引论：我们为您整理了13篇三角形内角和教学设计范文，供您借鉴以丰富您的创作。它们是您写作时的宝贵资源，期望它们能够激发您的创作灵感，让您的文章更具深度。
篇1
一、复习引入
1.我们学习了三角形的分类，三角形按角可以分成哪几类？
2.设疑：什么是三角形的内角和，你是怎样理解的？
二、创设情境，激疑思考
1.课件演示：
出现两个大小不同的三角形，“大”对“小”说：“我的三个内角和一定比你大。”“小”问道：“是这样吗？”
2.引导学生根据刚才课件演示的内容提出问题：
到底哪一个三角形的内角和大呢？你有什么办法？
3.学生思考：如何求出三角形三个内角的和。
大多数学生认为：量出三个内角的度数，再相加。
【设计意图：根据课件给出的信息，明确问题。根据问题，引导学生寻找解决问题的方法。】
三、尝试体验，探究新知
1.量一量。
（1）引导学生用量角器度量自己手殊的三角板，得出结论：“三个内角的和是180°”。
质疑：那么是否对其他的三角形也有这样一个结论呢？
【设计意图：先研究特殊的例子，再从研究特殊到研究一般。】
（2）小组活动。
①提问：你发现了什么？
②小组交流发现：每个三角形的三个内角和都在180°左右。
【设计意图：学生通过画三角形，度量，计算，再观察数据，最后发现问题，培养学生动手动脑的能力。】
③提出疑问：前面的特殊三角形的内角和是180°，而这些三角形的内角和在180°左右，究竟三角形内角和是不是180°呢？
【设计意图：学生还没有意识到这是误差造成的原因。教师不能直接说明原因，而是让学生思考和寻找其他的方法来解决。】
④引导学生思考：有没有其他的方法来解答上面的疑问？
2.拼一拼。
（1）教师演示。
把预先准备好的三角形的三个角撕下来，拼在一起。
（2）提问：你有什么发现？
学生发现：三个内角拼成一个平角。
教师：平角是多少度？这说明了什么？
学生：平角是180°，说明三角形三个内角和刚好等于180°。
（3）学生动手实验：
教师：你也动手来试一试，看看你们手上的三角形是否也有这个特点，也能拼出一个平角。
【设计意图：先演示撕的方法，然后让学生自己动手，学生在操作中发现同样存在这一规律：三角形内角和是180°。】
3.折一折。
（1）刚才我们通过算一算发现三角形的内角和在180°左右，通过拼一拼，发现三角形的内角和刚好拼成180°，那么三角形的内角和到底是多少度呢？听听智慧老人是怎么说的。
（2）课件出示智慧老人说的话。
（3）我们再来折一折，再次证明我们的发现。
教师结合教材中折的方法，利用多媒体课件进行直观演示。让学生在仔细观察、用心体悟的基础上，动手操作。
（4）学生在领悟了折法后，发现折了之后三个内角刚好组成了一个平角。而如果折不好，就会使三个内角不能刚好组成一个平角。
【设计意图：折的过程中出现问题，学生自己就会反思是不是折的方法不对，而通过课件演示，可以很直观地让学生知道该怎样折。通过前面的几个实验活动及活动中出现的问题，一再地操作和反思，最后得出结论。】
4.结论：
学生通过前面的三个探索活动得出结论：
（1）三角形的内角和等于180°。
（2）一定有内角和是180°的情况出现，前面的情况是在操作的时候出现的误差所造成的。
5.解决创设情境中的问题。
四、巩固新知，解决问题
1.课本第29页“试一试”第3题和“练一练”第1题。
用三角形内角和的性质解决简单的问题：已知三角形两个内角的度数，求第三个角的度数。
2.课本第29页第2题。
根据三角形内角和是180°，钝角三角形的钝角已经大于90°，那么它的两个锐角的和不可能大于90°，直角三角形两个内角和是90°。所以，钝角三角形说错了，直角三角形说对了。
【设计意图：用刚学的结论解决问题，巩固新知。】
3.课本第29页第3题。
本题答案很多，鼓励学生尽可能给出与60°角能分别组成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的答案。启发学生想一想三角形的另外两个角可能是多少度。
【设计意图：利用钝角三角形、锐角三角形、三角形的内角和的性质解决问题。】
4.课本第29页实践活动。
本活动的重点在于引导学生探索并发现四边形的内角和是360°，体验解决问题策略的多样性。提出问题，引起学生的思考。
五、课堂小结
篇2
1.知识目标：掌握“三角形内角和定理的证明”及其简单的应用。
2.能力目标培养学生的数学语言表达、逻辑推理、问题思考、组内及组间交流、动手实践等能力。
3.情感、态度、价值观：
在良好的师生关系下，建立轻松的学习氛围，使学生体会获得知识的成就感及与他人合作的乐趣，以增强其数学学习的自信心。
4．教学重点、难点
重点：三角形的内角和定理的证明及其简单应用。
难点：三角形的内角和定理的证明方法的讨论。
三、说学校及学生现实情况
我校是蓝田县一所普通初中，四面非山即岭，距蓝田县城四十里之遥。但由于国家对西部教育的大力支持，学校有远程多媒体网络教室，为师生提供了良好的学习硬件环境。我校学生几乎全部来自本镇农村，而我所教授的八年级四班学生，大多家庭贫苦，所以学习认真踏实，有强烈的求知欲；此外，善于钻研是他们的特点，并且，有较强的合作交流意识。
四、说教法
根据本节课教学内容特点，我采用启发、引导、探索相结合的教学方法，使学生充分发挥学习主动性、创造性。
五、说教学设计
〈一〉、创设情景，直入主题
一堂新课的引入是教师与学生活动的开始，而一个成功的引入，可使学生破除畏难心理，对知识在短时间内产生浓厚的兴趣，接下来的教学活动就变得顺理成章。我的具体做法是：简单回忆旧知识，“证明的一般步骤是什么？”学生轻松做答，我肯定之后紧接着说：“本节课就是用证明的方法学习一个熟悉的结论！是什么呢？请看大屏幕！”。尽量使问题简单化，这样更利于学生投入新课。
〈二〉、交流对话，引导探索
1、巧妙提问，合理引导
证明思想的引入时，问：同学们，七年级时如何得到此结论？（留一定时间让他们讨论、交流、达成共识）学生回答后，我及时肯定并鼓励后抛出问题：他们的共同之处是什么？学生容易回答：凑成一平角。我说：很好！那你们用这样的思想能证明这个命题是个真命题吗？赶快试试吧！这样，既引导了证明的方向，又激发了学生的学习兴趣。接下来学生做题，我巡视。同时让一学生板演。
2、恰当示范，培养学生正确的书写能力
在学生做完之后，我与他们一道分析板演同学证明是否合理，并利用多媒体给出正确书写方法。
3、一题多解，放手让学生走进自主学习空间
正因为学生的预习，所以他们证明的方法有所局限，这时，我抛出问题：再想想，还有其他方法吗？将课堂时间又交还他们，将其思维推向。学生思考，继而热烈讨论，此时，我又走到学生中去，对有困难的学生多加关注和指导，不放弃任何一个，同时，借此机会增进教师与学困生之间的情谊，为继续学习奠定基础。最后，请有新方法的同学叙述其思想方法，我用大屏幕展示不同做法的合情推理过程。
4、展示归纳，合理演绎
利用多媒体展示三角形内角和定理的几种表达形式，以促其学以致用。
5、反馈练习
用随堂练习来巩固学生所学新知，另一方面进一步提高学生的书写能力。同时，在他们作完之后，多媒体展示正确写法，加强教学效果。
〈三〉、课堂小结
1 采用让学生感性的谈认识，谈收获。设计问题：
2
（1）、本节课我们学了什么知识？
（2）、你有什么收获？
篇3
教师随意拿出课前准备好的三角形纸片，让学生说说是什么三角形。（学生回答，教师评价）
2.设疑。
师：同学们对三角形能够辨认得又快又准，老师说出一个三角形，你们能很快画出来吗？（学生一般会不假思索地肯定回答，教师根据学生的回答故意摇头）
师：（故意想一想）现在……请……同学们画一个……有两个直角的三角形。好，请同学们动手赶快画。
（一分钟左右）师：“行了吗？”“谁完成了？”教师边巡视边问，“都没有同学做到？”“画不出来？”“请同学们想想为什么画不出来？问题出在哪儿？”
引导学生充分发言后，教师抓住时机：“既然同学们画不出有两个直角的三角形来，说明三角形中肯定有奥秘，现在我们就一同来研究它――三角形的内角和。”（板书：三角形的内角和）。
