专题一数学分析

数列极限、函数极限的含义和运算；函数连续性的概念性质和判断方法，函数的一致连续；导数的概念及应用，微分的概念；微分中值定理；积分的定义，定积分和不定积分的计算；级数的收敛性；函数列的一致收敛的定义及判定。

数列极限、函数极限的计算；函数连续性的判定，函数连续性的性质；微分中值定理；级数的收敛性。

函数极限和函数连续的综合考查，微分中值定理。

1.设f(x)=x2-2x+2，x>1，1，x≤1，则f(x)在x=1处()。(2012年下半年真题)

A.不连续B.连续，但不可导

C.连续，且有一阶导数D.有任意阶导数

[答案]C。解析：由f(1+0)=(x2-2x+2)=1=1=f(1-0)，可知f(x)在x=1处连续；又f′(1+0)=(2x-2)x=1=0=f′(1-0)，且f″(1+0)=2≠0=f″(1-0)，则f(x)在x=1处有一阶导数。故选C。

2.设｛an｝为数列，A为定数。对于"对任意ε>0，存在正整数N，当n>N时，有an-A<ε"的否定(即an≠A)是()。(2012年下半年真题)

A.存在ε>0，对任意正整数N，存在n>N，使得an-A≥ε

B.对任意ε>0，存在正整数N，当n>N时，有an-A≥ε

C.对任意ε>0，以及任意正整数N，当n>N时，有an-A≥ε

D.存在ε>0，存在正整数N，存在n>N，有an-A≥ε

[答案]A。解析：若存在ε>0，对任意正整数N，存在n>N，使得an-A≥ε，则称数列｛an｝的极限不是A，即an≠A，故选A。

3.函数f(x)=1+x++的图象与x轴交点的个数是()。(2012年下半年真题)

A.0B.1C.2D.3

[答案]B。解析：∵f′(x)=0+1+x+x2=(x+)2+>0，∴函数f(x)单调递增。又f(0)=1，f(-2)=-，

∴函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点。故选B。

4.设函数f(x)=tln(2+t2)dt，则f′(x)的零点个数为()。(2013年上半年真题)

A.0B.1C.2D.3

[答案]B。解析：由函数f(x)=tln(2+t2)dt得f′(x)=xln(2+x2)，f″(x)=ln(2+x2)+，显然f″(x)>0，所以函数f′(x)是增函数。又因为当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0，所以函数f′(x)只有一个零解。

5.在下列四个命题的证明中，极限a=1(a>0，a≠1)起重要作用的是()。(2013年上半年真题)

A.正弦函数连续B.指数函数连续

C.多项式函数连续D.(1+)n=e

[答案]D。解析：正弦函数连续的证明主要用正弦函数的和差化积公式，再结合夹逼法则进行证明；指数函数y=ax连续的证明用到了ax=1=a0；多项式函数连续的证明，用到了左极限=右极限=函数值，及连续函数四则运算。

6.光滑函数f(x)的图象如图所示，下列关系式正确的是()。(2013年下半年真题)

A.0

C.0

[答案]B。解析：从图形看可以看做抛物线：y2=2px(x>0，y>0)。由于是选择题，为了方便令p=1，则y=f(x)=，由于光滑则可导得到f′(x)=。结合选项，先求出：f′(2)=，f′(3)=，f(2)=，f(3)=，则通过计算可以得到：f′(2)>f′(3)，f′(3)=

7.曲线y=x3＋2x－1在点(1，2)处的切线方程为()。(2014年上半年真题)

A.5x－y－3=0B.14x－y－12=0

C.5x＋y－3=0D.14x＋y－12=0

[答案]A。解析：由已知得y′=3x2＋2，则其在(1，2)处切线的斜率为k=5，又切线过点(1，2)，则其方程为5x－y－3=0。

8.若在［a，b］上连续，在(a，b)可导，则在(a，b)内()。(2014年上半年真题)

A.至少存在一点?灼，使f′(?灼)=0C.一定不存在一点?灼，使f′(?灼)=0

B.至多存在一点?灼，使f′(?灼)=0D.不一定存在一点?灼，使f′(?灼)=0

[答案]D。解析：由罗尔中值定理可得：若函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在?灼∈(a，b)，使f′(?灼)=0，而当f(a)≠f(b)时，则不一定。故选D。

9.已知f(x)dx=0，且f(x)在［a，b］连续，则在［a，b］上()。(2014年上半年真题)

A.f(x)=0B.必存在x使f(x)=0

C.存在的x使f(x)=0D.不一定存在x使f(x)=0

[答案]B。解析：f(x)dx=0可知f(x)的原函数F(x)在区间［a，b］的端点值相同即F(a)=F(b)，又f(x)在［a，b］上连续，F(x)在(a，b)上可导，所以?埚x0∈(a，b)使F′(x0)=f(x0)=0。所以选B。

10.函数列｛fn(x)｝与函数f(x)是在闭区间［a，b］上有定义，则在［a，b］上｛fn(x)｝一致收敛于f(x)的充要条件是()。(2014年下半年真题)

A.?坌?着>0，?坌?着∈［a，b］，?埚正整数N，使得当n>N时，有fn(x)-f(x)

B.?坌?着>0，?埚x0∈［a，b］，?埚正整数N，使得当n>N时，有fn(x0)-f(x0)

C.?埚正整数N，?坌?着>0，?埚x0∈［a，b］，使得当n>N时，有fn(x0)-f(x0)

D.?坌?着>0，?埚正整数N，使得当n>N时，?坌x∈［a，b］，有fn(x)-f(x)

[答案]D。解析：根据函数的一致收敛定义可得。

11.与命题"y=f(x)在x0连续"不等价的命题是()。(2015年上半年真题)

A.对任意数列｛xn｝，xn→x0，有f(xn)=f(x0)

B.?坌?着>0，?埚?啄>0，使得?坌x-x0

C.存在数列｛xn｝，xn→x0，有f(xn)=f(x0)

D.对任意数列｛xn｝，xn→x0，?坌?着>0，?埚N，?坌n>N有f(xn)-f(x0)

[答案]C。解析：设函数f(x)=1，x为有理数0，其他，xn=；则有xn→，f(xn)=f()=1，但是f(x)处处不连续。

12.三次函数y=ax3＋bx2＋cx＋d的导函数图象如下图

则此三次函数的图象是()。(2015年上半年真题)

A.B.

C.D.

[答案]B。解析：若f(x)在某个区间I内有导数，则f′(x)≥0，(x∈I)?圳f(x)在I内为增函数：f′(x)≤0，(x∈I)?圳f(x)在I内为减函数。结合图中导函数的函数值从左到右依次大于0、小于0、大于0，因此原函数图象从左到右变化趋势依次是单调递增、单调递减、单调递增。因此选B。

13.已知数列{an}与数列{bn}，n=1，2，3…，则下列结论不正确的是()。(2015年下半年真题)

A若对任意的正整数n，有an≤bn，an=a，bn=b，且b<0，则a<0

B.若an=a，bn=b，且a

C.若an=a，bn=b，且存在正整数N，使得当n>N时，an≥bn则a≥b

D.若对任意的整数n，有an≥bn，an=a，bn=b，且b>0，则a>0

[答案]B。解析：取an=，bn=1-，an=0，bn=1，0<1，而a1=1>b1=0，a2=b2=，因此B的结论不正确。

14.函数级数xn的收敛区间为()。(2015年下半年真题)

A.(-3，3)B.(-，]C.[-，)D.[-3，3]

[答案]C。解析：由已知得级数的收敛半径为r==，又当x=时级数发散，当x=

-时级数(-1)n收敛，故选C。