专题一数学分析

1.数列极限、函数极限的含义和运算；2.函数连续性的概念性质和判断方法，函数的一致连续；3.导数的概念及应用，微分的概念；4.微分中值定理；5.积分的定义，定积分和不定积分的计算；6.函数列的一致收敛的定义及判定。

数列极限、函数极限的计算；函数连续性的判定，函数连续性的性质；微分中值定理。

函数极限和函数连续的综合考查，微分中值定理。

1.函数f(x)=1+x++的图象与x轴交点的个数是()。(2012年下半年真题)

A.0B.1

C.2D.3

[答案]B。解析：∵f′(x)=0+1+x+x2=(x+)2+>0，∴函数f(x)单调递增。又f(0)=1，f(-2)=-，∴函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点。故选B。

2.若f(x)为(-l，l)内的可导奇函数，则f′(x)()。(2012年下半年真题)

A.是(-l，l)内的偶函数B.是(-l，l)内的奇函数

C.是(-l，l)内的非奇非偶函数D.可能是奇函数，也可能是偶函数

[答案]A。解析：因为f(-x)=-f(x)，所以f′(-x)==

===f′(x)

因此，f′(x)是偶函数。

3.设｛an｝为数列，对于"存在正数M，对任意正整数n，有an≤M"的否定(即数列｛an｝无界)是()。(2012年下半年真题)

A.存在正数M，存在正整数n，使得an>M

B.对任意正数M，存在正整数n，使得an>M

C.存在正数M，对任意正整数n，有an>M

D.对任意正数M，以及任意正整数n，有an>M

[答案]B。解析：对任意正数M，存在正整数n，使得an>M，则称数列｛an｝无界。

4.极限xe-1的值是()。(2013年下半年真题)

A.－1B.0

C.1D.正无穷

[答案]C。解析：xe-1===e=1，故选C。

5.定积分dx的值是()。(2013年下半年真题)

A.πB.π

C.πD.π

[答案]A。解析：运用定积分换元法。∵dx=dx，

∴令x-3=5sint-≤t≤0，则t=arcsin。==5=5cost，dx=5costdt，

∴dx=dx=52cos2tdt=t+=，故选A。

6.曲线y=x3＋x＋1在点(1，3)处的切线方程为()。(2014年上半年真题)

A.y=2x＋1B.y=4x－1

C.y=4x＋2D.y=3x

[答案]B。解析：先求出y=x3+x+1在点(1，3)处切线的斜率为4，再根据过(1，3)，得到切线方程为y=4x-1。

7.积分dx的值是()。(2014年上半年真题)

A.1B.

C.D.

[答案]B。解析：由定积分的几何意义很容易得到。

8.若函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，且x∈(a，b)时，f′(x)>0，又f(a)<0，则()。(2014年下半年真题)

A.f(x)在［a，b］上单调递增，且f(b)>0

B.f(x)在［a，b］上单调递减，且f(b)<0

C.f(x)在［a，b］上单调递减，但f(b)的正负无法确定

D.f(x)在［a，b］上单调递增，但f(b)的正负无法确定

[答案]D。解析：因为f(x)在(a，b)内连续可导，且f′(x)>0，所以f(x)在[a，b]上单调递增，但f(b)的正负无法确定。

9.函数列｛fn(x)｝与函数f(x)都在闭区间［a，b］有定义，则在［a，b］上｛fn(x)｝一致收敛于f(x)的充要条件是()。(2014年下半年真题)

A.?坌?着>0，?坌x∈［a，b］，?埚正整数N，使得当n>N时，有fn(x)-f(x)

B.?坌?着>0，?埚x0∈［a，b］，?埚正整数N，使得当n>N时，有fn(x0)-f(x0)

C.?埚正整数N，?坌?着>0，?埚x0∈［a，b］，使得当n>N时，有fn(x0)-f(x0)

D.?坌?着>0，?埚正整数N，使得当n>N时，?坌x∈［a，b］，有fn(x)-f(x)

[答案]D。解析：由一致收敛的定义得出。

10.与命题"y=f(x)在x0连续"不等价的命题是()。(2015年上半年真题)

A.对任意数列｛xn｝，xn→x0，有f(xn)=f(x0)

B.?坌?着>0，?埚?啄>0，使得?坌x-x0

C.存在数列｛xn｝，xn→x0，有f(xn)=f(x0)

D.对任意数列｛xn｝，xn→x0，?坌?着>0，?埚N，?坌n>N有f(xn)-f(x0)

[答案]C。解析：设函数f(x)=1，x为有理数0，其他，xn=；则有xn→，f(xn)=f()=1，但是f(x)处处不连续。

11.三次函数y=ax3＋bx2＋cx＋d的导函数图象如下图：

则此三次函数的图象是()。(2015年上半年真题)

A.B.

C.D.

[答案]B。解析：若f(x)在某个区间I内有导数，则f′(x)≥0，(x∈I)?圳f(x)在I内为增函数；f′(x)≤0，(x∈I)?圳f(x)在I内为减函数。结合图中导函数的函数值从左到右依次大于0、小于0、大于0，因此原函数图象从左到右变化趋势依次是单调递增、单调递减、单调递增。因此选B。

12.已知数列｛an｝与数列｛bn｝，n=1，2，3，…则下列结论不正确的是()。(2015年下半年真题)

A.若对任意的正整数n，有an≤bn，an=a，bn=b，且b<0，则a<0

B.若an=a，bn=b，且存在正整数N，使得当n>N时，an≥bn则a≥b

C.若an=a，bn=b，且a

D.若对任意的整数n，有an≥bn，an=a，bn=b，且b>0，则a>0

[答案]C。解析：取an=，bn=1-，an=0，bn=1，0<1，而a1=1>b1=0，a2=b2=，因此C的结论不正确。

13.函数级数xn的收敛区间为()。(2015年下半年真题)

A.(－1，1)B.(1，1］C.［－1，1)D.［－1，1］

[答案]A。解析：由已知得级数的收敛半径为r===1，又当x=1时级数1n发散，当x=-1时级数(-1)n发散，故选A。

14.极限(1-)的值是()。(2016年上半年真题)

A.0B.1C.eD.

[答案]B。解析：(1-)=e=e=e0=1。故选B。