设计意图：教学的艺术不在于传授知识，而在于唤醒、激发和鼓励。让学生画一个很特殊的三角形，没有一个学生完成任务，这是为什么？其中蕴含着什么样的规律？引出“三角形的内角和”问题，促使学生认真思考，激发学生探究数学的欲望。
二、发展学生的空间观念和验证、推理能力
1.问题。
（1）什么是三角形的内角？（教师拿出三角形纸片，引领学生认识）
（2）什么是内角和呢？（引导学生回答）
（3）请同学们猜猜三角形的内角和可能是多少度？（教师板书学生猜的度数：如，90°、180°、190°、176°……）
师：“你猜的是哪种三角形？”“你确定吗？”“是不是所有三角形都这样？”（根据学生的回答灵活提问）
2.验证。
师：现在我们一起来验证，用什么方法来验证呢？（暗示知道的同学大胆回答）
师：请同学们以四人为一个小组，画几个不同的三角形。量一量，算一算，这些三角形的内角和各是多少度。
师：请同学们记住你量出的三角形每个内角的度数，报出其中两个内角的度数，让老师猜第三个内角的度数。（老师都能猜出，以此激励学生的疑问）
师：你们发现了什么？（三角形三个内角的和大部分是180°）用实验来证明一下。
根据学生的回答，教师引导学生用实验来证明。
①撕：先把一个三角形的三个角剪（撕）下来。
②拼：把三个角拼在一起。
③看：看一看拼成了一个什么角。
（让学生动手操作，教师巡回指导）
师：三个角拼在一起，好像成了平角，是180°。是不是所有的三角形都是这样呢？同学们再动手试一试。（教师同时用多媒体演示不同的三角形的三个内角剪下来拼合的结果）
④折：引导学生把三角形三个角的顶点折在一起，组成一个平角或者两个重叠的直角。
小结：我们用上述方法验证得出三角形的内角和是180°，请同学们用肯定的语气大声读“三角形的内角和是180度”。（教师一边复述一边在已板书的“三角形的内角和”后面加上“是180°”）
⑤读：让学生打开课本第85页认真阅读。（加深学生对三角形的内角和是180°的理解）
⑥想：引导学生想一想为什么画不出有两个直角的三角形？你能画出一个有两个钝角的三角形吗？为什么？
3.拓展。
（1）教师随意拿出一个三角形，让学生很快说出它的内角和。
（2）教师左右手分别拿两个相等的直角三角形，让学生分别说出它们的内角和，再把两个三角形拼成一个三角形，让学生说一说拼成后的三角形的内角和。
教师演示，学生说：分，左边三角形的内角和是180°，右边三角形的内角和是180°；合，拼成后的大三角形的内角和也是180°。
想：分开各是180°，合在一起也只有180°。合在一起的内角和度数为什么会少那么多？另外的180°哪里去了？（让学生指一指合并后的大三角形的内角是哪些，明白两个直角组成的平角已经不是三角形的内角）
设计意图：问题是数学的心脏。好的问题能给学生思维的动力，让学生带着解决问题的强烈愿望开展探究，不仅要让每个学生有自主探索、验证的活动，而且要注重在一定的空间里观察、操作、分析、推理和想象等活动中去解决问题，从而发展空间观念和论证推理能力。
三、练习巩固，促进学生思维的不断发展
1.看图求出未知角的度数。
教师画出不同的三角形，标出其中两个内角的度数，让学生求第三个内角的度数。
师：利用三角形的内角和知识，同学们可以解决“知道其中两个内角，求第三个内角的度数”的问题。如果只告诉我们其中一个内角的度数，或者一个内角的度数都不知道，你能求出它们的内角各是多少度吗？
2.求出下列三角形各内角的度数，并说说你是怎样想的，写出计算过程。
（1）我是一个等边三角形。（等边三角形三个内角相等，把180°平均分成3份，即：180°÷3=60°）
（2）我是一个等腰三角形，我的顶角是98°。（等腰三角形两个底角相等，180°-98°=82°，82°÷2=41°）
（3）我是等腰直角三角形。（略）
（4）我是直角三角形，有一个锐角是40°。（略）
3.拓展。
（1）引导学生展开想象，再说出自己想画的三角形的内角度数，告诉老师，由老师输入电脑，看看所想象的三角形与电脑所绘制的是否一样。如，我想象的三角形∠1=15°，∠=20°，∠3=145°。想象以后，先让用手比划，再动手画一画，看看与自己所想象的是否相同。
（2）让学生想象非常不寻常的三角形。如，
①∠1=3°，∠2=57°，∠3=120°；
②∠1=83°，∠2=1°，∠3=96°；
③∠1=40°，∠2=135°，∠3=35°（不能合成，让学生说明原因）；
④∠1=178°，∠2=1°，∠3=1°；
⑤∠1=30°，∠2=50°，∠3=90°（不能合成，让学生说明原因）。
篇4
中图分类号：G633.64 文献标识码：A 文章编号：1671-0568 （2015） 25-0101-03
现代认知心理学认为，知识在人脑中的表征形式是不同的，根据表征的不同可以把知识分为陈述性知识（知道某事是什么）和程序性知识（知道如何做事）。陈述性知识主要以命题、命题网络、图式的形式来表征；程序性知识主要以产生式或产生式系统为表征形式。这种广义的知识分类也适合数学知识的分类。孔凡哲在此基础上对数学知识进行了分类：数学知识不仅有陈述性知识和程序性知识还应包括过程性知识。
这种知识分类体现了数学的一种动态局势，当陈述性知识在知识运用过程中就会变为程序性知识。换句话说，程序性知识学习是以陈述性知识习得为基础的，同时各种不同类型知识的学习存在显著差异。加涅认为，不同知识类型或者说不同的学习目标具有不同的实施最佳学习条件和教学处方，教师在教学设计中要充分处理好各种知识的合理学习方式，促进知识的动态转化，让学生形成清晰的图式和牢固的产生式系统并习得一定的认知策略。下面以《三角形的内角》为例说明知识分类理论指导下数学教学设计。
一、教学任务分析
《三角形的内角》一课在教材中的位置承前启后，为多边形内角和及三角形全等的推理证明起一定的奠基作用，是人教版八年级数学上册的核心内容。这是一节以数学定理证明为重点的教学课。知识类型有陈述性知识、程序性知识和过程性知识。本节课教学任务是让学生建立初步的数学思想方法和逻辑推理能力，通过三角形内角和定理证明的教学实践，感受几何证明的思想，体会辅助线在几何问题解决中的桥梁作用。同时，引领学生体会数学中数形结合的思想。最后，进一步体会辅助线添加方法的多样性，渗透“最优化”思想。
二、学生起点能力分析
“三角形的内角和是180°”这一结论，学生在四年级通过动手操作已经得出。而本学期学生已经学习了平行线的性质与判定、平角的知识，平移的知识，初步感受了几何推理的结构。本节课是在此基础上，证明这个结论成立的道理。同时引导学生回忆与180°有关的知识，想办法将三角形的三个角拼成一个平角或同旁内角的形式，再利用所学的知识证明三角形内角定理，启发学生正确添加辅助线并证明。
三、目标设计
篇5
一、从实际问题情境中抽象出数学概念和数学模型
新课标倡导学生自主、探究、合作、交流的学习方式，强调教师应成为学生学习活动的组织者、引导
者和参与者。因此，在教学设计时，教师要认真思考向学生提供有利于创新思维培养的学习资源，帮助学生有效地掌握数学概念和建立数学模型。
案例1. 正数与负数的教学设计，为了体现负数是从实际生活中产生的，我选择了三个学生较熟悉的例子，用计算机显示动画效果，供学生交流讨论。
（1）比如零上5℃，它比0℃高5℃，可记作5℃，而零下5℃比0℃低5℃，怎样表示呢？
（2）珠穆朗玛峰出海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，怎样表示二者的海拔度？
（3）表示向东走3米与向西走3米，收入50元与支出50元，怎样用数来表示？
通过创设以上问题情境，激发学生的求知欲望，让不同水平的学生都在教师的引导下进行积极的思考参与，从而抽象出正负数是表示具有相反意义的数量。
案例2. 课题：生活中的立体图形――认识圆柱、圆锥、棱柱。
教师把实物圆柱、圆锥、长方体、正方体、棱柱展示给学生观察。
师：通过观察实物，下面哪位同学能说一说圆柱与圆锥的相同点和不同点？
生：（讨论、交流）圆柱与圆锥的相同点是它们的底面都是圆，侧面都是曲面，不同点是圆柱有两个大小相同的底面，而圆锥只有一个底面，圆柱没有顶点圆锥有一个顶点。
师：哪位同学能说一说棱柱和圆柱的相同点和不同点?
