第1章 四大群落的数学宫殿

第1章 四大群落的数学宫殿

1.1 从《0的争论》到0的宏论

我国当代作家叶永烈是"科学寓言"创作的高手,他写过一篇有趣的寓

言《0的争论》.下面是其中的片段:

意想不到,一个小小的"0",掀起了一起轩然大波……

风波是由一位化学家引起的.他写了一本关于氧气的书,封面上印着一

个巨大的"O".

化学家在书中写道:"O是氧的化学符号.没有氧就没有生命,O是一

切生物的命根子."

数学家对此提出异议,认为0明明是什么都没有的0!一切从0开始,

没有0就没有一切!

英文教师对此加以否定,肯定O是英文字母,也就是OK中的O,没有

OK,世界哪里还有诗意.

运动员的见解更加新颖:他指出这是运动场中的跑道.任何一个运动场

里,都有一个巨大的"0"!

天文学家也许更为高瞻远瞩:他发现这是地球绕太阳公转,寒来暑往,

在浩瀚的太空中画出的轨迹

……

以上争论说明,同一对象从不同的角度可以有不同的结论.这些不同的

结论是人的认识不断深化的结果,也是各学科工作者用学科语言对这个符号

的生动描述.

下面,我们从数学的角度谈谈人们对"0"这个符号的不断深化认识的

历程.

"0"是人们较早创造并较早使用的一个数学符号.

随着数学科学的发展,人们在使用这个数学符号中逐渐认识了这个数学

符号的奇妙丰富内涵,并且有"横看成岭侧成峰"的数学科学中的基础学科

的奠基宏论.

首先,人们应用这个符号"0"表示没有,表示占据着一个空位.继而,

应用这个符号"0"表示一个数,表示一个非常独特的数,即零,它既不是

正数也不是负数,它小于一切正数而大于一切负数,是正数与负数的界限

数.人们又在初步的数字计算?数字应用?数字教育中认识到这个数字的特

殊性质及它的特殊运算性质:零是偶数?阴数,零的相反数是它本身,零的

值是零,零没有倒数,零没有对数;零不能作除数,零与其他数的和?

差不改变结果,零与其他数的积为零,零除以一个不为零的数商为零,零的

正数次幂得零,零的正数方根是零,零的负数次?零次幂及零次方根均没有

意义;1的对数为零,两个相反数的和为零,若干个数的乘积为零时,其中

至少有一个因数为零;等等.

在数学学科发展成数学科学的过程中,数学知识?数学计算?数学应

用?数学教育相互依存?水乳交融,它们从不同的侧面,以不同的基点,对

数学科学各分支的理论建设作出贡献.

进而,在数学科学辉煌发展的过程中,又使得人们认识了这个符号"0"

的数学基础地位?数学计算作用?数学应用功能?数学教育意义.

在数学基础研究中,"0"是代数学中的方程与方程组中不可缺少的元

素,"0"是数论中模 m的一个剩余类,"0"是近世代数加群中的一个元素,

"0"是微积分学中一切无穷小变量的极限,等等.在现代数学中,零涉及了

众多的概念:零元?零元素?零多项式?零次多项式?零向量?零矩阵……

有了这些概念,数学基础理论的研究内容丰富多彩.

例如,对于式子 ax2+bx+c=0(其中 a,b,c∈R),若视这个式子右

端的符号"0"为零多项式,则x可取任意实数,而 a?b?c只能取实数零.

若视这个式子右端的符号"0"为数字0,则这个式子为方程,x的值由 a?

b?c确定,且 x的值至多有两个不同;若有三个或三个以上的 x的值使得这

个方程式成立,则这个方程式又变成零多项式了.

这也说明,数学中的一些基本对象,有时可以同提并论,但却不能等量

齐观.基础数学的理论就是这样在研究数学基础知识的基点上发展起来的.

在数学计算研究中,"0"是计数的起点,用"0"与不用"0"表示事

物的"无"与"有",计数就是从无到有,由少到多;"0"是数轴的原点,

"0"是解析几何中坐标轴的原点坐标,有了坐标,数就是点,点就是数,变

动的点就是变动的数,变动的数就是变动的点,于是变数与图形结合在一块

了,几何问题可以转化为代数问题了,这也就奠定了今天几何定理机器证明

的基础;"0"是布尔代数中两种状态之一的表示,正因为如此,这为电器电

子屏上的数码表示找到了切入点,采用7条小光管组成的"日"字状态表示

数码:把小光管亮时状态用"1"表示,不亮时状态用"0"表示,一个由

"0"和"1"组成的7个字的数组来表示光管的一种状态,就得到一个7位

的二进制数,根据这些二进数设计出7条小光管的电路就可以表示出10个

不同数码0,1,…,9,这就是电器电子屏中的数码表示.由此也加速了计

算机的迅猛换代,计算数学的高度发展也就成为必然.

