引论：我们为您整理了13篇鸡兔同笼教学设计范文，供您借鉴以丰富您的创作。它们是您写作时的宝贵资源，期望它们能够激发您的创作灵感，让您的文章更具深度。
篇1
过程与方法：1、在问题的解决过程中，实现从具体问题向数学知识的成功转化，掌握知识与实际问题的相互联系和解决的方法，学以致用。2、理解把问题转化成数学问题和知识在解决问题中的巨大作用。
情感与态度：1、学生在感受成功与失败中吸取经验和教训，体会到数学知识的实用价值和真正之所在，从而坚定自己乐学乐探究的信心。2、通过对古人著名问题的解决和探究，树立强烈的民族自豪感和投身于学习的信念，感受中华民族是个优秀的民族。
教学重难点：
重点：审清题意，从实际问题中找出正确的等量关系，建立相应的方程求解。
难点：理解数学知识与实际生活问题的联系，掌握利用数学方法解决实际问题的策略。
教材分析：鸡兔同笼问题是《孙子算经》中一个较为出名的问题，并且一直流传至日本，问题的实质包含着一个非常有用的数学知识，吸引了数学爱好者的学习兴趣。问题以鸡兔为实际背景，从笼中鸡兔的头和脚的数量能知道鸡兔各多少只，初中学生更是在惊奇中产生了强烈的求知欲望和探究信心，在学习和探究的过程中，深深体会到数学知识与生活实际的联系，从而进一步激发对数学科学知识的向往。
教学设计：
通过讲述故事等形式，引导学生自己探究、互助交流等活动形式，激发学生的爱国热情，明确为祖国的长期繁荣而努力，长大后为社会主义祖国建设添砖加瓦。以“鸡兔同笼”问题为背景，渗透方程的思想，认识用方程解决实际问题的不可估量的作用。
教学过程：
课前预习题：
1、列一元一次方程解应用题的步骤是：(1)-------------- (2) -----------------(3)----------------
(4) ------------------ (5)-------------------
2、某营业员卖出7件衬衫和4条裤子共560元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共680元，若设每件衬衫售价x元，每条裤子y元，则可列方程组为------------------------
引言：我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创新和发展作出了巨大贡献，尤其在数学领域有《九章算术》、《孙子算经》等古代名著流传于世，许多问题浅显易懂，趣味性强，如《孙子算经》中的“雉兔同笼”等，漂洋过海传到日本等国，对中国古文明史的传播起很大的作用。
设置问题情境，引入课题：
问题1：鸡兔同笼问题
鸡兔共有17个头，50只脚，问有多少只鸡？多少只兔？
请思考，以往是怎样解决这个问题的？（分组讨论）
组1：我们是这样想的——如果17只都是鸡，应当有34只脚，现有50只脚，比34只多了16只，是因为有兔。有一只兔，则多两只脚，现在多了16只脚，当然是有兔8只了。因此知有鸡9只，兔8只。
师：小组1的同学是用了小学的方法，你们还有其他方法吗？
组2：设鸡x只，则兔有（17 -x）只，依题意得
2x+4(17 -x)=50
解得x=9 则 17 -x=8
师：小组2是用列一元一次方程来求解的，很好。
组3：我们是这样别出心裁的——令鸡将一只脚抬起，令兔将二前足抬起，则鸡、兔头数不变，而立在地上的脚却减少了一半，为25只。因一只鸡是一只脚立地，一只兔是两只脚立地，故知兔数为25 -17=8，鸡数为9。
组4：设鸡x只，兔y只，则依题意得
x + y =17 x=9
2x +4y =50 解得 y=8
师：小组4是用刚学过的二元一次方程组来求解的，真是不错。
[评析：学生思维活跃，充分交流合作，而且一些别出心裁的想法很风趣，它脱胎于小学的算术法，很耐人思考分析]
“雉兔同笼”原题：
今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
这是有名的“鸡兔同笼”问题，怎么解决呢？问题怎么探索？您能根据上面解决问题的方法来完成吗？试试您的身手啊。
设置问题串：
(1)“上有三十五头”的意思是什么呢？“下有九十四足”又指什么呢？
