引论：我们为您整理了13篇集合的含义与表示范文，供您借鉴以丰富您的创作。它们是您写作时的宝贵资源，期望它们能够激发您的创作灵感，让您的文章更具深度。
篇1
[收稿日期] 2016-04-29
[基金项目] 延边大学哲学社会科学项目，项目编号：QN2016003。
[作者简介] 姜海燕，女，朝鲜族，延边大学汉语言文化学院讲师，博士，主要研究方向为韩汉语言对比。（延吉 133002）
约翰逊（Johnson）指出，意象图式是在我们感知互动和运动过程中一种反复出现的、动态性的式样，可为我们的经验提供连贯性和结构性。[1]（174）比如，把物“取出、放入”或进出于一个四面包围的空间等感性经验会在我们的头脑中进行再描写，形成抽象的“容器图式”。容器图式的基本构成要素是：里、外、边界。
韩国语对容器图式的激活主要靠“里外”关系方位词来实现。韩国语中表“里外”关系的方位词主要有“?/?（里）、?（外）”等，我们称之为容器标记。①根据三部较权威的韩国语辞典《国语大辞典》（1992）、《延世韩国语词典》（1998）以及《标准国语大辞典》（1999）对“?”和“?”的解释，“?”和“?”都指空间或实体的内部，如：
（1）?? ???? ?（?）? ? ? ???. ②
（宾馆信封中装有一束花。）
（2） ??? ?? ?（?）? ?? ?? ??…
（关在憋闷的洞穴中的熊……）
例（1）～（2）中的“?”都可以替换成“?”。李智荣指出，当表达具体的、具有明确边界的实体内部时，“?”和“?”可以通用。[2]（539-598）这种说法显然有些笼统，如（2）中的“洞穴”并无明确界限也可以通用。有些实体即便是有明确界限也未必能后接“?”。如：
（3）a.?? ?（*?）?? ???? ?? ??.
（朴老师进教室里来了。）
b. ??? ?（*?）? ???? ?? ??? ???.
（地铁里除了老人席，没有空的座位。）
综上所述，我们有必要从多个角度更加细致地区分“?”和“?”。
一、“?”和“?”对实体维度的要求与分工
先看一维实体与“?”和“?”的组配情况。参照物为一维实体时，韩国语用“?”不用“?”。如：
（4）a.… ?? ?（*?）?? ?????? ???? ???.
（……在行车线内反复来回行驶。）
b. ????（*?）? ??? ????…
（停留在圈子里……）
当“N?”中的N为一维线状事物时，是指二维实体或三维实体的边界，例中的“??（行车线）”是一辆车通过所需面积为基准的界线，“?? ?（行车线内）”指行车线内侧，“??? ?（圈子内）”也是如此。
当参照物为二维实体时，如：
（5）a. ?? ?（*?）?? ??? ??? ??.
（在院子里举行着宴会。）
b. ??? ?（*?）? ??? ? ??.
（不能进操场里。）
（6）a. ?? *?（*?） ? ????.
（瘫坐在地上。）
b. ? *?（*?）?? ??? ????.
（田野里正在忙于秋收。）
例（5）中的“??（院子）”、“???（操场）”、有较明确的边界，（6）中的“??（地）、?（原野）”是二维实体，但边界模糊。“?”不能用在二维实体名词后，“?”可以用在边界较清楚的二维实体名词后，指二维实体的内部。
“?”可用于“指向二维事物的内部”，“?”用于“指向三维事物的内部”。因为面范畴（二维）被包含在体范畴（三维）中，所以“?”和“?”可以通用于三维实体名词之后。[3]（114-115）但问题并非如此简单，当“?”和“?”指三维实体内部时，也有一定的分工。如，指处所内部通常用“?”不用“?”。看下例：
（7）a. ? ?（*?） ? ??? ???.
（家里进了个贼。）
b. ?? ?（*?）? ??? ??.
（教室里没有学生。）
类似的例子很多，“?? ?/*?（商店里）”、“?? ?/*?（公司里）”、“?? ?/*?（村子里）”、“?? ?/*?（邑城里）”、“?? ?/*?（宾馆里）”、“?? ?/*?（公园里）”、“??? ?/*?（图书馆里）”、“?? ?/*?（医院里）”、“?? ?/*?（剧场里）”、“?? ?/*?（市场里）”等一般都不能用“?”。不过也有例外，如：
（8）a. ?? ? ??? ? ???…
（在关着灯的漆黑的房间里……）
b. ?? ??? ??? ? ???…
（一束阳光照射到阴暗的房间里……）
（9）a.?? ? ??.
（监狱里的生活。）
b. ? ? ??.
（棺材里的尸体。）
上文谈到，“?”不能用于处所词后面。而（8）中处所词后面则可以带“?”。仔细观察会发现，例句中的“?（房间）”都受“????（漆黑）、 ???（阴暗）”等形容词修饰，可看做“房间由阴暗、漆黑所笼罩”，即（8）的“?（房间）”具有“满”的属性。“?”不能指处所内部是由处所的[+空]属性所致。也就是说，“?”倾向于用在具有[+满]特征的实体名词后。例（9）的“??（监狱）”、 “?（棺材）”虽具有[+空]的属性，但其功能上具有[+隐蔽]属性，此时通常可以用“?”。
“?”具有[+满]的特征，一些具有[+满]属性的处所词倾向于使用“?”来指其内部。[4]（133-154）如：
（10）a. ???? ? ??? ?? ?? ? ???…
（猎人在林子里捕到了狍子，他把狍子……）
b. ??? ?? ?? ????? ????…
（晚霞映射在平静的湖水里……）
处所名词后可以带“?”，但大部分是“?（树林）”、“??（海）”、 “??（湖）”、“??（山洞）”、“??（隧道）”、 “?（沼泽）”等处所名词。 “?（树林）”、 “??（湖）”等处所是由树、水所填满，因此通常采用“?”。
二、实体的非离散性与“?”和“?”的选择关系
离散性是针对连续性而言的，它是有界的、具有可数的特性，而非离散性具有无界、不可分离的特性，因此非离散性的事物难以计量，即便是计量也要临时借用其他事物。“?（水）”、“?（火）”、“??（风）”、“??（雾）”、“?（雨）”等都是典型的非离散实体，具有“无界”、“不可数”的特征。非离散实体名词后韩国语用“?”，而很少用“?”。如：
（11）a. ??? ?? ? ?（*?）? ????…
（把柴火扔进火里……）
b.?? ?? ?（*?）?? ?? ?（*?）??…
（只有在风中、阳光里……）
“?（树林）”、“?（土地）”、“??（大海）”、“??（灰尘）”、“??（沙漠）”等实体的边界模糊，且不可量化。这些实体介于离散和非离散实体之间，韩国语的“?”突出边界，因此这类实体名词后一般不能带“?”。如：
（12）a. ??? ?? ?（*?）??…??? ?? ?（*?）???…
（不管在不眠的大海里还是在悲惨的沙漠里……）
b. ?? ???? ?（*?）??…
（在灰蒙蒙的沙尘里……）
c. …?? ??? ? ?（*?）? ????.
（……在皇宫附近的沼泽地里活着。）
三、时间概念的表达与“?”和“?”的分工
人们从立体空间中分离出一类特殊的一维线性空间，然后通过“隐喻”，把线性空间结构投射到时间和抽象的空间中。莱考夫（Lakoff）认为，隐喻是从一个具体的概念域向一个抽象的概念域的系统映射。 概念隐喻的使用是潜意识的，概念隐喻是人类共有的。隐喻作为一种认知手段，其本质是概念性的。具体空间概念在隐喻机制作用下可映射到抽象的认知域。从源域（空间域）到目标域（时间等）映射的过程中保持不变的是源域中的高度概括的认知结构――意象图式，这就是莱考夫（Lakoff）强调的恒定原则。[5]（131-133）如当容器标记表达时间、状态等概念时都有“容器”概念映射的痕迹。
韩国语“?”等空间属性标记也经常用来表达时间。
（一）时点、时段与“?”和“?”的选择
时间可以分为时点和时段。时段的有界性与容器图式的有界性具有一定的相似性，并且时段的持续性与容器图式的“里”要素相对应。如果一个实体是点状，也就无所谓有里有外，这给容器标记和时段词共现提供了理据。
（13）a.??? ?? ??? ??? ????.
