阅读指南

我们力图确保本书能够覆盖大学高年级、研究生初级的相关数学课程，同时，也包含了大多数经济学博士生应该掌握的基本内容；我们潜在的读者是经济学家，由此，我们也试图确保所应用的经济学例题尽可能地具有前沿性，并强调其尽可能的类比性。

在这种思路下，对于要如何实现本书这种整体性构建，我们设想应该这样达成。首先，我们给出各个章节内容的总体概述与主要理论点，可以确信，本书及时章至第五章的内容，能够构成一个经济数学高年级课程的基础。其次，相关的教学经验表明，如果再加上6.1和6.5的内容，将能够为研究生的培养提供一个非常丰富、更加完善的数学基础；本书余下的部分，对于数理经济学的高级课程教学，特别是那些有志于成为计量经济学家或相关经济学领域理论家的学生，应该是一个相当不错的设计。

各章概要

及时章：逻辑。主要是讨论如何将一般逻辑陈述归纳为一种关于集合关系的命题系统，比如，我们要说明为什么"如果有A，则B"的命题就等价于"A是B的一个子集"，或者"存在一个A中的x使得B关于它的命题为真"的陈述等价于"A与B具有非零的交集"。如果本书像我们所希望的，达到了编写立意的目标，学生们就能够对于经济学文献中的结论给出一种清晰的解析，以至于洞识潜藏在这些逻辑背后的子集合之间的关系。

第二章：集合论。将解释如何对于集合进行运算和比较，具体地，我们将从关系的概念先开始讨论，关系就是一个集合的子集；函数、对应与等价关系只是特殊关系的简单案例。我们还要证明理性选择理论如何被形式化为偏好关系上的诸种条件(如完备性、传递性等)；关系，可以用不同的方式对集合进行排序，比如，格就是如此；运用格的概念，我们引入了单调比较静态分析，还有归功于塔尔斯基的"单调"不动点定理。随后，我们将转向集合的大小、以及区分无限可数与不可数集合的研究；基于无限、极限的相关概念，我们要试图去掌握相关的应用，而这里的关键性假设便是著名的选择性公理；这实质上等价于某一类较大(最小)元素的存在性问题，一个著名的结论则是佐恩引理。

第三章：实数空间。一维的实数线(记为 )是数学中(即使低年级的数学专业学生也要理解的)最基本的空间，它是我们用来测度数量的工具。与沿袭经典的公理化构建实数的方法不同，我们强调由于有理数具备了所谓的"稠密性"，即使有理数空间之中就存在着许多"洞"，它也为测度数量提供了一个优良的体系。在有理数空间中，我们采用通常的方法来测度距离，即欧几里德定义的，通过差 的值来度量距离；然后，我们将证明：如何通过给有理数空间增加新的点，来表达一个的近似的结论，即一个被称为"完备性"的性质。要表达一个问题的解概念，完备性是一个关键的性质；特别是，我们可以构建一个近似解的序列，如果空间是完备的，由于序列变得越来越紧密(比如一个柯西列)，该序列的极限是存在的，以致于这个近似序列的极限就是原问题的一个解。对于经济学而言，实数完备性的另一个重要的性质，便是较大化元素的存在性。

第四章：实向量的有限维度量空间。对于年轻的经济学家来说，这将是我们介绍的两章学习内容。这里隐含的集合便是在第三章构建的维度为l的实数向量的集合(记为 )。这里，有许多"常用的方法"测度两点之间的距离，但其内涵的共同特性，即某种"度量"或者说一个距离函数的概念，将我们带入了一个新的领域；后者，则是我们在本书其余部分要贯穿研究的主题——如何度量距离。除了类比于l-维欧几里德距离的概念，基于对应元素的差的平方和的平方根，我们给出了距离函数、或者说度量的另一种关于距离的对应定义："对应元素差的值之和"，这也被称为 度量；并且，"对应元素差的值的较大值"被称为上确界范数度量。除了第三章一直强调的完备性，这一章还要聚焦于紧致性与连续性；对于经济学家们常常考虑的规划问题，无论是静态、还是动态的数学模型，这些性质都能够确保解的存在性。实际上，许多关于解的存在性的结论，都可以在一种涉及中值定理的简洁应用中得以更简单的理解。

第五章：有限维凸分析。这是我们第二个要介绍的对于年轻的经济学家来说，必须掌握的两章学习内容之一。许多经济学问题都被归纳为，求解某个被一系列等式给予很好定义的经济化问题的解。化问题也由此往往被写成如何在一个紧凸集上(比如预算约束)较大化一个连续函数(比如效用函数)的数值问题；我们的讨论将从最基本的可分离性定理(其对于证明第二福利经济学定理是充分的)开始，它给出了一种恰当的方法，如何用一个处于"对偶空间"(或者共轭空间)的线性函数来将不相交的凸集彼此分离；我们还要运用分离定理的结论，去证明规划的库恩-塔克定理、讨论角谷不动点定理，当然，这些都是研究经济行为中均衡存在性的主要数学工具。

第六章：第六章和第七章构成了经济学专业博士研究生课程的核心内容。第六章将介绍一个度量空间一般概念——简单地讲，即一个隐性的集合 与一种距离的概念，这常常被称为一个度量。在这一章中，我们将要研究集合之间的距离，这是一个在比较静态规划值研究中的关键性要素；我们接着研究累积分布函数之间的距离，它构成了计量经济学的渐进分析以及不确定性行为选择理论的基础；还有连续函数之间的距离，运用这种距离的概念，我们才能进行动态规划问题的值函数分析。基于函数空间分析的一些基础性近似结论(即斯通-威尔斯特拉斯定理的代数或者格的理论表述)，我们会给出一个将回归分析作为近似理论的扩展性的表述；还有回归分析本身、无限序列之间的距离，这些是经济学家模拟重复博弈的博弈序列与策略集合的重要工具；我们还要给出随机过程与其他动态系统的收益序列、以及动态规划问题的回报等表达。紧接着，我们转向两类连续函数的扩展定理，这些结论给出了在什么条件下连续函数的一些有价值的性质将是成立的，由此，也就逻辑地告诉我们连续函数具有十分强大的近似分析的功能。，考虑到完备性对于解的存在性的重要意义，我们给出了有理数完备化、度量化定理的一般性描述，这将有助于读者理解如何对于任意给定的度量空间增加一个最小元素的集合，以使其变成完备的空间。