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摘要: 简介了混沌理论的基本思想及其基本特性，即混沌（chaos）是在确定性非线性系统中的内在随机行为，可表现出相空间的奇怪吸引子、对初始状态的敏感依赖性、系统的运动性质与参数密切相关等特性。认为混沌理论可解释复杂的生命活动如脑电活动、心脏节律变化、生理系统以及疾病过程的多样性和复杂性;并可利用混沌控制让生命过程向符合人类意愿的方向发展。指出中医的证、中药方剂的配伍和作用以及在辨证的基础上论治都可以用混沌理论得到恰当解释，故运用混沌控制手段使机体向理想状态转化，达到阴阳平衡，有望成为中医药现代化研究的一个新领域。
关键词: 混沌理论; 中医现代化
“混沌”在传统意义上，是指混乱、杂乱无章的状态。但现代混沌学所研究的混沌（chaos），是指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素出现的类似随机的行为（内在随机性），是一种极为普遍的复杂现象。在物质世界中，混沌现象无处不有。混沌科学是随着现代科学技术的迅速发展而出现的新兴交叉学科，首先起源于气象学。1963年，美国气象学家洛伦兹（Lorenz E N）在数值实验中首先发现在确定性系统中有时会表现出随机行为 ［1］ ，从此揭开了混沌研究的序幕。天气变化就是一种混沌现象，“天有不测风云”，就是指气候系统对初始条件非常敏感，初始条件的极微小差别会导致巨大的天气变化这一混沌运动的基本性质。1975年李天岩（Li T Y）和约克（Yorke J A）给出了混沌的一种数学定义 ［2］ ，即Li-Yorke定义，该定义描述了混沌初始条件的微小差别导致后来的巨大变化。混沌现象的发现使人们逐渐认识到客观事物的运动除了稳定、正常、周期运动外，还存在着一种具有更为普遍意义的形式，即无序的混沌。在确定论和概率论这两套体系的描述之间存在着由此及彼的桥梁。
1 混沌运动的基本特性
混沌是指服从确定性规律但具有随机性的运动，其基本特性表现如下 ［3］ :（1）相空间吸引子的奇怪特性。描述系统运动的方程在平面上都有投影的轨迹，如果这些轨迹被限制在相平面的有限区域内，这样的有限区域被称为运动系统的吸引子。非线性方程的轨迹都有吸引子，简单的吸引子是不动点（稳定定态）和闭曲线（周期运动），而混沌运动的吸引子是奇怪的吸引子，其轨迹不仅有折叠和交叉，而且在某些部位十分密集并形成带，带与带之间有空隙。如果采样点极大，把相空间放大，可以发现带内还有被不同层次的小的空隙隔开的带，其结构与形状与原来的带和空隙相似。因此，混沌运动的奇怪吸引子具有无穷层次的自相似结构，即分形。一个系统当被确定为混沌系统时，就可以对其建立数学模型，定量描述系统的运动规律。
（2）对初始的敏感依赖性。如果系统中存在混沌，则初始条件不同，即使是极小的差别，经过一段时间的运动后，就会出现相差甚远或完全不同的结果。利用混沌系统对初始条件的敏感性，对混沌系统进行微小扰动，可以控制混沌系统使之趋向期望状态。
2 混沌理论在医学中的应用价值
2.1 混沌理论可揭示生命活动的多样性和复杂性 生命活动存在着多样性和复杂性。生物体不是各种生物分子功能的简单叠加，不同的生物分子与组织之间有着复杂的网络关系，生物的许多系统都是复杂的非线性系统，而混沌作为非线性理论中的一个组成部分及其特点，自然而然地被应用到了生物领域，成为研究生物复杂系统规律的新方法和新手段。目前的研究结果说明，许多生物系统中都有混沌现象存在。
脑电的混沌活动特性与大脑的功能状态密切相关。正常状态下脑电混沌活动的关联维数、李雅普诺夫指数、复杂度等混沌指标较高，处于不稳定状态。这种不稳定性使神经系统对外界环境有很强的适应能力。在神经网络中，其适应性与神经网络活动的复杂度、自由度和混沌程度成正相关 ［4］ 。而脑器质病变、精神心理疾病可使脑电混沌活动发生改变，在脑功能受损的病理状态下，混沌指标会降低 ［5］ 。心脏节律变化除有周期性外还具有非线性变化的特点，各种生理因素所致的心率总变化不是各因素作用的简单叠加，故用混沌分析技术可以分析心率非线性变化的特点。Osaka等 ［6］ 发现抑制交感神经活动可以增加关联维数，而抑制副交感神经系统活性可以降低关联维数，从而提出用心率变异的关联维数作为人类自主神经功能的新指标。关联维数也可以反映心率稳定状态，高维暗示系统的复杂结构，提示正常的心率自主控制。用Holter系统研究曾患过室颤的患者、正常人及无室颤的室性心动过速患者的研究表明，心率的低混沌维预示着室颤的危险 ［7］ 。
混沌分析可以解释生理系统的复杂性。一般认为，疾病和衰老都是由于人体的正常周期节律被扰乱。可是对心脏窦性节律的研究发现，正常人即使在静息状态下，R-R间隔仍表现出很大程度的变化，呈现出混沌状态，这种混沌主要是由自主神经系统控制的。疾病状态时R-R间隔趋于整齐即复杂性减小了。同样，随着年龄的增加，这种复杂性亦同样减小。Kaplan等 ［8］ 用混沌分析方法观察了健康老人的心率和血压的复杂性，发现其复杂性相对于年轻人减小，因此与一般直觉相反，当心脏处于年青和健康时期时，心率和血压表现出不规则性和不可预见性，而日益增强的规则行为往往伴随着衰老和疾病，预示着系统复杂性的减小。
混沌分析方法还可应用于研究疾病的流行过程。王琰等 ［9］ 利用混沌动力学相空间重构技术对百日咳逐月发病数进行分析，结果发现百日咳流行是混沌的，经过计划免疫后混沌程度下降，趋向平稳状态。
2.2 混沌理论可用于调整生命活动的过程 长期以来，人们认为混沌是不可控制的。1989年，美 国马里兰大学的物理学家Ott、Grebogi和Yorde3人首先从理论上提出了控制混沌的方法，称为OGY方法 ［10］ 。它的主要思想是，混沌系统的奇怪吸引子中分布着许多不稳定的不动点，按照需要挑选出其中一个点来进行稳定控制。为了实现对这个选定不动点的稳定控制，要选择被控制系统的一个易调节的参数，在系统靠近选定的不动点时，对该参数进行微小的扰动，使系统向该点移动，从而使混沌系统进入所期望的运动。OGY方法的有效性在许多领域被验证，并在理论上和应用上取得了新的进展。例如用OGY控制混沌方法成功地实现了对兔子心律不齐的控制 ［11］ 。以后，各种混沌控制方法都相继报导，混沌控制已成为近年来一个带有挑战性的研究执点，一些混沌控制方法已在生物医学工程领域得到了应用。
混沌系统对初始条件的微小干扰有较大的敏感性，例如著名的“蝴蝶效应”就是典型例子:大气混沌系统初始条件的微小的干扰在迭代过程中被加倍放大，即在巴西蝴蝶扇动翅膀可引起美国上空气流巨大变化（风暴）。混沌控制（controlling chaos）的基本原理是利用混沌系统对初始条件的敏感性来有效地控制系统，在特定的微小扰动下引导混沌系统进入稳定的有序状态或者所期望的混沌状态 ［12］ 。这是近年来一个带有挑战性的研究热点。近年来的研究从各个方面论证了许多生物系统的混沌特性，能否运用混沌控制使生物系统趋向所期望的状态成为当今生物医学研究的难点和热点。由此，人们自然会提出，能否运用混沌控制来解决医学中的疑难问题?例如对心律不齐的控制，以及对癫痫发作时神经元的异常放电的控制等。这些前沿课题的研究，给医学研究带来了全新的方法。