生：棱柱和圆柱都有上下两个底面，都有侧面，棱柱的底面是形状和大小完全相同的多边形，而圆柱的底面是圆，棱柱的侧面是长方形，而圆柱的侧面是曲面，圆柱没有项点。
案例剖析：通过展示实物，让学生观察、讨论、交流，教师引导学生运用比较的方法，归纳抽象出几何体的特征，既培养了学生数学的学习兴趣，又培养了学生学会自主探索、归纳抽象知识的能力。
案例3. 新课标北师大版数学七年级上册第五章第四节，课题：我变胖了。
教学设计过程片段：
师：请同学们看老师的演示。这是一块圆柱形橡皮泥，我用力向下一压，你们看它怎么了？
生1：它变矮了！
生2：原来高的圆柱变成矮肥的圆柱。
师：请同学们读一下下面问题。电脑显示引例：将一个底面直径是10厘米、高为36厘米的“瘦长”形圆柱钢材锻压成底面直径为20厘米的“矮肥”形圆柱钢材，高变成了多少？
师：刚才的演示与引例中轧钢工厂里的锻压过程，在这个过程中圆柱体的哪些量发生了变化呢?
生：它的底面半径增大，高度减小。
师：它的哪些量没有发生变化呢?
生：它的体积没变，重量没有变。
剖析：通过实物操作，让学生观察、讨论、交流，使学生从具体的实物中抽象出变量与不变量，从而建立方程模型，让学生体验数学在生活中的应用与价值。
二、教学设计的素材应有利于学生主动探索和交流
数学教学设计应适应学生的学习方式，教师应给予学生提供可操作性、让学生自主探究、交流合作的学习资源，体现学生是学习的主体。
案例4. 课题：新课标北师大版七年级上册《从不同方向看》
教学目标：经历从不同方向观察物体的活动过程，发展学生的空间概念。
教学重点：初步体会从不同方向观察同一物体可能看到不同的结果，能画出简单物体的三视图。
教学设计过程：
师：（摆出一组物体，让学生站在不同角度观察。）同学们通过刚才观察这一组物体，该看到什么样的图形?请大家发表自己的见解。
生：（讨论、交流），我们可以看出从不同的方向观察物体可以看到不同的图形。
师：请同学们利用现有的物体摆设不同的组合，并讨论从不同方向看到的图形。
生：摆设、讨论、交流。
师：通过刚才的实际操作，有什么体会？
生（归纳）从不同方向观察物体可能看到不同的图形。
师：老师给出课本中的五幅图片，再观察老师摆出的一组物体组合，请大家讨论一下，这五幅图片分别从什么方向看到的？
生：讨论、交流。
师：请同学们发表自己的意见。
生：纷纷说出自己的看法。
师：（归纳学生的意见，肯定学生的看法。）这说明有了物体组合和图片就能判断出观察方向。下面老师摆出一组组合体，请同学们尝试说明从上、左、前三个面观察分别能看到什么样的图形。
生：讨论，说明从三个方向看到的图形。
师：很好，从不同方向观察物体可能看到不同的图形，从正面看到的图形称：主视图，从左面看到的图形称：左视图，从上面看到的图形称：俯视图。下面请同学们画出老师摆出的物体的主视图、左视图、俯视图。
评析：通过以上设计，在课堂上充分提供给学生观察、思考、操作、讨论和交流合作的机会，教师真正地成为学生学习的引导者和组织者。
三、教学设计应体现数学思想方法的渗透
数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是数学发现的源泉。所以，数学教学必须通过数学知识的教学和适当的解题活动突出数学思想和方法，因此，教师在教学设计时，应注重数学思想方法的渗透。
案例5.《探索多边形的内角和》
师：三角形的内角和等于多少？
生：三角形的内角和等于180°；
师：四边形的内角和等于多少度？怎样求出来？
生：四边形的内为和等于360°，因为四边形的一条对角线把四边形分成两个三角形，两个三角形的内角和就等于四边形的内角和。
师：对于五边形的内角和怎样求出来？
生：像四边形一样想方法把五边形转化为三角形来求内角和。
师：请每个小组各派一名代表讲述怎样把五边形分割成三角形的方法及探索的结果；
生1：通过顶点A连接五边形不相邻的两个顶点C、D得两条对角线AC、AD，从而将五边形分成三个三角形，而这三个三角形所有内角正好组成五边形的五个内角，所以，五边形的内角和是180°×3=540°（图1）。
生2：在五边形内任取一点P与五个顶点相连接，这样可将五边形分成五个三角形，而这五个三角形的所有内角正好组成五边形的五个内角和一个周角，所以，五边形内角和是180°×5-360°=540°（图2）。
生3：在五边形的一边AB上取一点P与另三个顶点相连接，可将五边形分成四个三角形，而这四个三角形的所有内角正好可组成五边形五个内角和一个平角，所以，五边形内角和是180°×4-180°=540°(图3)。
生4：还可在五边形外取一点P与五边形的五个顶点连接得到五个三角形来求得五边形的内角和为540°。
师：很好！从图1可以看出，从五边形的一个顶点出发可作二条对角线，这二条对角线将五边形分成三个三角形，如果这个多边形是六边形、八边形会有什么结果，由此可以发现一般规律吗？
生1：如果是六边形可以作3条对角线，把六边形分成4个三角形。
生2：如果是八边形可以作5条对角线，把八边形分成6个三角形。
生3：从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。
篇6
数学的活动性教学，就是让学生身历其境，直接参与、思考、再发现和再创造的学习过程。学生是过程中的主体，是实践者、研究者、探索者，而教师着重于在实践活动的基础上引导学生思考、讨论和寻找数学规律及思想，从而达到学生对数学知识的自主学习。
可以看出，数学活动性学习包括如下方面：经验的获得；概念和规律的来龙去脉；隐含在数学知识形成过程中的思想方法。
二、基于数学活动性学习的教学设计课例
数学活动性学习是指学生建立在实践活动基础上的学习。活动性学习不仅有助于完善学生已有的知识结构网络，更利于新知识在已有知识结构上的同化。实践活动不仅让新旧知识联系在一起，而且创建了一个更为丰富的、整合的知识结构。重要的是数学知识只有经过实践活动，才真正具有迁移与应用的活性，这对学生未来的发展是十分重要的。
下面我以初中“多边形内角和”（第二课时）的教学为例，通过教学过程简介及设计说明来谈谈自己在教学设计和实践中对以数学活动性学习的方式发展学生自主学习的探索与体会。
1.数学活动性学习的教学设计图
2.教学过程简介和设计意图
（1）学生活动，感知数学
