及时部分初中数学知识

及时节数与式

一、实数的相关概念

实数的分类如下图：

当然还可以分为正实数、零、负实数。有理数还可以分为正有理数、零、负有理数。

(一)数轴

数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中实现数形结合的载体。数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的。

(二)值

值的代数意义：|a|=a(a>0)0(a=0)-a(a

值的几何意义：一个数的值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。

(三)相反数、倒数

若a、b两个数互为相反数，则a+b=0。实数a的相反数记为-a。非零实数a的倒数记为，0没有倒数。若m、n两个数互为倒数，则m·n=1。

二、代数式

(一)代数式的分类

用加、减、乘、除、乘方和开方等运算符号连接数和字母而成的式子称为代数式，单独的一个数或者一个字母也是代数式。代数式的分类如下：

1.整式

整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。

2.分式

形如，A，B是整式，B中含有未知数且B不等于0的代数式叫作分式。其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。

3.无理式

含有关于字母开方运算的代数式，叫作无理式。如：。

4.方根与根式

数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a。a的n次方根记为(n为大于1的自然数)。作为代数式，称为根式，n称为根指数，a称为根底数。在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其值相同，符号相反。

5.二次根式

式子(a≥0)叫二次根式。(a≥0)是一个非负数。其中，a叫作被开方数。

(二)代数式有意义的条件

1.分式有意义的条件是分母不为零；

2.二次根式有意义的条件是被开方数(式)非负；

3.由实际应用中得到的代数式还要符合实际意义。

(三)代数式的运算

1.整式的加、减、乘、除运算及添括号、去括号法则。

2.分式的加、减、乘、除运算及分式的乘方。

3.二次根式的加、减、乘、除运算及二次根式的分母有理化。

4.代数式的恒等变形

添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法，乘法公式、因式分解是代数式恒等变形的工具。待定系数法、配方法也都可进行代数式的恒等变形。

5.代数式的化简求值

含有值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性；整式的化简求值常常要灵活运用配方法、换元法、整体代换思想和构造思想；分式的化简求值一般可对分子、分母的多项式因式分解、约分，再运用分式的性质化简计算；二次根式的化简求值一般应先考虑能否利用二次根式的性质、配方法、乘法公式等化简计算。

[例题1]试用?琢+?茁，?琢-?茁表示2?琢和?茁。

[解析]解法1：2?琢=2?琢+(?茁-?茁)=(?琢+?茁)+(?琢-?茁)，

?茁=·2?茁=［2?茁+(?琢-?琢)］=［(?琢+?茁)-(?琢-?茁)］=(?琢+?茁)-(?琢-?茁)。

解法2：设2?琢=k1(?琢+?茁)+k2(?琢-?茁)=(k1+k2)?琢+(k1-k2)?茁，

比较等式两边的各项系数可得：k1+k2=2，k1-k2=0。

∴k1=1，k2=1，，∴2?琢=(?琢+?茁)+(?琢-?茁)。

设?茁=m1(?琢+?茁)+m2(?琢-?茁)=(m1+m2)?琢+(m1-m2)?茁，

比较等式两边的各项系数可得：m1+m2=0，m1-m2=1，

m1=，m2=-，∴?茁=(?琢+?茁)-(?琢-?茁)。

解法1是利用拆项、添加括号的方法进行代数式的恒等变形，解法2是利用待定系数法进行代数式的恒等变形。

[例题2]计算÷·。

[解析]原式=÷·

=··

=。

对分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一成乘法，再进行约分化简。

第二节方程与不等式

一、方程

方程是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式。使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。

按照元与较高项次数的不同可以将方程分为几元几次方程，如：含有两个未知数且较高项次数为一次的方程叫作二元一次方程。

(一)一元一次方程的解法

去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(不含分母的项也要乘)；

去括号：先去小括号，再去中括号，去大括号(记住如括号外有减号的话一定要变号)；

移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号；

合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；

系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=。

(二)一元二次方程的解法

只含有一个未知数，未知数的较高次数是2，且较高次项系数不为0，这样的方程叫一元二次方程，一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，设其两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=。一元二次方程的解法如下：

1.直接开平方法

用直接开平方法解形如(x-m)2=n2(n≥0)的方程，其解是x=m±n。它的特征是：左边是一个关于未知数的平方数，右边是一个非负数。符合这个特征的方程就可以利用直接开平方法。

2.配方法

用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步骤是：化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；配方，即方程两边都加上一次项系数值一半的平方；化方程为(x+m)2=n的形式；如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n