利用混沌系统初始扰动的敏感性，可以在心脏系统偏离正常状态的初期，只用微小的扰动即可控制心脏的混沌状态，使偏离正常状态的心脏系统及时地从有害的无节奏状态回复到正常状态。这给予心脏起搏器的研究一个全新的启示 ［13］ ，是治疗心律失常的前沿科学研究之一。混沌控制也被尝试运用到抑制癫痫发作。Schiff等 ［14］ 用OGY控制方法对神经元不规则放电进行控制。他们监视癫痫病灶的不规则放电，在出现系统的初始条件微小偏离时，及时选定和辩识系统的不稳定不动点，按目标的每一点预测其下一步位置，加入刺激（扰动），从而控制系统，及时使系统接近和达到预先确定的状态，达到治疗癫痫的目的。
3 混沌理论与中医现代化
在传统的中医药领域，混沌分析方法也被进行过有益的尝试。杨国平等 ［15］ 用混沌分析理论来研究穴位与脏腑的相关性。他们将40例胆石症患者和25例正常人的耳廓胆穴、胃穴的穴位电关联维数进行比较，结果表明胆石症患者耳廓胆穴关联维数较正常组显著增高，而两组耳廓胃穴关联维数则无显著性差异，提示穴位电关联维数变化和相应脏腑的机能状态密切相关。 混沌理论为现代科技提供了全新的思维方式和科学方法论，同样地，也会对中医现代化带来有益的启示。例如中医的病因病机学理论:各种病因作用于机体，通过各种病机（也就是动力学过程）引起病变，出现各种证候，根据中医理论可辨证。病因可引起病变，这是确定性过程，但不同的患者可出现不同的证候表现，进而有不同的证，这是随机的。疾病的发病过程可被认为是混沌动力学过程。在中医领域，我们自然也会联想到中医病因病机和辨证系统的混沌运动，以及在辨证基础上的论治，即怎样运用混沌控制的手段使机体向理想状态转化，达到阴阳平衡，这也许是中医现代化研究的一个新领域。
人体有很多穴位，形成了经络系统，可以用多种方法证实这是一个混沌系统。利用混沌系统对初始扰动的敏感性，刺激某些穴位，实行混沌调控，使系统向着期待的方向变化，调节脏腑功能，达到治疗疾病的目的。还有中药方剂往往由多味中药组成，每味中药的成份又非常复杂，它们之间构成了非常复杂的协同关系，显然属于非线性关系。中药方剂的内部关系是确定性系统内随机运动，属于混沌的范畴。疾病的动力学过程是混沌的，中药方剂的作用也是混沌的，这就是用混沌来控制混沌（controlling chaos by chaos）的方法。该方法的基本思想是一个混沌系统的动态特性可以通过耦合另一个混沌系统来控制 ［16］ 。设两个混沌系统分别为A和B，可以表达为:
A（被控制的混沌系数）:x=F（x） （1）B（控制的混沌系数）:y=g（y） （2）两个系统通过参数λ和μ进行线性耦合，即对A和B的负反馈控制分别为:
F 1 （t）=λ［x（t）-y（t）］ （3）
F 2 （t）=μ［y（t）-x（t）］ （4）
λ>0和μ>0是扰动的权重。该方法的特点是 用修正系统的行为对系统进行控制。因此可以设想 利用混沌控制的原理来探讨中药的药理作用。我们可以设想建立中药方剂的药物动力学和药效学数学模型，研究其混沌运动的性质，改变方剂的组成和剂量，观察其参数的改变，与疾病病机数学模型参数进行耦合，以寻找最佳的组方。
混沌控制方法还可以与其他的一些新兴学科结合在一起。我们都知道，根据中医理论，各种病因作用于人体，产生了一系列的病理变化，形成了疾病。这一过程关系错综复杂，形成了非常复杂的网络关系。如何阐明其复杂关系，我们可以考虑运用Petri网理论 ［17］ 。Petri网是由德国的Carl Adam Petri博士提出的研究信息系统及其相互关系的数学模型，它以研究系统的组织结构和动态行为为目标，着眼于系统中可能发生的各种变化以及变化之间的关系，在控制科学和计算机科学上得到广泛的应用。我们可以从网的状态节点和变迁节点着手，探讨疾病内部复杂的依赖、并发和冲突关系，以及中药方剂作为外部事件对其控制等。这些复杂行为都可以和混沌联系在一起。
混沌控制的目标还应该和最优化方法结合在一起。最优化问题可以概括为这样的数学模型，即给定一个集合（可行集，即可能的调控目标）和该集合上定义的目标函数（达到目标所能采取的手段），计算函数在集合上的极值，根据约束条件选择最佳的方案，达到最佳的目标。
混沌和混沌控制的研究，给生物医学中一些疑难病症的预防和治疗带来了一个全新的思路，同样地也给中医现代化研究开辟了新的途径。但是，如何成功有效地应用混沌理论于中医现代化，需要进行高水平、开拓性的研究，尚有许多问题待探讨。
参考文献
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一、无功优化模型的数学描述
电力系统无功优化问题是一个多变量、非线性、多约束的组合规划问题，其控制变量既有连续变量(节点电压)，又有离散变量(有载变压器分接头、补偿电容器/电抗器投切组)，连续变量和离散变量之间又不相互独立，使得优化过程十分复杂。选择发电机节点电压幅值、无功补偿源节点的注入无功及变压器的可调变压器分接头作为控制变量，同时考虑各种约束条件，建立无功优化数学模型。目标函数:F=minPL+i=1!λiTi"#(1)式中:PL为系统网损;i=1!λiTi为惩罚项;λi为惩罚因子。约束条件包括等式约束和不等式约束。等式约束:Pi=Vij∈i!Vj(Gijcosθij+Bijsinθij)Qi=Vij∈i!Vj(Gijsinθij-Bijcosθij%’’&’’()(2)不等式约束:U≤U≤UX≤X≤X%’&’((3)式(2，3)中:Pi和Qi分别为节点有功和无功功率;U=[VGi，QCi，KTi]为控制变量，U和U表示其上下限;X=[VLi，SLi，QGi]为状态变量，X和X表示其上下限;VGi为发电机端电压;VLi为节点电压;KTi为有载变压器分接头档位;QCi为补偿电容器投切容量;QGi为发电机无功出力;SLi为支路通过功率。
二、主动禁忌混合混沌算法(RTSCOA)
2.1RTSCOA的原理文献中F.Glover提出了禁忌搜索算法，利用历史纪录来指导下一步搜索方向，当到达局部最优解时将搜索方向指向导致目标函数退化最小的方向上，由此避开局部最优解。同时，通过将已执行过的移动设置为临时禁止来避免搜索重复的空间。传统禁忌搜索算法需要通过设置或者调整搜索参数来进行有效的搜索。主动禁忌算法是主动搜索算法中的一种,它通过反馈机制调节禁忌表长度，自动平衡集中强化搜索策略和分散多样化搜索策略。在算法进行搜索的过程中，所有被访问过的解都被储存起来，当执行一步移动时都要检查当前解是否已经访问过。如果一个解重复出现，禁忌表长度增大，变为原来的NI倍，NI为长度增加调节系数(NI≥1)；反之，如果经相当长的时间后没有重复的解出现，禁忌表长度减小为NO，NO为长度减小调节系数(1>NO>0)。当某一个解的重复出现次数达到一定数量时，则通过在当前解的基础上移动几步来跳出，执行移动的步长在一定范围内随机产生。同时，为防止很快跳回已经搜索过的区域，所有随机操作均被禁止，这一机制可以使搜索有效地跳出局部极小点。2.2RTSCOA的步骤(1)初始化。k=0，选取n个随机混沌值y(k)i，并存储在禁忌表中。(2)利用载波x(k)i=xi+y(k)i(xi-xi)将n个混沌随机变量映射到控制变量域内X。(3)计算f(X)，找到最小的f(X*)，并且设f(X)current=minf(X*)以及对应的X*，fbest=f(X)current。(4)如果变量为连续变量，利用xi=xi+εv对下次混沌映射初值进行更新。其中,ε取很小的数(ε=0.0001)；v为(-1，1)之间的随机数。如果为离散变量，则在附近增加或减少一个步长，判断xi是否在禁忌表中。若在，则重选;若不在，则放到禁忌表中。(5)增加迭代数y(k)i=4y(k-1)i[1-y(k-1)i]，x(k)i=xi+y(k)i(xi-xi)。(6)计算禁忌表中变量的f(X)，比较fbest和f(X)current。如果fbest≤f(X)current，则fbest=f(X)current，否则不替换。(7)k=k+1，判断总次数以及fbest是否多次不变，否则返回(3)。(8)输出结果。