（两个小时内迅速解决了问题。）
b.*?? ?? ??? ??? ????.
（*两点内迅速解决了问题。）
时段词“两个小时”是有长度的，超出2个小时为“外”，反之为“里”，而且是有边界的。而时点词“两点”是没有长度，谈不上有“里”有“外”，更谈不上有边界。即，容器概念不能喻指时点概念是因为意象图式中的内部结构互不匹配所导致的。
韩国语“?”出现在时段词后头，表示时间范围。由“?”组合构成的时间结构在句中做时间参照，表达这段时间里发生什么事或出现什么情况。“?”不能用于时间概念的表达，如：
（14）a.??? ?（*?）? ????.
（一小时内回来。）
b.?? ?（*?）? ??? ???? ???.
（今日内应结束工程。）
我们将时间识解为一维的线性事物，“?”在空间认知域中不能出现在线性实体名词后面，“?”主要指三维实体的内部。“?”在空间域中可以用在线性实体名词后面，可以指一维、二维、三维实体的内部。这种差异，在从空间域隐喻投射到抽象域的过程当中会被保留，“?”和“?”在时间概念中的选择限制也是这种恒定原则的反映。
（二）“?”与动作的有界化
容器标记对实体或抽象概念（包括时间）的容器化是有界化的一种表现。有界实体要求与有界动作匹配，无界实体须与无界动作匹配，有界和无界的对立或匹配反映了一般认知机制。[6]（367-380）物理世界的时间是无界的，我们可以通过一系列手段可以将它有界化，如加上容器标记。有界化的时间结构要求句中同现的动词代表的动作或事件为有界。如：
（15）a. ?? ? ???? ?? ?? ? ???.
（我一周内看完了这部连续剧。）
b. * ? ???? ?? ?? ?? ??.
（*我一周内看着这部连续剧。）
（16）a. ??? ????? 10? ?? ??? ?? ????.
（老板要求员工十分钟内吃完饭。）
b.* ???? 10? ?? ???? ??.
（*员工十分钟内还在吃饭。）
（15）a、（16）a中的动词“??（看）”、“????（吃）”通过完成体标记“?”使动作有了终止点，成为“有界动作”，与句中容器化成分“?? ?（一周内）”、“10? ?（十分钟内）”是匹配的；而（15）b、（16）b中的进行体标记“～? ??”表示动词代表的动作是起始点和终止点模糊的“无界动作”，与句中容器化成分“?? ?（一周内）”、“10? ?（十分钟内）”不匹配，导致句子不能成立。
四、状态的表达与容器标记的分工
“状态”是模糊的、它有“无界”、“非离散”等特征。“?”可以修饰形容词性成分，表示处在某种状态之中。韩国语形容词经过体词化以后，与容器标记的组配比较自由。如：
（18）a.?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? ???…
（从痛苦中艰难地站立起来的那些日子……）
b.? ??? ??? ?????…
（像那绿荫中一只自由的小鸟……）
韩国语将这些体词化的形容词归为状态名词。[7]（455-456）我们选取了几个表状态的体词化了的形容词做了统计，结果显示韩国语只能用“?”，不能用“?”。
上文谈到，如果空间实体具有“无界”、“不可数”、“非离散”的特性，韩国语用“?”，而很少用“?”。而“状态”也有“无界”、“非离散”的特征。因此，表达状态概念时韩国语仍倾向于用“?”。这反映了空间图式投射到虚拟概念的过程中图式的凸显要素保持不变。
五 结 语
韩国语“?”在空间认知域中不能出现在表示线性实体名词后面，“?”主要指三维实体的内部。“?”在空间域中可以用在线性实体名词后头，可以指一维、二维、三维实体的内部。这种差异，在从空间域隐喻投射到抽象域的过程当中会被保留，“?”和“?”在时间概念中的选择限制也是这种恒定原则的反映。对状态进行容器化时，韩国语选用“?”。韩国语“?”在空间域（源域）中通常与边界模糊的实体组合，而“状态”的边界也是模糊不清的，即虚拟概念容器化时，韩国语对标记的选用不是任意的。
参考文献：
[1] 王寅：《认知语言学》，上海：上海外语教育出版社，2010年。
[2] [韩] 花甲纪念论文刊行委员会：《李庸周博士花甲纪念论文集》，李智荣：《‘?/?/?/?’的语言学分析》，首尔：汉森出版社，1989年。
[3][韩] 朴景贤：《现代国语的空间概念语研究》，首尔：汉森出版社，1987年。
[4][韩] 刘贤京：《‘?’和‘?’的语义研究-M配关系为中心》，《韩文》，2007年第276期。
篇2
函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.
2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从具体到抽象的思维能力.
6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.
9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象.
10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.
12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.
13.通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.
二.编写意图与教学建议
1.教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力.教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.
教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.
2.教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。
3.教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中.
4.在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的.在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方面的训练.
5.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，教师要准确把握这方面的要求，防止拨高教学.
6.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法)，目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
7.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.
8.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.
9.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.
三.教学内容及课时安排建议
本章教学时间约13课时。
1.1集合4课时
1.2函数及其表示4课时
1.3函数的性质3课时
实习作业1课时
复习1课时
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系;
(2)知道常用数集及其专用记号;
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性;
(4)会用集合语言表示有关数学对象;
(5)培养学生抽象概括的能力.
2.过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3.情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.
二.教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
三.学法与教学用具
1.学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
2.教学用具：投影仪.
四.教学思路
(一)创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?
引导学生回忆.举例和互相交流.与此同时，教师对学生的活动给予评价.
2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.
(二)研探新知
1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：
(1)1—20以内的所有质数;
(2)我国古代的四大发明;
(3)所有的安理会常任理事国;
(4)所有的正方形;
(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交桥;
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点;
(7)方程的所有实数根;
(8)不等式的所有解;
(9)洞口一中2007年9月入学的高一学生的全体.
2.教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.
4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示.
(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维
1.教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.
2.教师组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)大于3小于11的偶数;
(2)我国的小河流.
让学生充分发表自己的建解.
3.让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.
4.教师提出问题，让学生思考
(1)如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用表示高一(3)班的一位同学，是高一(4)班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.
如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作.
如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作.
(2)如果用A表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A的关系分别是什么?请用数学符号分别表示.
(3)让学生完成教材第6页练习第1题.
5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A组第1题.
6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：
(1)要表示一个集合共有几种方式?
(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?
(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
(四)巩固深化，反馈矫正
教师投影学习：
(1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9};
(2)用例举法表示集合
(3)试选择适当的方法表示下列集合：教材第6页练习第2题.
(五)归纳整理，整体认识
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1.本节课我们学习过哪些知识内容?
2.你认为学习集合有什么意义?
3.选择集合的表示法时应注意些什么?
