答正切函数不等式猜想(97)
3.1.8一个对数不等式的五种证法(99)
3.1.9变式教学与数学背景(101)
3.1.10三角不等式的证明——从用导数到不用导数(105)
3.1.11高等数学思想指导完善初等数学错漏(108)
3.2函数篇(111)
3.2.1从常系数到变系数——从罗增儒教授的无奈谈起(111)
3.2.2以康托函数为背景的函数题(113)
3.2.3三次方程判别式问题两例(117)
3.2.4三次方程和韦达定理(121)
3.2.5洛必达法则及其替代品(122)
3.2.6十五岁的图灵如何推导级数形式的反正切公式(123)
3.2.7从f(x y)=f(x) f(y)说开去(124)
3.2.8对开方迭代式的认识过程(126)
4线性代数(128)
4.1线性组合和线性无关(128)
4.1.1漫谈线性组合(128)
4.1.2已知根式解寻求原方程(131)
4.2行列式解题(134)
4.2.1行列式解代数问题举例(134)
4.2.2行列式与面积(138)
4.2.3从“经过已知三点的一元二次函数”谈起(141)
4.2.4圆方程、三角形五心、圆幂定理(145)
4.2.5海伦公式与托勒密定理的行列式统一公式(150)
4.2.6行列式与射影定理(152)
4.2.7行列式解几何题举例 (156)
5杂篇(165)
5.1认识的深入(165)
5.1.1不一样的加法和乘法(165)
5.1.2从乘法是加法的简便运算谈起(166)
5.1.3漫谈1 2 3 4 … n(167)
5.1.4向量 (170)
5.1.5结构与同构(173)
5.1.6什么是距离(175)
5.1.7值多种定义以及分段函数定义缺陷(179)
5.1.8无处不在的一一对应(180)
5.1.9一定是斐波那契数列吗？(183)
5.2初等数学、高等数学面面观(186)
5.2.1特殊与一般——《吉米多维奇数学分析习题集》一题(186)
5.2.2谈谈循环论证(187)
5.2.3根式方程有理化(191)
5.2.4包络线与赋范空间的一点小应用(194)
5.2.5学贵有疑——《数学解题的特殊方法》一题(197)
5.2.6证明sin2x cos2x=1——《陶哲轩实分析》一题(198)
5.2.7平方差公式的三角扩展(200)
5.2.8从代数恒等式到三角恒等式(203)
5.2.9例证法：从代数式到三角式(207)
5.2.10勾股定理的三维推广(212)
5.2.11一道多情形几何题的多种证明(214)
5.2.12初等、高等数学不同视角一题多解更显风采(219)
5.2.13你也可以做幻方(223)
5.2.14剑桥大学的一道经典名题(225)
5.2.15从高考题谈迭代(227)
5.2.16微积分新概念的教学脚步何妨慢一点(229)
5.2.17高等数学的“败笔”(232)
5.2.18不好的高等数学解法举例(234)
5.2.19陈省身没做出来的数学题(238)
5.2.20相信付出才有回报(239)
参考文献(242)
