序言

第1章 镜子的独白 1

1.1 谁是老实人.1

1.1.1 镜子呀镜子.1

1.1.2 谁是老实人.3

1.1.3 相同的回答.7

1.1.4 回答是沉默.8

1.2 逻辑谜题.9

1.2.1 爱丽丝、博丽丝和克丽丝.9

1.2.2 用表格来想 10

1.2.3 出题者的心思 14

1.3 帽子是什么颜色 15

1.3.1 不知道 15

1.3.2 对出题者的验证 18

1.3.3 镜子的独白 19

第2章 皮亚诺算术 23

2.1 泰朵拉 23

2.1.1 皮亚诺公理 23

2.1.2 无数个愿望 27

2.1.3 皮亚诺公理.PA1.28

2.1.4 皮亚诺公理.PA2.29

2.1.5 养大 32

2.1.6 皮亚诺公理 PA3.34

2.1.7 小的？ 35

2.1.8 皮亚诺公理.PA4.36

2.2 米尔嘉 39

2.2.1 皮亚诺公理 PA5.42

2.2.2 数学归纳法 43

2.3 在无数脚步之中 49

2.3.1 有限？无限？ 49

2.3.2 动态？静态？ 50

2.4 尤里 52

2.4.1 加法运算？ 52

2.4.2 公理呢？ 53

第3章 伽利略的犹豫 57

3.1 集合 57

3.1.1 美人的集合 57

3.1.2 外延表示法 58

3.1.3 餐桌 60

3.1.4 空集 61

3.1.5 集合的集合 62

3.1.6 公共部分 64

3.1.7 并集 67

3.1.8 包含关系 68

3.1.9 为什么要研究集合 71

3.2 逻辑 72

3.2.1 内涵表示法 72

3.2.2 罗素悖论 74

3.2.3 集合运算和逻辑运算 77

3.3 无限 79

3.3.1 双射鸟笼 79

3.3.2 伽利略的犹豫 83

3.4 表示 86

3.4.1 归途 86

3.4.2 书店 87

3.5 沉默 88

第4章 无限接近的目的地 91

4.1 家中 91

4.1.1 尤里 91

4.1.2 男生的“证明” 92

4.1.3 尤里的“证明” 93

4.1.4 尤里的“疑惑” 96

4.1.5 我的讲解 97

4.2 超市 99

4.3 音乐教室 104

4.3.1 字母的导入 104

4.3.2 极限 106

4.3.3 凭声音决定音乐 108

4.3.4 极限的计算 111

4.4 归途 119

第5章 莱布尼茨之梦 123

5.1 若尤里，则非泰朵拉 123

5.1.1 “若……则……”的含义 123

5.1.2 莱布尼茨之梦 126

5.1.3 理性的界限？ 128

5.2 若泰朵拉，则非尤里 129

5.2.1 备战高考 129

5.2.2 上课 131

5.3 若米尔嘉，则米尔嘉 133

5.3.1 教室 133

5.3.2 形式系统 135

5.3.3 逻辑公式 137

5.3.4 “若……则……”的形式 140

5.3.5 公理 142

5.3.6 证明论 143

5.3.7 推理规则 145

5.3.8 证明和定理 147

5.4 不是我，还是我 149

5.4.1 家中 149

5.4.2 形式的形式 150

5.4.3 含义的含义 152

5.4.4 若“若……则……”，则…… 153

5.4.5 邀约 157

第6章 -δ语言 159

6.1 数列的极限 159

6.1.1 从图书室出发 159

6.1.2 到达阶梯教室 160

6.1.3 理解复杂式子的方法 164

6.1.4 看“值” 166

6.1.5 看“若……则……” 169

6.1.6 看“所有”和“某个” 170

6.2 函数的极限 174

6.2.1 -δ 174

6.2.2 -δ的含义 177

6.3 摸底考试 178

6.3.1 上榜 178

6.3.2 静寂的声音、沉默的声音 179

6.4 “连续”的定义 181

6.4.1 图书室 181

6.4.2 在所有点处都不连续 184

6.4.3 是否存在在一点处连续的函数 186

6.4.4 逃出无限的迷宫 187

6.4.5 在一点处连续的函数！ 188

6.4.6 诉衷肠 192

第7章 对角论证法 197

7.1 数列的数列 197

7.1.1 可数集 197

7.1.2 对角论证法 201