(六)承上启下，留下悬念
篇3
（3）能用图示法表示集合之间的关系；
（4）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法；
（5）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具
体到抽象的思维过程；
（6）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习
习惯．
教学重点：交集和并集的概念
教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系
教学过程设计
一、导入新课
【提问】
试叙述子集、补集的概念？它们各涉及几个集合？
补集涉及三个集合，补集是由一个集合及其一个子集而产生的第三个集合．由两个集合产生第三个集
合不仅有补集，在实际中还有许多其他情形，我们今天就来学习另外两种．
-
回忆．
倾听．集中注意力．激发求知欲．
-
巩固旧知．为导入新课作准备．
渗透集合运算的意识．
--
二、新课
【引入】我们看下面图（用投影仪打出，软片做成左右两向遮启式，便于同学在“动态”中进行观察）．
【设问】
1．第一次看到了什么？
2．第二次看到了什么
3．第三次又看到了什么？
4．阴影部分的周界线是一条封闭曲线，它的内部（阴影部分）当然表示一个新的集合，试问这个新
集合中的元素与集A、集B元素有何关系？
【介绍】这又是一种由两个集合产生第三个集合的情况，在今后学习中会经常出现，为方便起见，称集A
与集B的公共部分为集A与集B的交集．
【设问】请大家从元素与集合的关系试叙述文集的概念．
【助学】“且”的含义是“同时”，“又”．
“所有”的含义是A与B的公共元素一个不能少．
【介绍】集合A与集合B的交集记作．读做“A交B”·
【助学】符号“”形如帽子戴在头
上，产生“交”的感觉，所以开口向下．切记该符号不要与表示子集的符号“”、“”混淆．
【设问】集A与集B的交集除上面看到的用图示法表示交集外，还可以用我们学习过的哪种方法表示？如，全国公务员共同天地
何表示？
【设问】与A有何关系？如何表示？与B有何关系？如何表示？
【随练】写出，的交集．
【设问】大家是如何写出的？
我们再看下面的图．
【设问】
1．第一次看到了什么？
2．第二次除看到集B和外，还看到了什么集合？
3．第三次看到了什么？如何用有关集合的符号表示？
4．第四次看到了什么？这与刚才看到的集合类似，请用有关集合的符号表示．
5．第五次同学看出上面看到的集A、集B、集、集、集，它们都可以用我们已经学习过的集合有关
符号来表示．除此之外，大家还可以发现什么集合？
6．第六次看到了什么？
7．阴影部分的周界是一条封闭曲线，它的内部（阴影部分）表示一个新的集合，试问它的元素与集A
集B的元素有何关系？
【注】若同学直接观察到，第二、三、四次和第五次部分观察活动可不进行．
【介绍】这又是由两个集合产生第三个集合的情形，在今后学习中也经常出现，它给我们由集A集B并在一
起的感觉，称为集A集B的并．
【设问】请大家从元素与集合关系仿照交集概念的叙述方法试叙述并集的概念？
【助学】并集与交集的概念仅一字之差，即将“且”改为“或”．或的含义是集A中的所有元素要取，集B
中的所有元素也要取．
【介绍】集A与集B的并集记作（读作A并B）．
【助学】符号“”形如“碰杯”时的杯子，产生并的感觉，所以开口向上．切记，不要与“”混淆，
更不能与“”等符号混淆．
-
观察．产生兴趣．
答：图示法表示的集A．
答：图示法表示集B．集A集B的公共部分·
答：公共部分出现阴影．
倾听．观察
思考．答：该集合中所有元素属于集合A且属于集合B．
倾听．理解．
思考．答：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集．
倾听．记忆．
倾听．兴趣记忆．
思考：“列举法还是描述法？”答：描述法．
思考．议论．
口答结合板书．
，全国公务员共同天地
想象交集的图示，或回忆交集的概念．
篇4
我们知道，由“2是偶数”与“2是质数”都是真命题，可以得到“2是偶数且是质数”是真命题；另一方面，由集合的“交”运算可以知道：由2∈｛偶数｝，2∈｛质数｝，可以得到2∈｛偶数｝∩｛质数｝。如果把“真”对应于“∈”，“且”对应于“交”，那么，“2是偶数是真命题”可以对应于“2∈｛偶数｝”，“2是质数是真命题”可以对应于“2∈｛质数｝”，“2是偶数且是质数是真命题”就可以对应于“2∈｛偶数｝∩｛质数｝”。
从上述例子得到启发，我们可以在逻辑联结词“且”与集合的“交”运算之间建立联系。
我们知道，对于逻辑联结词“且”有：
如果p，q都是真命题，则p∧q是真命题；如果p，q中至少有一个是假命题，则p∧q是假命题。
对于集合的“交”有：
若a∈P，a∈Q，则a∈P∩Q；若aP或aQ，则aP∩Q。把命题p，q分别对应于集合P，Q，“真”“假”“∧”分别对应于“∈”“”“∩”，那么上述关于“且”与“交”的规定就具有形式的一致性。更具体地说，就是“p是真命题”对应于“a∈P”，“q是真命题”对应于“a∈Q”，“p∧q是真命题”对应于“a∈P∩Q”，“p∧q是假命题”对应于“aP∩Q”。
二、“或”与“并”的关系
再看一个具体例子。
我们知道，由“π是无理数”与“π是实数”都是真命题，可以得到“π是无理数或是实数”是真命题。同样由集合的“并”运算可以知道：由π∈｛无理数｝，π∈｛实数｝，可以得到π∈｛无理数｝∪｛实数｝。如果把“真”对应于“∈”，“或”对应于“并”，那么，“π是无理数是真命题”可以对应于“π∈｛无理数｝”，“π是实数是真命题”可以对应于“π∈｛实数｝”，“π是无理数或是实数是真命题”就可以对应于“π∈｛无理数｝∪｛实数｝”。
于是，我们可以在逻辑联结词“或”与集合的“并”运算之间建立联系。
我们知道，对于逻辑联结词“或”有：
如果p，q都是假命题，则p∨q是假命题；如果p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题。
对于集合的“并”有：
若aP，aQ，则aP∪Q。 若a∈P，aQ，则a∈P∪Q，或者若aP，a∈Q，则a∈P∪Q。把命题p，q分别对应于集合P，Q，“真”“假”“∨”分别对应于“∈”“”“∪”，那么上述关于“或”与“并”的规定就具有形式的一致性。也就是说“p是真命题”对应于“a∈P”，“p是假命题”对应于“aP”，“q是真命题”对应于“a∈Q”，“q是假命题”对应于“aQ”，“p∨q是假命题”对应于“aP∪Q”，“p∨q是真命题”对应于“a∈P∪Q”。由此我们知道逻辑联结词中“或”的含义与并集中的“或”的含义是一致的，但要注意它们都不同于生活用语中“或”的含义，生活用语中“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”。
三、“非”与“补”的关系
同样我们先看一个具体例子。
若以整数集为全集，则偶数集和奇数集互为补集。由“2是偶数”是真命题，可以得到“2是奇数”是假命题；由“3是偶数”是假命题，可以得到“3是奇数”是真命题。用集合的方式则可表达为：由2∈｛偶数｝，可以得到2｛奇数｝；由3｛偶数｝，可以得到3∈｛奇数｝。如果把“非”“真”“假”分别对应于“补”“∈”“”，那么，命题p和它的否定p可以对应于集合P和它的补集
瘙 綂 UP，“p是真命题”对应于“a∈P”，“p是假命题”对应于“a
瘙 綂 UP”，“p是假命题”对应于“aP”，“p是真命题”对应于“a∈
瘙 綂 UP”。
一般地，对于逻辑联结词“非”有：
若p是真命题，则p是假命题；若p是假命题，则p是真命题。
对于集合的“补”有：
设U为全集， PU，若a∈P，则a
瘙 綂 UP；若aP，则a∈
瘙 綂 UP。
对“非”的理解，可联想集合中“补集”的概念。“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p”，当p真时，则“非p”假；当p假时，则“非p”真。若将命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集
瘙 綂 UP。
通过上面的叙述我们发现 “非”与“补”的规定也具有形式的一致性。
四、范例剖析
例1 判断下列复合命题的真假,写出其否命题并判断真假：
2属于集合[WTHZ]Q，也属于集合R。[WTBX]
篇5
3.从集合及其元素的概念出发，初步了解属于关系的意义。
二、内容分析
1．集合是中学数学的一个重要的基本概念。在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础。
把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。
2.1.1节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明。然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。
3．这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念。学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义。本节课的教学重点是集合的基本概念。
4．在初中几何中，点、直线、平面等概念都是原始的、不定义的概念，类似地，集合则是集合论中的原始的、不定义的概念。在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。”这句话，只是对集合概念的描述性说明。
三、教学过程
提出问题：
教科书引言所给的问题。
组织讨论：
为什么“回答有20名同学参赛”不一定对，怎么解决这个问题。
归纳总结：
1．可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题.