生：“上有三十五头”指鸡和兔共有35个头，“下有九十四足”指鸡和兔共有94只脚
(2)题中的等量关系是什么？您能根据(1)中的数量关系列出方程组吗？
(3)您能解决这个有趣的问题吗？（小组讨论，由小组代表板演）
[学生自己解决完成，老师给出参考答案并给予适当点评]
这个古老的数学问题，用现代的数学方法解决，真正体现了古为今用的原则，使后人理解数学的过去和现在，也明确了数学在不断发展的历史长河中散发出的璀璨的光芒具有重大意义。现代数学家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时，另有一番别味风趣的解法：
全体鸡兔立正，兔子提起前两只脚，请问[学生做出回答]
(1)现在共有几只脚？[70只脚](2)有几只脚提起了？[24只](3)是谁的脚？[是兔子的前两只脚](4)那么应有几只兔子？
[24 2=12，有12只兔子] “对了，很聪明”
[可见对一个问题的解决有多种思路，同学们在解题时应及时总结解题的各种方法，做到一题多解，多解择优]
我变！我变！我变变变！您还会做吗？
一只蜘蛛有8只脚，一只蜻蜓有6只脚。如果蜘蛛和蜻蜓共有76只脚，而且蜘蛛比蜻蜓多，那么蜘蛛和蜻蜓各有多少只？
（小组讨论，看哪小组解决了）答案：蜘蛛8只，蜻蜓2只。
问题2：以绳测井。若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳长、井深各几何？
问题串分析：(1)“三折、五折”是什么意思？题目大意是什么？(2)题目里的未知条件有哪些，等量关系是什么呢？(3)您能列出适当的方程组并解决吗？
解：设绳子长x尺，井深 y尺，则
- y=5 x=48
- y=1 解得 y=11
答：绳子长48尺，井深 11尺。
议一议：
从上面问题的解决中，您得到了什么体会，有什么收获？在小组里交流。
（1）在我国悠久的历史中，数学在古代曾文明于世界，作为炎黄子孙应感到骄傲，也激发我们为祖国的日益强大而努力学习。
（2）用方程组解决实际问题时应该
a 认真读题和审题分析，弄清古代问题的现今意义
b 正确设出未知数（注意单位）
c 找出相等关系，并列出方程组。（注意单位要统一）
d 解方程组
e 检验写答（注意单位）
练一练：您真的掌握了吗？
列方程组解古算题：
1、今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？
2、今有甲、乙二人持钱数不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲半而亦钱五十。甲、乙持钱各几何？
问题3：(探究创新乐园) 您能帮帮小亮吗？
小亮的外婆送来满满一篮鸡蛋，这只篮子最多能装55只左右的鸡蛋，小亮3只一数，结果剩下1只，但忘了数了多少次，只好重数，他5只一数剩下2只，可忘了数了多少次，他准备再数时，妈妈笑着说：“不用数了，共有52只”。小亮惊讶地问妈妈是怎么知道的，妈妈笑而未答，让小亮好好动脑筋想想。您能帮帮小亮吗？
（后来小亮运用方程知识解决了这个问题，您知道小亮是怎样解决的吗？）
解：设此篮子最多能放鸡蛋m只，每3只一数，数了x次剩1，每5只一数，数了y次剩2，则有 3x+1=m
5y+2=m 得 3x+1=5y+2，得 y=
因为x，y都是正整数，所以3x-1 必定是5 的倍数，又因为3x+1是55 左右的数，所以3x-1应该是53 左右的数。
当3x-1=50 时， x=17 ， y=10 ， m=3x+1=52 ，符合题意
当3x-1=55时， x=18 ，不符合题意
所以m只能是52
答：这只篮子鸡蛋共52只。
（您认为小亮解的对吗？您有哪些启发？）
点拨：经过本课的探索，您有什么收获和体会？（小组讨论总结发言）
生1：知道了数学是一门古老的学科，我们的祖先能用浅显的数学知识解决一些实际问题，说明他们勤劳而聪明……
生2：掌握列方程组解古代数学问题时的一般步骤和方法。
生3：要像我们的祖先那样，在飞速发展的今天，认真学好本领，为今后学习、工作打下坚实的基础，将来建设好祖国。