三、无功优化的混合混沌算法实现
利用RTSCOA求解电力系统无功优化问题时,由于混沌算法的遍历性经过一定的求解过程可以将变量带到最优解附近，此时并不要求获得精确解,利用主动禁忌算法的“记忆”功能将变量在最优解附近增加一微小量，并将搜到的解存储在禁忌表中。在搜索过程中，算法将搜索到的当前解不断地存储到禁忌表中，同时不断地释放已经到期禁忌表的解,求解的过程中需注意以下问题。(1)无功优化模型的确定无功优化模型的数学表达式如下:F=min"PL+λ1Ni=1#(Vi-VilimVimax-Vimin)2+λ2Mj=1$(QGi-QGlimQGimax-QGimin)2+λ3Lk=1$(SLi-SLilimSLimax-SLimin)2%(6)当Vi≥Vimax时，Vilim=Vimax；当Vi≤Vimin时，Vilim=Vimin，否则Vilim=Vi，发电机无功和支路功率作类似处理。λ1、λ2和λ3为惩罚因子，惩罚项包括电压越限、发电机无功和支路功率等惩罚项。(2)优化变量的选择对于以有功网损最小为目标函数、考虑功率平衡约束和变量约束的无功优化问题，解向量包括控制变量U=[VGi，QCi，KTi]和状态变量X=[Vi，SLi，QGi],以控制变量为优化变量;对于发电机机端电压等连续变量直接利用“载波”映射将混沌变量变换到控制变量的限值区间;对于并联补偿电容器组和变压器变比等离散变量进行就近归整处理，增加或者减少一个步长来和禁忌表中的变量进行比较。(3)禁忌表当前最优解邻域的移动根据变压器分接头及可投切电容器的动作特点，在次优解附近每次对一个变量执行加一操作，若超过变量定义范围，则该变量操作保持原值不变;对于发电机端电压等连续变量应增加一个微小量，选择邻域中不在禁忌表中的最优解作为找到的解，如果邻域中的解都被禁忌，则执行操作，选择目前为止最好的解作为当前解。
四、仿真分析
本文利用IEEE30节点的仿真结果来验证本算法的有效性，利用Matlab6.5编程在P41.7GPC机上仿真运行。IEEE30系统中有41条支路、6个发电机节点和22个负荷节点，6个发电机节点为1、2、5、8、11、13;可调变压器支路为L6～9、L6～10、L4～12、L27～28;并联电容器节点为3、10、24，如图1所示。系统总的负荷Pload=2.834，Qload=1.262。假设发电机机端电压和变压器的变比均为1.0，通过潮流计算得到∑PG=2.893859，∑QG=0.980199，Ploss=0.059879。越限节点电压分别为:V26=0.932，V29=0.940，V30=0.928(数据均为标幺值)；存在一个无功发电功率越限。通过仿真得到数据与其他无功优化算法进行比较。
五、结论
混合混沌优化算法充分利用混沌算法和禁忌算法的各自的特点，在混沌搜索过程中利用禁忌算法禁忌表记忆能力将初解保存于禁忌表中。利用禁忌搜索算法将存放于禁忌表中的解增加一个微小量,进行比较存放于禁忌表，同时利用反馈机制对禁忌表长度进行控制。混合混沌优化算法在全局和局部都可以进行搜索，因而算法不会陷入局部最优解，并且具有较高的搜索效率，仿真结果显示混合混沌优化算法在电力系统无功电压控制应用的有效性。
参考文献:
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正如英国人的整齐、有秩序一般，这届奥运会首次规定开幕式上各代表团穿统 的服装，在本国国旗引导下列队入场，为以后各届开创了先河。尽管走世界之先进入资本主义国家，倡导人民民主，但是这个曾经的大不列颠帝国还不忘保留自己的特有的君主制，君王在这个国家的影响力不可忽视，甚至还带到了奥林匹克运动场上：各队的旗手在通过英国国王爱德华七世观礼台前时，必须将旗帜下垂，以示致敬。
在这届奥运会上，伦敦建立的许多制度一直沿用至今。除了筹委会编印所有竞赛规程、规则以及安排的细节、宣传海报之外，对参赛选手的资格、尤其是业余身份，也有严格规定。计量长度的单位也改成公制。而奥运会的奖牌也是从这届开始规范化，其标准样式是1907年5月在国际奥委会全会上制定的，直径为60毫米，正面使用国际奥委会制定的统一图案，反面由主办国设计。伦敦奥运会结束后，第一次印发了各国得奖统计表，最终，英国选手夺得145枚奖牌，其中金牌56枚，超出第2名美国队信多。这无疑对以后各国进行这方面统计或计算正式的得分产生了积极影响。总而括之，这届奥运会反前几届给世人留下的不良印象，以伦敦人特有的条理以及规范的组织而引起了世人的关关注。
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混沌振动时因为非线性隔振系统响应中出现的响应谐波比非混沌状态下更多，主谐波频率处的能量分散到各个谐波处的能量也更多，也即混沌隔振对特征线谱的隔离效果要优于一般的线性隔振系统。要使得混沌隔振技术应用于实际的机械设备，必须同时具备三个条件：被隔振设备振动幅值较小、较好的整体隔振能力以及线谱隔离能力。但研究也发现，同时满足三个条件的难度较大，往往所设计的系统只具备良好的整体隔振和线谱隔离能力，却使振动幅值过大。因此，如何对混沌隔振系统进行改进，以满足工程应用是当前混沌隔振课题的重要研究方向。
本论文对非线性Duffing振动系统进行分析，通过参数变换，得到一个改进的混沌振动系统，新的系统不仅能基本保持原系统的隔振效果，而且振子的振幅也能得到有效的控制。研究结果表明，在工程应用中，只需要通过对被隔振设备附加质量块和重新设计隔振器参数就能改进原混沌隔振系统，这种方法易于工程实现，对混沌隔振的工程应用具有一定的指导意义。
1 单自由度混沌振子幅值控制理论研究及仿真分析
单自由度Duffing方程可以用下式表示：
（1）
是振子质量，是阻尼，和是Duffing系统的弹性力系数。假定此时系统已经处于混沌状态，而且有较好的整体隔振效果和线谱隔离能力，只是振动幅值较大，难以应用。此时可以假设一个新的系统，新系统的振子幅值是，大小为原系统的N分之一：。将含的表达式代入原方程得到：
（2）
对原Doffing系统进行改进：通过附加质量块，使得新系统振子的质量为原来的M倍，将阻尼和弹性力系数分别设为，和，新系统的振动方程为：
（3）
此时振子的振幅为，如果方程（2）（3）中的参数满足这样的条件：，，，，则两个方程等价，新系统振子振幅，为原系统的N分之一。
从上述的推导过程来看，只需要将原系统的质量增加N倍，重新设计隔振器，参数相应的变为原系统的和倍，就可以达到按比例控制振幅的目的。系统改进前后，基础受力分别为和：
