第1章相似理论1.1基本概念1.1.1几何相似

两个具有相同几何特征(如平面三角形都是由三条直线围成一个封闭图形，其内角和为180°)的物体或图形，若其对应部分的长度比值等于同一常数，则称为几何相似。例如，图11为A、B两个平面三角形,若平面三角形A与B的对应边长度满足下式:

l1l′1=l2l′2=l3l′3(11

则称平面三角形A和B几何相似。

图11相似平面三角形

1.1.2相似现象在几何相似的两个物体或系统中进行同一性质的物理过程(如运动、受力等)，若所有有关物理量在几何对应点和对应的瞬时都各自保持一定的比例关系，则称这样的物理过程为相似现象。例如，图12为A和B两个运动系统，它们的运动轨迹构成的几何图形满足几何相似。

图12运动相似

描述该运动系统的物理量是路程l、速度v和时间t，如果在几何对应点上的物理量满足以下各式： 对应点上的速度：

v′0v″0=v′1v″1=v′2v″2=…=Cv(12

对应两点之间的路程：

l′0l″0=l′1l″1=…=Cl(13

对应路程所用时间：

t′1t″1=t′2t″2=…=Ct(14

则A和B两个运动系统相似，该物理过程为相似现象。1.1.3相似常数在两个相似系统中，对应物理量的比值保持常数，该常数称为相似常数。相似常数通常用C加下标表示，如图12两个运动相似系统中，速度比值用Cv表示，路程比值用Cl表示，时间比值用Ct表示，分别为速度相似常数、路程相似常数、时间相似常数。1.1.4相似指标两个相似系统中通常会有多个相似常数，相似常数之间不是独立的，因此不能任意取值，相似常数之间等于1的组合关系称为相似指标。相似指标可以通过相似系统所遵循的相同规律推导得出。例如，图12所示A、B两个运动相似系统，其遵循的相同规律为

v=dldt(15

系统A

v′=dl′dt′(16

系统B

v″=dl″dt″(17

将式(12)~式(14)代入式(16)可得

Cvv″=Cldl″Ctdt″(18

将式(17)代入式(18)可得

CvCtCl=1(19

CvCtCl即为运动系统的相似指标。由此可见，对于运动系统相似常数，Cv、Ct和Cl之关系必须满足式(19)，它们之间只有任意两个相似常数可随意选定，第三个相似常数必须根据式(19)来确定。1.1.5相似准则两个相似系统中，存在着数值不变的物理量组合，该组合称为相似准则，或相似判据。相似准则可以通过相似指标推导出。仍以图12运动相似为例，将式(12)~式(14)代入式(19)相似指标得

v′v″t′t″l′l″=1(110

即

v′t′l′=v″t″l″

也就是说

vtl=idem(不变量)

即运动系统的相似准则为

vtl相似准则等于不变量而不是等于一个常数，这是因为，它的数值只是在两个相似系统中某两个对应的点和对应的瞬间的数值是相同的，而在同一系统中不同点或不同瞬间，其相似准则的值不一定相同。例如，系统A运动至1′2′时，相似准则v′1t′1l′1和v′2t′2l′2的值不一定相等。相似现象中相似准则的数目随现象不同而异。一般来说，现象越复杂，相似准则的数目就越多。1.1.6原型与模型原型是指由多种要素构成的实际研究对象； 模型是几何尺寸小于或等于原型，满足相似性条件，由相似性材料塑造的研究对象。对于土木、水利、采矿等领域，原型是人类从事工程活动一定范围的客观存在； 模型是为研究原型的力学特性，在实验室人为塑造的实体，是原型的近似。1.2相似三定理前面介绍了相似现象的基本概念，那么，物理现象满足什么条件才是相似的？相似现象具有哪些性质？相似模拟试验的结果如何才能推广到原型中去呢?下面要介绍的相似三定理正是对这些问题的回答。1.2.1相似及时定理相似及时定理阐述的是相似现象具有的性质，即相似现象的相似准则相等，相似指标等于1，且单值条件相似。单值条件是个别现象区别于同类现象的特征，它包括： 几何条件、物理条件、边界条件及初始条件。几何条件是指参与过程的物体的形状和大小； 物理条件是指参与过程的物体的物理性质； 边界条件表示物体表面所受的外界约束； 初始条件则是指所研究的对象在起始时刻的某些特征。例如，在研究物体的导热过程时，物体的形状、几何尺寸就是几何条件； 物体的比热容、导热系数等是物理条件； 与所研究物体表面接触的介质的导热系数是边界条件； 而物体在初始时刻的温度则是初始条件。1.2.2相似第二定理相似第二定理也称“π定理”，它可表述如下： 如果现象相似，描述此现象的各种参量之间的关系可转换成相似准则之间的函数关系，且相似现象的相似准则函数关系式相同。因为相似准则是无因次的，故描述相似现象的物理方程为