2．怎么解决这个问题呢？以前我们解一个问题，通常是先用代数式表示问题中的数量关系，再进一步求解，也就是先用数学语言描述它，把它数学化。这个问题与我们过去学过的问题不同，是属于与集合有关的问题，因此需要先用集合的语言描述它，完全解决问题，还需要更多的集合与逻辑的知识，这就是本章将要学习的内容了。
新课讲解：
1．集合的概念：（具体举例后，进行描述性定义）
(1)某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。
(2)元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
(3)集合中的元素与集合的关系：
a是集合A的元素，称a属于集合A，记作a∈A；
a不是集合A的元素，称a不属于集合A，记作。
例如，设B＝{1，2，3，4，5}，那么5∈B，
注：集合、元素概念是数学中的原始概念，可以结合实例理解它们所描述的整体与个体的关系，同时，应着重从以下三个元素的属性，来把握集合及其元素的确切含义。
①确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。
例如，像“我国的小河流”、“年轻人”、“接近零的数”等都不能组成一个集合。
②互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的。
此外，集合还有无序性，即集合中的元素无顺序。
例如，集合{1，2}，与集合{2，1｝表示同一集合。
2．常用的数集及其记法：
全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N，非负整数集内排除0的集，表示成或；
全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；
全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q；
全体实数的集合通常简称实数集，记作R。
注：①自然数集与非负整数集是相同的，就是说，自然数集包括数0，这与小学和初中学习的可能有所不同；
②非负整数集内排除0的集，也就是正整数集，表示成或。其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成或。负整数集、正有理数集、正实数集等，没有专门的记法。
课堂练习：
教科书1．1节第一个练习第1题。
归纳总结：
1．集合及其元素是数学中的原始概念，只能作描述性定义。学习时应结合实例弄清其含义。
篇6
集合是高中数学学习的起始章节，学好集合这一章具有承上启下的重要意义。一方面是初中数学学习的继续，又是高中数学学习的开始；另外一方面对于高中数学其他章节的学习具有借鉴作用，同时还能提振高中数学学习的信心。但是由于集合这一章的逻辑性比较强，部分学生体现出高中数学学习的入门难，下面结合自己的体会谈谈集合这一章学习的一些注意点，以期抛砖引玉。
一、一个概念
掌握一个概念――集合。集合，在数学上是一个基础概念，是不能用其他概念加以定义的概念。一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。集合中的每一个对象叫做该集合的元素（element）或简称元。集合中元素具有以下性质：
确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。
互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。不能写成{1，1，2}应写成{1，2}；
无序性：{a，b，c}与{c，b，a}是同一个集合。
二、两个关系
（1）元素与集合的关系：如果对象a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A；如果对象a不是集合A的元素，就记作aA，读作a不属于A。如：2∈Z，2.5Z
（2）集合与集合的关系：如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作AB（或BA），这时我们也说集合A是集合B的子集。
对于两个集合A与B，如果AB，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA，读作A真包含于B或B真包含A。
简言之，注意：“∈”与“”：元素与集合之间是属于关系，用∈、；集合与集合之间是包含关系，用、。如1∈N，-1N，NR，ΦR，{1}{1，2，3}。
三、三种运算
（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集。记作：A∩B（读作“A交B”）；符号语言为：A∩B={xx∈A，且x∈B}。
（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集.记作：A∪B（读作“A并B”）；符号语言为：A∪B={xx∈A，或x∈B}。
（3）补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S中A的补集，记作 瘙 SA，比如若S={2，3，4}，A={4，3}，则 瘙 SA=
四、四种表示
（1）列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内。
（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p（x）}的形式。如：{x|x为中国直辖市}，{x|x为young中的字母}。
（3）Venn图法：用封闭的曲线内部表示集合。
（4）区间法：设a、b是两个实数，且a
五、五个注意点
（1）注意掌握一个等价关系：A∪B=ABAA∩B=B；
例如已知集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+ax+a=0}，若A∩B=B，求实数a满足的条件。
【解析】 由A∩B=B知BA，即B是A的子集。由于集合A可用列举法表示为{0，-4}，所以B可能等于A，即B={0，-4}；B也可能是A的真子集，即B=，或B={0}，或B={-4}，从而求出实数a满足的条件。
（2）注意空集的特殊性：
例如已知集合A={x|-2
【解析】 因为空集是任何集合的子集，故此题要分B≠和B=两种情况讨论。答案：m
（3）注意集合中元素的实质：“代表元素”的实质是认识和区别集合的标准。根据集合元素的确定性，集合中元素都有确定的含义。所以弄清楚集合中的代表含义什么，才能正确表示一个集合。代表元素不同，即使同一个表达式，所表示的集合也不同。
（4）注意数形结合思想的使用：
例如求集合{x|x+5>0}与集合{x|x-a
【解析】 集合{x|x+5>0}即为不等式x+5>0的解集，是大于-5的所有实数；集合{x|x-a
可见，若要两个集合有公共部分，必须a>-5。
篇7
教学内容：集合的包含和相等关系
1） 年级：高一年级
2） 所用教材出版单位：北京师范大学出版社
3） 教学内容所属章节：必修11 第一章 集合 第二节 （第一课时）
4） 学时数：45分钟
二、 教学构思
（一） 教材的地位和作用
本节内容在全书及章节的地位：《集合的基本关系（第一课时）》是高中数学新教材北师大版1第1章第二节.第二节是集合间的基本关系．本节主要讨论集合的包含和相等关系，给出子集的概念．用Venn图和数轴帮助学生理解集合间的基本关系．在给出集合间的“包含”与“相等”关系的基础上，给出了子集、真子集的概念及有关性质．
本节的处理主要突显集合间的内在联系，使学生能够对集合间的基本关系有一个整体的、明晰的认识，便于将所学知识体系化．本节教材从学生身边的实例以及已学知识入手，抽象概括出集合间的包含与相等概念，并给出子集、真子集的概念，用Venn图以及数轴来直观表示集合间的这些关系，体现了数形结合的思想．
数学思想方法分析：教学中力图向学生展示尝试观察、归纳、类比、联想等数学思想方法.
（二） 教学目标的确定
基础知识目标：了解集合之间的包含、相等关系的含义；理解子集、真子集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系.
能力训练目标：培养抽象概括能力，培养学生观察、探究、创新能力.
教学重点:集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念.
教学难点：是属于关系（元素与集合）与包含关系（集合与集合）的区别.
二、 教法
我的教法设计是启发式教育，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识和基本能力.
三、 教学程序
一） 引入课题
在上一节中，学习了集合的概念并用字母标记了一些特殊的数集，在这些特殊的数集中，我们会发现这样一个现象：自然数集N中的所有元素都在整数集Z中，整数集Z中所有的元素又都在有理数集Q中.那么这些集合之间有怎样的关系呢？（宣布课题）
二） 新课教学
1. 集合与集合之间的“包含”关系；
实例分析：
1） A={1，2，3}，B={1，2，3，4}；因此有： 若a∈A,则a∈B.
2） 所有的有理数都是实数，因此有：若a∈Q,则a∈R；
3） 高一（1）班50位同学组成集合B，女同学组成集合A, 集合A是集合B一部分，有：若a∈A,则a∈B.
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；通俗点说集合A更小，集合B更大.
（由实际较简单的例子，可由学生自己总结定义得出包含关系）.