师：同学们总结得很好，要想学好本领，就要扎扎实实地把现在的数学知识学好，俗话说“学无止境”，有关列方程组解应用题的问题还很多，我们下节课接着再研究。
读一读：数学生活实践（洗衣粉里的数学问题，衣服洗涤后如何漂洗等）
……(写在提纲上供学生阅读)
小小数学沙龙：<猜猜看 > 有多少只小鸡
农夫琼斯对他老婆说：“喂，玛丽亚，如果照我的办法，卖掉75只小鸡，那么咱们的鸡饲料还能维持20天，然而，假使照你的建议，再买进100只小鸡的话，那么鸡饲料将只够维持15天。”
“啊，亲爱的”她答道，“那我们现在有多少只小鸡呢？”
问题就在这里了，他们究竟有多少只小鸡？
作业设计：习题7.4 1、2 <读一读、猜猜看>预习下节
篇2
1.能解决有关“鸡兔同笼”的数量问题及与其相类似的数学问题，提高解决实际问题的能力。
2.经历自主探索、合作交流的过程，学会用列表举例、作图分析、假设、列方程解等方法，解决“鸡兔同笼”的数学问题。
3.在探索规律的过程中体会数学与日常生活的联系，增强学习数学的兴趣和自信心，渗透爱国主义教育。
【教学重点】体会解决问题策略的多样化，培养学生分析问题、解决问题的能力。
【教学难点】能用不同的策略解决相关的实际问题。
【教学过程】
一、创设情境，铺垫引入
师：同学们，在生活中咱们经常遇到这样的一些问题，(幻灯出示)
1.小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚?
2.12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张?
师：类似于这样的问题，我们的祖先早在1500多年前就已经开始研究了，请看课件。
(课件出示《孙子算经》及题目：今有雉兔同笼……)
(板书课题：鸡兔同笼)谁来解释一下这道题是什么意思?
教师出示例题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数有26只脚。鸡和兔各有几只?(学生齐读)
二、合作探究，学习新知
1.合作探究。
学生四人为一组，合作探究，比比谁的方法多。教师巡视指导，指名板演。
2.汇报与交流。
(1)运用列表法，让生指着表格介绍。(板书：列表法)
实物投影展示：
(2)列方程解。
引导学生列出方程并说清解方程的过程。(板书：列方程解)
生1：设兔有x只，那么鸡有(8-x)只
4x+2(8-x)=26
16+2x=26
2x=26-16
x=3
8-3=5(只)
答：鸡有35，兔有55。
师：有没有人有问题想问问我们的小老师?比如4x表示什么?
引导学生对方程的各个部分所表示的含义展开讨论。
师：列方程解的确是一种好办法!还可以怎么列?
让生带上自己的方法到实物展台，投影出示，并说出理由：
2x+4(8-x)=26
32-2x=26
x=3
8-3=5(只)
答：鸡有3只，兔有5只。
引导学生对上述方程的各个部分所表示的含义展开讨论。
(3)假设法。
师：我们再一起来看看这种方法，谁来介绍一下?
生1：我把它们看作全都是鸡：(板书：全都是鸡)
2x8=16(条)求出一共有16条腿；
26-16=10(条)腿比原来少了10条；
引导讨论：“为什么腿会减少?”(因为一只兔子变成一只鸡就少了2条腿)4-2=2(条)；
10÷2=5(只)……兔子；
8-5=3(只)……鸡
师：(小结)像这种把兔看作鸡来算的方法就叫假设法。板书“假设法。”
师：除了可以假设都是鸡，还可以怎样假设呢?
生：(带上自己的方法到实物展台，投影出示)
我把它们全部看作是兔子(板书：全都是兔)
4×8=32(条)求出一共有32条腿
32-26=6(条)腿比原来多了6条；
4-2=2(条)一只鸡看作一只兔子就多2条腿；
6+2=3(只)……鸡；
8-3=5(只)……兔
师小结：假设方法在解决数学问题中的作用。
(4)介绍匦图法。
老师介绍并加以课件演示：先画出8个小圆圈就代表8只小动物，假设全是鸡，每只有两只脚。这样就先画16只脚，而题目中说共有26只脚，还少10只脚，于是我们再一次给添上两只脚，就把其中的五只鸡“改装”成兔，这样就有26只脚了。这种方法叫做画图法。
(板书：画图法)
(5)介绍“砍足法”。
师：我们的古人又是怎么解答这道题的?