f(a1，a2，…，ak，ak 1，ak 2，…，an)=0(111

可转换成无因次的相似准则方程：

F(π1，π2，…，πn-k)=0(112

式(111)中的a1，a2，…，ak是基本量； ak，ak 1，ak 2，…，an是导出量。由此可见，相似准则有(n-k)个，相似第二定理给相似模拟试验结果的推广提供了理论依据。因为，若两种现象相似，根据相似第二定理，可将模型试验结果中整理出的相似准则关系，推广到原型中去，从而使原型得到圆满的解释。1.2.3相似第三定理相似及时定理和第二定理阐述了相似现象具有的性质，并为相似模拟试验结果的推广提供了依据。那么什么情况下两种现象才是相似的呢？也就是说，现象相似的条件是什么呢？这就是相似第三定理要回答的问题。相似第三定理可表达为，若两个现象能被相同文字的关系式所描述，且单值条件相似，同时由此单值条件所组成的相似准则相等，则此两种现象相似。在工程实践中，要使模型和原型满足相似第三定理的要求是相当困难的，甚至不可能。这时可根据研究对象的特征，合理选取那些对现象影响重大的因素，抓住现象的主要矛盾，略去次要因素，使得模拟研究得以实现，这就是所谓的“近似模化”。近似模化能否成功，主要取决于影响因素选择的合理性。近似模化虽然不能保障全部相似条件得到满足，但由于它保障了现象主要因素间的相似，故其研究结果的精度一般可满足工程实际的要求，因此，近似模化已在工程实践中得到了广泛的应用。上述三个定理在许多关于相似理论和模型试验技术的著作和文献中都有详细的证明，本书不再重复这部分内容。1.3相似准则的推导在进行相似模拟研究的试验设计、试验结果整理及推广时，均需求得所研究现象的相似准则。推导相似准则的方法较多，本节只介绍常用的三种方法，即： 相似转换法、因次分析法及矩阵法。1.3.1相似转换法相似转换法是用方程分析求相似准则的方法之一，它是根据描述研究对象的基本方程及单值条件来推导出现象的相似准则。这种方法的基本步骤为： (1) 列出描述现象的基本方程及全部单值条件； (2) 给出相似常数表达式； (3) 把相似常数代入方程组进行相似转换，求得相似指标式； (4) 把相似常数代入相似指标式，求得相似准则； (5) 对单值条件方程式采用(3)、(4)两个步骤，从单值条件方程中求得相似准则。现以一维导热问题为例说明上述步骤的具体实施过程。一维导热方程为

Tt=a2Tx2(113)

式中： T——温度；t——时间； x——距离； a——导温系数。(1) 列方程： 与式(113)相似模型的导热方程为

T′t′=a′2T′x′2(114)

2) 得出相似常数表达式：

CT=T′T； Ct=t′t； Ca=a′a； Cx=x′x(115)

3) 求相似指标： 将式(115)代入式(114)，整理得

CTCtTt=CaCTC2xa2Tx2(116)

比较式(116)和式(113)得

CTCt=CaCTC2x

即

CaCtC2x=1(117)

(4) 求相似准则： 将式(115)代入式(117)，得

a′a t′tx′x2=1

整理得

atx2=a′t′x′2=idem(118)

atx2就是所研究现象的相似准则，也称傅里叶(J.Fourer)准则，用Fo表示。

Fo=atx2(119

1.3.2因次分析法使用相似转换法推导相似准则的前提条件是： 必须首先求得描述欲研究现象的微分方程组。但工程实际中遇到的现象有时十分复杂，人们对这些现象的认识程度还远未达到将其用数学方程式表达出来的程度，在这种情况下，推求现象的相似准则，用相似转换法就无能为力了，而常用因次分析法推导相似准则。1. 因次的概念因次也称量纲，是代表物理量性质的符号。因次和物理量的单位既有联系，又有区别，因次是物理量性质的广义度量，而单位除表明物理量性质外，还表示了物理量的尺寸或大小。例如［L］是表示长度的因次，而不管长度的单位是“米”“厘米”还是“毫米”。因次根据其特征可分为基本因次和导出因次。基本因次是其本身就可表达某物理量的因次，如质量［M］、长度［L］和时间［T］。导出因次是指由基本因次通过数学表达式导出的因次，例如，由基本因次［L］和［T］，根据速度v与路程l及时间t的关系v=dldt，可导出速度的因次是［v］=［LT-1］，则速度的因次就是导出因次。工程中常用的基本因次系统有MLT系统和FLT系统，前者将质量［M］作为基本因次，后者将力［F］当作基本因次。2. 因次分析原理用因次分析法求相似准则的理论依据是π定理。此时该定理可表达为： 若描述某一现象需要n个变量(其中k个变量的因次是基本因次)，且这些变量构成一个因次齐次的方程式，则此方程可简化为n-k个无因次乘积(即π)所组成的方程式。根据上述定理，就可以用因次分析的方法求得现象的相似准则，尽管不知道描述此现象的各因素之间确切的函数关系。在使用因次分析法推导相似准则时，关键是要合理确定哪些因素和所研究的现象有关，如果此问题解决得不好，有可能出现两种研究者不希望发生的情况，一种是，将那些与研究现象无关的因素也考虑了进来，这不仅使分析过程复杂化，而且在求出的由无因次乘积组成的表达式中，出现多余项； 另一种情况是，漏掉了某些对所研究的现象有影响的因素，这样必然导致不完整甚至错误的研究结果。3. 因次分析法的基本步骤下面以电风扇运动规律的研究为例，介绍因次分析法推导相似准则的具体步骤。1) 找出与现象有关的参数及因次，得出现象的函数表达式。经分析知，影响电风扇运动规律的因素有：(1) 给电风扇提供动力的扭矩t，［t］=［ML2T-2］(2) 电风扇的半径r，［r］=［L］(3) 空气密度ρ，［ρ］=［ML-3］(4) 电扇转速n，［n］=［T-1］据此可得出表征电风扇运动规律的关系式为

