准备出发

数学是一个大花园。

游览花园可以有不同的路线。

课堂上学习的教材是一种路线。本书提供了另一条新的路线。

沿着不同的路线游览，从不同的角度发现数学的力量和数学的美，会带来不同的感受。这不同的感受，会引发你更多的思考。

新路线的特点，是把几何、三角、代数渗透到一起。相互渗透的结果，是道理更清楚了，推理更简捷了，方法更犀利了。这样，你可以用同样的时间和精力把数学学得更好。当然，在考试中或竞赛中也能取得更好的成绩。

想学好数学就要多思考。数学锻炼思考，思考提高数学素质。但是思考什么？怎样思考？这正是本书要回答的问题。下面会用大量的事例，让你在做数学中学习思考，这是作者多年学习和思考的经验之谈。再过几十年，书里讲的定理公式你会忘记，但你从中学到的思考问题的方法却会伴你终生。

多想出智慧。思考能够使知识增殖，能让知识生出知识。即使是看来很简单的知识，经过一番探索思考，它也会变得更丰富、更活泼，它会和其他的知识联系起来，变得更有用、更有力。

探索思考就要有目标、有问题。为了能够发现或提出好的问题，不但要掌握基础知识和基本技能，还要有应用意识，有创新意识，有实验意识，有推理意识。

有应用意识，就是乐于用学过的数学知识解决实际问题或设想的问题，善于从实际或设想的情景中提出数学问题。

有创新意识，就要敢于对所学的数学知识问个为什么，为什么这样计算这样作图，为什么这样定义这样推理，题目的条件和结论能不能变一变，计算推理作图的方法能不能再改进，为什么先学这些后学那些，等等。

有实验意识，就是要动手计算作图测量，有条件时用计算机和计算器，没条件就在纸上写写画画，在做数学过程中学习数学，验证学过的知识，猜测未知的现象，在数学实验中发现情况，提出问题。用计算机做数学实验是启发思考节省劳动的好办法。如果你有计算机，应当装一个能作图又能计算的数学教育软件，它能节省你大量的时间和精力。、好用、最有趣的数学教育软件是由中国人开发的《超级画板》，到网站ssp。gzhu。edu。cn下载一个免费版本，就够用了。学会用超级画板画各种几何图形只要10分钟。如果你想精通免费的超级画板，可以买一本《超级画板自由行》(张景中著，科学出版社出版，在网上很容易买到)边看边做，包你在乐趣无穷中大大提高数学成绩。

有推理意识，就是要力图用推理和演算来说明问题和预测现象，要有合情推理，更要有演绎推理，尝试通过推理在作图之前预见图形的性质，不做具体计算预见某些计算的结果。力图用抽象数学模型概括多种可能的实际问题，站高一层，看远一步。

但所有这一切，不会凭空从天上掉下来，也不会从空空的头脑里生出来，你只能从已掌握的知识出发，哪怕从平凡具体的问题出发。知识学到手才能应用，创新只能温故知新、推陈出新，实验就要会算、会画、会用计算机，推理演算必须熟悉逻辑用语和基本的规矩模式、运算公式和法则。

在小学数学中，学过有关三角形的一些知识，其中两条是你到老也不能忘掉的宝贝。

及时条，三角形的内角和等于180°。

第二条，三角形的面积等于底和高乘积的一半。

从这两条出发，你能思考探索出哪些新的知识呢？

让我们立刻尝试，让我们出发吧。

及时站

正弦和正弦定理

1。 温故知新举一反三

把知识编号或命名，会带来很大方便。世界上及时部几何教科书，古希腊欧几里得写的经典名著《几何原本》，就是把几何知识一条一条编了号的，每一条叫做一个"命题"。

我们从小学里学习过的两条开始。

命题1。1 (三角形内角和定理)三角形内角和等于180°。

命题1。2 (三角形面积公式)三角形面积等于底和高的乘积的一半。

从这两条出发，通过分析思考，你能得到哪些新的知识呢？

思考的基本要领，是温故知新，举一反三。

两直线相交形成4个角。三角形顶点处只画出1个角。如果进一步考虑另外3个角，就叫做举一反三。

关于三角形内角和定理的思考

如图1-1，把△ABC的BC边延长至D，则∠ACD=180°－∠ACB，但根据三角形内角和定理，又有180°－∠ACB=∠A+∠B，故∠ACD=∠A+∠B。

图1-1

今后把三角形一边的延长线和相邻边所成的角，例如图1-1中的∠ACD，叫做三角形的外角，而三角形另外两个内角叫做这个外角的内对角。 这样，我们从命题1。1得到的新知识∠ACD=∠A+∠B便可以陈述为

命题1。3三角形的外角等于两内对角之和。

顺便知道，三角形的外角大于内对角。

刚才增加一个角考虑，得到一点新知识。 减少一个角呢？

3个内角和为180°，两个内角的和自然小于180°。

把三角形的3条边都延长，成了图1-2的样子。

图1-2中， 被直线AB所截的两条直线，在AB右侧相交，则∠4+∠5180°；如果在AB的左侧相交，则∠3+∠6180°。

图1-2

总之，若两直线相交，必有∠4+∠5≠180°，∠3+∠6≠180°。

于是得知，过直线外一点至多只能作直线的一条垂线。

反之，如果∠4+∠5=180° (则∠3+∠6=180°)，两条直线就不会相交了(图1-3)。

图1-3

这样反向思维，是发现问题的常用方法，更是数学推理的重要路数。

图1-2中所标识出来的8个角中，∠4和∠5，∠3和∠6都叫做

……