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数学勾股定理论文:数学史在勾股定理一章中的比较分析
摘要：对人教版和北师大版数学教材中“勾股定理”一章数学史编排模式的比较发现：两版本教材在数学史的设计上各具特色，都力求以多种方式呈现数学史，北师大版比人教版更加注重学生的实践操作能力和交流能力的培养，人教版更关注学生的情感；反思发现两版本教材在数学史融入教学中的弱点：数学史的运用过于浅显、缺乏与信息技术的整合。
关键词：数学史；勾股定理；教材比较
一、引言
数学史与数学课程的整合已成为当今数学教育界的一个热点话题。张奠宙先生指出：在数学教育中，特别是中学的数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》明确提出，“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料”。数学是积累的科学，“它的发展并不合逻辑，数学发展的实际情况与我们学校里的教科书很不一致”。根据历史发生原理，学生对数学的理解与数学本身的发展有很大的相似性。一套好的教材若要返璞归真地反映知识的来龙去脉、思想方法的深刻、内涵以及科学文化的进步，就必须融入一些简略的数学史以启发思维、开阔视野、激发兴趣。这就使得在教材的编写与修订过程中，合理设计数学史内容及其编排方式显得尤为重要。基于以上认识，本文仅对人民教育出版社和北京师范大学出版社初中数学教材（以下简称“人教版”、“北师大版”）中勾股定理一章的数学史进行比较分析。
二、调查与分析
首先对人教版《义务教育课程标准实验教科书?摇数学（八年级下册）》和北师大版《义务教育课程标准实验教科书?摇数学（八年级上册）》勾股定理一章中的数学史进行了统计，具体见下表1。
从表1可以看出，在勾股定理这一章中两版本教材都呈现了大量史料，但在数学史的呈现方式和选材上，又各有侧重点。据表1，两版本教材在本章各出现数学史11处、13处，主要分布在正文、习题、专题和阅读材料中。（人教版以“阅读与思考”呈现数学史料，北师大版以“读一读”这一栏目呈现史料，为统一起见，统称阅读材料；这里的“专题”多是指在相关知识旁边以框架的形式对某些内容作简要介绍。）此外，北师大版及时节（探索勾股定理）和第三节（蚂蚁这样走最近）的引入是在历史名题“折竹抵地”和“蜘蛛与苍蝇”问题的基础上改编的，虽然表面文字上看不出历史的影子，但是我们在统计时仍把这两处归为数学史料。
三、章前内容和数学家的设计
人教版在章前图文并茂，不仅呈现了2002年北京国际数学家大会的会标“赵爽弦图”，还简要解释了勾、股、弦所表示的含义，并在此基础上提出了两个问题，进而交待了这一章所要学习的主要内容。这样的设计不仅激起了学生的求知欲、好奇心，还能让学生在学习新知识之前对本章要干啥有一个大概的了解，同时也便于学生在学习完这章后的自我评估。比起北师大版在章前简单列出各文明古国关于勾股定理说法的设计更为人性化。
两版本教材在介绍数学家时，都是简要的说明数学家的生平（如国籍、年代、出生地等）及做出的贡献，并没有体现数学家遭遇的困惑、挫折、失败的经历。使学生觉得数学家所想到的定理是理所当然的，未能体现数学家在创作过程中斗争、挫折以及数学家所经历的艰难漫长的道路。相比北师大版，人教版在此有一个特色，也是人教版整套教材的特色，即在介绍数学家时附有数学家的头像（本章附有毕达哥拉斯图像），这样能唤起学生对数学家及数学史的亲近、肃穆之感。而北师大版在这方面就稍显逊色，根据刘超的统计，在初中六本教材中人教版有五处附有数学家图像，而北师大版仅有一处（并不是此章）。
四、对两版本教材的思考
人教版在勾股定理及其逆定理的开始分别以数学家的故事和古埃及人得到直角的方法引入数学知识，而北师大版在及时、三节都是以实际问题情境引入数学内容的，但这两处的情境都来源于数学历史名题。两版本在此对数学史用的都比较浅显，没有深挖史料背后隐藏的数学思想方法，数学史只是作为一个情景用来引出相关内容的。这只是数学史融入教学的初级阶段，但我们并不能说这种融入方式是低级的或是不好
。一方面，初级阶段是数学史融入教学，进入高级阶段不可逾越的阶段，具有重要意义，比如激发学习兴趣、调动积极性；另一方面，教材的这种设计也体现了教材的灵活性和多样性，便于教师对内容的重新加工。因此，对这两种引入方式我们不可妄加断言其好坏，唯独希望各相关领域人员对数学思想、方法做认真的思考，对数学史料进行加工和创造，深挖史料背后隐含的价值，充分发挥数学史的作用和价值。
现代信息技术的发展使得计算机已经成为数学文化与数学教育现代化之间的桥梁。两版本教材除了让学生自己上网搜索相关内容外，并没有涉及与信息技术有关的内容。“勾股定理”作为几乎是全世界中学都要介绍的定理，其证明方法就有400多种，这些证法反映了东西方不同的文化。这应引起两版本教材编写者的重视，以便在教材修订时注重相关数学史与信息技术的整合。
数学勾股定理论文:勾股定理初中数学论文
1引言
勾股定理是初中数学中非常重要的一个定理[1]。它很好地解释了直角三角形中三条边之间的数量关系，对于几何学当中有关直角三角形的计算机证明问题，利用勾股定理往往能够迎刃而解，使学生快速掌握解决方法。同时，在日常生活及工作当中，勾股定理的应用也非常广泛。因此，在初中数学教学过程中，充分利用好勾股定理这一有效手段进行解题显得尤为重要。笔者结合多年的教学经验，利用勾股定理，对初中数学当中的“线段求长问题”、“求角问题”、“证明垂直问题”及“实际问题”进行了分析与探究，希望以此能够为初中数学教学提供有效依据。
2勾股定理在线段问题中的应用
在初中数学中，一些“线段求长”问题使用常规方面解决常表现的较为棘手，而使用勾股定理往往能够得以有效解决。例题1：如图1，在三角形ABC中，已知：∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的三个顶点分别位于相互平行的三条直接l1、l2、l3上，并且l1与l2之间的距离为2，l2,与l3之间的距离为3，求AC的长度。解：过A作l3的垂线交l3于D，过C作l3的垂线交l3于E，由已知条件：∠ABC＝90°，AB＝BC，得：RtABD与RtBEC全等；所以，AD＝BE＝3，DB＝CE＝5；进而得：AB2＝BC2＝32＋52＝9＋25＝34；在直角三角形ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝68，所以：AC=217姨
3勾股定理在求角问题中的应用
在初中数学当中，有些求角问题使用常规方法难以解决，而使用勾股定理则能够很快地解决。因此，将在求角问题中充分应用勾股定理便有着实质性的作用[2]。例题2：如图2，在等边ABC中，有一点P，已知PA、PB、PC分别等于3、4、5，试问∠APB等于多少度？解：把APC绕着点A旋转，旋转至ABQ，让AB和AC能够重合；此时，AP＝AQ＝3，BQ＝PC＝5，，∠PAQ＝∠BAC＝60°；所以，PAQ是等边三角形；所以，PQ＝3；在三角形PBQ当中，PB、BQ分别等于4、5，所以，三角形PBQ是直角三角形，其中∠BPQ＝90°；所以，∠APB＝∠BPQ＋∠APQ＝90°+60°＝150°。
4勾股定理在证明垂直问题中的应用
在初中数学当中，一些证明垂直的问题如果利用勾股定理进行求解，那么将能够达到事半功倍的效果。下面笔者结合有关证明垂直问题的题型展开讨论。例题3：如图3所示，已知AB＝4，BC＝12，CD＝13，DA＝3，ABAD，证明：BCBD[3]。证明：由已知条件ABAD可知，在三角形ABD中，∠BAD＝90°；因为AD、AB分别为3、4，由勾股定理可知：BD2＝AB2＋AD2＝32＋42，求得：BD＝5，又因为BD2＋BC2＝52＋122＝132＝CD2；因此，三角形DBC为直角三角形，其中∠CBD＝90°；所以，BCBD。
5勾股定理在实际问题中的应用
对于勾股定理，还能够解决实际问题，并且这些实际问题都是在日常生活中可以看到的。例题4：一棵小树高为4米，现有小鸟A停留在树梢上，此时小鸟B停留在高20米的一棵大树树梢上发出友好的叫声，已知大树与小树的距离为12米，如果小鸟A以4m/s的速度飞往大树树梢，试问：小鸟A至少需要多长时间才能够与小鸟B在一起？解：如图4，根据题干的已知条件可知，AC＝16m，BC＝12m，由勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2＝162＋122，求得AB＝20m；所以，小鸟A所需时间为20/4＝5秒。笔者认为，利用勾股定理解决实际问题，需要弄清题意，进而对题目中所涉及的直角三角形找出来，然后结合勾股定理进行求解[4]。在例题4中，最主要的步骤便是依照题意，结合勾股定理，然后画出大树与小树之间的直角三角形，在充分利用已知条件的基础上，便能够使问题有效解决。