活动情境：让学生用准备好的三角形纸片折叠产生出四边形，问四边形的内角和多少度？（提示：可先考虑特殊的四边形：矩形、正方形）
学生：矩形、正方形每个角都是90°，内角和为360°。
学生：猜想任意四边形的内角和可能也是360°。
教师：如何说明你的猜想是正确的呢？请每个人动手试试。
动手活动：
活动1：度量。用量角器量下列各多边形的内角和。
活动2：拼图。将《实验手册》（七年级下册）附录6中标有①②③④号码的四个三角形揭下，拼图
1）将标为①号、②号的三角形拼成四边形，如图1；
2）将③号三角形与图1拼成五变形，如图2；
3）将④号三角形与图2拼成六边形，如图3。
通过拼图，同学们能得到四边形、五边形、六边形内角和吗？
设计意图：通过测量活动，学生直观得到四边形、五边形、六边形的内角和，认识到多边形内角和变化的规律是边数每增加1，内角和就增加180°。拼图活动既验证了测量的正确，又让学生经历了从特殊到一般的研究过程，使学生在已有的认知结构（三角形内角和）上发展同化了新知识（多边形内角和）。这是个理解、转换、提炼的过程。
（2）自主探究，构建数学
活动情境：拼图活动中拼成的图1可以看作把四边形分割为①、②吗？
学生：可以。教师：怎么分割？学生：容易，连一条对角线即可。
由学生叙述，教师板书，附图
∠A+∠B+∠C+∠D=∠A+（∠ABD+∠DBC）+∠C+（∠ADC+∠BDC）=（∠A+∠ABD+∠ADC）+（∠C+∠DBC+∠BDC）=180°+180°
∠B分割成∠ABD与∠DBC
∠D分割成∠ADC与∠BDC
设计意图：以三角形内角和作为学生新认知的生长点，构建了学生对多边形内角和的主动探究过程。发展了学生的数学化归思维，体现出数学活动的探究因素。
活动情境：同学们记得三角形内角和是怎么集中起来化为平角的吗？四边形的四个内角如果集中起来会是什么角呢？（学生答：周角）你们有办法也把四边形的四个角集中起来拼成周角吗？
教师：先请大家画图来回忆三角形内角和是怎么拼成平角的？
学生画图：图1 图2
教师：大家能否用图1、图2类比来探索四边形内角和360°呢？
通过生生讨论、师生交流，图3、4就动态生成了。
设计意图：让学生进一步体会图形的分割、转移、合并思想。从图1图2到图3图4（DE∥AB，DF∥BC）学生又会产生类比联想。要留给学生充足的思考时间，让学生大胆发表见解，错是可以的，可以不断纠正和完善嘛，活动过程体现出了释放性因素。
（3）深化理解，应用数学
活动1：（多媒体展示）测一侧谁的推理能力强，小丽采用补图形的办法，设计了下列表格，填表：
活动2：（多媒体展示）小丽采用补图形的办法，计了如下的表格填表：
设计意图：将“多边形内角和”化归为“三角形内角和”是本节内容重要的思想方法，通过填表活动，进一步巩固了该思想，并拓展了数形结合思维，体现数学活动的应用与拓展因素。
活动情境：拿出我们用三角形纸片折叠出四边形纸片，折叠活动告诉我们大三角形（EAB）中截去一个小三角形（ECD）会产生四边形。那反过来如何把四边形拓展成三角形呢？
学生：可延长AD、BC交于点E，得两三角形。
教师：如何说明∠A+∠B+∠BCD+∠CDA=360°呢？（分小组讨论）
板演：∠A+∠B+∠3+∠4=∠A+∠B+（∠2+∠E）（∠1+∠E）=（∠A+∠B+∠E）+（∠1+∠2+∠E）=180°+180°=360°
设计意图：通过角的分割、转移与合并，产生求和式的拆项、交换、合并，凸显出学生探索、归纳、演绎的活动能力的提高，发散了学生思维，再次体现了数学活动的拓展因素。
三、对数学活动性学习教学设计的几点体会
1.“活动情境”是数学活动性学习的前提
课堂是师生学习活动的生态环境，创设应情应景的课堂活动情境，能让学生经历新知识发生发展的过程，会使学习过程真正成为学生在教师引导下的再发现再创造过程。可以说教师创设了符合“国情”的数学活动情境会让学生迅速适应知识的萌发和应用。
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《数学课程标准（实验稿）》明确指出：“数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有知识经验基础之上.”教学有设计的一面，设计是教学的基本要求，因为教学是一个有目标、有计划的活动，教师必须在课前对自己的教学任务有一个清晰、理性的思考与安排，一切有准备的设计了然于胸，做到胸中有丘壑，这样才能很好地驾驭新课程的课堂. 这就要求教师在研究教材、教法的同时，加强对学生的研究，在关注内容组织与过程安排的同时，关注学生的认知基础，关注学习能力、情感、态度和价值观的培养. 由此可见，教学过程的设计是非常重要的，设计不充分，设想不周全，就很难激发学生参与数学活动的积极性和创造性，也就不可能产生更多的新资源、更多的新问题. 所以，我们教师要想达到预期的教学效果，必须进行充分的教学设计.
例如，设计生动的问题情境. 在生动的情境中学习数学是新课程课堂的一个最显著的变化. 它体现了“密切联系学生生活实际，关注学生学习兴趣和经验的意图，从而培养学生对数学学习的情感和态度”. 德国教育家第斯多惠指出：“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒和鼓舞. ”课堂问题情景的设计是教学激励、唤醒和鼓舞的一种艺术，具体而生动的问题情景生成，能激发学生的学习兴趣，激励学生对教师设计产生的问题进行积极的思考.
案例1：“菱形”教学
师：给你一张矩形纸片、一把剪刀，通过折与剪，你能得到一个菱形吗？
教师先让学生独立思考1分钟，再前后同学交流，展示作品……本课结束时，教师再次把折纸的作品呈现出来.
师：你还想进一步探究菱形的哪些知识？
点评：本课通过折纸游戏激发了学生的学习积极性，在折纸游戏中自动生成的问题资源进一步激发学生探究的积极性.
二、不拘泥设计的形式生成问题的结果
教学活动的发展有时和教学设计相吻合，而更多时候则与设计有差异甚至截然不同. 著名教授叶澜先生就曾经说过这样的话：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程. ”实施设计时不拘泥于形式并能智慧地处理好设计生成的问题，问题结果才会更加精彩.
