及时部分数学学科专业知识

一、集合

(一)集合的基本概念

1.集合的含义

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2.集合中的元素的三个特性

元素的确定性如：世界上最长的河流；

元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合｛H，A，P，Y｝；

元素的无序性如：｛a，b，c｝和｛a，c，b｝是表示同一个集合。

3.集合的表示

用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝，B=｛1，2，3，4，5｝。集合的表示方法：列举法、描述法与图示法。

(1)列举法：｛a，b，c…｝；

(2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。例如｛x∈R|x－3>2｝；

(3)语言描述法：例如｛不是直角三角形的三角形｝；

(4)Venn图，也叫文氏图，它既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的相互关系。如图1-1-1。

图1-1-1Venn图

常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作N，正整数集记作N?鄢或N＋，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。

4.集合的分类

有限集：含有有限个元素的集合；

无限集：含有无限个元素的集合；

空集：不含任何元素的集合记为。例如｛x|x2=－5，x∈R｝。

(二)集合间的基本关系

全集：一般地，如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就称这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?哿B，读作"A包含于B"。

真子集：如果A?哿B，且A≠B，那就说集合A是集合B的真子集，记作A?芴B(或B?芡A)。

反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作A?芫B或B?芸A。

由上述集合间的基本关系，可以得到下列结论：

(1)任何一个集合是它本身的子集即A?哿A。

(2)对于集合A，B，C，如果A?哿B，且B?哿C，那么A?哿C。

(3)如果A?哿B且B?哿A，那么A=B。

(4)空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

(5)有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集。

(三)集合的运算

表1-1-1集合的运算

二、简易逻辑

(一)逻辑联结词

1."或""且""非"这些词叫作逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词"或""且""非"构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p或q(记作p∪q)；p且q(记作p∩q)；非p(记作?劭p)。

逻辑联结词"或"可以与集合中的"并"相联系，CU(A∪B)=CUA∩CUB。

逻辑联结词"且"可以与集合中的"交"相联系，CU(A∩B)=CUA∪CUB。

逻辑联结词"非"可以与集合中的"补"相联系，CUA=｛x|x∈U，且x?埸A｝。

2."或""且""非"的真值判断

(1)"非p"形式复合命题的真假与p的真假相反；

(2)"p且q"形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假；

(3)"p或q"形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真。