6结语
通过本课题的探究，认识到在初中数学中，对于许多问题可以利用勾股定理进行求解。包括“线段求长问题”、“求角问题”、“证明垂直问题”及“实际问题”等。笔者认为，勾股定理在几何学当中占有非常重要的地位，它不仅仅只是一种解决数学问题的定理那么简单，它还与我们的日常生活息息相关。在数学教学过程中，学习勾股定理进行解题，不但能够提高学生解题的效率，而且还能够让学生对生活引发思考，从而在学习数学过程中，体会到生活与数学学科的密切联系，进一步为数学在生活中的实际应用奠定良机。
作者:孟昭波单位:江苏省淮北中学
数学勾股定理论文:初中数学勾股定理教学的创新策略分析
【摘 要】在初中数学教学中，勾股定理是重要的基本原理注意，学生和教师都十分重视，由于勾股定理知识点难度大，因此，在长久以来的教学过程中，为了帮助学生能够熟练掌握和应用勾股定理，教师在不断的完善和创新教学模式，随着现代化社会的到来，多媒体和网络信息技术被广泛应用于教学中，教师可以充分发挥现代化技术的作用，为学生构建一个高效、愉悦的教学环境，提升学生的学习效率，提高初中数学的教学效果。本文通过分析初中数学勾股定理教学的创新策略，以期为同行提供有效的教学建议，让学生能够牢固掌握勾股定理。
【关键词】初中数学；勾股定理教学；创新策略
为了让初中数学课堂丰富化和多样化，教师应该多应用现代化技术来营造愉悦轻松的课堂氛围。传统的教学方式，教师充当了的身份，学生大部分的课堂时间是被动的接受教师说讲授的学习内容，处于被动学习状况，不仅学习效率不高，一旦遇到难懂的、难理解的知识，往往没有充足的时间进行分析和揣摩，导致学生学习效率越来越低，甚至对学生将来学习数学造成了阻碍。针对此，在新课改的大背景下，教师应该将促进学生自主学习和自主探究，培养学生的创新能力作为教学目标，根据学生的学习需求，立足于学生的实际情况，充分利用现代化技术，为学生营造轻松的、高效的数学课堂，促进学生学习和发展。
1在切入勾股定理过程中，充分发挥多媒体作用
为了提高课堂教学质量，初中数学教师在课堂开始之前就要能够找好教学的切入点，在课堂活动一开始就抓住学生的注意力，让学生对教学内容产生求知欲，并能够清晰的认识到教学内容。由于初中生正处于心理快速发展的时期，对多媒体存在较大的好奇心，教师利用多媒体来引入知识点，可以让学生不自觉进入到角色中进行学习，进而充分参与到教学活动中进行数学问题的探究和学习[1]。例如：教师可以在课堂开始之前播放两段视频，及时个视频是：小红拿着一根2.2m的竹竿上火车，但是按照中国铁路乘坐法规规定，乘客在乘坐火车时，所携带的物品不能超过两米，但是乘警发现夏红拿着超过标准长度的竹竿上火车却视而不见，这是为什么？这种利用视频引导学生的方式，可以激发学生对接下来的学习产生热情，进而认真学习接下来的知识。
2为了将勾股定理具体化，注重突出多媒体功能
当今对学生的优劣程度都是根据考试成绩来进行判断，但是在初中时间教学中可以发现，学生的学习过程往往比学习结果更重要，教师应该让学生充分参与到教学活动中，所谓授之以鱼不如授之以渔，教师应该帮助学生掌握教学方法，引导学生通过自主学习来进行自我完善和自我进步[2]。勾股定理知识具有较强的灵活性，勾股定理知识可以与其他数学知识点进行有机结合，成为一种综合性问题，因此，初中数学教师应该让学生学会勾股定理并熟练运用勾股定理来进行综合数学问题的解决。为了帮助学生突破勾股定理知识点的束缚，教师应该将勾股定理形象化和具象化。例如：初中数学教师可以利用多媒体技术将数学计算公式和图像、声音结合起来，首先设置数学问题：已知AB=4，BC=12，CO=13，DA=3，ABAD，请证明BCBD。传统的教学方式，教师都是通过黑板来进行逐步推演，但是，为了创新教学策略，教师可以将推演过程做成幻灯片的形式，在步骤推演中插入适当的音效，强化学生的记忆。
3鼓励倡导学生进行猜想，点燃学生的创新火花
伟大的数学家宜里士多德认为：疑问和近期是思维的开始，因为疑问是学生思考和产生认知的冲动，只有在学生产生疑问后，才能进行自主学习和探究，因此，在进行教学的过程中，教师应该通过提出问题，引导学生分析问题和解决问题，让学生在整个过程中进行思考，从而发展学生的创新意识和实践能力[3]。例如：在进行勾股定理的逆定理学习过程中，首先让学生进行勾股定理的回顾：加入直角三角形两直角边的长为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，由此，教师可以提出问题：加入一个三角形的三边长为a、b、c，三条边满足条件a2+b2=c2，请问这个三角形的形状怎么样？大部分学生都猜测是直角三角形。为了让学生强化勾股定理的理解，教师可以让学生以小组的形式进行分析验证。很多学生提出想法：画一个三边长为3、4、5的三角形，显然32+42=52，且画出来后也是直角三角形。基于此，教师可以继续进行提问引导：这种想法是不是具有较大的皮变形，当前对一个三角形是不是直角三角形，只能通过证明其中一个教师直角，那么我们应该如何判断这个角是直角？由此，教师就可以帮助学生形成笛思维：利用已知条件作直角三角形，在证明直角三角形与原三角形全等，那么以上问题就得意解决。做直角，截取两直角边相等，利用勾股定理和已知条件可以计算出斜边长c，通过三边对应相等的两个三角形全等（SSS），则可以证明学生自己的猜想。在整个教学过程中，学生积极思考，证明自己的猜想，处于学习的主体位置，学习效率较高。
4构建现代化的教学情境，激发学生的创新意识
当前我国已经进入了互联网时代，教师应该利用互联网加强师生之间的沟通，并通过互联网拓展学生的知识面，促进学生的进一步发展。例如：学习完勾股定理的相关知识后，教师可以将知识网络构造图放在校园网平台中，让学生在课外也能够对知识网络进行重温和学习。与此同时，教师可以在校园网平台中，典型例题，学生完成后提交给系统进行批改，教师则对学生的做题情况进行查看和统计，针对学生容易出错的题目，设计相应的教学环节，帮助学生强化这一领域的知识。另外，教师可以倡导学生组建课外学习小组，小组通过微信、QQ等现代化社交软件进行学习交流，学习好的带动学习差的，相互促进、相互学习，提高学生整体学习水平。学生在这样融洽、向上的学习环境中，学习氛围良好，学习效率也得以提高。且利用现代化交际手段，强化师生、生生之间的沟通交流，可以帮助学生强化知识，打造良好的交际圈，促进学生的发展。
5结束语
总而言之，随着现代化的发展，现代化技术深入到我们的生活和学习中，互联网时代的到来促进多媒体技术的进一步发展，创新初中数学勾股定理教学方法，教师应该充分利用多媒体技术和互联网技术，将抽象的勾股定理知识具象化，为学生创建活跃的课堂氛围，调动学生的学习积极性，帮助学生养成自主学习和自主探究的良好学习习惯。与此同时，教师还可以利用多媒体技术帮助学生拓展知识范围，除了课文以内的知识以外，让学生能够了解到课文以外的知识内容，促进学生自学能力的发展。在初中数学教学中，勾股定理教学是重点，也是难点，教师应该对教学方法进行创新，将多种教学方式应用于教学过程中，帮助学生牢固掌握勾股定理，使学生能够熟练运用勾股定理解答其他数学问题。
数学勾股定理论文:应用勾股定理, 把握数学思想
摘 要： 勾股定理在几何学中具有非常重要的地位，是整个平面几何的重要基础，在现实生活中也具有普遍应用性。初中生正处于由具体思维向形式化思维转变的时期，勾股定理教学也处于学生数学思维转折阶段，因此它是教学中的一个难点。
关键词： 勾股定理 初中数学教学 数形结合
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形中非常重要的性质。它揭示了三角形三条边之间的数量关系，是解决直角三角形问题的主要根据之一，它在实际生活中用途广泛。新课改强调培养学生的动手能力和探究能力，通过实际操作与探究活动，使学生获得较为直观的印象，从而掌握勾股定理，以利于正确地运用。
一、通过引趣设疑，引发学生探究勾股定理
在教学中教师可通过导入课外有趣的内容，作为课堂教学的切入点。例如：在地球之外的浩瀚宇宙中，到底有没有外星人？如果有，我们如何与他们联系？著名的数学家华罗庚就曾建议，让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3∶4∶5的直角三角形，你知道华罗庚为什么会提出这样的建议？等等。通过一系列的问题，激发学生的兴趣，抓住他们的注意力。原来古老的勾股定理，竟然成为了地球与外星人的联络密码。这样学生就会在感叹人类古老文明的同时，更加体会到学习勾股定理的重要性。也可以通过一系列生活中随处可见的直角三角形的实例，引起学生的关注。如给学生讲一个故事：相传在2500年前，数学家毕达格拉斯在他的朋友家做客时，发现朋友家的地面砖能反映直角三角形三边的某种数量关系。这个小故事让学生懂得，科学家的伟大发明都是在看似平淡的现象中发现的。数学知识来源于现实生活，只要我们学会观察与思考，就能激发学生的学习兴趣。