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集.（文字语言）若x∈A,x∈B则AB(或BA)（符号语言）
记作：AB(或BA) 读作：A包含于B（或B包含A）
当集合A不包含于集合B时，记作AB
（教师引入Venn图：为直观表示集合，我们的集合也有其另外的表示方式）
2. Venn图：封闭曲线的内部表示集合，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系（图形语言）
数集的表示我们也常借助于数轴.如集合{x│x≥9}与集合{x│x≤3}的关系可以表示为
判断题：
1） A是B的子集含义是A中任何一个元素都是B中的元素.
2） 空集是任何集合的子集吗？
3） 任何一个集合是它本身的子集吗？（引入相等关系）
3. 集合与集合之间的 “相等”关系；
例如：A={x|(x-3)(x+2)=0}.B={-2,3}
AB且BA，则 A、B中的元素是一样的，因此 A=B
即A=BAB
BA
结论：任何一个集合是它本身的子集
强调：1） 集合A与集合B中的元素完全相同时，则A=B.
2） 证A=B，需证AB且BA都成立.
例：A={x2,x,xy},B={1,x,y}且A=B，求实数x，y的值.
4. 真子集的概念
若集合AB,并且A≠B,我们就说集合A是集合B的真子集.
记作：AB（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）
如实例中：高一（1）班50位同学组成集合B，女同学组成集合A，A为B的真子集.
判断：① 空集没有子集.② 任何集合至少有两个子集.③ 空集是任何集合的真子集.④ 若空集真包含于集合A，则集合A不等于空集.
（让学生熟练掌握概念和内涵，并引出一些相关规定.）
5. 规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
（空集不是空集的真子集， 只能说空集是任何非空集合的真子集）
6. 结论：AB，且BC，则AC(集合运算具有传递性)
（在这一节课中，概念较为简单，由例子直接可以引入，学生理解也较好，主要采用讲练结合.所花时间较少）
三） 例题讲解
例1 化简集合A={x|x-72},B={x|x≥5}，并表示A、B的关系；
例2 写出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.
结论：集合A中元素的个数记为n，则它的子集的个数为：2n
真子集的个数：2n-1，非空真子集个数：2n-2（在后继学习中会对此结论加以证明）
四） 课堂练习：P9练习题（学生口答或板演）
五） 归纳小结，强化思想
学生总结两个集合之间的基本关系，两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系.教师强调：注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；注意区别“包含于”、“包含”、“真包含”、“不包含”等概念的不同涵义与不同表示法；要注意区分“属于”与“包含”，即“I∧”与 “ ”的差异．要学生注意，数0、集合{0}与空集 的区别．有时候，集合间的关系不容易直接从表达式中看出，可引导学生恰当地使用Venn图或数轴等直观形式来确定集合间的关系．
六) 作业布置
1. 书面作业：习题1.2 5个小题
2. 提高作业：① 已知集合A={x｜a＜x＜5}，B={x｜x≥2}，且满足AB，求实数a的取值范围.② 设集合A={四边形}，B={平行四边形},C={矩形},
D={正方形}，E={菱形}，F={梯形}，试用Venn图表示它们之间的关系.
（作业形式体现作业的巩固性和发展性原则）
五、 教学评价
本节内容较易懂，为学生创设了的探究知识的情景，从而充分调动学生学习数学知识的积极性，使学生有自主发现知识、创造性地解决问题的时间、空间.
六、 板书设计：
§2 集合的基本关系
1． 概念 2. 给出实例 3. 例题1 4. 练习
(学生板书)
篇8
必做题在一般情况下，是将所学的基础知识加深印象，巩固思维，是基本的训练数学思想的方式，其定义为必做题，就是要让全体学生都能够将基础知识透彻掌握。然而选做题是稍有难度的试题，一些学习能力较强，数学思维较广泛的学生是最适合尝试的，可以在一定程度上将数学的思维能力提升，并且能够将学生的主观能动性充分地调动起来。
二、设计隐性分层的探究活动
学生的学习是一个探究的过程，教师在设计探究活动的阶段要考虑到学生的差异性。要根据不同层次的学生，设计不同层次的知识点，然后再进行探究。例如：“集合的表示与含义”的教学，要由浅入深、分层教学，先将集合的含义透彻掌握，再把集合与元素间的对应关系了解清楚，才能够记清专用记号与常用的数集。
篇9
问题二、函数的本质是什么？
让学生回顾初中学习过的函数概念，把握住函数的内涵。教师根据学生所举例子的具体情况，引导学生列举分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数。让举例的同学分别解释他们所举例子的含义，为什么用这个例子来说明函数。函数是初中已有过的内容，引导学生用初中的定义解释所列举的例子，可以了解学生对函数概念的掌握情况，挖掘学生背后的思维过程，暴露学生对函数本质的理解状况。
然后教师点拨学生：“我们在初中就学习过函数的概念，并且学习过一些特殊的函数，那么现在我们上了高中，为什么又要来学习函数的概念呢？初中对于函数的定义，主要是从变量之间的依赖关系来表述，那么我们学习了集合的相关知识，为了更加深刻地揭示变量之间的这种依赖关系，能不能利用集合对函数进行重新定义呢？这节课我们将从集合的角度赋予函数概念以新的思想。”以此来引导学生把初中学习过的函数概念与高一刚学习的过的集合知识联系起来，用集合的观点解释过去的概念，获得对函数概念的新认识。
下面把时间留给学生，让学生自学书上的三个实例：
1。物理公式：s=vt；
2。“艾宾浩斯遗忘曲线”；
3。 1988至2008年中国历届奥运会金牌数。
并让学生思考以下四个小问题：
（1）三个实例中分别含有哪几个变量？
（2）这些变量的取值范围怎样用集合表示出来？
（3）变量所在的集合之间有着怎样的对应关系？
（4）实例中变量之间的对应关系有何异同？
在此设置自学环节并提出四个小问能够让学生静下心来从具体实例中抽象出函数的概念。教师要注意突出“两个变量x，y”，对于变量x的“每一个”确定的值，另一个变量y有“唯一”确定的值与x对应，“y是x的函数”。特别要求学生指出对应关系是什么？x取哪些数？即取值范围，感受数集A的存在，y值的构成情况，为引入两个数集做准备。
接着我自编了实例四：将6位同学按1到6进行编号，把他们的编号放在一个集合里，将他们的数学成绩放在另一个集合里，将编号和他们的成绩对应得到第一个对应关系。接着将他们的数学成绩放在一个集合里，把他们的排名放在另一个集合里，将他们的成绩与排名对应得到第二个对应关系。然后关注最后两名没有考及格的同学，把他们的学号与最近两次考试的成绩对应得到第三个对应关系。之后让他们给自己下次考试成绩定个目标，同学5说出下次争取考到60分，而同学6没定目标，这样得到第四个对应关系。请尝试应用刚刚概括出的函数的概念判断一下这四个对应关系中哪些是函数？
在是与不是的函数判断中，学生对函数的概念有着进一步深入的认识。紧接着让学生自己思考以下三个小问题：
（1）函数的概念中有哪些关键词？
（2）如何理解函数的概念与符号？
（3）函数有哪几个要素？
教师引导学生要善于解剖概念，促使学生抓住概念中的关键词，透彻理解概念的内涵。