(先指名学生读介绍内容，再配以课件进行验证古人的方法。)
3.小结。
师：刚才我们用了这么多的方法来解决鸡兔同笼问题。大家再比较一下这些不同的解法，你比较喜欢哪种方法?能说说你的理由吗?
师：看来不同的解法各有各的特点，它们既有联系又有区别，我们应该根据需要灵活地选用适当的方法。当数目比较小时，用画图和列表的方法比较快，当数目比较大时，用假设法和列方程解比较好。我们一起验证一下我们的解法到底对不对，用什么方法?(验算)
生：5×4+3×2=26，刚才求出的解是正确的。
三、建构模型，巩固新知
师：《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题流传尤为广泛，漂洋过海传到了日本等国。日本人又称它叫“龟鹤问题”。(课件出示：龟鹤的图片)日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗?
生讨论交流。
师点明这些类似的问题都称它为鸡兔同笼问题。要求学生用自己喜欢的方法去试一试算出龟和鹤各有多少。
学生独立解决，教师巡视指导，并提醒学生“如果你已经完成了，能不能用另一种方法来解?”然后进行交流与订正。
四、巩固练习，拓展应用
篇3
二、教学目标
1.了解“鸡兔同笼”问题，尝试用不同方法解决“鸡兔同笼”问题，体会各种方法之间的内在联系，体会假设法与代数法的一般性。（沟通方法之间的联系）
2.沟通“鸡兔同笼”与同类问题的联系，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用。（沟通问题之间的联系）
3.在学习的过程中渗透有序思考、推理、模型等数学的基本思想和方法。
4.感受数学文化，感受古代数学问题和经典解法的趣味性。
三、教学重点
让学生经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，体会其中的内在联系和所蕴含的数学思想方法。
四、教学难点
理解假设法中各步的算理。
五、教学设计
1.课前谈话：同学们，猜猜我有几岁？（盲目猜、调整猜、折中猜）
2.独立尝试，全班交流。（沟通方法之间的联系）
出示例题：（鸡兔同笼的同类问题）全班38人去公园划船，一共租了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，问大船和小船各租了几只？
题中有哪些条件？这个问题你会解决吗？请把过程写下来。
预设学生三种解题思路：猜测调整、假设法、方程法。
【设计意图】如果直接出示耳熟能详的鸡兔同笼，学生们可能会直接用假设法或方程法这些简便的方法，而不用列表法猜测、调整，这种简便是数学的，而不是教育的。所以，我打算从鸡兔同笼这类问题出发，同时关注一个素材的知识价值和教育价值，让学生体会方法间的内在联系。也回答了“为什么有更好的方法教，为什么还要回归‘原始’”这个问题。
全班交流：从猜测调整例子着手――列表法（有序猜测、折中猜测、跳跃猜测）你是乱猜出来的吗？你是怎么调整的？如果要把所有可能都清楚记录下来，该怎么办？（列表）看出什么规律了吗？这种方法有什么好处？板书：列表法。
【设计意图】进一步培养有序思考的习惯，渗透假设法的体验，发现一一列举、折半列举、假设列举等思考方法。引导学生发现船的总量一定，大小船只数的变化与人数变化的关系，渗透函数的思想和逼近的思想。这一环节落实得好，学生对列表法的形成过程就有了一个体验，没有对此过程的体验，学生甚至根本不承认列表法是一种解题策略。
引出假设法。
有可能是0和8，或8和0吗？有人就是这么猜的，你信吗？（表格中补充）
假设法，请同学讲，或教师引导。（投影出示学生过程或板书）
我们把这种方法叫作假设法。板书：假设法。
【设计意图】沟通列表法与假设法的联系，渗透极端的范围以及在一定的范围内思考的习惯。并且体会假设法的简洁性。
