及时部分数学学科知识

要成为一名合格的数学教师，首先必须具备系统的数学学科知识，能理解数学教材的内容和结构。因此，本教材的及时部分详细讲述要成为一名的初中数学教师所应具备的数学基础知识，帮助考生建立完善的知识结构，系统地把握数学专业知识。

本部分共分为三个模块：大学数学专业基础课程、高中数学学科知识和初中数学学科知识。其中大学数学专业基础课程包括数学分析、高等代数、空间解析几何，概率论与数理统计等内容；高中数学学科知识包括九章，分别讲解了集合、逻辑与算法初步，函数，不等式与数列，立体几何，解析几何，向量与复数，推理证明与排列组合，统计与概率，数学史等多方面的知识；初中数学学科知识包括四章：数与代数，图形与几何，统计与概率，综合与实践。

在历年考试中，本部分内容是考查的重点，其中大学数学专业基础课程是考查的重中之重，常以选择题、简答题、解答题等形式来考查。考生在学习该部分知识的时候，要注意多加练习，学以致用。

1.掌握数列极限与函数极限的定义。

2.求极限的方法，会判断函数间断点。

3.导数与微分的应用。

4.求解定积分与不定积分。

5.能够运用微积分基本定理求解问题。

1.本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。

2.在历年考试中，数列极限与函数极限、函数间断点的判断、一元函数导数与微分、定积分与不定积分是考查的重点，考生在复习这部分知识的时候，要注意多加练习，在掌握理论的基础上灵活运用。

及时节极限

一、实数的完备性

(一)实数的完备性

1.确界

确界：上确界与下确界统称为确界。1)上确界：设S为R中的一个数集。若数η满足：对一切x∈S，都有x≤η即η是S的上界；对任何?琢<η，存在x0∈S，使得x0>?琢，即η又是S的最小上界，则称数η为数集S的上确界，记作η=supS。2)下确界：设S为R中的一个数集。若数?孜满足：对一切x∈S，都有x≥?孜，即?孜是S的下界；对任何?茁>?孜，存在x0∈S，使得x0

2.单调数列

单调数列：若数列an的各项满足关系式an≤an+1，则an为递增数列；若数列an的各项满足关系式an≥an+1，则称an为递减数列，递增数列和递减数列统称为单调数列。

3.区间套

区间套：设闭区间列an，bn具有如下性质：an，bn?劢an+1，bn+1，n=1，2，…；(bn-an)=0，则an，bn为闭区间套，或简称区间套。

4.聚点

聚点：设S为数轴上的点集，?孜为定点(它可以属于S，也可以不属于S)。若?孜的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称?孜为点集S的一个聚点。

5.开覆盖

开覆盖：S为数轴上的点集，H为开区间的集合，即H的每一个元素是形如(?琢，?茁)的开区间。若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S。若H中开区间的个数是无限(有限)的，则称H为S的一个无限开覆盖(有限开覆盖)。

(二)关于实数完备性的六个基本定理

1.确界原理

确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

2.单调有界定理

单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限。

3.区间套定理

区间套定理：若an，bn是一个区间套，则在实数系中存在的一点?孜，使得?孜∈an，bn，n=1，2，…，即an≤?孜≤bn，n=1，2，…

4.有限覆盖定理

海涅-博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理：设H为闭区间a，b的任一(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖a，b。

5.聚点定理

魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。

6.柯西收敛准则

柯西(Cauchy)收敛准则：数列an收敛的充要条件是：对任意给定ε>0，存在N>0，使得当n，m>N时，有an-am<ε成立。

二、极限

(一)极限的定义

定义1：xn=A：?坌?着>0，?埚正整数N，当n>N时，有xn-A

若xn存在极限(有限数)，又称xn收敛，否则称xn发散。

定义2：f(x)=A：?坌?着>0，?埚正数X，当x>X时，有f(x)-A

类似可定义：f(x)=A，f(x)=A。

定义3：f(x)=A：?坌?着>0，?埚正数δ，当0

类似可定义f(x)当x→x0时右极限与左极限：

f(x0+0)=f(x)=A，f(x0-0)=f(x)=A。

(二)极限的基本性质与两个重要极限

1.数列极限的基本性质

性质1：(极限的不等式性质)设xn=a，yn=b，若a>b，则?埚N，当n>N时，xn>yn；若n>N时，xn≥yn，则a≥b。

性质2：(收敛数列的有界性)设xn收敛，则xn有界(即?埚常数M>0，xn≤M，n=1，2，…)。

2.函数极限的基本性质

性质1：(极限的不等式性质)设f(x)=A，g(x)=B，

若A>B，则?埚δ>0，当0g(x)；

若f(x)≥g(x)(0

[推论](极限的局部保号性)设f(x)=A，若A>0?圯?埚δ>0，当00；若f(x)≥0(0

性质2：(函数极限的局部有界性)设f(x)=A，则f(x)在x0的某空心邻域U0(x0，δ)=x|00，M>0，使得0

3.两个重要极限

=1，(1+)x=e((1+x)=e，=1)

(三)求极限的方法

求极限的方法很多，以下结合例题介绍几种常用的、简单的求极限的方法。

1.利用变量替换法与两个重要极限

[例题1]求w=x2(3-3)。

[解析]先改写成

w=·3(3-1)x(x+1)。

作变量替换，令t=3-1，则x→∞时t→0且x(x+1)=，于是

w=·3··ln3=ln3。

[例题2]求w=(+2)x。

[解析]这是1∞型极限，改写成w=2(1+2)x·22=2e。

2.利用等价无穷小因子替换

若x→a时，无穷小?琢(x)~?琢(x)，β(x)~β(x)，(即=1，=1)，则=。(等式两边其中之一极限存在或为∞，则另一边也是且相等)。

3.利用洛必达法则

[例题3]求w=。

[解析]先作恒等变形

w=，然后用等价无穷小因子替换：

x→0时，sin3x~x3，ln(1+)~~x2-sin2x，

于是w==·=2·。

用洛必达法则得

w=2=·=。

4.分别求左右极限的函数极限

[例题4]求下列极限f(x)：f(x)=arctan。

[解析]注意e=+∞，arctan=；e=0，arctan=-。则f(x)=·arctan=1·=，f(x)=·arctan=(-1)·(-)=。因此，f(x)=。

5.利用夹逼法

用夹逼定理求极限xn，就是要将数列xn放大与缩小成：zn≤xn≤yn，要想成功，必须是极限yn与zn会求且相等。

第二节函数连续性

一、连续性概念

1.若f(x)=f(x0)，称f(x)在x0连续。

2.若f(x)=f(x0)(f(x)=f(x0))，称f(x)在x=x0右(左)连续。

(单双侧连续性的关系)f(x)在x0连续?圳f(x)在x0既左连续又右连续。

3.若f(x)在(a，b)内任一点均连续，称f(x)在(a，b)内连续。

4.若f(x)在(a，b)连续，在x=a右连续，在x=b左连续，称f(x)在［a，b］上连续。