同时，指出：
（1）A、B必须是非空的数集；且对于集合A中的任意一个数x，在集合B中只有唯一确定的数f（x）和它对应，这种对应为数与数之间的一一对应或多一对应；
（2）函数的定义域就是集合A，但函数的值域未必就是集合B，实际上，它是集合B的子集（这里可以借助自编实例四让学生理解，这也是自编实例四的目的之一）；
（3）f（x）的符号含义：y=f（x）为“y是x的函数”的数学表示，仅仅是一个函数符号，表示x经f作用后的结果，f（x）并非表示f与x相乘 ；
（4）函数必须具备三个要素：定义域，值域，对应法则f，三者缺一不可。并指出对于一个函数，当定义域确定、对应法则确定后，值域也随之确定，因此，两个函数相等的条件是定义域以及对应关系相同。
接着让学生自己总结如何判断一种对应关系是否是函数？
（1）定义域和对应法则是否给出；
篇10
【文章编号】 1004―0463（2015）
12―0099―01
小学一年级学生初识数学，教师一定要从帮助学生建立数概念入手，循序渐进，培养学生学习数学、探究数学知识的浓厚兴趣。数的概念是学生学习数学的基础，人教版数学一年级上册教材的编排就突出了数的概念的构建与理解，从基数、数的顺序、大小比较、序数和数的组成等方面，引导学生逐步建立数的概念，体会数的含义。教师一定要深刻领会教材，在教学中正确运用。笔者根据多年教学实践经验，就如何充分利用教材的编排特点，引导小学生尽快建立全面而正确的数的概念，为以后的学习和成长奠定基础，谈一些粗浅的认识。
一、让学生充分体会数的基数含义
自然数的基数含义是指一切等价非空有限集合的共同特征的标记，即自然数表示一切等价有限集合中元素的个数。但很难让一年级小学生直接理解这样抽象的含义，教师要充分利用教材，将10以内数的认识分两段学习，即5以内数的认识、6-10的认识。通过从具体到抽象，再从抽象回到具体的方式，帮助学生体会抽象的基数含义。
具体讲，在“5以内数的含义的认识”中，教材先从相同数量的不同事物中抽象出数，如3只小鸟、3盆花、3只蝴蝶都是一类等价的非空有限集合，它们的元素个数都是3。教师就从这些现实原型中抽象出数字3，用符号“3”来表示，由此让学生体会数是从具体事物中抽象出来的（这里数和数字是合二为一的），只与它们的数量有关，与其物理属性无关。然后再从抽象回到具体，在数字下面出示相应数量的实物，帮助学生体会数作为符号的抽象性，即“3”不仅可以表示主题图中数量是3的实物，还可以表示其他数量是3的实物。这样从实物到数再从数到实物，让学生充分体会数的基数含义。
二、认识计数单位“十”，初步体会位值制
1. 借助计数单位“十”，认识11-20各数。要知道事物的个数，就要数数，数数需要计数单位。10以内的数是以“一”为单位，1个1个地数出来的，计数的结果是多少个一;而11-20的数不仅要以“一”为单位计数，还要以“十”为单位计数，这样11-19计数的结果就是1个十和几个一，20就是2个十。所以认识11-20的数，要从认识计数单位“十”开始，由此了解这些数是由几个十和几个一组成的。
篇11
自然数概念的内涵是丰富的，弗赖登塔尔提出――数的概念的形成可以粗略地分成以下几种：计数的数、数量的数、度量的数以及计算的数；而对于数学自身的发展而言，“计数的数”（序数）意义更大，他认为无论从历史的、发生的还是从系统的角度看，数的序列都是数学发展的基石。在此基础上，我们可以进一步细化、深入地认识每一个自然数的实质与意义。
首先看自然数的现实意义。每一个自然数的现实意义都极为丰富，其最基本的意义有两个――基数与序数。例如自然数5，既可以表示某个集合的元素个数，（即自然数的数量数含义），也可以表示物体的位置和顺序（即自然数的序数含义）。
在小学的低、中阶段自然数的这两方面（基数与序数）的教学价值非常大，但在教学实践中往往忽视了“序数”教学的价值，仅仅停留在“第几”的层面上，缺少对数学本身意义的挖掘，就如学生对“计数的数”的理解是“探索规律”教学的基石。
进一步拓展，我们可以知道自然数还有以下含义：1. 度量数。从某种意义上说，数量数是度量数的特例，度量数是数量数的扩充。数量数刻画的是离散量（集合的元素）的个数多少，度量数刻画的是连续量的大小问题，由于连续量是可以无限分割的量，因此为了更准确地测量出某个量到底有多大，就需要产生更小的测量单位，如果以最小的测量单位（或者同时用多个测量单位表示）作测量结果的单位，用自然数表示就足够了，但表达和交流时会非常麻烦，为了更恰当地表示测量结果，就必须产生新的数――分数（但现实生活中表示量的大小通常用有限小数来表示，便于直观感知量的大小，便于沟通交流，这是由现行的十进制计数系统导致的），这是从自然数扩充到有理数的重要现实动力。另外，为了使自然数的减法满足封闭性，就必须将自然数集扩充到整数集，为使自然数的除法满足封闭性，就必须将自然数集扩充到有理数集，满足运算的封闭性也是数域扩充的重要数学动力。2. 比率数。自然数还可以表示两个量（数）之间的比率关系。3. 计算的对象或结果。任何一个自然数都可以是计算的对象或计算的结果。4.数轴上的“点”。每一个自然数（每一个实数）都与数轴上的点建立一一对应关系。5. 用做编码的符号。任何一个自然数都可以用来编码。6.特别地还要强调“0”有以下几点意义――“0”是一个概念，它表示“一个也没有”；在位值制记数法中，“0”表示“空位（计数单位的个数是0个）”，起到占位作用；“0”是一个数，可以同其他数参与运算；“0”是标度的起点或分界。
二、自然数的数学意义
自然数除了上述现实意义外，还有其数学意义，数学意义就是从其作为一个“数”本身的角度看“数”的内涵，任何一个数都是 “计数单位与其个数乘积的累加就得到的”。“计数单位”及其“个数”是构成数的核心要素，真正认识一个数必然要认识这个数所涉及的计数单位，在小学阶段“分数”与“小数”都分两次学习，第一次学习仅是“初步认识”，第二次学习才是“意义”层次的学习。
由于自然数是用“十进位值制记数法”记录的，所以计数单位是“1、10、100……”不同计数单位与其个数的累加就构成了全部的自然数（某个计数单位的个数为“0”时，也要写出“0”，即0的“占位”作用），例如，2034=2×1000+0×100+3×10+4×1，或者写成2034=2000+30+4，即自然数的拓展式。小数也是“十进位值制”的，增加小数的计数单位“01、001、0001……”后，其累加的过程与自然数的过程基本相同，只不过有“有限次累加”与“无限次累加”两类，有限次累加就得到“有限小数”，无限次累加又分为两种情形，其一是，不同计数单位的“个数”是有规律地出现的，如果计数单位的个数的情况复杂，没有规律，则无限次累加的结果是“无限不循环小数”，即无理数。
同样，分数也可以看成是“分数单位的累加”，这不仅延续了自然数的认识，又为进一步理解分数的性质以及分数的加减运算打下了坚实的数学基础。从这个角度来认识分数就使学生能够真正理解为什么同分母分数加减只需要“分子相加减而分母不变”，而异分母分数加减法则必须“先通分，然后再分子相加减，分母不变”，从而进一步理解“加减法计算的本质就是相同计数单位‘个数’相加减”，“通分的本质就是寻找两个分数的相同计数（分数）单位”，这也是分数的通分、约分和扩分（寻找等值分数）的理论依据。
最后简要回答“0”为什么是自然数？“0”是自然数的意义是什么？实际上很难回答“0为什么又是自然数”，简单可以说是“规定”的，是修正后的皮亚诺自然数公理中规定的，皮亚诺自然数公理规定“1”是第一个数，修正后规定“0”是第一个数。而规定“0”是自然数则意义重大。例如，用“0”来描述“空集”所含元素的个数，那么所有的自然数（包括0）就能完整刻画“有限集合元素的个数”问题；0作为自然数集合的第一个数，每个数的后面都紧跟着一个确定的数，可以把所有的自然数一个紧跟一个地排成一列数，既不重复也不遗漏等。