方程法。
还有人猜大船有X只的呢？小船应该怎样表示呢？你能想到别的方法吗？（在表格中）
介绍方程法（结合实际情况，如学生有，则刚好利用，如没有，则教师出示，重点讲列方程的依据是什么？）板书或投影。
这三种方法有什么相同的地方吗？板书：方程法。
【设计意图】沟通这三种方法的联系，让学生分析这些方法所共同具有的假设思想。把假设的思想方法作为解决鸡兔同笼问题所有方法中最为基本的解题思想，抓住了解题思路上的核心。
3.体验结构，初步建模。（沟通问题之间的联系）
看来看似不同的解决方法也有相联系的地方，下面这题你会解决吗？
出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94条腿。问鸡和兔各有几只？
这问题你听说过吗？这可是刚才这几个问题的“老祖宗”，介绍出处（孙子算经）。
板书：鸡兔同笼。
这题题目有哪些条件？（显性的条件和隐性的条件）
和上面的问题有相似之处吗？交流，找到一一对应。
【设计意图】在这个教学环节中，把鸡兔同笼与前面出示变式的问题联系起来，让学生去理解，识别模型，从而达到同化的作用。经过提炼，让学生更进一步明确鸡兔同笼问题的结构，模型。让学生经历数学化的过程，这样的过程会使学生感受到模型的力量。
你想听听古人以及数学家是怎么解答这题的吗？――介绍抬腿法、翅膀作脚法、自学金鸡独立法。
【设计意图】再次沟通方法之间的联系，抬腿法对应着假设全是鸡，翅膀作脚法对应着假设全是兔等，既让学生感受数学文化，又体会到数学的趣味性。
出示：明明从超市买来鲜牛奶和酸牛奶共40袋，鲜牛奶每袋4元，酸牛奶每袋2元，一共付出112元，问鲜牛奶和酸牛奶各买了多少袋？
这里还有鸡和兔吗？
【设计意图】由“变式题―原型题―变式题”的过渡，再次构建模型引导学生通过假设法和方程法解决这一问题，并体会这两种方法的一般性，进一步巩固假设法和方程法。（投影）
为什么只需把“鸡兔同笼”写入《孙子算经》就可以了？
【设计意图】让学生进一步感受许多问题都可以看成“有不同只脚的鸡与兔”的鸡兔同笼问题模型。这样的拓展过程，无疑是进一步抽象的过程，是对模型进一步深刻理解的过程，也是进一步数学化的过程。
4.对于今天学的鸡兔同笼问题，你有什么想说的？
篇4
问题:如何面对多样的教材和参差的学情?
人教版 苏教版
教材:在选定内容后,我就开始翻阅各种不同版本的教材,发现不同版本的教材对解决鸡兔同笼方法各有侧重。北师大版的教材以介绍列表法为主;人教版的教材主要介绍列表和方程法;苏教版的教材则主要介绍画图和列表。
学情:通过初次试教,了解到学生课前对鸡兔同笼问题也并非一无所知,有一部分在奥数班学习中已掌握了用假设法解,也有个别能用方程的方法解,原来没有基础的学生也会通过自己动脑筋凑出正确答案。
不同的教材和参差的学情,使教学设计曾一度陷入了困境,让我不得不重新审视教材、揣摩学情,找寻理想的教学支点,以期能够在教材的“主”方法和学生的“众”方法之间找到平衡。经过慎重考虑和多次实践,最后解决了这一问题,孕育出了第一颗珍珠――“花开四朵,单表一枝”
【实录】:
“花开四朵”
今有鸡兔同笼,上有10头,下有28足,问鸡兔各几何?
师:我们来试试,看能不能通过自己的努力求出鸡、兔各几只?有困难的同学可以与边上的同学讨论。
生:(独立做)
师巡视,找不同的解题方法,让学生写在黑色卡纸上。
师:我们班的同学真不错,想了很多办法解决这个鸡兔同笼问题。我们一起来欣赏一下。
展示第一种方法:
(10×4-28)÷(4-2)=6只 10-6=4只
生:(解释)
(28-10×2)÷(4-2)=4只 10-4=6只
生:解释
师:你们这种方法是在哪里学的?
生:奥数班。
师:知道叫什么方法吗?
生:假设法。(板书:假设)
师:同学们,我们来检验一下你们的答案是不是正确。怎么检验?
生:看看脚是不是28只。
师:好。2×6+4×4是不是28只呢?
