及时部分

数学学科知识

本教材的及时部分详细讲述要成为一名的高中数学教师所应具备的数学基础知识，帮助考生建立完善的知识结构，系统地把握数学专业知识。

本部分共分为两个模块：高等数学基础知识和高中数学学科知识。

在历年考试中，本部分内容是考查的重点，其中高等数学基础知识是考查的难点，常以选择题、解答题等形式来考查。考生在学习该部分知识的时候，要注意多加练习，学以致用。

1.数列极限与函数极限的定义、求极限的方法。2.函数连续性的概念及性质。3.导数与微分的概念及应用，微积分基本定理的应用。4.定积分与不定积分的计算。

及时节极限

一、实数完备性基本定理

1.确界原理

确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

2.单调有界定理

单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限。

3.区间套定理

区间套定理：若an，bn是一个区间套，则在实数系中存在的一点?孜，使得?孜∈an，bn，n=1，2，…，且an=bn即an≤?孜≤bn，n=1，2，…

4.有限覆盖定理

海涅－博雷尔(Heine－Borel)有限覆盖定理：设H为闭区间a，b的任一(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖a，b。

5.聚点定理

魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。

6.柯西收敛准则

柯西(Cauchy)收敛准则：数列an收敛的充要条件是：对任意给定ε>0，存在N>0，使得当n，m>N时，有an－am<ε成立。

二、极限

(一)极限的定义

定义1：xn=A：?坌?着>0，?埚正整数N，当n>N时，有xn－A

若xn存在极限(有限数)，又称xn收敛，否则称xn发散。

定义2：f(x)=A：?坌?着>0，?埚正数X，当x>X时，有f(x)－A

类似可定义：f(x)=A，f(x)=A。

定义3：f(x)=A：?坌?着>0，?埚正数δ，当0

类似可定义f(x)当x→x0时右极限与左极限：

f(x0＋0)=f(x)=A，f(x0－0)=f(x)=A。

(二)极限的基本性质与两个重要极限

1.数列极限的基本性质

性质1：(极限的不等式性质)设xn=a，yn=b，若a>b，则?埚N，当n>N时，xn>yn；若n>N时，xn≥yn，则a≥b。

性质2：(收敛数列的有界性)设xn收敛，则xn有界(即?埚常数M>0，xn≤M，n=1，2，…)。

2.函数极限的基本性质

性质1：(极限的不等式性质)设f(x)=A，g(x)=B，

若A>B，则?埚δ>0，当0g(x)；

若f(x)≥g(x)(0

[推论](极限的局部保号性)设f(x)=A，若A>0?圯?埚δ>0，当00；若f(x)≥0(0

性质2：(函数极限的局部有界性)设f(x)=A，则f(x)在x0的某空心邻域U0(x0，δ)=x|00，M>0，使得0

3.两个重要极限

=1，(1＋)x=e

((1＋x)=e，=1)

(三)求极限的方法

求极限的方法很多，以下结合例题介绍几种常用的、简单的求极限的方法。

1.利用变量替换法与两个重要极限

1.[2016年下半年真题]极限的值是()。

A.0B.1

C.eD.e2

[答案]D。解析：=1＋===e2。

2.[2016年上半年真题]极限(1+)的值是()。

A.eB.1

C.D.0

[答案]A。解析：

方法一：(1+)=(1+)===e。

方法二：(1+)=e=e=e=e=e=e=e。

2.利用等价无穷小因子替换

若x→a时，无穷小?琢(x)～?琢(x)，β(x)～β(x)，(即=1，=1)，则=。(等式两边其中之一极限存在或为∞，则另一边也是且相等)。

3.利用洛必达法则

4.分别求左右极限的函数极限

5.利用夹逼法

用夹逼定理求极限xn，就是要将数列xn放大与缩小成：zn≤xn≤yn，要想成功，必须是极限yn与zn会求且相等。

[2014年上半年真题]证明=1(a>0，a≠1)。

[解析]当a>1时，设=1＋hn(hn>0)那么有：a=(1＋hn)n=1＋nhn＋Ch＋…＋h≥nhn，?圯01，从而有=1，因==1，故=1；当a=1时，显然有=1。综上：当a>0时有=1。

第二节函数连续性

一、连续性概念

1.若f(x)=f(x0)，称f(x)在x0连续。

2.若f(x)=f(x0)(f(x)=f(x0))，称f(x)在x=x0右(左)连续。

(单双侧连续性的关系)f(x)在x0连续?圳f(x)在x0既左连续又右连续。

3.若f(x)在(a，b)内任一点均连续，称f(x)在(a，b)内连续。

4.若f(x)在(a，b)连续，在x=a右连续，在x=b左连续，称f(x)在［a，b］上连续。

二、函数连续性的判断

1.(连续性的四则运算法则)设f(x)，g(x)在x0连续，则f(x)±g(x)，f(x)·g(x)，f(x)/g(x)(g(x0)≠0)在x0也连续。

2.(复合函数的连续性)设u=?渍(x)在x=x0连续，y=f(u)在u=u0(u0=?渍(x0))连续，则f(?渍(x))在x=x0连续。

3.(反函数的连续性)设y=f(x)在区间Ix上单调且连续，则反函数x=?渍(y)也在对应的区间Iy=y∣y=f(x)，x∈Ix上连续且有相同的单调性。

三、连续函数的性质

性质1：设f(x)在x=x0连续，f(x0)>0，则?埚δ>0，当x－x0<δ时，f(x)>0。

性质2：(连续函数介值定理(中间值定理))设f(x)在a，b上连续，f(a)≠f(b)，则对f(a)与f(b)之间的任何数η，则必定?埚c(a

设f(x)在a，b上连续，又f(a)与f(b)异号，则?埚c∈(a，b)，使得f(c)=0(c称为f(x)的零点)。

性质3：(有界闭区间上连续函数的有界性)设f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b有界，即存在常数M>0，对任意x∈a，b，使得f(x)≤M。

性质4：(有界闭区间上连续函数存在较大、最小值)设f(x)在a，b上连续，则在a，b上必存在x1，x2，使得

f(x1)=f(x)(即?坌x∈a，b，f(x)≤f(x1))，

f(x2)=f(x)(即?坌x∈a，b，f(x)≥f(x2))。

四、一致连续性

1.一致连续的定义：设f为定义在区间I上的函数，若对任给的ε>0，存在δ=δ(ε)>0，使得对任何x′，x′′∈I，只要|x′-x′′|

|f(x′)-f(x′′)|

则称函数f在区间I上一致连续。

直观地说，f在I上一致连续意味着：不论两点x′与x′′在I中处于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可使|f(x′)-f(x′′)|

2.一致连续性定理：若函数f在闭区间[a，b]上连续，则f在[a，b]上一致连续性。