三、自然数蕴含的数学思想：十进制与位值制
为了表示出一个“自然数”，在历史上曾经出现过五进制、十进制、二十进制、六十进制，但最多的是以10为数基的十进制。
古埃及记数法中有“十进制”却没有“位值制”的思想，如果需要记录更大的数就必须产生表示更大单位的“新符号”，但有位值制思想后，则用有限个“符号”就能表示出无限的数，例如在“十进制”前提下只需要10个符号就能表示出所有的自然数。
但十进位记数法，离十进位值制计数法还有关键的一步要走，即“位置值制（简称‘位值制’）”。所谓“位值制”，是指相同的记数符号由于所处的位置的不同而可以表示大小不同的数目。由于有了位值制，就可以用有限的几个数字表示出无限多个自然数，这是记数历史上的一个奇迹。
用十进位值制记数法来表示数意义巨大，一是便于比较两个自然数的大小，自然数大小比较时首先看自然数的位数，位数越多则这个数越大。二是更便于数的计算，例如所有的加减法做的不外乎都是“20以内的加减法”，只不过“计数单位”不同，乘除法做的则都是“表内乘除法”。
四、无限集合的个数问题
学习自然数除了前面所论述的现实意义、数学意义以及所蕴含的十进制、位值制思想外，还有一个重要问题即自然数集合的元素个数问题，这个问题推动了近代集合论的发展。
篇12
一、莱文森会话含义理论
莱文森（1987）指出，在格莱斯的两条数量准则以及方式准则的基础上，提出三条原则：数量原则（Q-principle）、信息原则（I-principle）、方式原则（M-principle），每条原则都由“说话人准则”和“听话人准则”这两个部分构成。
1.数量原则。
（1）假若说话者断言A（W），并且（A表示一个任意句子框架，W表示较弱的信息，S表示较强的信息，K表示知道，～表示否定符号）构成霍恩等级，则能够认为推断K～（A（S）），即说话人知道更强的陈述是假的；
（2）假若说话者断言A（W），而且A（W）没有推导出被嵌入的句子Q，但比之更强的陈述A（S）却可以推导此句，除此之外，{S，W}构成对立集合（对立集合中前者的表达式是强式，后者的表达式是弱式），那么就可以预测～K（Q），也就是说话一方不知道Q成立与否。
2.信息原则。说话人准则又称为最小化准则，话语要说得尽可能少，仅仅说出谈话目的需要的最少话语；听话人推理又叫充实规则，依靠探寻十分详尽的解释，通过这种方式拓展讲话者的说话内容。
莱文森认为人类记忆储存里，有若干个“常规关系”，这些客观世界中的现实关系，如果根植在人类意识中，则会变成一种常规关系。因此，在话语中就不点自明，说话人可以说得尽量少，听话人力求将话语信息扩充到最大极限化。莱文森认为信息量含义和数量含义不同之处在于增强信息的方法。比起原语句，信息量含义要显得具体、确切；数量含义要依靠对一个更强的陈述的否定来充实信息。
3.方式原则。在这条原则中，说话人准则不可以毫无根据的用冗长、晦涩、有标记的表达式；听话人如果用这样的表达式M，则与使用无标记表达式U时有不同意义――进一步来说，他是尽可能地避免U的定型联想和信息量含义。一旦说话者选取这样的表达式M，则话语产生的意思就会不同。
二、莱文森会话含义理论在《重返17岁》中的运用
1.数量原则与会话含义。
Mike： Passing？
Alex： Good.
Mile： Dribbling？
Alex： Good.
这段对话是迈克详细地问儿子在篮球方面的表现。当迈克具体地说传球，运球都表现的怎么样时，亚历克斯回答说“Good”，然而，作为父亲的迈克期望得到的回答并不仅仅是“Good”，于是暗示儿子，“Good”是不能帮助拿到奖学金的。这时，亚历克斯便随口说出“Great”，以此满足父亲的期待。其中，构成霍恩等级关系，good没有达到great的程度，great提供的信息较强，good提供的信息较弱。亚历克斯第一次说“Good”的含意是“尚未达到Great的程度”。用了弱式表达，言外之意是自己的篮球水平还不是非常好。然而，这没有给出父亲想要的足够信息，面对父亲的再一次询问，亚历克斯就按照父亲的期待说自己的篮球水平达到了“Great”的程度。这里可以明显看出亚历克斯违法数量原则，说了假话，遵循了礼貌原则。暗示了自己因为不想让父亲再问关于篮球的事情，就选择了父亲期待得到的答案，敷衍父亲。
2.信息原则与会话含义。Scarlet： …and have water…streaming in from both sides. And then put a big deck right here…and then a flagstone patio there with sod in between. That would be pretty. And then to have twinkling lights above the whole thing… so that every night is a starry one.
迈克在表现出对花园感兴趣后，斯佳丽带迈克来到自己的修建的花园，继而解释了花园之前照料的不是很好，又说了自己打算在花园里放置一个水池，然后还要放一个台子，铺草坪……。斯佳丽回答的话语量明显超过了迈克询问所需要的最小信息量。在违反了这一原则的同时，我们可以推断斯佳丽和迈克特别投缘，想把自己对于花园的真实想法都告诉迈克，向他介绍自己将如何布置喜爱的花园，迈克也可以从斯佳丽过量的回答中更深刻了解她现在的心理状态。
3.方式原则与会话含义。Mike： Stan dumped you？ Stan dumped you？ What？ What happened？ How did this…？ What did he do？ What did he do？
重返17岁的迈克重返学校，变成了他的儿子、女儿的同班同学。迈克发现女儿一个人在操场上悲伤流泪之时，知道女儿失恋了，他用20个单词构成的7个问句询问麦琪，表现出对女儿的关心，当麦琪说完具体情况后，迈克语重心长地安慰麦琪，隐含在文字底下的是Mike复杂的心情，迈克知道了一个父亲需要承担的责任，复杂的心情通过晦涩不自然的语言表现出来，深刻感人、给人一种意味深长的感觉。
篇13
上课伊始，教师逐次拿出红色、绿色等不同颜色的纸，让孩子们辨认颜色，并跟读表示相应颜色的英语单词。老师在纸上并排画出几根小棒，边画边让孩子们数数。接着，老师将颜色纸按照3人一组分给孩子们，并交代下一个活动要求：记录公路上与自己小组的颜色纸色彩相同的过往汽车辆数。可以按照老师刚才画竖线的方法在纸上记录。
孩子们在老师的带领下，来到学校操场围墙边。墙外公路上，不时有汽车从孩子们的面前驶过。孩子们选定合适的观察位置，贴着围墙的铁栅栏，专注地观察属于自己小组颜色的车辆，并迅速地记录。
几分钟后，孩子们带着自己的成果回到教室，席地而坐。在他们的面前是一个电子白板。
老师开始用电脑动画演示与刚才类式情境：画面上两个孩子正在自家楼上窗口往下点数马路上行驶的各色汽车。电子白板上显示出了一幅方格统计图（如图1）：纵轴上标自然数，横轴上的坐标用红色、黄色等不同的汽车图形代替。
一辆红色的汽车伴着音乐从统计图上方开出。老师问孩子们：“这辆红色的车该放到哪个格子里？”几位孩子举起了手。一位孩子到屏幕前指示该车应放到标有“红色”汽车的格子里。紧接着，统计图上方一辆接一辆出现了不同颜色的汽车。在孩子们的指点下，它们被分类放进了统计图里。老师让孩子们根据统计图点数各类汽车辆数，并回答“绿色车多少辆”、“红色车多少辆”、“最多的是什么颜色的车”、“最少的是什么颜色的车”等问题。
