第3章耦合微带线3.1概述第1章主要对单根均匀微带线的特性和基本参量进行了讨论，并且曾经指出，由于微带线本身的结构特点以及高次波型的影响，微带电路各部分之间有可能存在耦合，因而降低了电路的性能。如果我们适当地选取微带线的参量，使高次波型不能存在，因此抑止了那些杂散的、无规律的耦合，而充分利用有规律的且其特性可以控制的耦合，则可以利用它来构成各种耦合微带线元件，其电性能和结构都很适合微带电路的要求。现在，这种元件已广泛应用于滤波器和定向耦合器中。因此本章将讨论耦合微带线的基本特性和等效电路，为以后章节讨论有关元件设计时打下一个基础。

图31耦合微带线

图31是耦合微带线的结构。两根相同参量的微带线相互隔开距离s平行排列，即构成了耦合微带线。这彼此耦合的两根线也并非参量必须相同，在带状线元件中，某些情况下是不同的； 但在微带线元件中，以相同情况为主，因此在下面均按相同微带线的耦合来进行分析。

上面说过，我们需要的是有规律、可以控制的耦合，这种耦合就是TEM波的耦合，或类似静电、静磁的耦合。更通俗地说，就是通过两根线之间的互电容和互电感进行耦合。如图32所示的那样，整个一对耦合线，成了彼此之间具有分布互电容和互电感的分布参数系统。图33则表示出耦合线的等效电路，其中的分布互电容和分布互电感分别表示两根线之间的电耦合和磁耦合。

图32微带线之间的电耦合和磁耦合

第3章 耦合微带线3.1概述第1章主要对单根均匀微带线的特性和基本参量进行了讨论，并且曾经指出，由于微带线本身的结构特点以及高次波型的影响，微带电路各部分之间有可能存在耦合，因而降低了电路的性能。如果我们适当地选取微带线的参量，使高次波型不能存在，因此抑止了那些杂散的、无规律的耦合，而充分利用有规律的且其特性可以控制的耦合，则可以利用它来构成各种耦合微带线元件，其电性能和结构都很适合微带电路的要求。现在，这种元件已广泛应用于滤波器和定向耦合器中。因此本章将讨论耦合微带线的基本特性和等效电路，为以后章节讨论有关元件设计时打下一个基础。

图31耦合微带线

图31是耦合微带线的结构。两根相同参量的微带线相互隔开距离s平行排列，即构成了耦合微带线。这彼此耦合的两根线也并非参量必须相同，在带状线元件中，某些情况下是不同的； 但在微带线元件中，以相同情况为主，因此在下面均按相同微带线的耦合来进行分析。

上面说过，我们需要的是有规律、可以控制的耦合，这种耦合就是TEM波的耦合，或类似静电、静磁的耦合。更通俗地说，就是通过两根线之间的互电容和互电感进行耦合。如图32所示的那样，整个一对耦合线，成了彼此之间具有分布互电容和互电感的分布参数系统。图33则表示出耦合线的等效电路，其中的分布互电容和分布互电感分别表示两根线之间的电耦合和磁耦合。

图32微带线之间的电耦合和磁耦合

图33耦合微带线的等效电路

耦合微带线上的电压和电流的分布远比单根线的情况复杂，因为单根传输线是孤立的分布参数系统，被激励后得到单一的电压波和电流波； 而耦合微带线除了也是分布参数外，还具有彼此间的耦合，因此两根线上的电压波和电流波有相互影响。例如，两根耦合线中的一根受到信号源激励时，其一部分能量将通过分布参数的耦合逐步转移到另一根线上，因为这个转移过程是在整个耦合长度上连续地进行，还受着各口所接负载的影响，并且被耦合线还将通过线间的耦合，又把部分能量“反转移”回到及时根线。因此耦合线上的电压电流分布规律，将是相当复杂的。怎样从复杂的耦合线问题中，找到较简单解决的方法，使之便于设计耦合线元件，关于非正弦波通过线性电路的问题，在这方面给我们以启发。一个复杂的周期振荡波形，根据谐波分析的方法，可分解成一系列的基波和谐波振荡分量之和； 而线性电路对一个总的信号的响应，等于其各个分量各自响应的总和。线性电路对诸谐波分量的响应是很容易求出的，迭加后就得到对复杂波形的总响应。这种把复杂的事物分解成各个简单的问题来逐个加以解决的办法，在解决耦合微带线问题时，也是行之有效的。这就是目前广泛应用的所谓“奇偶模参量法”。