二、学习勾股定理，体会数形结合的思想
新课改强调，数学教学要看学生能否在活动中积极思考与探究，能否探索出解决问题的办法，能否进行积极的联想，以及学生能否有条理地表达探究过程与获得的结论等。也可以鼓励学生用拼得的正方形来验证勾股定理，引导学生体会数形结合的思想方法，培养数学应用意识。勾股定理描述的是直角三角形的三边之间的关系，应用勾股定理的前提是这个三角形必须是直角三角形。要强调通过图形找出直角三角形三边之间的关系，要从代数表示联想到几何图形，由几何图形联想到代数表示。勾股定理是人们在实践中通过图形的分割，并探讨图形之间面积的关系过程中总结出的规律。教学中要引导并鼓励学生多动手探索，体验数学活动充满着探索与创造。按课本中的方法证明这个定理，例如：用四个全等的直角三角形拼成正方形，大正方形面积可以表示为（a+b）2，四个全等的直角三角形的面积+小正方形的面积=c2+2ab，得出（a+b）2=c2+2ab，化简可得a2+b2=c2。我们还可以把公式变形为：a2=c2-b2或b2=c2-a2，于是可知在直角三角形中已知两边可求出第三边。
三、拓宽学生视野，但弱化对定理的发现
对于勾股定理的发现，我们认为应该做弱化处理，没有必要让学生在此太花精力引导学生探究怎样发现勾股定理的。如果处理得不当，很容易导致学生盲目地探究。在实际教学中，教师虽有探究式教学的理念，但在设计上存在着困惑：通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a2+b2=c2，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系。所以，教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生。如何处理这一困惑，一条途径就是教科书直接把勾股定理呈现在学生面前，而更多地把空间留给介绍与勾股定理相关的数学史料上，借此拓宽学生的视野。第二条途径是参考顾泠沅、王洁等人的结论：运用“脚手架”理论，通过“工作单”进行铺垫，为学生的学习提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下对高认知学习任务的难度的跨越。这样的处理也具有一定的可行性。不过大多数人更倾向于及时条途径，弱化发现，而强化证明，重视应用，把重点放到定理的证明与应用上，这样也许对学生的思维更有利。
四、注重数形结合，实现教学方式的转变
学了数学却不会解决实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节，感受不到数学与生活的联系，这是当前初中数学教学的现状，教学中到处充斥着过量的、重复的题目训练。真正的教学应该关注学生学习的过程。首先要关注学生是否积极参加探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极思考，能否探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想（数形结合），以及能否有条理地表达活动过程和所获得的结论等。其次要关注学生学习的知识性及其实际应用。教学主要目的是掌握勾股定理，体会数形结合的思想。现在的情况是学生知道了勾股定理而不知道在实际生活中如何运用勾股定理。因此在学生了解勾股定理以后，不妨出一个类似于《九章算术》中的应用题，例如：在平静的水面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖与水面平齐，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？教学方式的转变在关注知识形成的同时，更加关注知识的应用，特别是所学知识在生活中的应用，真正起到学为所用的作用。
数学勾股定理论文:勾股定理解题中的数学思想
勾股定理是初中数学中的一个十分重要的定理，它反映了自然界中的一个最基本的规律，体现了直角三角形三边之间的数量关系。通过勾股定理的学习，学生们能够进一步理解和感觉一些数学思想方法，从而提高运用数学知识解决实际问题的能力。以下就从五个方面来谈谈在勾股定理解题过程中所体现出来的数学思想。
一、方程的思想
在求解勾股定理问题时，常常需要将与三角形各边均有关系的某个量设未知数，再依据题目中其他数量关系列方程求解
例1如图在长方形ABCD中，AB=5，在CD边上找一点E，沿直线AE把ADE折叠，若点D恰好落在BC边上点F处，且ABF的面积是30，求DE的长。
二、转化思想
最短路线问题是勾股定理在实际问题中的具体应用之一，解决此问题的关键是先将立体图形转化为平面图形，再利用“两点之间线段最短”及勾股定理等知识来解决。
例2如图已知柱的底面周长为16cm，高为6cm，一只蚂蚁从点A到点B寻找食物，蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
解析：由题意可知，圆柱体中的A，B两点是曲面上的两点，表示这两点之间的最短路程显然不能直接画出来，但我们知道圆柱的侧面展开图是一个矩形，于是可画出图2。这样转化到平面上求两点间最短路程。
点评：侧面展开后，A，B两点间的距离是底面周长的一半，不能误解为底面周长，解决立体图形中最短距离问题的关键是利用转化思想，将陌生的立体图形展开，转化为熟悉的平面图形再求解，即“化曲为平”
五、数形结合思想
数形结合思想即借助数的性阐明图形的某种属性。利用图形的直观性阐明数与数之间的关系，这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。 数形结合是解决数学问题的一个有力工具，也是中学数学中极为重要的基本方法之一
例6如图1，一架梯子长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与端角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2所示，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A滑落了多少米？
点评：解答此题的关键是构造直角三角形，用勾股定理来寻求边与边之间的关系是解此类问题的常用方法。勾股定理的公式及各种变式应牢固掌握，灵活应用。注意问题中只告诉三角形的一些条件，可启发我们运用勾股定理的逆定理进行判断。
数学勾股定理论文:试论初中数学勾股定理教学与学生知识串联能力培养
[摘 要] 勾股定理是初中数学教学的重要定理，是培养学生知识串联能力的有效工具. 本文从勾股定理串联数字运算、串联几何证明、串联函数演算三方面，具体阐释初中数学如何利用勾股定理教学推动学生知识串联能力培养.
[关键词] 初中数学；勾股定理；知识串联
初中数学新课程标准对学生学习能力、创新能力都提出了全新的、更高的要求，而对学生学习能力和创新水平产生直接影响的则是学生的知识串联能力. 所谓知识串联能力，简而概之，便是学生举一反三，有效联系各类知识，形成强有力的知识正迁移，有效促进学生课程学习的一种能力. 初中数学知识学习在所有初中学科中是最成体系、最富结合度的，各个知识点串联运用的频率高、范围广，因此学生的知识串联能力对于初中数学的教、学同样具有重大意义. 勾股定理是解释直角三角形三边关系的重要定理，同时也是初中数学课程中最为重要的几个定理之一. 勾股定理具有形式变化多、应用范围广等特点，能与代数运算、图形推导、函数演算等数学内容进行串联应用. 基于这一特性，勾股定理便成为初中数学培养学生知识串联能力的极为有效的工具. 为了进一步培养学生的知识串联能力，推动初中数学课程改革，笔者就初中数学勾股定理教学如何与学生知识串联能力培养“擦出火花”进行探究，总结出如下三点建议.
勾股定理串联数字运算，培养
学生的代数运算能力
代数是初中数学非常重要的内容，包含有理数、整式、实数的代数运算，等式、不等式、方程等内容，是学生开拓初中数学知识时必不可少的工具. 将勾股定理及逆定理与代数知识内容进行串联，将为初中数学代数练习注入新鲜血液，将极大地丰富初中代数运算练习的内容与形式，有助于激发学生代数练习热情，提升学生代数综合解析、运算能力. 初中数学代数运算要与勾股定理有效串联，笔者认为要做好“换”的文章. 怎么“换”？就是将代数运算中的必备条件、必要数字、必定过程勾股定理化，将这些本来现成的代数运算条件全部换成勾股定理内容，让学生的代数运算能力在勾股定理和代数运算概念的灵活转化中得到提升.