生:是的。
展示第二种方法:(画图)
师:请这位同学解释一下。
生:这些是10个头,然后先在每个头下面画上2只脚,这样就都成了鸡,而脚只有20只,说明还要添上8只脚,就2只2只添上去……结果也是兔4只,鸡6只。
师:画图是一种好办法,当我们遇到问题不知道从哪里下手的时候就可以画图。当然我们可以画得更简洁美观一些。
展示第三种方法:(方程法)
2×()+4×(10- )=28
生:如果第一个()填2,那么第二个就是(10-2),这样去试。最后我知道了,鸡6只,兔4只时正好等于28。
师:很好,这也可以看成是方程。
展示第四种方法:6+28=34 8+24=32 10+20=30 12+16=28鸡6只,兔4只
生:我是在算脚的只数,算到第四次的时候发现对了。
师:如果把他的这种思想方法列在表格里,就是我们今天重点要研究的列表法了。同学们,接下来我们就来研究列表法。(板书:列表)
“单表一枝”
在教材的主方法上,北师大版、苏教版、人教版教材不谋而合――其中都介绍了列表法。列表法蕴含了丰富的数学思想,且充分地体现了不同学生学习不同的数学。人教版推荐方程法,并将这一内容安排在六年级上册学习用方程解决问题之后,具有达到巩固用方程解决问题的用意。斟酌再三,本课以北师大版教材为主,其他教材为辅,单表列表法这“一枝花”。(详见教学实录片段)
探索列表法:
今有鸡兔同笼,上有10头,下有28足,问鸡兔各几只?
1.第一次列表
师:出示
师:我们可以从鸡有几只开始?
生:鸡1只,兔9只,脚有38只。
师:然后鸡……
生:然后就鸡2只,兔8只,脚36只。鸡3只,兔7只,脚有34只。……
师:怎么共有几只脚,算得这么快呢?
生:鸡每增加一只,兔就减少一只,脚数就会减少2只。
师:很棒。鸡每减少一只,兔每增加一只,脚数就会……?
生:会增加2只。
师:好,那我们接着往下写。
师:很能干,最后凑到了脚数是28只。让我们数一数,假设鸡1只,兔9只,总共算了几次脚数。
生:6次。
师:这个效率好像不是很……
生:效率不高。
师:那让我们一起来动动脑筋,看有没有提高效率的方法。
生:开始的时候假设是鸡5只,兔5只,脚有30只。鸡6只,兔4只,脚就是28只。
师:哦?!对半分。你一下就到了这里,再调整一次就成功了。对半分,好办法。
师:命中率真高。但是这有一个问题,如果在鸡5只,兔5只,脚有30只之后,我朝着相反的方向去凑,鸡4只,兔6只去想,那么岂不是南辕北辙啦,越走越远啦?
生:当你看到,脚数太多时就是兔要减少,脚数太少就是兔要增加。
师:太棒了,原来还有窍门的。还有谁也知道这个窍门呢?
生:脚数太多时就是兔要减少,脚数太少就是兔要增加。
2.《孙子算经》中历史名题
师:大家都来施展一下自己的数学才华,同桌两人合作用列表的方法做做这道历史名题。看看,在做的过程中,能不能找到更好的方法提高命中率。
生(用列表法解)
今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问:鸡、兔共几何?
师展示学生的作业纸。
师:他是调了7次,得到了正确答案。有没有比他少的?拿上来展示,并说出你比他高明在什么地方。
生2:
生2:我想106只脚和94只脚相差比较大,所以鸡两只两只增加。
师:很好,确实次数也少了。还有更少的吗,说出你又是高明在哪里?
