第1章量子状态描述

1.1Schrodinger绘景、Heisenberg绘景与相互作用绘景

1.1.1三个绘景

描述微观系统动力学演化过程，有三种不同但物理上等价的观点，分别称为Schrodinger绘景、Heisenberg绘景、相互作用绘景。

一方面，在微观系统动力学演化时，能够直接观测的只有两类量：各种可观察力学量的数值；相应该数值的概率。它们就是全部的可观测的内容。这里，对"观测概率"的理解是，对微观系统的测量总是对大量相同样本作某组力学量的重复测量，最终以相同测量结果出现的频度近似代替概率。舍此两类实验观测的要素都是主观人造的事物。

另一方面，人们为了对微观系统进行理论描述，构造出力学量算符和动力学态矢。它们是两个理论要素。实验表现是自然界的、客观的，不随人们思想意志改变的；但理论是人为拟定的、主观的，按各种层次考量都是可以改变的。按Wigner定理，一个可能含时的幺正(反幺正)变换U，当它以下面方式作用态矢和算符，使两者产生如下配套变换：

1.1

变换U前后，系统所有可观测物理性质(包括全部测量概率、全体力学量算符的本征值)不会改变。比如，全部概率幅保持不变，因为

再比如，(在幺正变换下)基本对易子保持不变，因为

于是，就实验观测而言，变换前后系统在物理上是等价的。要求式(1.1)体现物理等价原则是下面三个绘景相互转换的依据，是构成它们之间转换关系的准则。注意，尽管变换前后物理等价，但系统算符和态矢的表达形式会有很大改变。特别是，如果变换U=U(t)与时间相关，则系统运动方程的形式会发生很大的变化(详细见下)。

现在的问题是，在微观系统演化中，算符和态矢这两个人造事物如何分担描写系统演化的任务。常见三种观点：①Schrodinger绘景：令态矢承担系统的全部演化，力学量算符不承担；②Heisenberg绘景：令力学量算符承担系统的全部演化，态矢不承担；③相互作用绘景：两者各有分担，各随时间变化。将三个绘景中任意算符和态矢用顶标标记，即

Ω(S)，|ψ(S)〉，Ω(H)，|ψ(H)〉，Ω(I)，|ψ(I)〉(1.2a)

绘景问题有三点要素:及时，尽管三个绘景的观点很不同，但它们应当在物理上等价——三个绘景算出的两类观测要素数值必须对应相同。于是规定：由三个绘景计算出的任意概率幅都相等，即

1.2b)

式(1.2)是支配三个绘景相互关系的基本准则。它规定了各个绘景的两个理论要素——态矢和算符如何配套变换；第二，约定三个绘景的定义，即约定各自态矢定义；第三，既然描述同一微观系统，初态和Hamilton量相同，于是约定t=t0时刻三种图像相互重合，

ψ(H)〉=|ψ(S)(t0)〉=|ψ(I)(t0)〉，Ω(S)=Ω(H)(t0)=Ω(I)(t0)(1.2c)

可以抹去初态绘景标记。下面由此总体规定出发分别阐述三个绘景。Schrodinger绘景。此绘景对态矢演化已有定义

ψ(S)(t)〉=U(S)(t，t0)|ψ(t0)〉(1.3)

ψ(t0)〉是Schrodinger绘景初始时刻态矢，简称初态。U(S)(t，t0)是系统的时间演化算符。按U(S)(t，t0)的逐步演化的物理含意，可以写为

1.4)

T是时序算符，定义为：当若干个含时算符连乘时，T的作用是按这些算符所含时间大小依序自"左→右"对其进行排列。即具有较早(较小)时刻的算符排在较晚(较大)时刻算符的右边(前边)，则

T A(ti) B(tj) = B(tj) A(ti) ，tj≥ti

这种排序是一种硬性规定，所以依序重排时不顾各算符乘子彼此是否对易注意，此处T的定义是，各个算符重新排序时不出符号。将来还有另一种定义：单次交换时规定要出负号。。因此，在T作用下不妨任意调换各算符乘子的顺序。T的作用不可误解为保持原等式成立的恒等运算(不同于微分积分运算)。