图34耦合微带线段

耦合微带线包括相互耦合的两根微带线，共有四个引出口，是一个典型的四口网络，如图34所示。现在首先要解决的是，当对任意一个口(例如1口)以信号源加以激励时，通过长度为l的线间耦合，如何求得主线和辅线(即不接信号源的线)的各个引出口的响应？此时，考虑到耦合线结构的上下对称性，如果在1、4两口输入一对相互对称的信号(例如两个相同的电压U)，或者是一对相互反对称的信号(例如两个幅度相等、相位相反的电压U与-U)，则由于耦合线上电磁场分布的对称性，对偶模来说，两根线的电场是偶对称分布的，对于奇模，则是奇对称分布。总而言之，从电磁场的图形来说，是相同的，这就使上下两部分可在中心线上对称分开，只需研究一半即可。于是四口网络的问题就可作为二口网络来研究，比较简单地就能得到结果。我们把上述两种激励情况分别称为偶对称激励和奇对称激励，或称奇偶模激励。当然，奇偶模激励只是一种特殊情况，在一般情况下往往并不是奇偶模激励。但是在1、4口上，任意一对输入电压U1、U4，总可以分解成一对奇偶模分量，因而使U1等于两分量之和，U4等于两分量之差。如以U 表示等幅等相的偶对称激励电压(偶模分量)，U-表示等幅反相激励的电压分量(奇模分量)，则

U1=U U-

U4=U -U-(31)

因而得到

U =U1 U42

U-=U1-U42(32)

式(32)说明了任意一对输入电压U1和U4总可分解成一对U 和U-分量。在特殊情况下，当U4=0，相应于只在1口上接信号源激励时，则U =(U1 0)/2=U1/2，U-=(U1-0)/2=U1/2，即其奇偶模分量相等。必须指出，奇偶模激励时，耦合线上的状况及其参量是不相同的。因此，在分解成奇偶模分量以后，必须用奇偶模各自的参量进行电路分析，再把结果叠加而得到耦合线的解，其具体过程将在以后进行讨论。还应指出，并非只对耦合微带线才采取奇偶模的分析方法，对所有具有对称结构的四口网络(例如以后要提到的分支线定向耦合器)以及部分三口网络(例如以后要提到的三线功率分配器)，都可应用此方法，从而使分析过程大大简化。3.2均匀介质耦合微带线奇偶模激励下的微分方程上节曾经提到，应用奇偶模分析时，可以使过程简化。下面就来看耦合微带线工作于奇偶模激励状态下的特性以及奇偶模参量和线间耦合参量之间的关系。 由于耦合微带线系工作于部分充填介质的情况，其奇偶模工作状态比较复杂。为此，作为一个特例，我们先考虑均匀介质的情况(即全空间是单一介质)，就是把介质基片移去后的空气耦合微带线，然后再讨论加入非均匀介质所引起的影响。在单根微带线中，可以解传输线方程(或称长线方程)求得其基本特性和求出其基本参量，如特性阻抗、传播常数等。在耦合微带线中.也可用类似方法研究其特性。在这里，首先假定以下条件： (1) 线上为TEM波，即线间耦合等同于静电和静磁耦合。可以用互电容和互电感表示。其他各种高次波型的杂散耦合可以忽略不计； (2) 两根微带线的参量相同，结构对称； (3) 微带线置于空气中，因此系工作于均匀介质状态； (4) 微带线的损耗可忽略不计； (5) 耦合微带线只工作于偶模(或称同相型)及奇模(或称反相型)的工作状态。参照图33，给出下列耦合微带线的参量： Co、Lo为两根耦合微带线相隔无限远时，每根线的分布电容和分布电感，即相当于单根微带线的分布电容、分布电感。C、L为一根微带线的旁边有另一相同微带线与之耦合、但未被激励情况下的单根线的分布电容和分布电感。C、L虽然也是单根线的分布电容、分布电感，但由于另一根线的影响(因为另一根线的存在，显然使电磁场的分布变形)，和该线单独存在时的相应参量Co、Lo自然有所不同。Cm为两根微带线之间的耦合分布电容或互分布电容，表示两线间的电场耦合。Lm为两根微带线的耦合分布电感或互分布电感，表示两线之间的磁场耦合。CmC=KC称为电容耦合系数。LmL=KL称为电感耦合系数。根据上面给出的参量，并考虑到耦合线工作于奇偶模情况，可写出耦合线微分方程如下：

U1z LI1t LmI2t=0

I1z CU1t-CmU2t=0

U2z LI2t LmI1t=0

I2z CU2t-CmU1t=0(33)