φ(t，r，ρ，n)=0(120)

2) 写出相似准则的一段表达式为

π=tarbρcnd(121)

3) 将各参数的因次代入式(121)，得出相似准则一般表达式的因次式为

π=［ML2T-2］a［L］b［ML-3］c［T-1］d=M0L0T0(122

4) 比较式(122)两边同量纲的指数，可得以下方程组：

a c=02a b-3c=0-2a-d=0(123)

5) 求各影响因素的指数。方程组(123)有3个方程，但包含4个未知数，为求解，可令其中任一未知数为1，即可求得其他参数，若令a=1，得

c=-1b=-5d=-2(124)

将式(124)中a、b、c、d值代入式(121)，得

π=tr5ρn2

在解方程组(123)时，也可令其他未知数为1，若令b=1，则

a=-15c=15d=25(125)

将式(125)中a、b、c、d值代入式(121)，得

π=rρ15d25l15=r5ρn2t

同理，若令c=1或d=1，分别得

a=-1b=5d=2或a=-12b=52c=12

代入式(121)得

π=r5ρn2t或π=r52ρ12nt12=r5ρn2t

由此可见，在解方程组(123)时，无论令哪一个未知数为1求出的都是同一个准则，只是准则的形式有所不同。因为上述现象中考虑了4个影响因素，且这些因素中包含了3个基本因次［M］、［L］和［T］，故根据π定理，它只有一个相似准则。1.3.3矩阵法用矩阵法求相似准则就是将矩阵原理引入因次分析法求相似准则的方法，这样可使分析过程简化，特别是当所研究现象的影响因素较多时，更是如此。

图13系船浮筒

1—发光塑料球； 2—系杆；

3—塑料浮筒； 4—铅锤重物

用矩阵法求相似准则的具体方法如下例所示。图13是一栓系小船的浮筒示意图，图中省去了连接浮筒和船锚的锚链，试确定系杆角θ和风力的关系。1) 影响上述关系的因素有： (1) 水的密度ρw，［ρw］=［ML-3］ (2) 空气的密度ρa，［ρa］=［ML-3］(3) 风速v，［v］=［LT-1］(4) 重力加速度g，［g］=［LT-2］(5) 浮筒的密度ρc，［ρc］=［ML-3］(6) 系杆长度l，［l］=［L］(7) 系杆角θ，［θ］=［M0L0T0］= ［1］这样可得出关系式：

φ(ρw，ρa，v，g，ρc,l，θ)=0(126)

显然，上述因素中的系杆角θ是无因次量，即它本身就是一个相似准则，则

π1=θ

2) 写出相似准则的一般表达式：

π=ρawρbavcgdρeclf(127)

其因次关系为

［π］=［ML-3］a［ML-3］b［LT-1］c［LT-2］d［ML-3］e［L］f

3) 由此可写出因次矩阵：

abcdef

ρwρavgρcl

M110010

L-3-311-31

T00-1-200

4) 求矩阵的秩： 上述矩阵中右边三列构成的行列式为

0101-31-200=-2

此行列式不等于零，说明上述因次矩阵的秩等于3，由于相似准则个数等于矩阵列数减去矩阵的秩，故从上述矩阵中可导出的相似准则数目为6-3=3。为了简化分析过程，矩阵中参数的排列一般遵循下列规则： 将不等于零的行列式排在矩阵的右侧。5) 由于相似准则的因次为零，故从上述矩阵中可得出下列方程组：

a e b=0-3a-3b c d-3e f=0-c-2d=0(128)

6) 解上述方程组,得出不为零的行列式所对应的指数d，e，f和其他未知数间的关系：

d=-c2e=-a-bf=-c2(129)

7) 将上述方程组中d，e，f各行的系数作为下列π矩阵中对应的d，e，f各列的元素。在a，b，c所对应的矩阵中，使对角线上的元素为1，其他元素为0，即