（4）
上式表示系统改进前后力的传递率没有改变，系统仍然具有原系统的隔振效果而幅值却降为原来的N分之一。
对单自由度Duffing系统进行幅值控制的数值仿真，设原系统为：
（5）
系统参数为：，，，，。如果要将幅值降为原来的一半，即，则新系统为：
（6）
系统参数为：，，，，用四阶龙格库塔方法仿真，仿真步长为0.01 s，仿真时间为1000 s，取最后50 s系统改进前后的幅值作时间历程曲线。
图1 混沌系统改进前后位移时间历程曲线
由于系统是混沌状态的，前后仿真会出现数值误差，所以在时间历程图上两个系统并非完全按比例同步，但这并不重要，因为在混沌隔振系统中，最重要的是最大振幅，如果最大振幅过大，会造成机器对限位器的冲击，对装备造成损害。整个仿真过程，原系统的最大振幅为29.49，改进后系统最大振幅为14.74，最大振幅约降为原来的二分之一。根据以上的结论可知，对单自由度混沌隔振系统进行改进，可以按比例有效的控制振子的最大振幅，而保持原系统的力传递率。
一般情况下，弹性力系数比较好调整，但阻尼系数一般不可能过大，以下仿真考虑系统改进前后，阻尼特性不变的情况下，振子幅值的改变。假设改进前后阻尼系数，其他参数不变，仿真系统时间历程曲线以及最大振幅。（图2）
最后50s时间历程曲线如图所示，在阻尼不改变的情况下，整个仿真过程中，改进后的系统最大幅值位15.01，比按比例改进阻尼的系统略高，这是因为阻尼有抑制振幅的作用。仿真结果表示：如果不能按比例提高阻尼，对系统减幅的影响也不大。
2 两自由度振子幅值控制仿真
在实际环境中，基础均为柔性结构，对于柔性基础，一般情况下可将其建模成为一个由线性弹簧、阻尼和质量块组成的单自由度模型。对两自由度振动系统建模，方程如下：
（7）
其中，，为基础阻抗的参数，位移为。由上式可见，由于两自由度系统出现了耦合现象，故利用参数变换的方法对振动幅值进行推导很难实现。在此利用数值模拟的方法，直接采用单自由度系统改进的方法对两自由度模型进行改进，并对仿真的数据进行分析。
改进后的两自由度振动方程为：
（8）
对原系统附加M-1倍的质量块，并对原隔振器重新设计，其中基础阻抗是由具体结构所决定的，一般不能改变。考虑不同的基础阻抗下，该方法对幅值的减小量以及对基础加速度功率谱密度的影响。
基础阻抗相对振动质量不大时，设原系统参数为：，，，，，，基础阻抗参数为原系统的5倍：，，。试图将幅值控制为原系统的1/2：和1/5：。仍然采用龙格库塔法，仿真步长为0.01 s，仿真时间为2000 s。（图3图4）
图3 基础阻抗较小时原系统位移时间历程曲线
对图3、图4进行分析，由于系统进入混沌状态有一个暂态的过程，略去开始的500 s，对500 s至2000 s的振子幅值进行数值分析：原混沌系统振子的最大位移为24.0，N=5的新系统最大位移为7.83，原计划缩减为原系统的20%，仿真结果约为32.6%。可见，由于基础阻抗较小，两自由度产生强烈的耦合现象，使得单自由度幅值控制理论有一定的误差，但是振子的最大位移量仍旧能得到较大的改善。如果要将混沌隔振器实际应用起来，必须在限制机器振动幅值的同时，使得基础的加速度功率谱密度成为一个连续谱，这样的混沌隔振器才有工程应用价值。因此，系统改进后，不仅要求振幅减小到预定要求，基础的加速度功率谱密度也不能有大的变化。
基础阻抗相对振动质量比较大时，设原系统参数为：，，，，，，基础阻抗参数为原系统的20倍：，，。试图将幅值控制为原系统的1/2：和1/5：。仍然采用龙格库塔法，仿真步长为0.01 s，仿真时间为2000 s：
图5 基础阻抗较大时原系统位移时间历程曲线
图6 基础阻抗较大时N=5新系统位移时间历程曲线
对图5、图6进行分析，略去开始的500 s的暂态过程，对500 s至2000 s的振子幅值进行数值分析：原混沌系统振子的最大位移为30.41，N=5的新系统最大位移为6.76，原计划缩减为原系统的20%，仿真结果约为22.2%。可见，由于基础阻抗较大，两自由度之间的耦合不是那么强烈，使得单自由度幅值控制理论有较好的预测作用，振子的最大位移量得到较高精度的缩减。
基础阻抗相对振动质量很大时，设原系统参数为：，，，，，，基础阻抗参数为原系统的100倍：，，。试图将幅值控制为原系统的1/2：和1/5：。仍然采用龙格库塔法，仿真步长为0.01 s，仿真时间为2000 s。（图7图8）
对图7、图8进行分析，振子幅值进行数值分析结果为：原混沌系统振子的最大位移为28.79，N=5的新系统最大位移为5.79，原计划缩减为原系统的20%，仿真结果约为20.1%。可见，由于基础阻抗很大，两自由度之间的耦合基本可以忽略，使得单自由度幅值控制理论有很好的预测作用，振子的最大位移量得到很高精度的缩减。
3 混沌隔振方案设计
本论文对混沌隔振系统进行改进的前提是：原混沌隔振系统已经具备良好的整体隔振能力和线谱隔离能力，只是振动幅度过大。应用该方法对混沌隔振系统重新改进，可以获得同时满足隔振要求并使得振子产生小振幅的新系统，由此可以提出一套比较完整的混沌隔振方案：
1）首先针对某一具体的设备，设计出一套具有良好整体隔振和线谱隔离能力的非线性隔振器。
2）对该混沌隔振系统进行数值仿真，检查被隔振设备的最大振幅是否超过了极限值。
3）如果小于极限值，可以认为该混沌隔振器设计满足要求。
4）如果超过极限值，可以根据本论文所提出的方案进行改进。
5）改进后的系统不一定会再次呈现混沌状态，而无法隔离线谱，此时只能调整幅值缩减量N的值，直到最后达到混沌隔振的要求。
振幅缩减的比例应该根据实际情况来确定，一般只要使得最大振幅低于极限值即可，否则按照本论文所提方案，必须附加质量块来增加机械设备的质量，而实际情况不可能允许无限增加设备的质量。
4 结论
本文通过对单自由度混沌隔振系统的理论分析，得到了在保持隔振效果的同时，能有效缩减振动幅值的方法。将该方法用于两自由度系统，并通过数值仿真得到以下结果：基础阻抗较小的情况下，振幅的实际减小幅度和理论值有一定的偏差，但是基础加速度功率谱密度进一步得到了降低；随着基础阻抗的增加，幅值缩减的精度越来越高，而改进后基础的加速度功率谱密度始终没有明显的改变。说明该方法在有效的减小混沌隔振系统幅值的同时，有效的保留了原系统良好的隔振效果。仿真结果也表示，基础阻抗满足一定的较大值时，振动幅值就能得到按比例较精确的减小，而不要求基础阻抗极大。在第四节，基于本论文所提方法，提出了一套较完整的混沌隔振方案，对混沌隔振的实际应用有一定的指导意义。本方法也有两个不足之处：
1）该方案要求通过增加被隔振设备的质量来达到小幅振动，对于大型的船用机械设备而言，实际环境限制了该方法的应用；
2）由于两自由度分析困难，其改进方案是直接从单自由度照搬过来，有些情况下，改进后的两自由度系统混沌特性消失，而不能有效的隔离线谱，所以进一步对两自由度系统进行深入研究仍然具有重要意义。
参考文献
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篇5
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天线和望远镜的建模与控制