在教学过程中，尽管教师课前会预测学生的信息走向，但在实施教学的过程中，还是会遇到一些意想不到的问题，学生会出现一些富有个性化的错误. 教师应直面真实的教学，根据师生交往互动的具体进程来整合课前的各种设计. 这时，教师的思维更多地表现为整合性. 教师要抓住这些稍纵即逝的信息，把它作为教学资源，调整、重组教学进程，在头脑中进行“无纸化”教学二度设计. 通过师生、生生间不同组合的双向互动，让教学沿着最佳的轨道运行.
案例2：“等边三角形”教学片段
师：关于等边三角形，你已知道了哪些内容？
生：等边三角形的三条边都相等，三个内角都等于60°. 生：等边三角形是特殊的等腰三角形.
生：一个内角是60°的三角形是等边三角形.
生：有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形.
师：我们来思考“一个内角是60°的三角形是等边三角形”“有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形”，画图看看你发现了什么.
课就从这里自然转入了分类讨论的进程：有一个内角是60°的直角三角形，不是等腰三角形；有一个内角是60°的等腰三角形可分为：（1）60°角是底角；（2）60°角是顶角.
课本上的描述方式：两边相等的三角形，满足怎样的条件就能成为等边三角形？我们可以从它的边与角两类元素应满足的条件考虑.（1）底和腰相等. （2）一个内角为60°要满足有一个内角等于60°的条件，其中包括两种情况：①底角为60°. ②顶角为60°.
在这个教学片段中，教师不再死抱“设计”，而是以智启智，善于抓住契机，及时关注到了课堂的“问题”，对来自学生中的课程资源巧妙利用并加以整合，促进师生之间、生生之间的资源共享，收到了不可预见的精彩.
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一、从学情出发，优化教学问题的难易度
课堂教学的有效性不是教师讲授了多少知识，也不是教师如何在课堂上全面把控，讲解的津津有味，而是学生在课堂上的学习兴趣、学习态度和学习效果如何。教学的有效性终归要落到学生学习的有效性上，为此，一切教育教学活动必须紧紧地围绕着学情而展开。小学生有自身的特点，他们的好奇心较重，但是自信心不足，一旦遇到困难，特别是自己无法解决的问题，他们的自信心就会大大受挫，所以在学习的过程中，教师一定要尊重学情，优化教学设计，正确的把握教学留白的难易度。笔者在教学实践中发现，如果教学问题太难就会挫伤学生学习的积极性，让他们失去信心，那么他们就不会在主动的探究问题了，一节课下来学生会感觉到非常的劳累，那么也对以后的教学埋下了隐患。在教学问题的设计中，数量也要适中，不能太多，也不宜过少。如果太多就显得整堂课都在活动，学生会觉得很累。太少的话，学生意犹未尽，好不容易放松的神经，一会又紧张起来。数学问题的数量要适中，难度系数也要适中，这样小学数学课堂的教学效果才会提升。
二、构建宽松的授课氛围，让学生敢于提出问题
学生自主学习能力的提升起源于学生的探究意识和探究能力的培养，在小学数学课堂要优化教学过程和教学设计，让学生敢于提出问题，并分析和处理问题，如有质疑的要及时的给与肯定和引导。学生有疑问就说明学生在思考问题，寻找解决问题的方法，这就是在自主学习和自主探究，这是非常难得可贵的。在以往的小学数学教学中，很多的老师更多的是关注学生的基础知识掌握和基本能力建设，认为学好教材上的基本知识，能解决相应的考试问题就可以了。对一些实际问题或者具有一定难度的问题，教师很少涉及，担心打击学生的自信心，或者没必要培养他们这方面的能力，因为考试的时候不会牵扯到这些知识，也考查不到这些能力。其实这种想法是不正确的，小学生虽然受到学龄和年龄的限制，缺乏一定的生活经验，但是他们拥有认知世界的好奇心，拥有解决难题的渴望和意志，教师一定要给学生一定思考和探究的时间与空间。培养学生的自主学习能力，不妨从学生提出问题开始，提出问题就意味着学生开始主动学习和主动探究了。
三、提升学生学习的自信心，消除恐惧心理
在笔者的调查和实践教学中发现，小学生畏惧数学的状态时候发生，因为小学数学的学习难度系数较高，对于一些抽象的理论知识，很多的小学生不能有效的掌握和消化，导致恐惧心理的产生，当面对数学学习的时候感觉有压力，并且显得极为的不自信，那么学生学习的兴趣和主动性就会减弱，为了提升小学生学习的兴趣，激发他们学习的主观能动性，教师要不断的创新教学模式，革新教学方法，提升课堂教学的趣味性，提高学生学习的积极性。小学生在学习的过程中是需要肯定的，开展鼓励性和激励性教育要比惩罚性教育效果好的多，为此数学教师要想方设法的恢复学生学习的自信心。课堂教学的过程本来就是一个动态化的过程，教师的教学思路和教学设计都是静态的，那么之间就会发生矛盾和冲突，特别是小学生，他们异想天开，发生课堂以外的情况是非常普遍的，那么作为数学教师应该正确的看待学生的疑问和思考，在给与教育和引导的同时，还需要给与鼓励和肯定，这样才能激发学生的探究意识。比如在学习三角形内角和的知识时，内角和就是180°。对于学生而言，不同形状和不同位置的三角形三角之和都是180°，理论上不好接受，为此我分别展示的不同方位，不同大小的共计五组三角形，让学生判断他们的内角和是多少，从而总结出三角形的内角和与他们的大小和方位没有关系，都是180°。并且，在了解完理论知识之后，学生已经知晓三角形内角和都是180°，我让学生把一个大三角形分割开来，分割成两个小的三角形，让学生尝试着回答，每一个三角形的内角和是多少？这两个三角形内角和又是多少？有的同学暂时转不过弯来，觉得两个小三角形是一个大三角形切割而成的，那么这两个三角形的内角和也是180°。刚刚总结完三角形的内角和定律，小学生就犯错误了，有的老师可能很尴尬，也很愤怒，但是切记严厉的批评学生，教师可以慢慢的引导学生，让学生重新温习三角形内角和的相关知识。告诉学生被分割的小三角形是不是三角形？学生回答：“是”。是三角形那么内角和就应该是多少度？学生回答：“180°。”对于回答错误的同学顿时也觉得不好意思，他们就会翻开教材牢牢记住这些知识。对于课堂发生的意外，教师在引导的时候，要做好心理疏导，切记严厉批评，否则会适得其反。
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教学目标是教学设计的依据。把握了教材内容、编者意图、知识生长点和教学的重点后，教师应据此确定教学目标。确定教学目标时，教师应特别注意具体、全面。具体，就是教师在确定教学目标时，要从数学基础知识、基本技能和数学思维等方面考虑，提出层次清晰、易于把握、可操作性强的目标要求。有的学校要求教师根据“双基”和数学思维，从记忆、理解、探索和发展层面制定具体的目标要求，收效甚好。
2.抓准教学重点
课堂教学设计抓准教学重点是关键之一。教学设计时，教师要防止只关注课堂形式的热热闹闹和课件画面的漂漂亮亮；要通过钻研教材，抓准教学的重点，并且在设计中突出重点。教师应注意一堂课的知识点可能有几个，但教学重点一般只有一个。重点应根据教学内容和目标确定；重点应通过时间安排、过程设计来突出。
事实上，除了在教学例题（新授课）中可以看出是否抓准了重点，突出了重点，在练习课中也能看出。例如，四年级（下册）“三角形的内角和”的想想做做第2题：一块三角尺的内角和是180°。用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内角和是多少度？（图略）第3题：用一张正方形纸折一折（斜对折，再对折），填一填内角和的度数。（图略）一般教师组织学生练习这两题时，只要求学生说出内角和是180°就可以了，而有的教师却在得出内角和是180°的基础上，由第2题引导学生发现：拼成的三角形，不管是钝角三角形、锐角三角形，还是直角三角形，内角和都是180°；由第3题引导学生发现：不管三角形是大还是小，内角和都是180°。显然，这样做，不是为解题而解题，而是在练习中也突出了全课的教学重点，发展了学生的数学思维。
