正与反正与负

奇与偶，有界与无界，善与恶，左与右，一与多，雄与雌，直与曲，正方与长方，亮与暗，动与静。

你也许会问，上面写的这10个对立的概念是什么意思?

原来，两千多年前，古希腊有个著名学派叫做"毕达哥拉斯学派"，这个学派的创始人是西方历史上著名的数学家和哲学家毕达哥拉斯。这个学派对数学的发展做出了重要贡献，上面写的这10个对立的概念就是他们提出的，他们认为整个宇宙能用这10个对立的概念来描述。

看来，两千多年前人们就知道，世界是由许许多多相互矛盾的事物组成的。你要认识这个世界，改造这个世界，就要从这些相互矛盾的事物入手。既然这是万物的普遍规律，那么，数学也要遵守。在本书中，我们来专门研究数学中的各种矛盾，研究这些矛盾在数学发展中的作用。

任何学科的发展都离不开问题和矛盾。德国著名数学家希尔伯特说，如果一门学科没有了问题，就意味着这门学科即将死亡!

负数的发现

人们在生活中经常会遇到各种具有相反意义的量。比如，在记账时有余有亏；在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食。为了方便，人们就考虑用具有相反意义的数来表示。于是，人们引入了正负数这个概念，把余钱、进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。可见，正负数是在生产实践中产生的。

据史料记载，早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。那时候还没有纸，人们在计算时用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算。比如，356摆成，3056摆成，等等。这些小竹棍叫做"算筹"，算筹也可以用骨头和象牙来制作。

我国三国时期的学者刘徽在建立正负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说："今两算得失相反，要令正负以名之。"意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。

刘徽及时次给出了区分正负数的方法。他说："正算赤，负算黑；否则以邪正为异。"意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。

刘徽及时次给出了值的概念。他说："言负者未必负于少，言正者未必正于多。"意思是说，负数的值不一定小，正数的值不一定大。

我国古代著名的数学专著《九章算术》(成书于公元一世纪)中，最早提出了正负数加减法的运算法则："正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。"这里的"名"就是"号"，"除"就是"减"，"相益"、"相除"就是两数的值"相加"、"相减"，"无"就是"零"。

用现在的话解释就是："正负数的加减法则是：同符号两数相减，等于其值相减；异符号两数相减，等于其值相加。零减正数得负数，零减负数得正数。异符号两数相加，等于其值相减；同符号两数相加，等于其值相加。零加正数得正数，零加负数得负数。"

这段关于正负数加减法的叙述是正确的，它的方法与现在一致!负数的引入是我国古代数学家的杰出创造之一。

用不同颜色的数来表示正负数的习惯，一直保留到现在。现在一般用红色表示负数，报纸上有时登载某国经济上出现"赤字"，这表明这个国家支出大于收入，财政上亏了钱。

负数是正数的相反数。在实际生活中，我们经常用负数和正数来表示意义相反的两个量。夏天你从电视屏幕上看到武汉的气温高达42℃，你会想到武汉真是一个名副其实的大火炉；冬天你会看到哈尔滨低气温达-32℃，一个负号使你不寒而栗!

勇敢的消防队员

负数是作为和正数有相反意义的量而引入的，负数从一开始和正数就是一对矛盾。

在许多书上是这样引入负数的。把北京市的东西长安街看作一条数轴，天安门作为原点。把从天安门向东算作正方向，向西算作负方向。一个人从天安门向东走了4000米，可以说是走了正4000米，记作+4000米；如果向西走了4000米，就说走了负4000米，记作-4000米。这里的正、负只表示两个相反的方向，至于把哪个方向算作正方向，哪个方向算作负方向，则是无所谓的。

正数和负数只有引进了运算，才能显示它们的作用。请看下面的例子：

有一栋3层高的楼房失火了，一位消防队员搭上梯子，要爬到3层楼上去抢救贵重仪器。当他爬到梯子正中一级时，二楼的窗户喷出火来，他往下退了3级；等火过去了，他又向上爬了7级；这时屋顶有一块砖掉下来，他又往后退了2级；幸亏砖没有打着他，他又向上爬了6级。这时他距离较高一层还有3级。请问，这个梯子一共几级?

把梯子正中一级作为计算的起点，向上爬的级数为正数，往下退的级数为负数。由于梯子有正中一级，说明梯子的级数是奇数。先计算梯子正中一级以上的级数(正中一级不算)：

(-3)+(+7)+(-2)+(+6)+(+3)=+11，则梯子的总级数为211+1=23(级)。

在进行正负数的运算时，值相同的正负数可以相互抵消，所以这道题运算起来很方便。

不要以为只有出现上和下、左和右的时候，才能用上正负数。事实上，只要是意义相反的两个量，都可以用正负数来进行计算。

再看一个例子：

放下软梯

小虎和小军到神秘岛去探险。天快黑了，路却越来越难走。走着走着，小虎大叫一声掉下了悬崖，小军急忙用手去拉。可由于小虎下滑的速度太快，小军不仅没把小虎拉上来，自己反而也跟着掉下了悬崖。

"扑通"一声，两人一起掉到了崖底。还好，他们掉在厚厚的草丛上，没怎么摔伤。

"哎呀，疼死我啦!"小虎两手揉着腰说，"怎么上去呀?"

小军慢慢爬起来，摸着摔痛的胳膊，看了看四周。忽然，他发现半空中吊着一副软梯!

"小虎快看，软梯!"小军高兴得大叫。

可是，软梯距头顶有3米高，够不着。咦，软梯下面还垂着一个圆盘，刚好手能够得着。小军走上前，仔细看了看圆盘，发现圆盘的一面有16个钥匙孔，这些钥匙孔从1到16都编了号，中间有一把钥匙。

"一把钥匙，却有16个钥匙孔，什么意思?"小军摇摇头说。

小虎走过来："翻过来，看看后面有什么?"

小军把圆盘翻过来，发现圆盘后面刻着字，上面写着：

从1开始(孔1不算，下同)，按顺时针方向数289个孔，从那个孔开始再按逆时针方向数578个孔，再按顺时针方向数281个孔，可得一孔，用中间的钥匙开此孔，软梯可自动放下。

小军说："咱们开始数孔吧!"

"慢着!"小虎说，"这样一个一个数，一千多个孔，什么时候才能数完哪?"

"那可怎么办?"小军低着头想。突然，小军说："有办法了。转一圈有16个孔，如果要计算转几圈又剩下几个孔时，可以用16去除，求它的商和余数。"说着就在地上算了起来：

289÷16=18……1

"这个式子表明，顺时针数289个孔，需要顺时针转18圈，再多数一个孔，也就是落在2号孔上。可以这样继续往下算，从2开始，逆时针转578个孔，就是……"小军说着又写出一个式子：

578÷16=36……2

"等于从2号孔开始逆时针转36圈，再逆时针方向数2个孔，落在16号孔上。"

小军接着往下做：

281÷16=17……9

……