将无人飞机系统集成到国家空域系统
动力学系统中的模型提取 用于移动机器人控制
临床核磁共振成像及其物理学 指南
胶原蛋白 结构和力学
大型涡流模拟的质量及可靠性
信息系统开发、
移动多媒体广播标准 技术与实践
篇6
【 Keywords 】 discrete system； time-varying discrete spatiotemporal system； chaos； stream cipher
1 引言
近几十年中，离散系统的类随机性是科学研究的一个热点问题，它在保密通信和随机模拟等理论中有着较重要应用前景。当前，离散系统的混沌性是类随机性研究中较为活跃的一个方向。从现有的文献可以看出，尽管时不变离散系统的混沌研究成果众多，但时变离散系统的混沌研究成果却相对较少，有许多问题都值得进一步探讨。特别地，时变离散时空系统的混沌性值得进一步研究。
最近，文献[6]研究了一维时变离散时空系统的混沌性。
上述简单加密算法的加密效果的Matlab仿真计算的效果如图2所示。
由仿真可知，利用系统（17）构造的流密码系统的加密效果良好。
参考文献
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基金项目：
本文得到国家自然科学基金（No.61070252）的资助。
作者简介：
田传俊（1964-），男，汉族，湖北荆州人，深圳大学，教授；主要研究和关注领域：伪随机性理论及其在信息安全中的应用。
篇7
分岔理论作为一种重要的数学方法，是分析非线性系统的有力工具。到目前为止，分岔研究取得了有目共睹的成果，并在许多领域得到了广泛的应用。Hopf分岔是动力系统的一类重要的动态分岔. 本文研究下列Langford系统的Hopf分岔：
（1）
（1）式中的μ为系统的实变参数，该系统具有很强的非线性动力学行为，丰富的分岔现象。
2 Hopf 分岔
以下列系统模型为例：
（2）
式中 ――状态向量
――分岔参数向量
Hopf 分岔是指方程（2）的雅克比矩阵的特征值中有一对复特征值，随着分岔参数的变化，它们的实部由负变为正，且当μ=μ0时，满足下列条件：
在非双曲平衡点附近发生的分岔，其对应的失稳形式是周期性的振荡发散失稳。
3 Hopf分岔分析
若用Φ（x，μ）来表示f（x，μ）和g（x，μ），平衡点方程为：
Φ（x，μ）=（f（x，μ），g（x，μ））=0
那么满足下列方程组的平衡点是方程（2）的Hopf分岔点：
（4）
方程（4）的第一式是平衡点方程，第二式表明在分岔点有一对共轭纯虚特征值。
可得到对于任意μ，有平衡点（0，0，0）和（0，0，μ）。
在平衡点（0，0，μ）处，Jacobian矩阵为：
对应的特征值为λ1=-μ，λ2，3=μ-1±i。
根据直接求周期解法和后继函数判别法可得到：当0
4 Matlab仿真
系统的分岔图和Lyapunov指数图：
5 结论
结论表明Langford系统确实具有丰富的动力学特征，在系统进入混沌之前，会先后经历倍周期分岔、Hopf分岔、鞍结点分岔及其他分岔，致使系统最后进入混沌状态.
参考文献：
篇8
（3）消费者消费需求变化加快和购买行为呈高维的非线性。这使得企业采用的营销组合策略所产生的效果并不是能准确预测的。消费者群体是个典型的非线性系统。这种非线性表现在生理、心理、物质、精神、关系等方面。这些方面常常会表现出随机性与分散，比如无理性的冲动购买。但大部分程度上，人们的购买行为更表现出混沌性，这可以从无论什么档次与质量的产品都有其购买者看出。
（4）速度日益成为企业发展的关键要素。产品生命周期缩短，新技术层出不穷，技术创新呈现连续中断(continuousdiscontinuity)而导致产品市场可能很快出现和消失，竞争规则发生变化，大规模定制等不确定性变化的特点。能否准确的、迅速的进行复杂问题的判断考验了一个企业的反应能力，而知识管理便是在全局角度提供复杂决策的一个体系。同样用来提高企业的反应速度，标准作业流程带给企业的是更强的竞争条件，在企业的战术层面，这是行之有效的信息系统工具，而知识管理能让企业聪明地赢得战略的胜利。
（5）营销环境复杂程度大大加深，可测度大为下降。现代企业的营销环境变得日趋复杂，其中各个因素不但在持续变化，而且它们之间的相互作用也在不断变化着，形成了一个混沌复杂的系统。企业与政府、员工、顾客、供应方、竞争者、公众等利益相关者之间以及上述各因素之间都在进行着复杂的互动作用。在技术进步速度加快的情况下，试图从上述复杂过程中识别出对企业成败的关键因素是比较困难的。不但营销环境会影响企业行为，企业也能够改变产业结构及竞争格局，在这个混沌系统中，原因与结果之间的关系是非线性的。
（6）技术对企业营销环境的影响越来越强。科学技术对经济社会发展的作用日益显著，当今世界，企业营销环境的变化与科学技术的发展有非常大的关系，特别是在网络经济时代，两者之间的联系更为密切。在信息等高新技术产业中，教育水平的差异是影响需求和用户规模的重要因素，已被提到企业战略制定的议事日程上来。
企业实际所处的营销环境往往是模糊而难以分辨的，这需要企业决策层有正确而统一的判断。同时，随着时间的变化，企业环境可能处于不断变化之
2基于混沌系统的企业复杂营销环境的对策
（1）企业的营销活动并不是纯随机的行动,它是在企业吸引——营销战略目标的吸引下,在科技进步、市场竞争、顾客需求等多种因素的驱动下发生的一种行为。它虽然受营销战略目标的吸引,但却不可能精确地实现企业的战略目标,而总是在企业战略目标的吸引域内活动，是有边界而又不可重复的行为过程。
（2）企业应制定长期的营销战略计划。企业系统内、外部存在着许多随机的、不确定的因素,使得系统内部和系统之间、人与人之间、系统与环境之间的相互作用非常复杂,对企业系统输入初值的微小差别，将导致输出的巨大差别，因此预测的结果常常是不确定的。基于“因果失联”的思想，企业作长期计划不应过分注重预测结果的精确程度，而应注重对未来可能出现的各种情境的分析，减少营销战略的刚性和被动适应性、缩短战略规划长度，增加战略的柔性、增强战略的灵活性和敏捷性，以应对不断变化的环境。
（3）企业应提高系统的自组织协同能力。自然系统在远离平衡态而进入混沌后能够产生新的有序行为，它们产生过程的方法同样可“移植”到企业系统的混沌管理。企业系统混沌发生的内因是企业系统内部各子系统(或要素)之间及内部子系统(或要素)和外部要素之间的非线性相互作用机制，外因则是其周围的环境条件。按照“混沌运动背后隐藏着确定秩序”的观点，企业系统可以通过诱导随机性“涨落”即混沌的产生,为企业产生有序结构提供新的契机；另一方面由于混沌系统能够迅速地在许多不同的行为方式之间进行转换，在企业系统内部可用一个混沌子系统来扰动其它子系统,以使它们产生协同现象,就显得特别灵活。如可以通过企业业务流程重组等方法，使企业系统中的各个子系统为了适应奇异、不确定事件的发生,形成一种有序的结构和状态，即“通过涨落达到有序”。
（4）企业要建立柔性化的组织结构。在传统的企业管理系统中，在组织形式上呈现为“金字塔”式的层次型结构。为了在混沌的环境中生存与发展，管理者应将注意点转移到“适应、调整、变革”上来。通过在企业内部各子系统(各部门)之间通过建立“网络结构”的柔性组织形式，消除企业系统内部不同层次之间的边界，使得企业系统内部各个部门之间的关系富有“弹性”,各不同层次都能等同地面对环境，相互并行地协同并适应环境变动中出现的各种情境,则能增加企业系统的开放度，提高企业系统适应系统环境变化的能力。