习题1.1对式(1.4)的第1式直接求导得到第2个方程。Schrodinger绘景中，态矢按全Hamilton量H=H0+V≡H(S)的含时Schrodinger方程演化，

1.5)

注意，在此绘景中算符维持原状，于是位置和动量算符均不显含时间。一般说来，算符即便与时间有关，也只是由于自身的原因，与系统演化无关(由于V可能依赖时间，H可能含时)，但时间导数算符除外。时间导数算符的平均值是原算符平均值的时间导数。于是，即使该算符本身不显含时间，只要它与Hamilton量H(t)不对易，其时间导数算符不但不为零，还可能显含时间。这显示导数算符将表现出和H有关的动力学演化。注意，计算时间导数算符矩阵元所用的配套态矢为|ψ(S)(t)〉(而不是|ψ(t0)〉)，它们还应当是Schrodinger绘景算符。所以不要一看见含时算符就认为其是Heisenberg绘景算符。Schrodinger绘景主要特征是态矢承担由H(t)产生的全部演化，(除时间导数算符外)算符不承担此种演化。此绘景由Schrodinger于1926年提出，故有此名。Heisenberg绘景。此绘景规定态矢不随时间演化。这等于要求它们是Schrodinger绘景态矢经受逆演化，返回到初态。由此按及时条准则立即得知，Hei senberg绘景的任意态矢和算符定义为

(1.6)

由于态矢变换已规定，选配算符如此变换，以保障任意概率幅不变，

ψ(H)(t)|Ω(H)(t)|φ(H)(t)〉=〈ψ(S)(t)|Ω(S)(t)|φ(S)(t)〉

因此，Heisenberg绘景的特征是，系统全部演化由算符承担，态矢始终保持为初态。态矢和算符随时间变化的方程为

1.7)

其中，于是有，偏导数只对算符Ω(S)中显含的时间参数进行。一般说来，Ω(H)(t)是一个复杂的含时算符集团。

习题1.2直接对式(1.6)Ω(H)(t)求导得出Heisenberg绘景中算符演化方程(1.7)。特例是Ω(S)=H(t)，Ω(H)=H(H)(t)，dH(H)dt=H(H)t≠0。注意，只有系统为不显含时间的情况，时间导数算符的对易子中才有H(H)(t)=H。但这时导数算符的整个计算结果仍然是Heisenberg绘景算符，和Schrodinger绘景算符并不相等。因为用来和它配套作矩阵元计算的态矢是|ψ(t0)〉(而不是Schrodinger绘景所用的|ψ(S)(t)〉)。此绘景于1925~1926年由Heisenberg，Born等提出。相互作用绘景。除上面两种极端绘景之外，还另有一种发源于微扰论计算的中介绘景——相互作用绘景。建立此图像的目的与微扰论计算密切相关，和H是否可以划分为H=H0+V密切相关。一般说来，有相互作用的H很难严格求解，这时近似求解可按微扰论思想将H划分为两部分，即H=H0+V，其中H0的本征值和本征函数为已知，称为参照系统，V是感兴趣的相互作用。当然，这里H0也可以含有别种相互作用，甚至和复合粒子的束缚态相联系，不一定非得是真正自由的。为叙述方便，称根源于V的演化为动力学演化，而称根源于H0的演化为运动学演化。现在定义:t时刻相互作用绘景态矢|ψ(I)(t)〉为t时刻Schrodinger绘景态矢|ψ(S)(t)〉再按H0(而不是按H！)逆演化返回初始时刻t0，即

1.8a)

这里是由H0(t)生成的演化。于是，在相互作用绘景中，态矢和相应的时间演化算符规定为

1.8b)

与此对应，Schrodinger绘景的算符向相互作用绘景的转换为

1.9)

显然，只有式(1.8)和式(1.9)配套，两个绘景相应矩阵元才相等，即

ψ(I)(t)|Ω(I)(t)|φ(I)(t)〉=〈ψ(S)(t)|Ω(S)(t)|φ(S)(t)〉

对态矢定义求导即知，此时态矢和算符随时间变化的方程为

1.10)