二、课堂教学设计与熟悉学生
1.注重学习策略
教师要注重怎样教，也要注重学生怎样学。根据学生已有的知识经验、年龄特征和学习方法来设计教学过程，能大大提高课堂教学效率。例如，一年级（下册）教学求两数相差多少的实际问题，教学的重点是让学生理解并学会求两数相差多少的实际问题的算理和算法。要让一年级学生理解算理、学会算法，符合他们学习策略的教学设计应该注意的要点是：通过直观操作明示数量关系，紧扣减法含义理解算理、学会算法。
2.注重突破难点
课堂教学的重点一般根据教学内容和教学目标确定。而教学难点既要根据教学内容、目标确定，又要根据学生的具体情况确定。许多时候，重点即难点，但也有重点非难点，难点非重点的情况。把握教学难点可以靠钻研教材，靠教学经验的积累。例如，五年级（上册）教学“小数的性质”，教材呈现了情境图“学生甲：我买1枝铅笔用了0.3元。学生乙：我买1块橡皮用了0.30元。橡皮和铅笔的单价相等吗？为什么？”显然，这节课的难点是探索、理解并归纳出小数的性质。怎样来突破这个难点呢？有的教师根据教材编排采用创设情境、引导观察、直观理解的方法来突破难点，收到了较好的效果。
（1）创设情境。呈现学生购物情境，让学生根据自己的知
识经验、认知策略说明橡皮和铅笔的单价相等，0.3元和0.30元都是3角。
（2）引导观察。引导学生观察0.3和0.30这两个小数有什么不同，从左往右看，小数的末尾有什么变化，小数的大小有什么变化，让学生初步感知小数末尾添0，小数的大小不变。
（3）直观理解。借助直观图（略），启发学生从每个小数所包含的计数单位的个数中理解0.3是3个0.1，0.30是30个0.01，也可看作3个0.1，3个0.1与30个0.01相等。
（4）再次观察。结合直观图，通过比较0.100米、0.10米和0.1米的实际长短（结合计量单位的改写），说明这三个小数的大小相等，然后引导学生观察这三个小数，让学生初步感知小数末尾去掉0，小数的大小也不变。
（5）引导归纳。引导学生归纳刚才两方面的观察和发现，总结出小数的性质，也可引导学生从右往左看刚才的两组等式，进一步领悟小数的性质。
（6）练习深化。为了使学生真正理解小数的性质，除了教材上的练习题外，教师还可以设计一些练习题。
三、课堂教学设计与教学生成
1.调节课堂气氛
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三角形的外角的性质的探索与证明，让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究过程和方法，使他们既学会发现，又学会归纳、概括，逐步培养他们用数学的思想和方法来思考和处理问题的习惯.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：三角形的外角的性质的探索和证明.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）了解三角形的外角的概念.（2）探索并证明三角形的外角的性质.（3）能运用三角形的外角的性质解决简单问题.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：能在具体的图形中正确识别三角形的外角、理解三角形内外角及其位置有相对性.
达成目标（2）的标志是：学生能通过特殊的、具体的计算问题，探索发现三角形的外角的性质，并能探究多种方法进行证明.
达成目标（3）的标志是：能正确运用三角形外角的性质解决简单的与三角形有关的角的计算和证明问题.
三、教学问题诊断分析
学生在具体情景中辨认三角形的内外角有一定困难，在证明的推理过程中要做到步步有据也有一定难度，规范地写出证明过程更加困难.因此，教学时要注意分析证明结论的思路，通过问题设计，引导学生思考，让学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程.
四、教学过程设计
（一）知识回顾，温故知新
问题1 三角形的内角和是多少？怎么证明？
师生活动：学生回忆三角形的内角和定理，并说出证明的方法：剪图、拼图或折叠，画出图形，推理，表述清晰.
问题2 在ABC中，
（1）∠C=90°，∠A=30° ，则∠B= ；（2）∠A=50°，∠B=∠C，则∠B= .
师生活动：学生独立思考后回答问题.
设计意图：通过复习，为本节课进一步学习与三角形有关的角做好知识铺垫，同时也为利用拼图继续探究三角形的外角的性质提供基础.
（二）观察比较，形成概念
问题3 如图1（图略），把ABC的边BC延长得到∠ACD，这个角有什么特点？
师生活动：学生仔细观察图形，认真比较，交流展示，共同得出：（1）顶点在三角形的一个顶点上，（2）一条边是三角形的一条边，（3）另一条边是三角形的某条边的延长线.
教师板书：像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
设计意图：通过问题，培养学生的观察能力和语言表达能力，引导学生得出三角形外角的定义.
（三）创设情境，探究新知
问题4：如图2（图略），在ABC 中，∠ACD是ABC的一个外角，∠A=70°，∠B=60°，你 能通过量一量、剪一剪、算一算，求出∠ACD 吗？
师生活动：学生通过测量、剪拼或计算得出∠ACD的度数，然后小组交流，小组代表汇报结果，最后达成共识：需要通过计算的方法去求.
追问1：若∠A=80°，∠B=50°呢？再换几个∠A ，∠B的度数看看.
师生活动：学生计算得出∠ACD的度数.
追问2：∠ACD 与∠A ，∠B 有什么关系？
师生活动：学生通过上面多次计算，发现∠A +∠B=∠ACD.
追问3：数学符号语言如何表述成文字语言呢？
师生活动：学生思考，小组讨论，理解外角与不相邻的内角的位置关系后，文字表述：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
设计意图：学生通过操作，感受到随着∠A ，∠B的度数的变化，求∠ACD每次推理计算时工作量大，引出学生思考更一般的方法来计算，为本节课的探究提供了内驱力.通过学生自己去发现结论，证明结论，表述结论，培养合情推理能力和逻辑思维能力，让学生体验主动探究的成功与快乐.
（四） 解决问题，巩固新知
例4：如图3（图略），∠EAB，∠FBC，∠DCA是ABC的三个外角，它们的和是多少？从哪些途径探究这个结果？
师生活动：可提示学生通过化普通三角形为特殊三角形来观察三个外角和结果，然后再化为一般三角形的情况下是否成立，再考虑如何用本节课所学知识来处理这一问题.鼓励学生用不同方法探究并得出结论.学生独立完成解题过程，然后小组交流，并互相批改.
设计意图：让学生自主探究，运用三角形外角性质解决简单问题，巩固新知；让学生合作交流，经历合理运用适当的解题方法解决问题的过程，消除思维定势的影响，发挥思维的灵活性，渗透转化思想，培养学生的发散思维能力和归纳能力.
（五）变式训练，拓展提升
1.判断题：
①三角形的所有外角的和是360度. （ ）
② 三角形的一个外角等于两个内角的和.（ ）
③ 三角形的一个外角大于任何一个内角.（ ）
师生活动：学生口答第一题.
设计意图：巩固本节课所学知识，帮助学生进一步理解和掌握三角形外角的性质和三角形的外角和等于360度.