最后，需要指出的是并非营销环境有关的所有对象都是混沌的，它是在特定的时空条件下才是混沌的。但是混沌理论能帮助我们更好地理解日益变化的营销环境。，因为根据混沌理论，理性决策模式在较短的时间内是正确的、可预测的，但在长时间内则存在随机性。正如美国的混沌学家福特所说的，面对混沌系统的预测应该是“用混沌预测混沌”。实践证明，美国、日本一些大公司的高层主管在面对复杂的营销环境决策时采用的混沌决策方式往往是非常有效的。
参考文献
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篇9
作为多媒体数据的内容认证与版权保护技术，数字水印得到了大量研究和应用。这种保密方案主要使用到电子产品版权的保护中，因此具有了鲁棒性、不可感知性以及安全性等各种特征，这些特征也正是确保图像传输安全性所需。因此，研究该技术必然具有现实意义。
二、混沌序列理论
2.1 混沌映射
经过函数映射，就能够得到良好的一维非线性映射，该映射具有随机统计特征。因其生产出来的混沌序列属于某区域中的混沌序列，而且该序列为整数值，具有随机性，对初值非常敏感。定义如下所示：
其中第一个式子表示不大于符号内值的最大整数，第二式子表示不小于符号内值的最小整数。而xk∈{1，2，...m}，参数为a∈{1，2，...m}。
2.2 生成混沌序列
上式混沌映射经过了n次迭代之后就形成了新的混沌映射，也就是本论文所要使用的映射，当然所得的混沌映射式同样具备混沌特征，也就是具有xk+1= f na（ xk）；假如给定了初始值x0，其参数a，m获得值与迭代次数n值就已经被确定了，自然也就生成了混沌序列是：{xk；k=0，1，2，3，...}，这个序列同样具备了混沌特征，自然也就对初始的条件x0非常敏感。
三、计算图像水印嵌入的强度因子
按照HVS（人眼视觉系统）的特征，嵌入的水印强度比某门限低时，人眼感知图像的质量相同，就不能够看见嵌入的水印，该门限值也就是临界不可见门限。所以所选水印嵌入强度因子是不是适当是水印算法的关键之处。
要确定水印强度因子，就必须要满足人类的视觉系统特征，同时要依据原来图像内容合理的进行调整，水印嵌入的次数不能够太多，如果太多必然会因多次水印相加的平均积累引入误差。所以应用这个算法过程中，仅仅有两次水印能够自动满足嵌入所需，一次就是将水印低频嵌入到子图Hn0中，另一次就是把水印嵌入三个细节子图Hn1，Hn2及Hn3中数值较大的小波系数之中。
四、算法设计
从上面的具体分析来看，实施嵌入算法的步骤如下所示：
其一对水印反色进行预处理；设定水印选择了256级的灰度图像，如果水印的像素平均值超过了127，就要反色处理，确保水印的高平均像素具有不可见性。其二完成反色预处理后，就必须要对水印实施混沌映射处理，把完成置乱的各个像素按照扫描顺序形成一维序列。其三把H（原始图像）经过n级的小波变化，让低频子图大小和水印大小二者非常相同，对原始图像进行变换后形成最后一级的小波变换，就能够获得四个子图，分别为Hn0、Hn1、Hn2、Hn3。其四水印嵌入；在水印的嵌入过程中，就要依据图像的小波子图分块不同计算出嵌入强度因子。低频子图Hn0所得嵌入强度因子即为a1；可以通过计算所得。而嵌入水印氛围了两个步骤，首先要把水印的一维序列嵌入到低频子图的各分块中，可得嵌入强度的因子是a1；之后依据水印序列值个数就能够获取三个细节所得各个子图，并从子图中获取个数相同的大系数值，一般都是按照绝对值的大小取，并对该系数值水印嵌入。就能够获取嵌入的强子因素是a2.其五通过n级的小波反变换，就能够获得反应后图像Hw。事实上，提取水印算法就是嵌入逆过程，而提取水印过程中就必须要合理利用原始图像。
五、结束语
事实上，这种算法的速度远远超过了传统加密算法，而且加密比较好，且不易破解。嵌入算法加密效果好、加密速度快，而且抗攻击性强及初始值敏感等各种特征，具有较好的抗干扰性与鲁棒性，因此具有实用价值。
参 考 文 献
篇10
金融市场本质上是一个开放型的复杂系统，而金融危机是金融市场混沌特征的一种表现，其爆发根本原因在于以有效市场、随机游走与理性投资等线性范式假设为前提的，并且认为金融市场所呈现出来的特征是各个部分特征的简单相加；另一方面，这些方法采用的是静态均衡的观点去解决金融市场问题，因而当市场的外部环境发生变化时，先前制定的解决方法极有可能成为解决问题的阻碍[1]。因此，经典金融学理论在认识金融市场的本质规律、提供有效的风险控制方法的思路存在许多局限性。
因此，要想从根本上解决这个问题，我们要首先认识到金融市场本身作为一个“复杂系统”，它具有一种演化特征的非线性的方式对外界的作用做出反应。因而，金融市场会随着时间的演化而改变自身的发展规律。随着外部环境的不断变化，金融市场将会从一个稳定而有序的模式逐渐的陷入混沌之中，然后通过内部的相互作用达到平衡或者是产生金融危机。
因此，单刀直入的直接研究金融市场的非线性特征往往会为解决根本问题提供思路。因此，这篇论文的主要目的就在于，通过研究金融市场的一个指标――上证指数，利用lyapunov指数来判断金融市场本身是否具有混沌的特性。如果其具有这样的一种特性，那么我们必须从这方面着手，研究金融市场的混沌特征。从而找到金融市场的内部规律。
（一）研究方法
要想研究金融市场的混沌特性，我们以股票市场为例，选取了上证指数作为研究混沌现象的指标，利用lyapunov指数来判断指标是否具有混沌的特征。本文首先表述了混沌时间序列分析的主要研究方法：重构相空间的方法，这种方法能够重构高维相空间中的混沌吸引子，构造完成之后，我们就可以恢复时间序列数据的非线性特征。重构相空间需要知道时间序列数据的嵌入维数与延迟时间，我们分别利用了自相关函数法计算出序列的延迟时间以及利用Cao方法计算出时间序列的嵌入维数。利用构造好之后的相空间，我们就可以求得时间序列的lyapunov指数，根据lyapunov指数的大小判断上证指数的波动性是否具有混沌的特征。
二、理论依据
（一）重构相空间
为了恢复“混沌吸引子”，我们需要做的第一件是是“重构相空间”。所谓“混沌吸引子”，本身指的就是混沌系统具有某种规律性，它既不向一点靠近，也不远离这一点，而是在一定的轨道内变化。该混沌系统的一部分的演化过程与其他部分有着密切的联系。每一部分的信息都包含在另一部分的发展之中。这样，我们就可以从某一部分的时间序列数据中得到并模拟该混沌系统的规律。可以这样说，一个混沌系统的轨道经过一定时间的变动，最终会产生一种有规则的轨道，这也就是“混沌吸引子”。但是这种轨道在转化成时间序列时表现出一种复杂并且混乱的特征。因为混沌系统的各个部分之间是相互影响的，在时间序列上产生的数据也具有相关性的特征。[2] 我们利用Packad等人的坐标延迟相空间重构法，对于一维时间序列[WTBX]
{x（t）}，t=1，2，…，N可以构造m维的向量
Xn={x（n），x（n+τ），…，x（n+（m-1）τ）}，
n=1，2，…，N-m-1）τ