应用题是数学运算中非常经典的表达形式，笔者将勾股定理串联到代数应用题中，设计了这样一道试题：“某条高速公路的快车道规定时速不能超过120 km/h，已知一辆小汽车沿着一段直道高速公路的快车道行驶，在路过车辆测速仪正前方时，汽车与测速仪相距60 m，2 s后，汽车距离测速仪100 m，请问汽车超速了吗？”要求汽车是否超速，就必须求出汽车的时速，这是一道典型的代数应用题，但这道代数题却把学生难住了，因为要求速度，必须知道路程和时间，时间是知道了，路程呢？于是笔者引导学生根据题意画了一张图（如图1）. 学生可以发现，汽车正对测速仪时刚好在A点，2 s之后，汽车在B点，测速仪和A，B两点刚好围成一个直角三角形，测速仪到A点的距离是60 m，到B点的距离是100 m，由此很容易得出AB2=1002-602，即AB=80 m. 由此可知小汽车的时速是80÷2=40 m/s=144 km/h，显然汽车已经超速了. 像这样利用勾股定理与代数运算串联，能有效培养学生分析问题、转化问题、解决问题的能力.
勾股定理串联几何证明，培养
学生的图形解析能力
三角形证明几乎占据了初中数学几何证明中的绝大部分内容，而勾股定理又是体现直角三角形三边关系、解决三边问题的有效定理，因此，勾股定理与初中数学几何证明可以说是无缝对接. 通过勾股定理的延伸运用，将为学生的几何证明打开一个全新的思路，许多看似难解、难证的几何问题，也将在勾股定理的引进和串联下迎刃而解. 勾股定理和初中数学几何证明之间的串联，笔者觉得其关键是“找”，教师要引导学生找到几何图形中潜在的勾股定理，并地把握勾股定理与图形证明之间的关系，从而解决证明问题.
例如，笔者为了将勾股定理与相似三角形证明进行串联，设计了这样一道试题：“如图2所示，AB与CD相交于点E，已知AB=11，AE=5，CD=13，DE=10，AC=4，DB=8，求证：ACE∽DBE.”学生一看此题，都一筹莫展，于是我开始引导学生：“同学们，我们知道AB=11，AE=5，那能不能求BE的长？”学生回答“能”，我再问：“那我们知道CD=13，DE=10，能不能求CE的长？”学生也点头说“能”，我接着引导：“同学们，经过计算后，我们手头掌握的条件如下，在ACE中，AE=5，AC=4，CE=3，根据这组数字我们可以发现，AC2+CE2=AE2，符合勾股定理，所以ACE是直角三角形；再看看DBE，DE=10，DB=8，BE=6，根据这组数据我们可以发现DB2+BE2=DE2，符合勾股定理，所以DBE是直角三角形. ”通过这样的引导，学生在图形解析时，利用勾股定理打开了突破口，能找到图形之间的联系，最终解决几何证明题，这有助于培养学生的发散思维，增强学生的图形解析素养，提升学生的几何证明能力.
勾股定理串联函数演算，培养
学生的抽象思维能力
对于很多学生来说，函数就是噩梦，缘何如此？答案就是函数太抽象了. 我们生活在一个具象的世界，对于事物都习惯用具象思维思考，所以很多学生才会对抽象化的函数演算产生畏难情绪. 函数是难，但并非毫无“破绽”，如果能够引导学生有效串联勾股定理，许多函数问题都能不攻自破. 因为函数是直角坐标系中的一组变量关系，在直角坐标系中我们很容易找到直角三角形，所以只要能在勾股定理和函数之间建立联系，解决函数问题自然不在话下. 那如何建立联系？笔者认为答案就一个字，那就是“变”. 很多时候，函数直角坐标系中没有直角三角形，这个直角三角形需要我们利用函数知识进行合理转化，自己“变”一个出来，只要能够引导学生顺利“变”出直角三角形，便能实现勾股定理与函数演算的有机串联.
比如，笔者在教学初中数学“一次函数”时，是这么引导学生串联勾股定理的，题目是：在直角坐标系中，有A（4，2），B（1，3）两点，点E是x轴上一点，求AE+BE的最小值. 这样的题目很抽象，学生不知从何下手，于是笔者引导学生：“同学们，我们学过的知识中，涉及最短距离的定理是什么？”学生思考后回答：“两点之间，线段最短. ”我说：“同学们说得很好，所以要求AE+BE的最小值，我们就应该使AE和BE变成一条线段. 最简单的方法是什么？设置点A关于x轴对称的点A′（4，-2）. ”学生点头，笔者继续引导：“我们现在有一条直线了，那我们好好观察一下，如果我们要变出一个直角三角形，A′B会是什么边？”“斜边”，学生齐答. 笔者点头继续引导：“所以，我们要变出一个直角三角形，只要找到两条直角边就行了，最简单的方法就是作BC∥y轴，A′C∥x轴，交点是C，于是点C的坐标是（1，-2）. 所以A′C=3，BC=5，A′B2=32+52，可得AB=.这样我们就求出AE+BE的最短距离了.”通过这样引导学生设置对称点，画平行线，“变”出一个直角三角形，将有助于帮助学生找到抽象思维具象化表达的方法，为学生破解抽象函数打通一条通道.
总之，利用初中数学勾股定理推动学生知识串联能力培养的核心思路，就是帮助学生养成思维发散习惯，引导学生在题干中找到隐藏着的解题之匙，通过知识之间的有机串联、组合和应用，提高数学学习效率. 教师一定要以此为突破口，多思多想，反复琢磨，探索更多勾股定理与其他知识点有效串联的策略，真正用好勾股定理，提升学生知识联系能力和综合运用能力，切实推动初中数学教学.
数学勾股定理论文:浅析新课程下“勾股定理”的数学分析与建议
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史。纵观初中数学，勾股定理架起了代数和几何的桥梁，将数与形密切联系起来。在几次的课程教学改革中，勾股定理都作为中学数学的重点内容被保留下来。下面笔者针对课程内容、教学目标要求、课程关注点等方面进行浅析，提出一些教学建议。
一、新、老课程“勾股定理”的比较
1.课程内容的变化
新课程相对于老教材增加了“蚂蚁怎样走最近”这一节，并在教材中增加勾股定理的历史的相关素材，书中提供了较为丰富的历史或现实的例子来展示勾股定理的应用。
2.教学要求的变化
老教材对勾股定理的教学要求是：（1）使学生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能够熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长，会用勾股定理判断一个三角形是不是直角三角形。
新课程下的勾股定理教学要求是：（1）经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；（3）掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题；（4）通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。
由上可知，新课程下的勾股定理在已知直角三角形两边求第三边中，给出的两边数据相对于老教材简单得多，删去了烦琐的计算过程，勾股定理逆定理的理论证明，利用勾股定理的逆定理解题的数据均不会过大，通过古埃及的结绳来说明，省去了烦琐的证明过程。新课程中加强了勾股定理的实际运用，利用勾股定理及逆定理解决实际问题成了重点，例如：“蚂蚁怎样走最近”这一节突出了勾股定理及逆定理的实用性。书中提供了较为丰富的历史或现实的例子，来展示它们的应用，体现它们的文化价值，并且在知识发生过程中，作了较高要求。
3.课程关注点的变化
老课程比较关注运用勾股定理及逆定理的相关运算，即已知直角三角形两边长求第三边和判定一个三角形是否是直角三角形。新课程则强调了勾股定理在现实生活中起着重要作用，是数形结合的典范。
二、教学中应注意的问题及建议
1.重视实际情景
新课程创设实际情景，让学生感受到现实生活中勾股定理的应用，从实际情景抽象出勾股定理。因此，建议为学生创设丰富的实际情景，使学生经历知识发生的过程。在证明勾股定理逆定理中，可将一根绳子打上13个结，将绳子分成12等分，让三位同学上讲台，一位同学握住第1和第13个结，一位握住第4个结，一位握第8个结，创设此情景，让学生自己思考、分析，从而判断此三角形为直角三角形，归纳出勾股定理逆定理。
2.重视数形结合
新教材里，勾股定理的探索和验证过程中，数形结合有较多体现，渗透了代数运算与几何图形之间的关系。因此，建议在教学中应注意渗透这种思想，鼓励学生从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，有助于学生认识数学的内在联系。例如：在探索勾股定理过程中，应引导学生由正方形的面积想到a2、b2、c2，而在勾股定理的验证过程中，教师又应引导学生由数a2、b2、c2想到正方形的面积。
3.重视实际应用