图35耦合线上电压电流正方向的规定

其中，U1、I1、U2、I2分别为线1和线2上的电压和电流，如图35所示。z为沿线方向的坐标。在上述微分方程中，Lm及Cm前面的符号相反，这是因为电耦合和磁耦合具有相反的性质。例如对于偶模，如对线1、2上的电压、电流规定相同的正方向，则由磁耦合的特点，i2对时间变化率在线1上产生的互感电动势，和i1对时间变化率在线1上本身产生的自感电动势同方向，故两者取相同的符号； 而电压U2通过耦合电容Cm产生入线1的位移电流，U1本身通过线1自电容产生出线1的分路电流，二者方向正好相反。因此，在方程组(33)的(2)(4)式中，两位移电流方向彼此相反，上述关系对奇模也是一样。

在考虑到耦合线只工作于偶模和奇模时，线1和线2的电压、电流有下列关系

U1U2=I1I2=±1(34)

其中，比值1对应于偶模，比值-1对应于奇模。在此种情况下，求方程式(33)的特解时，考虑到式(34)所表示的两线间电压、电流之间的关系，以及KC、KL的定义，则方程(33)可简化为

Uz L(1±KL)It=0

Iz C(1KC)Ut=0(35)

和单根传输线的微分方程相比，只是方程后项的系数有了改变。对于偶模，分别以L(1 KL)及C(1-KC)代替原来的L、C； 对于奇模，则分别以L(1-KL)及C(1 KC)代替原来的L、C。在式(35)中，用类似于单根传输线微分方程的求解过程，可得出对奇偶模的入射波分量和反射波分量以及相应的相位常数和特性阻抗，它们分别为

k±=ωLC(1±KL)(1KC)(36)

在式(36)中括弧内取上面符号得到k ，为偶模的相位常数； 取下面符号得k-，为奇模的相位常数。于是根据相速vφ=ωk的关系，可求得奇偶模相速为

v±φ=1LC(1±KL)(1KC)(37)

同样也可求得奇偶模的特性阻抗，通常分别以Z0e(偶模)和Z0o(奇模)表示，它们分别为

Z0e=LC 1 KL1-KC

Z0o=LC 1-KL1 KC(38)

从式(38)可知，由于奇偶模是不同的激励，故此时每根线上的行波电压和行波电流情况不同，因而所得出的奇偶模特性阻抗也不同。在式(37)中，由于事先假定耦合线工作于TEM波的情况，故对于空气介质，奇偶模的相速均应等于光速，亦即

v φ=v-φ=c(39)

为了满足式(39)，在式(37)中，只有当KL=KC=K才有可能，亦即空气耦合微带线的电容耦合系数和电感耦合系数两者应该相等。此时式(37)成为

v±φ=c=1LC(1-K2)(310)

与此相应，奇偶模的特性阻抗为

Z0e=LC 1 K1-K=Z′01 K1-K(311)

Z0o=LC 1-K1 K=Z′01-K1 K(312)

其中，Z′0=L/C，为考虑到另一根耦合线影响时的单根线特性阻抗，它和孤立单线的特性阻抗Z0=L0/C0是不同的。现在考虑C0和C、L0和L以及Z0和Z′0之间的关系。由于孤立单线的相速为vφ=1/L0C0=c，应和式(310)得出的奇偶模相速相同，因此有

L0C0=LC(1-K2)(313)

而根据磁场分布的特点，当存在另一根线的耦合时，由于该线一般并非导磁体，其磁场分布图形受到影响不大，故可认为

L0≈L(314)

而电容的变化较大，因为导体对电场的分布影响比较显著，因而得

C=C01-K2(315)

故有

Z′0=LC=L0C0(1-K2)=Z01-K2(316)

因此奇偶模特性阻抗Z0o、Z0e又为

Z0e=Z′01 K1-K=Z0(1 K)(317)

Z0o=Z′01-K1 K=Z0(1-K)(318)

以上分别得出了Z0、Z′0，Z0e、Z0o四个不同的特性阻抗之间的关系。将式(317)和式(318)联立求解，得

Z0e Z0o=Z′20(319)

及

K=Z0e-Z0oZ0e Z0o(320)

此两式表明了Z0e、Z0o、Z′0及耦合系数K之间的关系，是十分重要的。式(319)说明了奇偶模特性阻抗虽然随耦合情况而变，但其乘积应等于存在另一根线的影响时的单线特性阻抗的平方。式(320)则更进一步说明了耦合系数和奇偶模特性阻抗的关系。由此可知，将耦合线分解成奇偶模，不仅使分析过程简化，而且的确说明了用奇偶模的特性参量是可以说明耦合特性的。式(320)表示当耦合越紧时，Z0e和Z0o之间的差值应越大； 反之则应越小。当耦合十分微弱，因而K→0时，则Z0o=Z0e。再考虑到式(319)，并注意当K→0时，Z′0=Z0，因而Z0o=Z0e=Zo。也就是说，当两根微带线相距较远，以致耦合相当微弱时，其奇偶模特性阻抗值就相互接近，并趋向于孤立单根微带线的特性阻抗。根据第1章中所指出的特性阻抗和分布电容的关系式(13)，奇偶模特性阻抗又可表为