其中：m为嵌入维数，τ为延迟时间。相空间重构的关键在于嵌入维数与延迟时间的确定。Takens定理[3]表明：我们可以从一个一维混沌时间序列中模拟一个与原来的动力系统在拓扑意义下相同的相空间，这样就可以模拟时间序列的规律。混沌时间序列的性质各方面的分析都是基于相空间重构之上的，因此，相空间重构是混沌时间序列研究的关键。[4]下面我们将讨论延迟时间与嵌入维数的确定方法 。
1延迟时间τ
延迟时间的选择关键在于使x（n）与x（n+τ）表现出独立性，但又不能使其在统计学角度上完全不相关。确定延迟时间的方法主要有：自相关函数法与互信息法。下面我们主要阐述的是自相关函数法，因为我们后面也会用到这种方法。
自相关函数法[5]主要考察观测量x（n）与x（n+τ）与平均观测量的差之间的线性相关性。其定义用数学方法表示为：
C（τ）=[SX（]1/N∑Nn=1（x（x+τ）-x[TX-]）（x（n）-x[TX-]）[]
1/N∑Nn=1（x（n）-x[TX-]）2
篇11
众所周知，一个理想的电力系统和供电系统是以单一恒定频率和恒定幅值的稳定电压供电的，它的电压和电流理论是纯粹的正弦波形。随着现代工业、交通等行业使用的换流设备数量越来越多、容量越来越大，另外电弧炉、家用电器等非线性用电设备接入电网，将其产生的谐波和间谐波电流注入电网，所有这些都影响了电能质量。谐波为基波频率整数倍的电压或电流信号，间谐波为任何非整数倍基波频率的电压或电流信号。谐波使电能的生产、传输和利用的效率降低，使电气设备过热、产生振动和噪声，并使绝缘老化，使用寿命缩短，甚至发生故障或烧毁；频率高于基波频率的间谐波会干扰音频设备正常工作，引起感应电机噪声和振动等，频率低于基波频率的间谐波会引起电压闪变，低频继电器的异常运行等等。谐波和间谐波的危害使得治理和检测就变得十分紧迫，然而间谐波多表现为微弱信号，其精准检测成为难点，本论文利用混沌振子对周期信号十分敏感和噪声的免疫特性，探索实现对微弱间谐波信号精准检测及对虚假间谐波的识别[1-5]。
1 频谱泄漏
在谐波和间谐波测量中，所要处理的信号均是经过采样和A/D转换得到的数字信号。设待测信号为x（t），采样间隔为Ts秒，采样频率fs=1/Ts满足采样定理，即fs大于信号最高频率分量的两倍。则采样信号为x（n）=x（n·Ts），并且采样信号的长度总是有限的，即n=0，1，…，N-1。也就是说，所分析的信号的持续时间为T=N·Ts，这相当于对无限长的信号做了截断——相当于给无限长的信号加了一个矩形窗，因而造成离散傅立叶变换的泄漏现象[6]。
图1 泄漏的产生
频谱泄漏现象如图1所示，显然泄漏误差来自两个方面，由信号负频分量引入的长范围泄漏（Long-Range Leakage）和由窗的扇形损失引入的短范围泄漏（Short-Range Leakage）。由于泄漏频谱的存在，使得微弱电力信号淹没在泄漏频谱中难于检测，同时由于频谱泄露产生虚假间谐波，探索新的检测方法就十分必要。
2 Duffing混沌振子特性分析
2.1 Duffing混沌振子对噪声免疫特性分析[1]
常用的Duffing混沌振子方程为
■+k■-x+x3=γcos（ωt）（1）
其等价系统为
x■=ωx■x■=ω（-kx■+x■-x■■+γcos（ωt））（2）
对于给定的阻尼比k，随着γ的变化，Duffing系统表现出的复杂的动力学行为：
（1）当γ=0时，系统任意初值的演化轨线将收敛到其中的一个焦点；
（2）当γ从0逐渐增加时，系统解在相空间中的轨线将出现偶阶次分岔，系统按外加周期策动力的周期或倍周期振荡；
（3）当γ进一步增加至γc（混沌临界值），系统将会产生Smale马蹄意义下的混沌运动；
（4）当γ>γp（大周期临界值）时，系统将进入大尺度周期振荡。
混沌系统随参数变化的分岔图见图2所示：
图 2 Duffing混沌系统分岔图
假设Duffing系统处在混沌临界状态的混沌解为x，由于0均值、方差为σ2的高斯白噪声n（t）的影响，混沌解受到扰动x。那么此时的Duffing方程为
（■+■）+k（■+■）-（x+x）+（x+x）3=γcos（ωt）+n（t）（3）
可以证明，E{x（t）}=0，方差D{x（t）}0。这说明噪声对混沌系统的扰动几乎不存在，在实际检测中t不可能为无穷大，所以噪声会对系统产生一定的影响，但其影响较小，不会改变系统原有的运行轨迹，只会使轨迹变得粗糙。因此，可以说混沌系统对噪声表现出较强的免疫特性。
2.2 Duffing混沌振子对周期信号敏感特性分析[1]
考虑一种变形的Duffing方程
■+kω■-ω2x+ω2x3=ω2γcos（ωt）（4）
其中γcos（ωt）为周期策动力，ω为策动力角频率，γ为周期策动力幅值，方程（2-26）改写为
■=ωy■=ω[-ky+x-x3+γcos（ωt）]（5）
将系统状态调整到混沌和大周期的临界状态，此时γ=γp，外加信号假设为单频信号，s（t）=acos（（ω+ω）t+φ），其中ω为外加信号与振子策动力频率差，φ为相位差，噪声为0均值的高斯白噪声n（t），则检测系统表示为
■=ωy■=ω[-ky+x-x3+γcos（ωt）+s（t）+n（t）]（6）
可以证明，若ω=0，当π-arccos■≤φ≤π+arccos■时，系统仍保持混沌演化，当φ不在这个区间时，系统将由混沌态跃迁到大周期态。若ω≠0，此时系统将间歇性地出现混沌现象，间歇周期为2π/ω。可见频差不能太大，如果频差太大会导致间歇混沌周期很小，而无法观察间歇混沌行为。（下转第290页）
（上接第293页）3 Duffing混沌振子对微弱电力信号的检测
3.1 电力信号模型
考虑噪声的信号模型为[7-10]
x（t）=■Am（t）sin[ωm（t）t+φm（t）]+v（t），v（t）为随机噪声（7）
根据v（t）噪声类型不同，又可以分为白噪声和色噪声情况下的电力系统谐波和间谐波检测。目前较多考虑的情况为
x（t）=■Amsin[ωmt+φm]+v（t），（8）
其中v（t）为白噪声，工程中信号的初始采样点具有随机性，可以反映为初始相位的随机性，可以把φm看作服从0～2π范围内均匀分布的随机变量。
3.2 检测步骤
第一步：利用FFT算法检测电力信号基波和谐波成分；
第二步：进行陷波器设计，滤除电力信号基波和谐波成分，保留残余电力信号；
第三步：构建Duffing混沌振子电路，参数置于大周期临界值；
第四步：间谐波信号作为Duffing混沌振子电路，观察电路输出特性。
3.3 检测结果判断
由于间谐波在残余信号中，无可避免会受到噪声干扰，然而Duffing混沌振子电路对噪声具有特殊的免疫特性，不会对周期信号间谐波的检测产生干扰。观察Duffing混沌振子电路的输出特性，按照Duffing混沌振子电路出现分叉的动力学行为，可以判断间谐波的存在和虚假间谐波的识别。
4 结论
利用Duffing混沌振子对噪声的免疫特性和对微弱周期信号的敏感特性，可以高精度实现对微弱信号间谐波的检测和对虚假间谐波的识别，但是该方法只能对微弱电力信号间谐波的存在和虚假进行识别，对信号的频谱特征识别还需要应用谱估计和FFT算法进一步识别。
【参考文献】
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[2]梅永.同步采样的最佳实现与误差校正新算法[D].南京：河海大学，2006.
