01 算术篇

万物皆数，若没有数，则既不能描述也不能理解任何事物。

-毕达哥拉斯(Pythagoras，希腊数学家，公元前580—前500

1.1 从2 + 2 = 4谈起

一位聪明天真的小朋友问妈妈："为什么2加2等于4?"妈妈答: "傻孩子，连这么简单的算术都不懂!"于是这位母亲伸出左手的两个指 头，又伸出右手的两个指头，左右的两个指头往一起一并，说："这就 叫2加2，你数一数，看是不是4?"孩子勉强点头，接着又问："可是4 是什么玩意儿呢?"妈妈欲言而无语。是呀，如果母亲说这些指头的数 目就叫做4，孩子再追问什么叫做999999999，那可就不好用指头之类 的东西来比划着解释了！

事实上，反思我们小时候对加法的学习，确实是非理性的，是 老师和家长向我们的脑子里灌进去而记住了的七加八一十五，七加五一 十二之类的指令而已；认真思考起来，究竟每个自然数是如何定义的， 加法是什么，为什么2 + 2 = 4，4 + 4 = 8，等等，确实是一个严肃的数学问题。

原始人已有自然数的初始概念，他们用小石头来记录捕捉的猎物的个数(或用"结绳记事"法)。有人捕来一只野兔，他们就在小坑里放 上一颗石子，又有人捕来一只野兔，他们就在小坑中又投放一颗石子， 等等。事实上，这逐一地向小坑中投石子的过程恰是加法运算的真谛， 投一颗石子就叫做加上1，1加1得到的数量就叫做2，2再加1得到的 数量就叫做3，等等。再后来，人们发现了加法的结合律，即1 + 1 + 1 + 1= (1+1) + (1 + 1)，等等。公元6世纪，印度数学家引人零的符 号"0"，它是自然数的"排头"。到了 19世纪，皮亚诺(G.Peano， 1858!1932)提出了五条算术公理，才从理论上彻底解决了什么是自然 数，为什么2 + 2 = 4等数学上的这些基本问题，他的三个概念与五个公 理是：

0，后继和自然数，以及如下五条公理：

公理1，0是自然数。

公理2任何自然数的后继是自然数。

公理3 0不是任何数的后继。

公理4不同的自然数后继不同。

公理5对于某一性质，若0有此性质，而且若某自然数有此性质 时，它的后继也有此性质，则一切自然数都有此性质。

具体地说，0的后继中国人叫做一，美国人叫做one，1的后继中 国人叫做二，美国人叫做two，等等。第五公理谈的是数学归纳法。一 个自然数生出它的后继的过程是加法，记成0 + 1 = 1，1 + 1 = 2，2 + 1 = 3，3 + 1 = 4，n+1= (n+1)，等等。

由皮先生的公理可以明确无误地回答什么是自然数的问题，例如4 是什么？答：4是3的后继，或曰4是3之"子" 3呢？ 3是2的后继(2呢？ 2是1的后继(1呢？ 1是0的后继(0呢？ 0是祖宗，它不是谁 的后继，是自然数的发源点。

2+2 = 4证明如下：

因为1 + 1 = 2，所以2+2= (1 + 1) + (1 + 1)，由结合律得 2+2= (1+1 ) + (1+1 ) = (1+1+1 ) +1 又因 1 + 1 + 1= (1 + 1) +1 = 2 + 1 = 3 所以2+2 = 3 + 1，而3 + 1 = 4，故知2 + 2 = 4是正确的。

证毕。

有了加法的概念，减法是加法的逆运算，乘法则是几个相同的数连 加的"简写"，除法是乘法的逆运算。可见，从皮氏公理出发已经把+ 一X +的概念弄了个水落石出，不再是那种原始的直观感觉(例如结绳 记事)或死记的九九表了。