2.思考题：
已知国旗上的正五角星如图4（图略），求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
师生活动：学生先做题，教师巡视，及时指出，并及时把不同做法的学生请出，由他们向其他同学介绍自己的做法.
设计意图：把所学知识用于问题解决.解题分析应当突出解题的方法思路，培养学生的推理能力.
（六）回顾反思，分享收获
师生活动：教师引导学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行反思，把收获进行分享.并请学生回答以下问题：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是怎样发现的？如何论证？
（2）三角形的外角和是360度我们可以采用哪些方法得到？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程总结自己的收获，把握本节课的核心――三角形外角的概念和性质；对数学思想方法的反思，感悟转化思想的重要价值.
（七）分层作业，巩固提高
习题11.2第5，6，8题，选做题第11题.
设计意图：为了适应学生不同层次的需求，设计了分层作业，教材上的基础题目可以进一步巩固课堂所学知识，选做作业则可以发挥学生学习的自主性.
五、目标检测设计
1.如图5（图略），∠AEC，∠BFC，∠EOF，∠FOC分别是哪个三角形的外角？
设计意图：考察学生运用三角形外角的概念，通过对图形中外角的辨认，培养学生的图形变换能力和空间观察能力.
2.如图6（图略），在ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，且∠D=30°，求∠A的度数.
设计意图：考察学生运用三角形外角的性质解决简单问题.
六、教学反思
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一、在数学课堂中创设课堂情景，自然渗透
在教学设计中，我们可以设计从一些具体实例导入课堂，使得上课时，我们可通过设计疑问或一些具体事例，创设课堂情景，逐步启发引导学生分析，自然感知某种数学思想方法。例如，在教学“三角形内角和（一）”时，教师可采用发现教学法。在课堂上再现知识发现过程，创设知识发现情景。我们先问学生三角形三个内角的和等于多少度？可以让学生动手量他们自己的三角尺的三个内角，得到三角形的内角和为180°。再让学生动手剪一个三角形纸片，像图（1）那样，把三角形纸片的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，发现三角形三个内角的和等于一个平角。这样得到三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。再问：怎样证明三角形内角和定理呢？至于如何证明这个定理，教师可以引导学生从上面的实验得到启发。如图（2），过点A作MN∥BC，再利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等，问题就解决了。
二、设计典型例题，有意渗透
数学思想方法是数学的精髓，是应用的指导与手段。为使学生掌握数学知识，能迅速提高学生的解题能力，教师可通过巧举例题，把一些重要的数学思想方法有意地进行讲解渗透。
（1）化归与等价转化思想。例1：如图（3），已知BM、CN分别是ABC的∠B、∠C的平分线，AEBM，E为垂足，AFCN，F为垂足。求证：EF∥BC。 思路：这个图形可分解成三个基本图形，所以要延长AF、AE分别交BC边于G、Q，得到图（4）是等腰ABQ，图（6）是等腰AGC。再看图（5），在AGQ中，E、F分别是AG、AQ的中点，根据三角形中位线定理可得到EF∥GQ。即EF∥BC。此例把复杂的几何图形分解转化为基本的图形求解，同时也培养了学生的综合、分析法。
（2） 换元的思想方法。例2：解方程组：
+=3
+=5. 思路：设=a，=b ，则方程可化成：48a+16b=3
72a+32b=5
（3） 配方的思想方法。例3：已知 X2+y2-2x+4y+5=0，求x，y的值。思路：配方得（x+1）2+（y+2）2=0，再利用乘法的意义有（x+1）2≥0， （y+2）2≥0，从而得到x-1=0，y+2=0.
除了上述讲解的数学方法外，还有猜想、类比、建立数学模型等等。数学思想方法不是一次教学就能获得的，而是经过长期的有意识的教学渗透的结果。
三、归类设计，把分类思想渗透于数学的始终
分类是研究各门科学的基本思想方法之一。数学的分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的一种数学思想。一般的初中生都害怕讨论问题。同时，不懂得从多方面去分析问题。当遇到需要从多方面去讨论和分析的新问题时，往往会没有思路，束手无策。显然，分类是讨论的先导和源泉。因此，在教学设计以及课堂教学中，我们每次都要站在分类思想的高度，对学生解题的过程及思维进行引导。经过长时间的培养，学生的思维能力就有较大的提高。现以“圆周角定理”的教学为例，谈数学分类思想。
要突破分类讨论这一难点，在教学中要注意圆周角的各种不同情况的发生过程。如图（7）的变换，其中图（8）是圆周角，延长BC交O于A，变为图（9）。图（9）是特殊的圆周角，圆心在∠BAC的一边上，图（10）中，∠BAC的一边在圆周内运动，形成圆心在∠BAC的内部或外部（证明过程略）。这样做，揭示了“圆周角定理”的形成过程，暴露了分类讨论的思维过程，培养学生分类能力。
四、转化是解决数学问题的一种重要的思想方法，设计此类题型，帮助学生理解，掌握概念的本质、渗透转化思想
转化，是解决数学问题的一种重要的思想方法，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，揭示出未知与已知的内在联系而获得解决。在数学中有很多基本的转化法。如代数中，有换元法、待定系数法、配方法、消元降次法等；几何中，有分析法、综合法、分析综合法等。在数学课堂设计中，要有相对完整的设计，便于数学课堂教学中，把这些数学方法教给学生，使学生领略数学思想在数学领域的地位和作用。
例4：（如图11）ABC是O的内接三角形，O半径为10，COSA=3/5，求BC的长。
分析：初中生所学习的三角函数只在RT中。本题已知COSA=3/5，ABC是一般的锐角三角形。因此，可通过转化，把一般的锐角三角形转化成直角三转化成直角三角形。图（12）通过圆周角与圆心角的关系，∠COE=1/2∠BOC，把COSA=3/5转化成RtCOE中，COSO=3/5，从而求出CE，再求BC. 图（13）通过直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等，这一转化，把COSA转化成COSD，从而在RtDBC中，求出BC。
例5：已知一楼梯的坡度i=1：3，且楼梯高CD=3米，若要在楼梯上铺地毯，且楼梯口再铺上一米长的地毯，求所需的地毯的长。
分析：这个问题，实质把楼梯的步级高转化为楼梯高CD，把楼梯的步级面宽转化成水平线段BD，如图（14）。这样，所需地毯的长应为：AB+BD+CD，而AB=1米，从RTCBD中，i=1：3可求出BD、CD，通过转化，问题就容易解决了。
只要努力让数学思想方法出现在课堂教学的始终，做到把掌握数学方法和渗透数学思想有机结合起来，初中学生是完全可以领略和接受的。同时，在教学中，教师只要刻苦钻研教材，领悟教材中的思想方法，就能加强渗透数学思想方法的教学，能使学生领悟并逐渐学会运用蕴涵在知识发生、发展和深化过程中的数学思想方法。掌握了它们，就可以“以少胜多”，就可以“以不变应万变”。
篇12