对于勾股定理，新教材不仅要求能从实际情景中抽象出勾股定理，而且要能将它用于实际问题中，从而体现出数学的应用价值。因此，建议在教学中充分利用教科书中的素材让学生体会这种应用，如古埃及人利用结绳的方法做出直角，利用勾股定理求出蚂蚁的最短路线等。
4.重视学生经历探索勾股定理的过程
新教材中安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索直角三角形的条件等活动。因此，建议在教学中不要直接给出结论，要鼓励学生，通过观察、实践、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能力。例如教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师应引导学生通过由特殊到一般的探索得到结论。
5.重视自主探究与合作交流
新教材自始至终为学生提供自主探索、合作交流、积极思考的空间和机会，课堂上引导学生主动参与探究或学习，激发学生学习数学的兴趣，调动学生的积极思维，督促每个学生都在这个过程中积极参与，从而培养探索与创新的精神。
6.重视爱国主义的渗透
教材介绍了我国古人赵爽的证法，介绍了赵爽弦图，表现了中国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是中国人的骄傲，通过向学生介绍我国古代勾股定理研究方面的成就，激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感，同时教育学生发奋图强、努力学习，担起建设伟大祖国的重任。
（作者单位：贵州省安顺市实验学校）
数学勾股定理论文:浅谈勾股定理在初中数学中的应用
【摘 要】勾股定理既是初中数学知识中的重点，也是难点，将会学生利用勾股定理进行有关题目的解答，可大大提高解题效率。本文从三个方面探讨了如何加强勾股定理在初中数学教学中的应用，希望以此能够为初中的数学教学提供一些帮助。
【关键词】初中数学；勾股定理；教学方法；应用
勾股定理是初中数学知识中的一个重点，也是难点，是解答有关直角三角形题型的基础。而且勾股定理在实际生活中也被广泛的应用，与人们的生活息息相关。它既是一个几何概念，更是数学中数形结合思想的体现。勾股定理应用到初中数学教学中去，教学重点在于让学生理解其概念并创建空间想象性思维。为了使学生更好的掌握有关勾股定理的内容，并提高实际应用能力，老师需要在教学过程中精心设置教学内容，提高学生们的学习积极性，用直观的例子来辅助理论教学。以下就初中老师如何在数学教学中利用勾股定理更好的提高质量进行了分析，并列举了相关题型进行辅助说明。
一、教师需要精心创设教学方法，以学生为主体
在以往的数学课堂教学中，多是以老师进行题型讲解、要求学生进行专项练习为主，学生们总是处在被动的被安排的地位，这于新课标的要求不符，需要老师转变教学观念，把学习的主动权交给学生，要让所有的教学活动都围绕着学生进行，以生为本。在进行勾股定理的教学时，以生为本的观念非常关键，有利于自行了解和掌握勾股定理的相关内容。老师在进行教学预设时需要充分考虑学生实际的数学能力，精心的创设教学方法，想方设法的调动学生们进行积极的思考。另外，老师们还需要向学生强调勾股定理和逆定理的区别，防止学生将两个定理混在一起，可以对学生进行强化训练，加强学生们对两个概念的把握。
二、要充分利于多媒体教学的优势，进行情景化教学
勾股定理不仅是初中数学知识中的重点，在数学考试中占据大量的分值。更是一个难点，许多学生都曾反映在对勾股定理的学生和应用上比较吃力，数学老师如何将勾股定理的知识点深入浅出教授给学生，如何加强学生对知识的掌握和应用，是所有数学老师的教学重点。初中生他们的心智还不够成熟，认知水平有限但是却对新鲜事物充满了好奇心和求知欲，老师们在实际教学时，就可以根据初中生的年龄和心理特点，利于现代化的多媒体技术进行辅助教学，通过多媒体手段来创设情景，例如利用图片、动画、影像等来吸引学生们的注意力，并通过这种新颖的途径将学生们逐渐引导到勾股定理的相关内容中来，运用多媒体技术将抽象的数学概念转化为生动的、形象的内容，可以加强对学生对知识点的深入理解。
例如：图1.为一课4米高的小树，现在有一只小鸟A停留在树梢上休息，而另一只小鸟B停留在高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声。现在已知大树和小树之间的距离是12米。如果小鸟A以4m/s的速度飞向大树的树梢，那么请问：小鸟A至少需要多长时间才能与小鸟B汇合？
解答：如图1.由题目中的条件已知，AC=16m，BC=12m，根据勾股定理可以得出：
AB2=AC2+BC2=162+122，得出AB=20m，所以小鸟A所需的时间为20/4=5m。
例如：虚线阴影部分是某条河的河面，要测量AB两点之间的距离，要观测三个测点：A、B、C，∠BAC=90°，又量得BC=1300m，AC=500m，计算河宽AB之间的距离是多少？
解答：如图2.由题目中的给出的角度和长度，根据AB2=BC2-AC2，可以得出AB2=13002-5002=12002，所以河宽AB之间的距离为1200米。
在老师讲解这两道题的时，就可以通过多媒体手段画出这棵树和两只小鸟的形象，画出这条河流的形象，还可以做出动画的效果，让学生们真正的看到小鸟在飞，河水在流。这样一来，学生们的注意力都会放在这道题上，有利于提高老师的教学质量。
三、要将生本理念和多媒体技术向融合，深化学生的思维
生本理念就是在教学中把学生作为主体，改变以往学生们在学习中的被动状态的一种新型的教学理念，旨在让学生成为学习活动的主人。要在“听”和“学”中实现老师和学生的互融，通过老师为学生们创设的教学情景，学生们在主动思考、自觉创新中使自己的自主学习能力得到锻炼和提高。同时，老师又运用多媒体教学手段来吸引学生们的参与兴趣，实现生本教学。
例如：图3.是一棵美丽的勾股型树，其中所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、4、2，那么底层最粗较大的正方形树干的面积是多少？
解答：由勾股定理可知，A和B的正方形面积之和等于正方形F的面积，从而得出F的面积为8。同理可得正方形G的面积为6，可以得出底层最粗较大的树干E的面是F和G正方形面积之和，所以答案是14。
例如：图4.是“赵爽弦图”的飞镖板图。其中直角三角形的两条直角边分别是2和4，假设飞镖每次都扎在板上，那么投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域的概率是多少？
解答：由题目已知条件可得出中间正方形的边长是2，根据勾股定理可得出外面大正方形的边长是2，所以小正方形与大正方形的面积比是对应边的比的平方，即1：5，在根据概率公式可以求出投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域的概率是1/5。
在这样的拼图式的题型，老师需要引导学生通过拼出不同的图形来发现其中隐藏的勾股定理，使学生们的创意想象得到充分的发挥，并善于发现每一位学生身上的闪光点，有针对性的对预设教学进行调整，促进预设和生本的融合。
小结
勾股定理既是初中数学知识中的重点，也是难点，将会学生利用勾股定理进行有关题目的解答，可大大提高解题效率。本文从三个方面探讨了如何加强勾股定理在初中数学教学中的应用，希望以此能够为初中的数学教学提供一些帮助。
数学勾股定理论文:数学史在勾股定理一章中的比较分析
摘要：对人教版和北师大版数学教材中“勾股定理”一章数学史编排模式的比较发现：两版本教材在数学史的设计上各具特色，都力求以多种方式呈现数学史，北师大版比人教版更加注重学生的实践操作能力和交流能力的培养，人教版更关注学生的情感；反思发现两版本教材在数学史融入教学中的弱点：数学史的运用过于浅显、缺乏与信息技术的整合。
关键词：数学史；勾股定理；教材比较
一、引言
数学史与数学课程的整合已成为当今数学教育界的一个热点话题。张奠宙先生指出：在数学教育中，特别是中学的数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》明确提出，“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料”。数学是积累的科学，“它的发展并不合逻辑，数学发展的实际情况与我们学校里的教科书很不一致”。根据历史发生原理，学生对数学的理解与数学本身的发展有很大的相似性。一套好的教材若要返璞归真地反映知识的来龙去脉、思想方法的深刻、内涵以及科学文化的进步，就必须融入一些简略的数学史以启发思维、开阔视野、激发兴趣。这就使得在教材的编写与修订过程中，合理设计数学史内容及其编排方式显得尤为重要。基于以上认识，本文仅对人民教育出版社和北京师范大学出版社初中数学教材（以下简称“人教版”、“北师大版”）中勾股定理一章的数学史进行比较分析。