查阅《现代汉语词典》上加法词目，词典称！ "加法(i@D，数学中的一种运算方法%两个或两个以上的数合成一个数的方法'"这种解 释实在科学`例如它只说"合成一个数"，并不说这个数(我们称其为 和)是多少。事实上，现代数学对于1 + 1的和未必总是算出2来的。遥 想原始人怎样形成数量的概念，最初只是"有"与"无"两个概念，他 们尚没有"多少"的概念和斤斤计较的坏习气。就是现代，有时也只需 考虑有与无，是与否，而不必细说有多少，例如我们要写字，关心的是 有笔还是没有笔，至于有笔时有几枝，那都是一回事。如果这时规定0 代表无(或否)，1代表有(或是)，则应有0 + 0 = 0，0+1 = 1，1 + 0 = 1，1+1=1。这个1+1=1的算式有点不习惯，但对于此处的实际背 景，如此定义加法是再合适不过了。这种1 + 1不等于2，而等于1的加 法称为"逻辑和"，1 + 1 = 1，于是(n是自然数)。

再看某种电视机开关，你用指头捅一下，它就为你播放节目，再捅 一下，它就关机了，如果把关机状态记成0，把播放状态记成1，则有 加法法则！

0+0=0 ，1+0=1 0+1=1 ，1+1=0

这种加法1 + 1≠2，1 + 1≠1，而是1 + 1 = 0。看见没有，这就是数字之 妙，这种"数学志异"胜似《聊斋志异》！

1.2算术的基因和基理

算术四则运算，人人都有体会，那就是加减法简单，乘法也不太 难，有个"九九歌"，背熟了去乘就是了。除法里"事儿"多，除得尽 还好，除不尽还要考虑约分与余数，等等，花样不少。例如：100 + 4可 写成

我们看到，除法实质上是分子分母的约分，等到把分子分母的公共因子 都约光了，剩下的就是既约分数，如果这时分母为1，就除尽了。分子 上的因子有两个2，两个5，这两个因子不能再变小，当然4和25，或 20，也是100的因子，但它们还可以变小，那些不能再变小的因子，即除了1与自身外，别的自然数除不尽的自然数，是最简单朴素的了，我 们称这种数为素数(朴素的素)或质数(质t卜的质)，1也是这类性质 的数，但大家约定1不称为素数，因为如果让1取得素数资格，例如 100则可以写成100 = 1X1X1X1X1X X1X2X2X5X5，前方爱写 几个1就写几个1，这就很不妙，一个自然数写成素数之积的形式时， 形状就不了。经验表明，如果不让1参加，一个自然数若不是素 数，例如100，4什么的，可以地写成若干素数的积，这一结论可 以用数学归纳法证明，这就是著名的算术基本定理。

大于1的不是素数的自然数称为合数，即由若干素数相乘而成 的数。

素数是合数的基因，任给大于1的自然数N，存在的素数列P1≤P2≤ ≤Pn，使得N地写成N = P1P2 Pn，此定理称为算术 基本定理，算术中很多证明，尤其是涉及除法时，主要靠这条结论去 说理。

如果N是合数，则N=P1a1 P2a2 pmam，m≥1，P1，P2， ，Pm 是互异素数，a1， ，am是正整数，其中P1

由于不超过N的合数的最小素因子不超过槡N，因此欲求不超过 N的一切素数，只需把1，2， ，N中不超过槡N的素数的倍数划去 (筛除)，剩下的就是素数。

30

显然，这种方法只能写出不超过N的自然数中素数的清单，N后 面的自然数中还有不少素数，例如30之后的31就是。欧几里得及时个 证明，素数的个数是无穷的。

事实上，若所有素数为P1，P2， ，Pk，取N =P1P2 Pk + 1，N>1，设N本身是素数，N能除P1P2 Pk + 1 (商为1)，又P1，P2， ，Pk 是所有素数，则N是某个Pi，i∈ {1，2， ，k}，于是N 能除尽P1P2 pk，P1P2 pk+ 1被N除余1，与P1P2 pk+1矛盾。若N是合数，则N有一个素数因子P，于是P =Pi，i∈{1，2， ，k}，P能除尽P1P2 pk，不能除尽P1P2 pk+1，即P不能除 尽N，与P是N之因子矛盾，可见全体素数不是有限个。