7.1.3 挑战：给实数编号 209

7.1.4 挑战：有理数和对角论证法 213

7.2 形式系统的形式系统 215

7.2.1 相容性和完备性 215

7.2.2 哥德尔不完备定理 222

7.2.3 算术 224

7.2.4 形式系统的形式系统 225

7.2.5 词汇的整理 229

7.2.6 数项 229

7.2.7 对角化 230

7.2.8 数学的定理 232

7.3 失物的失物 233

第8章 两份孤独所衍生的产物 239

8.1 重叠的对 239

8.1.1 泰朵拉的发现 239

8.1.2 我的发现 245

8.1.3 谁都没发现的事实 246

8.2 家中 247

8.2.1 自己的数学 247

8.2.2 表现的压缩 247

8.2.3 加法运算的定义 251

8.2.4 教师的存在 254

8.3 等价关系 255

8.3.1 毕业典礼 255

8.3.2 对衍生的产物 257

8.3.3 从自然数到整数 258

8.3.4 图 259

8.3.5 等价关系 264

8.3.6 商集 268

8.4 餐厅 272

8.4.1 两个人的晚饭 272

8.4.2 一对翅膀 272

8.4.3 无力考试 275

第9章 令人迷惑的螺旋楼梯 277

9.1 π弧度 277

9.1.1 不高兴的尤里 277

9.1.2 三角函数 279

9.1.3 sin45° 282

9.1.4 sin60° 286

9.1.5 正弦曲线 290

9.2 π弧度 294

9.2.1 弧度 294

9.2.2 教人 296

9.3 π弧度 297

9.3.1 停课 297

9.3.2 余数 298

9.3.3 灯塔 300

9.3.4 海边 303

9.3.5 消毒 304

第10章 哥德尔不完备定理 307

10.1 双仓图书馆 307

10.1.1 入口 307

10.1.2 氯 308

10.2 希尔伯特计划 310

10.2.1 希尔伯特 310

10.2.2 猜谜 312

10.3 哥德尔不完备定理 316

10.3.1 哥德尔 316

10.3.2 讨论 318

10.3.3 证明的概要 320

10.4 春天—形式系统 P.320

10.4.1 基本符号 320

10.4.2 数项和符号 322

10.4.3 逻辑公式 323

10.4.4 公理 324

10.4.5 推理规则 327

10.5 午饭时间 328

10.5.1 元数学 328

10.5.2 用数学研究数学 329

10.5.3 苏醒 329

10.6 夏天—哥德尔数 331

10.6.1 基本符号的哥德尔数 331

10.6.2 序列的哥德尔数 332

10.7 秋天—原始递归性 335

10.7.1 原始递归函数 335

10.7.2 原始递归函数(谓词)的性质 338

10.7.3 表现定理 340

10.8 冬天—通往可证明性的漫长之旅 343

10.8.1 整理行装 343

10.8.2 数论 344

10.8.3 序列 346

10.8.4 变量 符号 逻辑公式 348

10.8.5 公理、定理、形式证明 358

10.9 新春—不可判定语句 362

10.9.1 “季节”的确认 362

10.9.2 种子—从含义的世界到形式的世界 364

10.9.3 绿芽—p的定义 366

10.9.4 枝杈—r的定义 367

10.9.5 叶子—从 A1往下走 368

10.9.6 蓓蕾—从 B1开始往下走 369

10.9.7 不可判定语句的定义 369

10.9.8 梅花—.IsProvable(g).370

10.9.9 桃花—.IsProvable(not(g))的证明 372

10.9.10 樱花—证明形式系统 P是不完备的 374

10.10 不完备定理的意义 376

10.10.1 “‘我’是无法证明的” 376

10.10.2 第二不完备定理的证明之概要 380

10.10.3 不完备定理衍生的产物 383

10.10.4 数学的界限？ 384

10.11 带上梦想 386

10.11.1 并非结束 386

10.11.2 属于我 387

尾 声 391

后 记 395

参考文献和导读 399