二、调查与分析
首先对人教版《义务教育课程标准实验教科书?摇数学（八年级下册）》和北师大版《义务教育课程标准实验教科书?摇数学（八年级上册）》勾股定理一章中的数学史进行了统计，具体见下表1。
从表1可以看出，在勾股定理这一章中两版本教材都呈现了大量史料，但在数学史的呈现方式和选材上，又各有侧重点。据表1，两版本教材在本章各出现数学史11处、13处，主要分布在正文、习题、专题和阅读材料中。（人教版以“阅读与思考”呈现数学史料，北师大版以“读一读”这一栏目呈现史料，为统一起见，统称阅读材料；这里的“专题”多是指在相关知识旁边以框架的形式对某些内容作简要介绍。）此外，北师大版及时节（探索勾股定理）和第三节（蚂蚁这样走最近）的引入是在历史名题“折竹抵地”和“蜘蛛与苍蝇”问题的基础上改编的，虽然表面文字上看不出历史的影子，但是我们在统计时仍把这两处归为数学史料。
三、章前内容和数学家的设计
人教版在章前图文并茂，不仅呈现了2002年北京国际数学家大会的会标“赵爽弦图”，还简要解释了勾、股、弦所表示的含义，并在此基础上提出了两个问题，进而交待了这一章所要学习的主要内容。这样的设计不仅激起了学生的求知欲、好奇心，还能让学生在学习新知识之前对本章要干啥有一个大概的了解，同时也便于学生在学习完这章后的自我评估。比起北师大版在章前简单列出各文明古国关于勾股定理说法的设计更为人性化。
两版本教材在介绍数学家时，都是简要的说明数学家的生平（如国籍、年代、出生地等）及做出的贡献，并没有体现数学家遭遇的困惑、挫折、失败的经历。使学生觉得数学家所想到的定理是理所当然的，未能体现数学家在创作过程中斗争、挫折以及数学家所经历的艰难漫长的道路。相比北师大版，人教版在此有一个特色，也是人教版整套教材的特色，即在介绍数学家时附有数学家的头像（本章附有毕达哥拉斯图像），这样能唤起学生对数学家及数学史的亲近、肃穆之感。而北师大版在这方面就稍显逊色，根据刘超的统计，在初中六本教材中人教版有五处附有数学家图像，而北师大版仅有一处（并不是此章）。
四、对两版本教材的思考
人教版在勾股定理及其逆定理的开始分别以数学家的故事和古埃及人得到直角的方法引入数学知识，而北师大版在及时、三节都是以实际问题情境引入数学内容的，但这两处的情境都来源于数学历史名题。两版本在此对数学史用的都比较浅显，没有深挖史料背后隐藏的数学思想方法，数学史只是作为一个情景用来引出相关内容的。这只是数学史融入教学的初级阶段，但我们并不能说这种融入方式是低级的或是不好的。一方面，初级阶段是数学史融入教学，进入高级阶段不可逾越的阶段，具有重要意义，比如激发学习兴趣、调动积极性；另一方面，教材的这种设计也体现了教材的灵活性和多样性，便于教师对内容的重新加工。因此，对这两种引入方式我们不可妄加断言其好坏，唯独希望各相关领域人员对数学思想、方法做认真的思考，对数学史料进行加工和创造，深挖史料背后隐含的价值，充分发挥数学史的作用和价值。
现代信息技术的发展使得计算机已经成为数学文化与数学教育现代化之间的桥梁。两版本教材除了让学生自己上网搜索相关内容外，并没有涉及与信息技术有关的内容。“勾股定理”作为几乎是全世界中学都要介绍的定理，其证明方法就有400多种，这些证法反映了东西方不同的文化。这应引起两版本教材编写者的重视，以便在教材修订时注重相关数学史与信息技术的整合。
数学勾股定理论文:再探初中数学勾股定理
题目等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？图1中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积，看看能得出什么结论.(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.)
探究勾股定理的发现S正方形A=22=4，S正方形B=32=9，
S正方形C=52-12×2×3×4=25-12=13，
所以S正方形A+S正方形B=S正方形C.
S正方形A′=32=9，S正方形B′=52=25，
S正方形C′=82-12×3×5×4=64-30=34，
所以S正方形A′+S正方形B′=S正方形C′.
由于正方形A，B(或A′，B′)的面积分别等于直角三角形的两直角边的平方，正方形C(或C′)的面积等于直角三角形的斜边的平方，于是我们得出：
勾股定理直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
反思1为什么直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方？
探究勾股定理的证明在计算正方形C(或C′)的面积时，我们发现：正方形C(或C′)的面积等于大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积，由此我们受到启发.如图2，若设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，根据大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个直角三角形的面积，得(a+b)2=c2+12ab×4，整理，得a2+b2=c2.所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
说明上述证明勾股定理的方法用到的图形，叫做“赵爽弦图”.运用“赵爽弦图”证明勾股定理，简捷巧妙.为了开阔同学们的视野，下面再介绍一种利用全等三角形和面积的证明方法.
如图2，以RtABC的两直角边AC，BC向外作正方形ACGF和正方形BCLK，以RtABC的斜边向外作正方形ABED，过点C作CIDE，垂足为I，CI交AB于点H，则四边形ADIH和HIEB都是矩形.
由AF=AC，AB=AD，∠FAC+∠CAB=∠DAB+∠CAB，即∠FAB=∠CAD，得FAB≌CAD，所以SFAB=SCAD.
而S正方形ACGF=2SFAB，S矩形ADIH=2SCAD，
所以S正方形ACGF=S矩形ADIH.
同理S正方形BCLK=S矩形HIEB.
所以S正方形ACGF+S正方形BCLK=S矩形ADIH+S矩形HIEB，
即S正方形ACGF+S正方形BCLK=S正方形ABED.
所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
探究勾股定理的拓展
由探究勾股定理的发现过程，我们不难得出：
拓展1以直角三角形的两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积.
反思2如果分别以直角三角形的各边为斜边作等腰直角三角形，那么以两直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积吗？
探究设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么
以a为斜边的等腰直角三角形的面积等于12a・12a=14a2，
以b为斜边的等腰直角三角形的面积等于12b・12b=14b2，
以c为斜边的等腰直角三角形的面积等于12c・12c=14c2，
因为a2+b2=c2，所以14a2+14b2=14c2.
于是我们得出：
拓展2分别以直角三角形的各边为斜边作等腰直角三角形，那么以两直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积.
说明如果能够注意到等腰直角三角形正好是以它的斜边为一边的正方形的四分之一，运用拓展1的结论很容易得到拓展2.
下面请同学们运用拓展2的结论解决：
问题1已知：以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3，则三个等腰直角三角形的面积和为.
提示：如果对等腰直角三角形的面积公式(用等腰直角三角形的斜边表示)不熟悉，可先将每个等腰直角三角形补成正方形，这样所求的面积就等于两个等腰RtABE的面积，而两个等腰RtABE的面积正好等于以AB为一边的正方形的面积的一半，从而所求部分的面积=12×32=4.5.
反思3如果分别以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，那么以两直角边为边的等边三角形的面积和等于以斜边为边的等边三角形的面积吗？
问题2已知在RtABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于.