〔分析〕片段教学受特定教学内容、教学时间的制约，其目标应比课时目标更加精简、具体。然而上述片段教学目标看似全面，但指向不明。究其原因，是教师在常态教学中受“数学教学应倡导知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等三维目标统一”的禁锢，习惯教学目标面面俱到，导致教学目标形式化，缺乏可操作性、可检测性。事实上，教学目标是教学活动的指南，不必面面俱到。教学目标只有具体、鲜明、精练、可及，才能成为教学活动的引路标。就上述片段教学而言，针对特定的片段教学内容，可将教学目标拟定为：“通过测量、剪拼、折叠等方法，引导学生经历探索和发现三角形内角和等于180°的过程，培养学生的探究意识。”这样，教学目标变得简约、具体、明确，教学活动才具有方向性、针对性。
二、内容选择：忌臃肿，倡精练
〔描述〕某教师就上述片段教学设计了以下四个活动：1?郾让学生猜一猜三角形的内角和是多少度，引出课题。2?郾让学生画出几个三角形，量一量、算一算这些三角形的内角度数和，得出“大小、形状不同的三角形的内角和为180°”的猜想。3?郾让学生将三角形三个内角剪下来，拼成一个平角，得到三角形内角和是180°。4?郾让学生把同一个三角形的三个内角折叠在一起，组成一个平角，得到三角形的内角和是180°。受到片段教学时间15分钟的限制，教师“教色”匆匆，虽然教得飞快，但最终还是没有完成预设内容，使本片段教学因残缺而遗憾。
〔分析〕该教师的片段教学之所以“上不完”，从表面上看，是时间太短，但其深层次的原因是，教师在常态教学中习惯了追求教学资源“多”、“全”、“新”，而不是追求资源内容精当和综合运用。数学教学讲究时效性，教学内容不在多，而在于精，尤其注重教学内容能否引发学生对数学本质的积极思考。上述教学，前两个活动可以整合，后两个活动有重复之嫌。据此，教师可对教学内容进行优化，使教学活动变得精练：1?郾组织学生通过测量、计算三角形的内角和引发猜想。2?郾启发学生不用量，自己探究用剪或折的方法验证猜想。这样精选教学内容，就能让学生的探究活动充分而深刻，让数学课堂更富有实效。
三、教学调控：忌盲从，倡预设
〔描述〕学生动手测量、计算三角形的内角和，答案各不相同：有的说179°，有的说180°，还有的说181°……大家争相辩解，相持不下。教师见状，忙加引导：“认为内角和是179°的同学是怎样量的？”教师让测量结果不是180°的学生一一上台在实物投影仪上展示测量过程，再由其他学生评价、纠正。结果在测量计算这一环节花了近10分钟，而动手拼角、折角等活动只能蜻蜓点水，匆匆而过。教学活动“头重脚轻”，重心失衡。
〔分析〕三角形的内角和为180°这一结论并非完全靠测量、计算得出，因为受测量工具、测量方法的制约，学生动手测量不一定能得到一个精确的结果，只要获得一定的体验、知道三个内角之和接近或等于180°就行了。从这个意义上说，教师盲目随着学生的思路对三角形内角和的“近似值”进行细致测量计算是没有意义的。上述片段教学中教师被学生的思路引着走，折射出教师没有对教材进行深入研究，对学生学习活动中可能出现的动态生成缺少精心预设。数学教学要重视课堂现场生成，更要强调课前精心预设，从教学目标达成的高度对课堂生成信息提出取或舍的对策；既要尊重学生解决问题的思路，给他们个性化的思考提供空间，也要正确引导他们将精力和思维集中在学习的核心处、知识的本质处。当学生测量、计算出三角形内角和大约为180°后，教师不必纠缠于此，而应通过“刚才大家通过测量、计算，猜测出三角形的内角和在180°左右，到底是多少呢？接下来我们动手验证”的过渡语，引导学生转入剪、拼、折等验证环节，直指教学目标，确保教学任务的完成。
四、方法选择：忌花哨，倡实在
〔描述〕在让学生动手折、剪、拼角的活动中，教师是这样组织的：同桌两人一组，每组发一张三角形纸片，同桌合作，将三角形的三个角组合在一起，看看它们的内角和是多少度。学生合作的效果并不尽如人意：有的组一人做，一人看；有的同桌两人重复操作，浪费时间；还有的为谁先谁后操作而争论不休……课后，教师在反思中提到，这里之所以要设计同桌两人共同操作的活动，意在体现新课改倡导的合作学习方式。
篇13
美国著名教育心理学家奥苏伯尔在他的作品中有过这样的一段经典表述：“假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学. ”可以说这段话道出了“学生原有的知识和经验是教学的起点”这样一个教学理念. 因此，在进行课堂预设的时候，我们应分外关注学生已有的知识和经验.
2. 设计学生的“未知”
教师不但要设计学生的“已知”，还应该注重设计学生的“未知”. 学生可能知道了什么，知道了多少，又有哪些是“未知”的，教师应该“心中有数”，因此，在教学方案设计中要有“弹性区间”，为学生的主动参与留出时间与空间，对过程要多作假设，多模拟些情境，多估计些情况，使设计更有宽度、厚度、深度和广度. 只有这样，当课堂出现未曾或无法预见的情况时，教师才有足够的智慧去应对，从而将课堂引向精彩，而不至于听之任之，甚至手足无措，方寸大乱.
二、课堂教学中及时灵活运用教学设计
教师在教学设计过程中，应充分考虑到课堂上可能会出现的情况，从而使整个预设留有更大的包容度和自由度，给学生留足空间，为动态生成提供时空.
1. 活用设计，灵活生成
课堂上会出现偶然事件，学生的思维与老师背道而驰，打乱了教学秩序. 如果善于抓住偶发事件与教学内容的内在联系，及时灵活运用设计，则可以产生一堂质量上乘的课.
案例：习题课（苏科版七年级（下））数学课本第36页14题：一个零件的形状如图1中阴影部分，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别等于29°和21°，检验人员量得∠BDC = 141°就能判定这个零件不合格.你能说明理由吗？
这道题的方法不唯一，课前设计了几种方法：
方法一：过A，D作射线AE（如图1）.
则∠EDC=∠1 + ∠C，∠EDB = ∠2 + ∠B，所以∠EDC + ∠EDB = ∠1 + ∠C + ∠2 + ∠B= （∠1 + ∠2） + （∠C + ∠B） =90° + 21° + 29°= 140°.
即∠BDC = 140° ≠ 141°.
所以不合格.
这种方法是将四边形分成两个三角形，充分利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和这个结论.
方法二：连接BC（如图2）.
因为∠A = 90°，
所以∠ACB + ∠ABC = 90°.
即∠ACD + ∠2 + ∠ABD + ∠1 = 90°.
因为∠ACD + ∠ABD =21° + 29° = 50°，
所以∠1 + ∠2 = 90° - 50° = 40°.
所以∠BDC = 180° - 40° = 140° ≠ 141°.
所以不符合.
这种方法是将三角形补全，得到两个三角形，充分利用三角形的内角和为180°这个结论.
方法三：延长CD交AB于点E（如图3）.
则∠1 = ∠A + ∠C = 90° + 21° = 111°，
∠BDC = ∠1 + ∠B = 111° + 29°
= 140° ≠ 141°.
所以不符合.
这种方法是将整个图形分成两个三角形，充分利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和这个结论.
以上三种方法由学生分别说出，这都在教师课前的设计之中，还有其他方法吗？本以为就这样结束了，没想到的事发生了.
方法四：（如图4，不添加任何辅助线）
因为四边形ABCD内角和为360°，
所以∠BDC（大于180°的角） = 360° - （90° + 29° + 21°） = 220°，所以∠BDC（小于180°的角） = 360° - 220° = 140° ≠ 141°.
所以不符合.
因为这个四边形是凹四边形，而我们平时讲的四边形一般都是凸四边形.
方法五：过点C，D分别作CE∥AB，DF∥AB，利用平行线的性质求.
除上面几种方法外，学生还有各种各样的想法，如假设∠BDC = 141°，求出∠A不等于90°.
在上述例子中，面对意外产生的问题，教师活用策略，既遵循了学生的认知规律，又促进了不同层次学生的发展，课堂教学因此才激发出学生的创新能力.