其中

习题1.3导出相互作用绘景中的算符演化方程和态矢演化方程。其实，从Schrodinger绘景的Schrodinger方程，两边施以变换U(S)0(t，t0)－1(如H0不含时，变换即为eiH0(t－t0)/h)，即得式(1.10)中的态矢方程。同时，从态矢方程两边抽除初态，又直接得到时间演化算符方程

(1.11)

式(1.10)的特点是，态矢随时间变化决定于V(I)(t)，正比于其中的相互作用V(t)(含意是正比于其中参数)，而不像通常Schrodinger方程正比于系统的Hamilton量H(t)。注意：一方面，由于V、H0一般不对易，不论V、H0是否显含时间，V(I)(t)都将显含时间，所以一般说来，相互作用绘景的态矢方程对应一个含时系统；另一方面，算符随时间变化(除去自身显含时间部分外)则由H0决定，与相互作用V(t)无关，和无相互作用V(t)下的Heisenberg算符那样演化。总之，按照并不严谨的说法，相互作用绘景中态矢承担系统的动力学演化，而算符则承担系统的运动学演化。指出，绘景概念应当和以前的表象概念相互区别。表象是指确定了一组完备力学量算符组之后，选取它们共同本征函数族作为基矢，用以展开并描述任意态矢。所以常说，选取表象就是选取基矢。而绘景并不涉及基矢的选取，只涉及在系统的算符和态矢之间如何分配动力学演化和运动学演化问题。至此已经建立起了三个绘景。下面就Heisenberg绘景和相互作用绘景作进一步的叙述。1.1.2Heisenberg绘景的进一步叙述由式(1.6)和式(1.7)可知，虽然通常Ω(S)不显含t(不计时间导数算符和非孤立系Hamilton量算符)，除非Ω(S)与U(S)(t，t0)对易(在H显含t情况下，要求Ω(S)与所有时刻的H(t)对易)，否则Ω(H)总与t有关，体现系统的演化。在Heisenberg绘景中用量子Poisson括号表示的算符演化方程，与正则框架中用Poisson括号表示的经典运动方程形式相同。这正是以前常用Heisenberg绘景进行量子化的缘故：经典力学系统经量子化后就立即转到此绘景。然而，由于Heisenberg绘景的运动方程是算符方程，未知数是算符、是矩阵，待求的未知数个数比Schrodinger绘景态矢方程多得多，比较难于求解。所以一般说来，Heisenberg绘景有利于理论形式的探讨及与经典类比，不适合进行具体的数值计算。下面在Heisenberg绘景中举一些算例作为说明。设H不含时，找一组与H对易的可观察量的集ξ。由于H与它们全都对易，H是它们的函数Dirac P A M. 量子力学原理.陈咸亨译，喀兴林校.北京：科学出版社，1965，：78，定理2。。在使这组力学量算符对角化的表象(取它们共同本征态矢作基矢)中写出矩阵形式方程，这便是Heisenberg于1925年最初表达量子力学使用的形式。在此表象中算符Ω(H)的矩阵元为

其中，E′=E(ξ′)，E″=E(ξ″)。由于通常取〈ξ′|为t0时刻的，所以它正是Heisenberg绘景下的基矢。但对定态问题，通常也用它作基矢来计算Schrodinger绘景下的矩阵元。

1)一维量子谐振子

于是

即

求解得

利用初条件，得

如果定义新算符，将p(H)，q(H)表达式代入得

η(H)(t)=η(0)eiωt

其中，

(2)自由粒子H=12mp(H)2

当然也可以用公式，计算对易子办法得到。

习题1.4计算Heisenberg绘景中的相对论自由粒子

1.1.3相互作用绘景的进一步叙述

如果用并不严谨的方式理解由Schrodinger绘景向相互作用绘景的转换，则态矢所作变换U(S)0(t，t0)－1仿佛是：将Schrodinger绘景中态矢的全部动力学演化划分为运动学演化和动力学演化，将其中运动学演化以逆变换的形式予以(初步的并非的)"抵消"。于是态矢的