数学勾股定理论文:浅谈勾股定理在初中数学中的应用
摘要：数学是一种逻辑性强、抽象性强的学科，在数学教学过程中，对于一些数学问题使用常规的解题方法往往过于繁琐，而利用一些定理进行求解往往能够达到事半功倍的效果。在初中数学当中，勾股定理便是一个非常重要的定理，将其充分利用能够使诸多数学问题迎刃而解。本课题笔者结合实际教学案例从多方面对勾股定理在初中数学中的应用进行了探究，希望以此为初中数学教学的完善提供一些具有价值性的参考依据。
关键词：初中数学 勾股定理 应用
1 引言
勾股定理是初中数学中非常重要的一个定理[1]。它很好地解释了直角三角形中三条边之间的数量关系，对于几何学当中有关直角三角形的计算机证明问题，利用勾股定理往往能够迎刃而解，使学生快速掌握解决方法。同时，在日常生活及工作当中，勾股定理的应用也非常广泛。因此，在初中数学教学过程中，充分利用好勾股定理这一有效手段进行解题显得尤为重要。笔者结合多年的教学经验，利用勾股定理，对初中数学当中的“线段求长问题”、“求角问题”、“证明垂直问题”及“实际问题”进行了分析与探究，希望以此能够为初中数学教学提供有效依据。
2 勾股定理在线段问题中的应用
在初中数学中，一些“线段求长”问题使用常规方面解决常表现的较为棘手，而使用勾股定理往往能够得以有效解决。
例题1：如图1，在三角形ABC中，已知：∠ABC=90°，AB=BC，三角形的三个顶点分别位于相互平行的三条直接l1、l2、l3上，并且l1与l2之间的距离为2，l2，与l3之间的距离为3，求AC的长度。
解：过A作l3的垂线交l3于D，过C作l3的垂线交l3于E，由已知条件：∠ABC=90°，AB=BC，得：RtABD与RtBEC全等；
所以，AD=BE=3，DB=CE=5；
进而得：AB2=BC2=32+52=9+25=34；
在直角三角形ABC中，AC2=AB2+BC2=68，
所以：AC=2■
3 勾股定理在求角问题中的应用
在初中数学当中，有些求角问题使用常规方法难以解决，而使用勾股定理则能够很快地解决。因此，将在求角问题中充分应用勾股定理便有着实质性的作用[2]。
例题2：如图2，在等边ABC中，有一点P，已知PA、PB、PC分别等于3、4、5，试问∠APB等于多少度？
解：把APC绕着点A旋转，旋转至ABQ，让AB和AC能够重合；此时，AP=AQ=3，BQ=PC=5，，∠PAQ=∠BAC=60°；
所以，PAQ是等边三角形；
所以，PQ=3；
在三角形PBQ当中，PB、BQ分别等于4、5，
所以，三角形PBQ是直角三角形，其中∠BPQ=90°；
所以，∠APB=∠BPQ +∠APQ=90°+60°=150°。
4 勾股定理在证明垂直问题中的应用
在初中数学当中，一些证明垂直的问题如果利用勾股定理进行求解，那么将能够达到事半功倍的效果。下面笔者结合有关证明垂直问题的题型展开讨论。
例题3：如图3所示，已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，ABAD，证明：BCBD[3]。
证明：由已知条件ABAD可知，在三角形ABD中，∠BAD=90°；
因为AD、AB分别为3、4，由勾股定理可知：BD2=AB2+AD2=32+42，求得：BD=5，
又因为BD2+BC2=52+122=132=CD2；
因此，三角形DBC为直角三角形，其中∠CBD=90°；
所以，BCBD。
5 勾股定理在实际问题中的应用
对于勾股定理，还能够解决实际问题，并且这些实际问题都是在日常生活中可以看到的。
例题4：一棵小树高为4米，现有小鸟A停留在树梢上，此时小鸟B停留在高20米的一棵大树树梢上发出友好的叫声，已知大树与小树的距离为12米，如果小鸟A以4m/s的速度飞往大树树梢，试问：小鸟A至少需要多长时间才能够与小鸟B在一起？
解：如图4，根据题干的已知条件可知，AC=16m，BC=12m，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=162+122，求得AB=20m；
所以，小鸟A所需时间为20/4=5秒。
笔者认为，利用勾股定理解决实际问题，需要弄清题意，进而对题目中所涉及的直角三角形找出来，然后结合勾股定理进行求解[4]。在例题4中，最主要的步骤便是依照题意，结合勾股定理，然后画出大树与小树之间的直角三角形，在充分利用已知条件的基础上，便能够使问题有效解决。
6 结语
通过本课题的探究，认识到在初中数学中，对于许多问题可以利用勾股定理进行求解。包括“线段求长问题”、“求角问题”、“证明垂直问题”及“实际问题”等。笔者认为，勾股定理在几何学当中占有非常重要的地位，它不仅仅只是一种解决数学问题的定理那么简单，它还与我们的日常生活息息相关。在数学教学过程中，学习勾股定理进行解题，不但能够提高学生解题的效率，而且还能够让学生对生活引发思考，从而在学习数学过程中，体会到生活与数学学科的密切联系，进一步为数学在生活中的实际应用奠定良机。
数学勾股定理论文:基于数学史的勾股定理教学探究
[摘 要] 数学史对于数学教育的意义不言而喻，它对于践行新课改的知识与技能、过程与方法以及情感态度价值观的三维目标，倡导学生自主探究学习的教学模式等方面具有重要作用. 本文以勾股定理教学为例，探讨了上述问题.
[关键词] 数学史；勾股定理；教育价值
数学史对于数学教育的价值已不仅仅停留在理论层面的讨论. 翻阅近两年的数学教育类杂志可以发现，越来越多的中小学数学教师也在撰文阐述自己在教学中使用数学史的一些体会和教学案例. 在课程改革不断深入的当下，数学史融入数学教学对于践行课改的理念，培养发展有理想、有道德的高素质数学人才等方面确实有着积极的推进作用. 本文将给出一个基于数学史的勾股定理教学设计思路，旨在抛砖引玉，期待一线教师在不断加强自身数学史修养的同时，开发出更多基于数学史的教学案例.
提出问题
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 此定理在西方叫做毕达哥拉斯定理，相传，这是由古希腊数学家毕达哥拉斯及其徒众发现的，后人更渲染其事，说毕达哥拉斯诸人十分重视这项发现，特地宰了一百头牛向天神奉献答谢，所以中世纪时这条定理被称作“百牛定理”. 在历史上，这条定理的名称特别多，在不同时代、不同地区都有不同的名称，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希腊数学家欧几里得在公元前300年左右编写了著名的经典之作《几何原本》，其中一个定理就是毕达哥拉斯定理：
“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和.”
接下来的这个定理是毕达哥拉斯定理的逆定理：
“如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角.”
这两个定理合起来说明了直角三角形a，b，c三边的平方和关系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.
我国是最早发现勾股定理的国家，据《周髀算经》记载，我国数学家早在公元前1120年就对勾股定理有了明确认识. 勾股定理从发现到现在已有五千年的历史，在西方，它被称为毕达哥拉斯定理，但它的发现时间却比中国人晚了几百年. 勾股定理是把直角三角形与三边长的数量关系联系在一起，体现了数形结合思想.
定理的证明
在新课程人教版教材（八年级下册）中，先是引用毕达哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中国古代数学家赵爽的“弦图”证明了勾股定理. “弦图”是以弦为边长的正方形，在“弦图”内作四个相等的勾股形，各以正方形的边长为弦. “弦图证法”是依据“出入相补原理”，根据“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理的. 赵爽的“弦图证法”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，正因如此，这个图案被选为2002年北京召开的国际数学家大会会徽.
[图1]
引导学生探索其他解法
上述是我国古代数学家赵爽的“弦图”证法，即利用“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理. 这一方法给我们一定的启示，即围绕面积相等这一条，把原图形拆成几部分，然后根据面积相等实现定理的证明. 教师可以提示学生围绕这一观点，探索其他证明方法，学生提供的证法有可能和历史上大数学家的证法一致.
历史上的经典证明方法展示
发现勾股定理迄今已有五千年，五千多年来，世界上几个文明古国都相继发现和研究过这个定理，几千年来，人们给出了勾股定理的许多证法，有人统计，现在世界上已找到四百多种证法，下面列举其中具有数学思想的一些代表性证明方法. 如（1）欧几里得《几何原本》的证法；（2）比例证法；（3）另一种弦图证法；（4）总统证法；（5）帕斯卡拉二世的证明；（6）毕达哥拉斯的证法；（7）旋转证法. 限于篇幅，这些证明方法的证明过程在本文中省略不写.
基于上述分析，不难发现，历史上的勾股定理证明方法很多，据统计，有400多种，向学生展示不同的证明方法有很多益处，具体表现在：首先，给出勾股定理的多种证法，并非是比较证法之优劣，而是为了丰富教与学的内容知识，这也是数学史融入数学教学重要的功能之一. 其次，通过比较、分析各种证法的特色，可以让教师和学生在教与学上有所比较，以达到取长补短. 通过分析各种证法之不同，可以发现他们各自对于图形的依赖程度也不相同. 当我们试图理解某个版本的证法时，就好比与这位数学家进行对话，从而产生自我“历史诠释”. 再次，历史上的勾股定理证法还使我们认识到该如何呈现定理及其证明，以便可以兼顾到各个面向. 在教学中，若以历史文本为师，适时引入古人的原始想法，撷取前人的智慧，乃至前人所犯的错误，相信对于数学思想的发展与学生的学习过程能有更贴近的牟合，也能让学生对数学有更的观照. ，基于数学史数学教学所追求的目标之一，正是让学生在通过历史文本解决问题的过程中获得学习的乐趣，因此，数学历史文本中的任何地方可能都有意想不到的金矿等待挖掘，唯有辛勤发掘才可能使我们满载而归.
问题的推广
下面我们换个角度看勾股定理，定理会变成什么样呢？
推广一：勾股定理的不同表述方式
（1）直角三角形斜边长度的平方等于两个直角边长度的平方之和.
（2）直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形.
（3）直角三角形直角边上两个正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积.