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[6]王柏林.随机环境下电力系统谐波分析算法[J].电力系统自动化，2008，32（3）：22-25.
[7]张贤达. 现代信号处理[M].北京：清华大学出版社，2002.
篇12
本文根据动力学的理论，建立两自由度振动系统的动力学方程。首先，对模型进行分析，求出运动的微分方程，采用正则模态矩阵将系统解耦，运用解析法推出了Poincaré映射的解析解，由初始的边界条件推导其稳定性，编程实现非线性系统的数学模型；然后选取合适的参数，调出系统通向混沌的Poincaré图进而分析非线性系统的动力学特性。基于六维Poincaré 映射方法研究了系统的Hopf分岔和Hopf-flip余维二分岔以及由环面倍化和概周期通向混沌的过程。对该系统的分岔与混沌行为的研究为工程实际中含间隙对碰机械系统的优化设计提供了理论依据。
1.概述
确定性非线性动力学系统中对初值极为敏感的，貌似随机的运动称为混沌。它不同于无序、紊乱或噪声，具有某种自相似结构。它起源于非线性相互作用，因而普遍地存在着。混沌振动之所以产生，是由于非线性振动系统对初始条件的敏感性[1]。为什么初始条件的微小差别会产生捉摸不定的混沌原信息就损失一位，若 有 位信息，经 次迭代，就完全损失原有信息。由于迭代 次后，原来小数点后第 位，迭代成第一位，则两个仅有小数点 位后微小差别的初值，迭代 次后，差别就变大，故非线性系统对初始条件的微小差别是十分敏感的[2]。正如poincaré所说，“初始条件的微小差别，最终导致根本不同的现象，本来难以预测”，这就是混沌产生的数学机理[3]。一般，混沌振动研究的问题有：（1） 机理，即研究混沌振动出现的原因；（2） 参数，即研究混沌振动出现的条件，估计出现混沌时系统的参数；（3） 通道，即研究从规则振动通往混沌振动的道路；（4） 识别，即研究混沌振动的定性特征与定量特征，识别的方法和手段；（5） 控制，即由混沌振动的多样性，控制系统参数，灵活地得到所需的各种不同的稳定运动状态；（6） 模拟，即用混沌振动装置，作为简单可靠的拟随机振动发生机构，用混沌信号模拟噪音环境。
2.两自由度碰撞振动系统的强迫振动
2.1.两自由度碰撞振动系统的力学方程及其解耦后的解一个存在间隙的两自由度振动系统的力学模型，质量为 和 的振子分别由刚度为 和 的线性弹簧和阻尼系数为 和 的线性阻尼器相联接，两个振子只作水平方向的运动，并分别受到简谐激振力 的作用。当质量为 的振子的位移 等于间隙 时， 将与刚性平面 碰撞，改变速度方向后，又以新的初值运动，然后再次与 碰撞，如此往复。假设力学模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼（ ），碰撞过程由碰撞恢复系数 确定。
2.4.本章总结
本文用解析解求出一类两自由度碰撞振动系统单碰撞周期运动及其Poincaré映射。分析碰撞振动系统的Poincaré映射和周期运动的稳定性，讨论概周期碰撞运动向混沌运动的演化过程。对于存在耦合性质的两自由度碰撞振动系统，首先解耦，利用系统周期运动的边界条件求解微分方程，并且推导Poincaré映射，理论分析了不同系统的周期运动的稳定性。然后在适当的系统参数下，系统发生倍化分岔和Hopf分岔，寻找到系统经环面倍化和Hopf分岔向混沌演化的道路，并且给出了系统在发生混沌运动时的Poincaré映射图。激励频率 是一个影响系统发生分岔和混沌的重要参数，它的微小变化都可能影响系统的整个进程。
3.结 论
在该设计中，把解析法和数值法相结合，全面分析了系统的各种分岔与混沌的形成过程。通过选择一个碰撞界面作为Poincaré映射的截面，证明含间隙系统通向混沌的道路不仅包含倍周期道路、拟周期道路，而且还存在倍周期道路中含有Neimark-Sacker分岔、倍周期道路中含有叉式分岔的复杂道路[4-6]。文中分析了各种分岔及其混沌的演化过程。对其分岔与混沌行为的深入研究为工业实际中含间隙机械系统和冲击振动系统的优化设计提供了理论依据。因而对于含间隙机械系统和冲击振动系统而言，如何趋利避害、进行动力学优化设计、提高可靠性以及降低噪声等问题的研究，既具有理论价值又有着重大的现实意义[7-9]。一些根本问题的解决，将不仅推动非线性学科的发展，同时为工程设计提供全新的准则。
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篇13
2. 当然问题还是有的，而且也不算是小问题。第一，literature review既要做到介绍，更要做到评述，更重要的还要做到一切都讲完后的画龙点睛的一笔，这才是要害之处，一般研究生做不好这一点，这才是你review半天的真正目的所在；第二，理论创新意识要加强。他人的理论介绍做得很好，运用他人理论分析语料也很不错，但还要做到突出自己的理论创新点，有的同学并不是没有自己的创新，可是都隐含在字里行间了，表述不够明了，我们要旗帜鲜明地道出自己为解决某一问题所设计的理论框架和分析程序，这是根本的原则性问题，千万不能忽略。有了自己解决问题的框架，随后的分析才是顺利成章的，否则，只能使别人怀疑你如此这般而不是那般解决问题的方法，自然而然你的研究结论也就大打折扣了啊。一般硕士研究生的通病。第三，细节值得重视，不是有个说法叫“细节决定成败”嘛，注意了细节就等于为自己的脸上擦了粉，可以掩盖一些瑕疵。不过，我觉得这也是培养严谨的做学问精神的一种好方法，细致了才能严谨。