素数既然是算术中的基因，几乎所有的算术命题当中，都有素数参 与其中，有关素数的命题集中了算术学科的难点。广为人知的难题很 多，例如下面两个就是算术中难题的代表。

1)关于孪生素数的黎曼猜想：孪生素数有无穷个

所谓孪生素数，即相差为2的一对素数，例如(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，等等。

至今无人能证明或反驳这一猜想。

2)哥德巴赫猜想

1742年6月7日，圣彼得堡中学教师，德国人哥德巴赫(Gold-bach)给瑞士数学家欧拉写信提出如下猜想：

每个大于或等于6的偶数都是两个素数之和；每个大于或等于9的 数都是 个 数之 。

两素数之和当然是偶数，但是事情让哥德巴赫反过来一提，可就给 数学界惹来了天大的麻烦。欧拉给哥德巴赫的回函中说："我不能证明 它，但是我相信这是一条正确的定理。"欧拉无能为力的问题，别人怕 是很难解决了。在其后的150多年当中，多少专业的和业余的数论工作 者，都兴趣盎然地冲击这一看似真实的命题，无奈人人不得正果。1900 年，数学界的领袖人物希尔伯特(Hilbert)在巴黎召开的世界数学家 大会上向20世纪的数学家提出23个待解决的名题，其中哥德巴赫猜想 列为第八问题。可惜20世纪的百年奋斗仍然辜负了希尔伯特的期望。

奉劝阅历尚浅、热情十足的年轻朋友，不可受某些不懂数学的记者 们的误导，随便立志以攻克哥德巴赫猜想为己任，而应当从实际出发， 打好坚实的数学理论基础，培养数学研究的能力，再来考虑攀登哪个高 峰的问题。

这里面对的是一个数学问题，不能沿用物理学家诉诸反复若干次实验来证实的办法，例如有人对不超过33X106的偶数逐一验证，哥德巴 赫猜想都是成立的，但那仍然不能解决问题。

下面是近百年来关于哥德巴赫猜想的大事记。

1912年，数学家朗道提出相近的弱猜想：

存在一个自然数M，使得每个不小于2的自然数皆可表成不超过 M个素数之和。

此猜想于1930年证明为真；如果M

1937年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了哥德巴赫猜想的后半句 为真，即大于或等于9的奇数是三个素数之和，这是关于哥德巴赫问题 的重大突破，引起了不小的轰动。但前半句至2000年基本上未被解决。

我们约定：命题"大于等于6的偶数可表示成a个素数之积加上p 个素数之积"记成(a+戽，则哥德巴赫问题是：证明或反驳(1 + 1)。

1920年，朗道证明了(9 + 9)。

1924年，拉德马哈尔证明了(7 + 7)。

1932年，依斯特曼证明了(6 + 6)。

1938年，布赫塔布证明了(5 + 5)。

1938年，华罗庚证明了几乎所有的偶数都成立(1 + 1)。

1940年，布赫塔布等证明了(4 + 4)。

1947年，雷尼证明了(1+?)。

1955年，王元证明了(3 + 4)。

1957年，小维诺格拉多夫证明了(3 + 3)。

1957年，王元证明了(2 + 3)。

1962年，潘承洞证明了(1 + 5)。

1962年，潘承洞、王元证明了(1 + 4)。

1965年，布赫塔布、小维诺格拉多夫、邦比尼证明了(1 + 3)。

1966年，陈景润证明了(1 + 2)，于1973年发表。

尽管(1+2)离(1 + 1)只"一步之遥"，但一步登天的事谈何容 易！从陈景润搞出(1 + 2)至今已有30多年，一直没有人在这个阵地 上前进半步，我国的陈景润仍然是此项世界纪录的保持者。

培养出如陈景润这样杰出的数学家，不但具有广深扎实的数学素 质，而且具有全身心奉献科学事业的品质，乃是我们教育工作者的一项