推广二：“出入相补”原理的应用
所谓“出入相补”原理，是指一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变. 综观历史上有关勾股定理的证明方法，许多证法都是利用这一原理进行的，只是图形的分合移补略有不同而已. “出入相补”原理是我国古代数学家发明的一个证明几何图形面积和体积的非常重要的方法，下面，我们通过比较两个证明来说明某些问题.
赵爽和达・芬奇的证明方法（如图2所示）：
[图2：勾股定理的两种几何证明]
问题：这两种方法的联系是什么？
解答：如图3所示.
[图3：两种证明的联系]
可以看出，赵爽和达・芬奇对勾股定理的证明都使用了“出入相补”原理. 这两种来自不同时期、不同地域的方法背后有着更本质的联系，正因为这种本质联系，让我们找到了更多类似的证明方法. 它也展示了数学内部的一种联系. 正如韦尔斯在《数学与联想》一书中所说的：“这就是为什么数学强有力的一个理由. 数学家发现，两个表面不同的问题实际上是相同的，因此他只要解决一个也就解决了另一个. 认识到一百万个问题‘实质上’都是相同的，因此，你只要解决一个就解决了一百万个. 事实上，这就是力量！”我们的数学读本，应该多多向学生介绍这方面的内容，让学生感受这种力量，去认识事物之间的联系.
推广三：把直角三角形三边上的正方形改为一般的直线形
若把以直角三角形为边长的正方形改为一般的直线形，勾股定理就推广为：直角三角形斜边上的直线形（任何形状）的面积，等于两条直角边上与它相对应的两个相似的直线形的面积之和（如图4所示）.
[图4]
推广四：把直角三角形三边上的直线形改为曲边形
若把直角三角形三边上的相似直线形改为三个半圆，勾股定理就推广为：以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作半圆的面积和. 新课程（人教版八年级下册）在习题中体现了这一推广：（习题18.1“拓展探索”问题11）：如图5所示，直角三角形三条边上的三个半圆之间有什么关系？
[图5][2][1]
若把上述斜边上的半圆沿斜边翻一个身，此时显然有“1和2的面积之和等于直角三角形的面积”. 其实这个结论早在公元前479年就已经由古希腊数学家希波克拉底得到，因1和2部分状如弦月，故称“希波克拉底月形”. 新课程（人教版八年级下册）在习题中体现了这一推广（习题18.1“拓展探索”问题12）：如图5所示，直角三角形的面积是20，求图中1和2的面积之和.
推广五：勾股定理与费马大定理
勾股定理是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，写出公式就是a2+b2=c2. 丢番图的名作《算术》（第2卷问题8）中有一个与勾股定理类似的问题：将一个已知的平方数分为两个平方数. 丢番图在《算术》中以实例形式给出了这一问题的解答. 之所以在此独独提到丢番图的这一问题，是因为，大约16个世纪以后，正是在这一问题的启发下，费马在其旁白处写下了一段边注，从而诞生了一个让整个数学界为之苦思冥想了三百多年的问题. 费马在阅读巴歇校订的丢番图《算术》时，做了如下批注：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和. 我已找到了一个奇妙的证明，但书边太窄，写不下. ”1670年，费马之子萨谬尔连同其父的批注一起出版了巴歇校订的书的第二版，遂使费马这一猜想公之于世. 费马究竟有没有找到证明已成为数学史上的千古之谜. 从那时起，为了“补出”这条定理的证明，数学家们花费了三个多世纪的心血，直到1994年才由维尔斯给出证明.
推广六：勾股数
不言而喻，所谓勾股数，是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数（a，b，c），它们满足a2+b2=c2. 那么如何寻找更多的勾股数呢，方法如下.
1. 任取两个正整数m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数.
2. 若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下方法确定另两个数：首先观察已知数是奇数还是偶数.
（1）若已知数是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数.
（2）若已知数是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1和加1所得的两个整数与这个偶数构成一组勾股数.
练习题：限于篇幅，仅列一题.
练习题 今有立木，系索其末委地三尺，引索却行去本八尺而索尽，问索长几何？（该题出自南宋杨辉《详解九章算法》，公元1261年）
现代文翻译：有一根直立的木头，一条绳索系在它的顶端. 已知这条绳索比木头长3尺，现在向后紧拉绳索，使它的另一端着地，这时绳索与木的距离为8尺，问这条绳索的长为多少？
原书“术”曰：“以去本自乘，另如委数儿一，所得加委地数而半之，即索长.”
历史上涉及勾股定理应用的古算题很多，在学习勾股定理的同时，如果能尽可能多地向学生呈现这些古算题，会使我们的教学起到事半功倍之效. 向学生呈现古算题原题，学生首先会接受很多那个时代的社会、人文信息，包括古算题涉及的真实情景、古算题的出处、涉及的数学家等. 学生还要将文言文翻译成现代白话文，然后去理解题意，考虑其解题方法. 接着给学生呈现古人解决此类问题的“术”，又会使学生感受到他们的解法与历史上的解法其实有异曲同工之妙. 在这个过程中，新课程所涉及的“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维目标可以自然地达成. 诚然，教师在这个过程中需要适时地进行引导和点拨，它要求教师具备一定的数学史知识和修养.
结语：数学史在数学教育中的作用不言而喻，亟须一线教师开发出更多的教案和案例. 数学史对于数学教育的重要指导和引领作用，正如我国老一辈数学教育家、珠算算具改革先驱的余介石先生所说：“历史之于数学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之恩，收闻风兴起之效，更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑顺序，如何得以融合调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也”.
数学勾股定理论文:勾股定理教学中数学史的融入
【摘 要】勾股定理是数学历史上最为古老的定理，也是初中数学中的一个非常重要的定理，其相关历史在《数学》书中以引入、例题、作业题、阅读材料等多种形式体现，为数学史融入课堂教学奠定了基础，使教学方式和处理方法更加灵活多样.鉴于此，本文以“勾股定理”的教学为例，结合自己教学实践和学习思考，阐述数学教学中勾股定理历史的融入.
【关键词】数学史；勾股定理历史；融入；教学策略
1.勾股定理历史融入教学的意义
1.1 有利于激发兴趣，培养探索精神
勾股定理的证明是一个难点.在数学教学中适时引入数学史中引人入胜和富有启发意义的历史话题或趣闻轶事，消除学生对数学的恐惧感，可使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科，而是一门不断发展的生动有趣的学科，从而激发起学生学习数学的兴趣.
1.2 有利于培养人文精神，加强历史熏陶
学习数学史可以对学生进行爱国主义教育.浙教版新教材对我国勾股定理数学史提得很少，其实中国古代数学家对于勾股定理发现和证明在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的数形结合思想更具有重大意义。
2.勾股定理历史融入教学的策略
在勾股定理教学的过程中，要求我们在教学活动中，注意结合教学实际和学生的经验，依据一定的目的，对勾股定理历史资源进行有效的选择、组合、改造与创造性的加工，使学生容易接受、乐于接受，并能从中得到启发.在实践过程中，发现以下几种途径与方法是颇为适宜的.
2.1在情景创设中融入勾股定理历史
建构主义的学习理论强调情景创设要尽可能的真实，数学史总归是真实的.情景创设可以充分考虑数学知识产生的背景和发展历史，以数学史作为素材创设问题情景，不仅有助于数学知识的学习，也是对学生的一种文化熏陶.
案例1：
师：同学们知道勾股定理吗？
生：勾股定理？地球人都知道！（众笑）
师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道.大家知道世界上许多科学家都在探寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种图形等.我国数学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的图形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定会认识这种“语言”的.（投影显示勾股图）
可以说，禹是世界上有文字记载的及时位与勾股定理有关的人.中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直角三角形，这形亦称曰[勾股形].它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四；斜边名叫[弦]，长度为五.勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边的长……
《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例.卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日.”
由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天.勾股定理又叫做“商高定理”.毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了.
2.2在定理证明中融入勾股定理历史
数学史不仅给出了确定的知识，还可以给出知识的创造过程，对这种过程的再现，不仅能使学生体会到数学家的思维过程，还可以形成探索与研究的课堂气氛，使得课堂教学不再是单纯地传授知识的过程.
案例2.：
刘徽（公元263年左右）的证明：
刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股数──“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也.”如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示，学界比较常见的推测是如下图.
③剪拼法（学生动手验证）
证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种不证自明、形象直观的原理上，主要是用拼图的方法证明，使数学问题趣味化.
翻开古今的数学史，不仅勾股定理的历史深厚幽远，所有的数学知识都蕴涵着曲折的道路、闪光的思想、成功的喜悦和失败的教训.将数学史的知识融入数学教学中，发挥数学史料的功能，是数学教育改革的一项有力的措施.正象法国数学家包罗·朗之万所说：“在数学教学中，加入历史具有百利而无一弊.”