接下来，老师要求同学们汇报各组统计的汽车数。教师根据学生的汇报，按照颜色分类写出车辆数。随后，老师从教具柜里拿出一叠印满小汽车的图纸发给大家，让孩子们为这些小汽车涂色，所涂颜色和辆数要与自己小组统计车辆的颜色、辆数相同，并把涂好了色的汽车图剪下来，贴到白纸上（如图2）。
孩子们起身回到自己课桌边的坐位上。从桌上的工具盒里拿出剪刀、胶水等常用的学习用品，开始专心地涂色、剪纸、贴图。老师则来到一位不会英文的新移民小孩旁坐下，耐心地进行个别辅导。
下课了，孩子们起身，各自把剪贴作品放进了属于自己的作业盒子里。今天的数学课就此结束。
这节数学课看起来很随意，也很好玩。孩子们整节课围绕“点数汽车的辆数”的问题情境，有序地进行一个又一个活动：辨认纸张颜色、实地记录各种颜色汽车数量、观看教学片学习不同颜色汽车数量的统计方法、点数车辆数并比较多少、汇总各组记录的数据、填充和剪贴与自己实地记录的汽车数相同的汽车图。孩子们在这样的活动“串”中，兴致勃勃、轻松自如。
在任课教师看来，数学课中语言、数学、自主学习、好奇心以及各种知识之间的联系都是重要的。这节看似随意的数学课，实际体现了教师的教学理念、设计思想和教学特点。
一、关注学生学，创设贯穿始终的问题情境
从教学设计的角度来看，这是一节“以学生的活动为中心”的数学课。这类课的基本结构一般是确定教学目标、创设教学情境、设计与提供信息资源、设计自主学习策略、设计协作学习环境、评价学习效果[1]。本节课，教师以学生初步学会点数10以内数，初步了解10以内数的含义为知识目标，创设了“点数汽车的辆数”这样一个贯穿教学始终的数学问题情境。并提供了配色彩纸、观察地点、教学短片、汽车图画、填图卡纸以及剪纸的工具等学习资源与信息素材，为学生的学习提供了有力支持。活动过程中，教师设计了包括分类（按照颜色分类）、统计（收集、整理数据）、数数（分类点数、一一对应）等策略，引导学生自主学习。并通过小组合作和教师个别辅导，构建协作学习的环境。通过“按数找物”的填图、贴图活动，让孩子们反思自己对数及数学符号表达的含义的初步了解。贯穿始终的问题情境，使孩子们数学学习的过程，也成为数学问题解决的过程，成为数学活动经验的积累过程。
二、关注数学本质的渗透，创设学习活动“串”
从学习的过程来看，孩子们活动的基本线索是分类、收集整理数据和数据的简单分析与表达。这个活动本质上是在为学生建立自然数的概念奠基。
（一）通过分类活动初步感知集合
我们知道，自然数起源于数（shǔ），即一个一个地数东西。由此而产生的用来表示物体个数的数就叫自然数[2]。用有限集合的基数来解释自然数，即“自然数是一类有限的等价集合的标记”，称为基数[3]。基数表示集合中元素的个数，是计数的数。比如，M={a}是一个集合，所有能和M构成一一对应的集合如“一只小鸟”的集合，“一棵树”的集合，“一个人”的集合，“一个班学生”的集合等，它们都能彼此一一对应，是等价集合。从这样一类有限的等价集合中将其共同属性，即集合中的元素“都是1个”抽象出来，用数“1”表示，“1”就是这类等价集合的标记。“1”既可以表示数量上是1的事物，也可以表示一个整体。
建立数概念是非常困难的，人类形成“1”的概念，经历了十万年[4]。学生经历数的抽象过程，理解数的实际含义，是学习数学的重要开端。皮亚杰认为，数概念的发展不会早于类（分类结构）的发展。分类就是把具有同一属性的事物构成一个集合。这就是说，小学生先有分类形成的集合观念，然后才能形成自然数的概念。在本节课中，教师首先让学生辨析颜色纸，并在课外实地观察中，以颜色为标准对过往汽车辆数进行分类统计，使学生在对汽车进行分类的过程中感知集合：即“相同颜色的汽车”构成一个集合。同时，学生对同类汽车一辆一辆进行记录，也可以进一步获得对集合中元素的个数的感知。
（二）通过统计活动初步感知数的含义
小学生掌握计数（数数）的过程，是把被数物体集合的元素与自然数列中的元素建立一一对应的过程，也是掌握初步数概念的过程。有研究表明，儿童计数的发展，需要经历“口头数数——按物点数——说出总数”的过程。儿童从口头数数发展到按物点数，通常会经历一个“手口不一”的过程。而说出总数的发展晚于按物点数。计数时，只有会说出总数，才标志着儿童开始对数的实际意义的理解。本节课设计的利用卡通片去再现实地统计汽车辆数的情境，让小学生把多媒体画面中出现的不同颜色汽车归类填入统计图，并进行数数练习和数量多少的比较，使学生直观感知数的形成（即一个数添上1，即得到一个后继数），训练学生用视觉感知数目的多少，并进一步将口头点数发展到按物点数，然后说出总数，培养学生的数感和数数技能。
（三）用不同方式表征数，渗透数守恒概念
本节课的最后一个活动，是由各小组成员根据在实地观察活动中记录到的汽车颜色和辆数，在一张画满小汽车的图上涂色，并剪贴在自己的作业纸上。通过“由形到数，由数到形”的转化，呈现了数的不同表征方式（实物、图形和数字符号等），并渗透了数守恒的概念。我们知道，学生在判断物体数量时，往往会受物体大小或排列形式的干扰。这种情况说明学生还没有数的守恒的观念。要排除各种干扰因素，关注到物体的数目，这要求学生能将数从它的具体对象的各种外部特征中抽象出来，这需要具有一定的抽象概括能力。皮亚杰认为，儿童能否具有数守恒的能力，是衡量是否具有数概念的标志。教师在教学设计中，让学生在观察、操作活动中，感悟汽车排列方式和形状大小的变化，体会数守恒的概念，有意识地渗透了抽象能力的培养。
有研究认为：小学生初步形成10以内数的概念，有几个标志：①理解10以内数的实际意义，包括10以内的基数和序数的意义，在判断物体的个数时，能不受物体大小、形状和排列形式的干扰，正确确定物体的数量（即数的守恒）。②认识10以内数的相邻关系，理解自然数的顺序是固定不变的。③掌握10以内数的组成，初步认识数的结构，初步具有按群计数的能力，为学习加减法打下基础[5]。本节课通过一个个主题清晰的数学活动“串”，把数学教学的基本要求，渗透在了学生的学习活动之中。
三、遵循教育原则，体现“现实数学”思想
“现实数学”是荷兰数学教育家弗赖登塔尔的重要数学教育原则。他认为，“数学现实”是客观现实与人们的数学认识的统一体，是人们用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体。其中既含有客观世界的现实情况，也包括个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。强调客观现实材料和数学知识两者密不可分[6]。对于本节课而言，小学生从给定的“点数汽车的辆数”的具体情境中，通过分类、统计、对应（数与形，数与物）等方法去感知和建立数概念，使学生对于“数的认识”与各种“现实”材料“你中有我，我中有你”，融为一体，较好地体现了“现实数学”的思想。同时，孩子们在这些涉及数学、美术、音乐、语言等多领域学习以及户外活动、统计、填图剪纸等有趣的活动中，学习数的有关知识。
笔者认为，教师精心设计有趣的数学活动，让孩子们在“玩”中学数学，教学的着眼点是学生如何学，而不是教师如何教。教师走进儿童学习的真实世界，结合学生的实际，尊重孩子的天性，遵从数学的学科特点和儿童数学学习的心理发展规律而进行教学，让学生在不断经历、体验各种数学活动的过程中，积累数学活动经验，建构数学知识，形成数学学习的积极态度，这也许是这节课给我们的一点启示。
参考文献：
[1]李士锜，张晓霞，金成梁.小学数学教学案例分析[M].北京：高等教育出版社，2010：6.
[2]金成梁.小学数学疑难问题研究[M].南京：江苏教育出版社，2010：1.
[3]张奠宙等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版.2008：1.
[4]黄燕，何昕.从“小用”到“大用”——谈我们需要什么样的数学[J].人民教育，2011，（16）：14-16.