Z0e=1v φC0e(321)

Z0o=1v-φC0o(322)

其中，v φ、v-φ分别为偶奇模相速，C0e、C0o则分别为偶、奇模激励时的单根线的分布电容。3.3非均匀介质的耦合微带线前节分析了均匀介质(空气介质)的耦合微带线情况。对于实际的微带线，由于存在介质基片而属于非均匀介质状态。这时微带线横截面空间分成空气及介质两部分，我们应考虑由此引起的影响。在讨论单根微带线时，曾提出过有效介电常数εe的概念，它表示了介质对微带的有效影响，并由εe可直接求得相速。对于耦合微带线，也可采用此概念，但耦合微带线和单根微带线有所区别。εe说明了电场在介质中和在空气中分布的相对比值。对于耦合微带线，其奇偶模电场分布很不相同(这一点在下节要讲到)，介质基片的引入对电场的影响也不相同，如仍采用有效介电常数这一参量，则相应于奇偶模的情况应有不同的值εeo和εee，因此奇偶模的相速就不会相等，即

v φ=cεee(323)

v-φ=cεeo(324)

其中，εee、εeo分别为偶奇模的有效介电常数。因v φ≠v-φ，故从式(36)，已不能推出KL=KC的关系，亦即KL≠KC。此时已不再存在一个统一的耦合系数K，而应分别考虑电感耦合和电容耦合两种情况。同时也不能用式(320)表示出KL、KC对Z0e、Z0o的关系。但如把奇偶模参量稍加改变，则仍可建立起它们之间的联系。假设令C0o(1)和C0e(1)分别为空气介质时的奇偶模分布电容，C0o(εr)和C0e(εr)分别为引入相对介电常数为εr的介质时的奇偶模分布电容，则在有介质基片存在时，其奇偶模特性阻抗为

Z0e=1v φC0e(εr)(325)

Z0o=1v-φC0o(εr)(326)

此时KL和空气介质的情况无差别，因为引入电介质时，对磁场分布毫无影响。故求KL时仍可按空气线考虑。如在式(320)中，按式(16)考虑到空气微带线的奇偶模特性阻抗和奇偶模分布电容C0o(1)、C0e(1)的关系Z0e=1cC0e(1)及Z0o=1cC0o(1),则KL可表示成

KL=LmL=C0o(1)-C0e(1)C0o(1) C0e(1)(327)

仿照式(327)，也可用奇偶模分布电容来表示存在介质基片的耦合微带线的电容耦合系数KC，但应该以C0o(εr)和C0e(εr)代替C0o(1)、C0e(1),C0o(εr)、C0o(εr)分别表示介质不均匀时的奇偶模分布电容。

KC=CmC=C0o(εr)-C0e(εr)C0o(εr) C0e(εr)(328)

式(327)和式(328)表示了介质不均匀的耦合微带线的耦合参量和奇偶模参量的关系。由于对一定的介质基片，在不同的耦合线尺寸参量时，可计算出C0o(1)、C0e(1)、C0o(εr)、C0e(εr)(下节要讨论到)，故可分别算出KL及KC。由于C0o(εr)=εe0C0o(1)，C0e(εr)=εeeC0e(1)而εeo-≠εee，故KL和KC也不相同。图36和图37画出了εr=9.6时，KL、KC对耦合微带线尺寸参量的关系曲线。

图36电感耦合系数和耦合微带尺寸的关系

图37电容耦合系数和耦合微带尺寸的关系

由上面分析也可知道，具有介质基片的耦合微带线，其奇偶模相速各不相同。这是一个缺点，因为这将使耦合微带线元件性能降低。当取此类元件的耦合段为某一电角度时，由于奇偶模相速的不同，因而使两者的电角度一般用角度θ表示，θ=2πlλ±g，其中l为耦合段的几何长度，λ g、λ-g分别为偶模，奇模的微带波长，两者不相等就不相同； 而一些元件则要求奇偶模的电角度都等于某个数值，因而由于不能同时满足而影响性能。为了设计这一类电路元件，我们折中照顾，而取奇偶模的平均有效介电常数εe为