在数学应用研究中,用"凑零"以达到数字运算的简便,用"添零"

表两个相反符号式的代数和达到代数式的巧妙变形,"0"是概率论中不可能

事件的概率,"0"是模糊数学中一个特殊隶属度,"0"是组合数学图论中

(0,1)联络矩阵的两虎将之一;"0"是数字化时代常用的一个重要数码,

随着人类生活质量的提高?生产力的发展和科学文化的进步,数码的应用迅

速介入一切领域.因而,当今社会日趋数学化,以至于高技术就是数学技

术,一门科学现代化的水平近似地可以用该学科的研究与表述当中所消耗的

数学含量来度量,从而,应用数学的强大阵营中的众多分支让人目不暇接.

在其他学科应用研究中,《0的争论》片段中已呈现了一部分,它还有

广泛的应用.例如,在音乐的简谱中它是休止符……

在数学教育研究中,"0"对素质教育?文化教育都有重要意义.

在《0的争论》片段中体现了对人的科学探索精神?数学理性精神的引

导;数0占据着数位,多一个"0"或少一个"0",数据就会扩大10倍或缩

小10倍,差之毫厘,谬以千里就是这么来的,这要求人们具有细心?严谨

的科学态度;"0"也可告诫人们要有一种戒骄戒躁的美德:一切从零开始!

也告诫人们:在身体条件允许下,用"0"表示自己的学习或工作成绩,应

追求这个符号占据自己人生道路的密度."0"展示了素质教育的功能.

在自然数理论的教育中,"0"有着特殊的意义.根据1996年颁布的

《中华人民共和国国家标准?物理学科和技术中使用的数学符号》的规定:

及时个自然数已经不再是1,而是0,所以我国所有的数学出版物,包括大?

中?小学数学教材,都要或将要把自然数集合记为

N={0,1,2,3,…},

正整数集合才记为N+={1,2,3,4,…}

这就意味着:一切要从零开始!

为什么要把"0"作为自然数呢?数(shù)是数(shǔ)出来的,所要

数的对象从无到有,由少到多,因为多了才需要数(shǔ),由数(shǔ)才

产生1,2,3等自然数.所以,无论从序数(先后顺序)的观点,还是从基

数(多少)的观点来看,把"0"放在"1"之前,"一切从零开始"都是很

自然的事情.

这也说明,为了数学教育的需要,要对有关数学知识进行整合改造或再

创造.显然,这就提示了研究教育数学的必要.

在此,也让我们领会到了《0的争论》片段中,数学家的言论是多么地

深刻!

综上,也使我们看到了:人们对于数"0"的认识与研究是整个数学科

学发展的一个缩影.

如果把数学科学比作巍峨雄伟的宫殿,是吸引人们前往观光的旅游胜

地,则需要我们首先对这个宫殿作一个大致的介绍,这个宫殿现由四大群落

殿组成:

从数学基础到基础数学,

从数学计算到计算数学,

从数学应用到应用数学,

从数学教育到教育数学.

显然,研究基础数学是为了更好地呈现数学的基础地位,研究计算数学

是为了更好地发展数学计算的作用,研究应用数学是为了更好地突出数学应

用的功能,研究教育数学是为了更好地展示数学教育的意义.

1.2 从数学基础到基础数学

"日"字是一个比较典型的象形文字.古日字的写法是" "或" ",

外面圆圆的像个太阳,中间加上一横线,按照《说文》的说法:"实也,太

阳之精不亏,从〇一" 即"〇,象其轮廓;一,象其中不亏" 古人观察

到了"月有阴晴圆缺",但太阳则永远不会有盈亏,所以要在〇中再加上一

横,以象其实.随着汉字书法的嬗变,外围的轮廓也慢慢地"化圆为方"

了.所以,"日"字就成了今天的形状.基础数学学科的成长也有类似的

经历.