εe=C0e(εr) C0o(εr)C0e(1) C0o(1)=εee C0o(1)C0e(1) εeo1 C0o(1)C0e(1)(329)

相应地，平均相速vφ为

vφ=cεe(330)

当耦合微带线的耦合度并不很大，以致奇偶模分布电容相差不大时，则式(329)变为

εe≈εee εeo2(331)

当εr=9.6时，根据式(329)算得的εe对微带线尺寸参量的关系曲线示于图38,εe也可近似地按式(331)计算。得出εe后，即可根据它计算电角度。

图38耦合微带线的平均有效介电常数

3.4耦合微带线的奇偶模参量以上几节讨论了耦合微带线的基本参量Z0e、Z0o、εee、ε0e、C0e(1)、C0o(1)、C0e(εr)、C0o(εr)等。现在讨论一下如何求出上述参量。首先看一看两根相同的微带线，彼此耦合，并且分别给以偶模激励及奇模激励时，其电场的分布图形。在偶模情况，两根微带线上具有数量相等、符号相同的电荷分布，因而其电力线构成一种相互排斥的偶对称分布。在奇模情况，则两根微带线上具有数量相等、符号相反的电荷分布，因而其电力线构成一种相互吸引的奇对称分布，如图39所示。

图39耦合微带线的偶模奇模电力线分布

对于图39的奇偶模电力线分布，如果在两线之间取一对称平面，则对于奇模，电力线和此中心面垂直。由于电力线总是和理想导体表面相互垂直(因为在理想导体表面，电场的切向分量为零)，因此奇模的中心面就可假想为一个理想导电平面，又可称为电壁。它和接地板相连后，可认为和接地板同电位。事实上，即使在此中心面的位置真正放置一导电平板，对奇模的电力线分布并没有影响，因为它对原来电力线的分布不产生扰动。因此，对于耦合微带线的奇模状况，相当于用一理想导电板将其两边隔开，得到对称的电力线结构，而只是电力线的方向相反而已。所谓奇模分布电容C0o就是用理想导电板把两边隔开后每一边的分布电容，也可看成是在单根微带线的一边把接地板延伸至原中心面的位置，使电力线的分布产生变化，此时的分布电容已不再和原来单根微带线相同，就成了奇模分布电容。可以看出，它比单根线的分布电容略大一些。再看偶模的电力线分布。此时中心面恰好和电力线平行，而电力线和磁力线是彼此垂直的，可知此时磁力线和中心面垂直(图上未画出磁力线)，按照和电场相同的考虑，由于理想导磁平面总是和磁力线相互垂直，故认为偶模情况下，中心面为一理想导磁平面或称磁壁。当然理想导磁面并不实际存在，但这样的假设，可以和导电面进行对比而有助于问题的解决。因为假设中心面为理想导磁面后，同样可将耦合微带线在中心面对半切开而成为两根相同的单根微带线。但此时的单根微带线已和原来的不同，等于在其侧边的中心面位置已置放了一理想导磁面。由于理想导磁面必须与磁力线垂直而和电力线平行，因此也改变了原来单根微带线的电场结构，好像用一块平板在微带线的一侧将电力线向导体带条方向压紧，此时的单根线分布电容，即为偶模分布电容。容易看出： 其结果是使偶模分布电容比原来单根线的分布电容要小一些。由上述物理概念可知,当单根微带线的侧边在垂直于接地板位置分别放一块理想导电面和理想导磁面时，求得的电容即分别为奇偶模分布电容。在空气介质的情况，求得C0o(1)，C0e(1)后，即很易算得奇偶模特性阻抗Z0o、Z0e。至于求C0o(1)和C0e(1)，是一给定理想导电面和理想导磁面边界的电磁场边值问题，同样可以用多角形变换的方法来求解。但因边界条件比孤立单线情况更为复杂，故求解过程比第1章中的单根空气微带线还要更烦琐一些。对具有介质基片的实用微带线结构，由于引入了介质，而且该介质对奇偶模的影响又有差异(这从图39中两种情况电力线分布的不同可很容易看出)，这样又使问题进一步复杂化。尽管如此，由于微带电路的迅速发展，在设计耦合微带线元件时又迫切需要奇偶模参量的设计数据，因此也促进了对奇偶模参量求解的研究。已经有人对此做了大量的工作，并用不同的方法(包括严格的求解和近似计算)得到了一些可用的结果。在目前的一些结果中，以应用介质边界格林函数积分方程所得到结果较为，应用其数据设计耦合微带线元件，其实验结果和理论计算也较符合。这种方法的大致物理概念是： 假设在耦合微带线的两根导体带条上，各加以单位偶模电压(即两根带条对接地板电