数学是人类最古老的精神文明之一.原始部落的人们每天都离不开数与

量的活动:氏族部落的成员经常发生变化,增多或减少;每次狩猎归来,需

计算猎物的多少,分配食物需将食物数量和部落成员加以比较.由于大江大

河经常洪水泛滥,洪水退去后,人们需重新丈量土地 修建住所?堤坝和一

些建筑,需计算各种图形的面积及物体的体积,从而渐渐地认识一些正整数

和简单的几何图形.人类对自然界,乃至宇宙的认识,自始至终都是和数学

联系在一起的.人类对自身的认识与教育,也是与数学分不开的.从古以

来,人们受教育的低要求就是"能写?会算",这"算"就是数学.进入

20世纪以后,全世界的基础教育都是以母语和数学为两门最重要的课程来开

设的.因此,数学是人类生存的需要?教育的主体.也就是说,在人们的生

活?学习?工作中都要具备一定量的数学基础知识,并随着时代的前进,这

种数学基础知识也越来越宽广,越来越厚实.

数学的这种基础地位,也就决定了人们对数学的学习与研究的重视程

度,因而人们为此投入了巨大的热情和艰苦的奋斗.今天,宽广?厚实的基

础数学就是人类智慧与热情的结晶.

基础数学又分为公众基础数学与专业基础数学.公众基础数学内容将在

教育数学中的教材数学?文化数学等章节中介绍,在此主要介绍一点专业基

础数学的有关内容.

专业基础数学中,又有纯粹数学?核心数学等的称呼.

纯粹数学主要包括代数与数论?几何与拓扑?分析学等几大部分.核心

数学是指纯粹数学的核心.

数学是一个整体,一些最有价值的数学问题?具有重大发展潜力的数学

基础理论和方法构成一个时期的"核心数学".从19世纪的数学来看,复数

理论因负数开方引起,伽罗瓦的群论来源于方程的根式解,罗巴切夫斯基的

非欧几何学起始于对欧氏几何的第五公设的研究,而数学分析的严密化进程

则源于无限小量之比的不确定性.这些数学内部提出的问题深刻地反映了客

观世界的数量关系,揭示了丰富的数学内涵.另外,许多应用性问题,也成

了核心数学的重大分支,例如,傅里叶从热传导提出的三角级数展开.傅里

叶分析?傅里叶变换?傅里叶算子?群上调和分析?非交换调和分析,其影

响至今不衰,始终是核心数学的重要组成部分.在20世纪的上半叶,相对

论和量子力学诞生,与之相应的黎曼几何?李群和泛函分析也属于那时的核

心数学范围.传统的函数论?数论等基本的数学工具,仍然是那时核心数学

的一部分.此时,组合拓扑学,以一般理想论为代表的抽象代数等,虽然并

不和数学内部需要相联系,却以旺盛的生命力迅速发展,也构成核心数学的

中坚.另一方面,盛极一时的射影几何学?特殊函数论?方程式论?四元数

解析等学科虽然是纯粹数学,但渐渐淡出核心数学的范围.到了20世纪下

半叶,电子计算机的出现导致数理逻辑?逼近论等学科的发展,与此同时,

微分几何学受到拓扑学的影响产生了整体微分几何,又和规范场论等数学物

理课题相结合,从非主流数学进入主流数学.微分方程求解历来是核心数学

的重要部分,流形上的分析?多元复分析?动力系统?指标定理等成为世人

关注的数学课题,受数学内部需要而发展的代数数论?代数几何,更以

费马大定理的证明而达到高潮.面向21世纪,基础数学的发展将会更快.

非线性数学问题?离散数学问题?解析数论?代数数论?代数几何?群与代

数及表示理论?流形与变形拓扑学?整体微分几何?随机分析和无穷维分析

以及应用数学?计算数学的基础理论等都将有更大发展.

核心数学的重大进展和其成果的实际应用都是难以预计的.核心数学课

题一旦有所突破,常常会产生不可估量的影响.如伽罗瓦提出的群论,源于

代数,后来扩展到几何变换群?拓扑学中的同伦群和同调群?微分方程中的

李群?有限群和典型群?物理学中的对称群?规范群,其覆盖面几乎是整个

数学.至于群论直接用于密码编制,成为一种特殊的数学技术,更是始料不

及了.

1.3 从数学计算到计算数学

德国著名数学家高斯幼年时代有一个脍炙人口的故事,当他还在念小学

一年级的时候,有24小时数学老师出了一道较复杂的计算题:

1+2+3+…+98+99