生3:
生3:106只脚和94相差12只脚,说明鸡要增加6只。
师:她高明就高明在提高了计算的含量。
师:我们班的同学太厉害了,不管先假设有几只鸡和兔,最后都能经过调整,得出正确答案,而且还发现了这么多可以提高列表法效率的好窍门。
闪光之处:
如果说“花开四朵”是顺应学情,充分展示学生的各种解决方法,那么“单表一枝”则是对学生已有水平的提升,是面对多样教材的一种选择。所以说“花开四朵,单表一枝”是针对参差的学情和多样的教材找到的一个平衡。
而其中“单表一枝”更蕴含了设计者的匠心。怎样用好列表法,是这节课的难点所在。如何让学生抽丝剥茧自己“悟”到其窍门所在,是我们设计者最期望达到的教学效果。从以上“单表一枝”的实录中,我们不难发现教师的几个(黑体)关键问句,巧妙地让学生悟出列表法的几大窍门。
二、沟通联系,浑然一体
问题:各种方法像盘散沙,自成一家。
各种方法的较好展现固然是好,但是各种方法就如它们的名称一样,都自成一家。难道它们真的是几种完全不搭界的方法?还是也有一些共性存在,我试图去寻找它们的联系。在找寻中收获了第二颗珍珠――“沟通联系,浑然一体”
【实录】:沟通方法间的联系
师:同学们,现在让我们回过头,来认真地研究一下这几种方法,看看能不能找到它们之间的联系。
师:如果有用这种方法凑脚数的话,它是有方程的思想在里面的,(板书:方程)好,同学们仔细研究一下,这几种方法的联系。
生:画图法和假设法是同一种方法。
师:这两种方法一起看的话,在数学里是很重要的思想,叫数形结合。
生:方程和列表是同一种方法。
师:说的很好。再仔细看看,这几种方法是不是有同样的思想存在呢?
生:都是有假设思想。
师:说的太好了!只是有的是假设后,一步到位,有的是假设后慢慢调整。接下来我们要去解决问题,到底选择哪种方法,就看自己的喜欢。
闪光之处:
从教方法到教思想,是一种不同的境界和高度。在这个环节中,教师创设平台让学生去领会方法中蕴含的思想。学生容易找到画图法和假设法,不定方程法和列表法它们两两相似,而且思想几近一致。但教学并没有止步于此,而是让学生更进一步找这四种方法共同存在的思想――假设。将来学生或许会忘却具体的解决方法,但是只要想到假设思想,就定能解决鸡兔同笼问题。
三、破立之间,建构模型
问题:如何能让学生有较强的解决生活中鸡兔同笼问题的能力?
其实会解决鸡兔同笼这个历史名题并不难,难的是:能够解决各种由鸡兔同笼变式出来的生活问题。而学习鸡兔同笼问题的一部分价值也正在于此,如何能让学生拥有这样的能力呢?于是就有了第三颗珍珠――“破立之间,建构模型”
“立”基本模型
【实录】:
1.初建模型
师:龟鹤共11只,脚共32只。问龟几只?鹤几只?
你能解决吗?试试。
生:(独立解决)
师:说说,龟鹤各几只,你是用什么方法做的?
生:龟是5只,鹤是6只。用画图法的……
生:龟是5只,鹤是6只。用列表法的……
师:为什么大家都用解决鸡兔同笼问题时的方法来解决这个问题呢?
生:它和鸡兔同笼是一样的。鸡和鹤都是2只脚,兔和乌龟都是4只脚的。
师:其实,鸡兔同笼从中国传到日本,日本人才改名为“龟鹤问题”的。如果现在给你们一个重新取名的机会,你会取名为什么呢?
生:鸭猫问题……
师:虽然大家取的名字听起来有些可笑,但是从数学的角度看,都抓住了问题的本质特征,在脑子里,初步建立了这类问题的模型。
“破”基本模型
2.完善模型
师:生活中也有类似的问题,请看这是什么?(课件:四副照片,由学生自主选择看照片,然后引出相关的题)
师:12张乒乓球桌上同时有34人在比赛。正在进行单打与双打的球桌各有几张?是鸡兔同笼问题吗?
生:是鸡兔同笼问题。
生:12张乒乓球桌就是12个头,34人就是34条腿。单打就是鸡,双打就是兔子。
师:小明的储蓄罐里有12张2元、5元的纸币共30元。2元纸币有几张?5元纸币有几张?是鸡兔同笼问题吗?
生:是的。12张就是12个头,30元就是30只脚,2元纸币就是鸡,5元纸币就是5只脚的怪兔。
生:58名同学去划船,租了10条船,每条大船坐9人,每条小船坐5人。问大船要几条?小船要几条?
师:这是鸡兔同笼问题吗?你是怎么想的?
生:10条船就是10个头,58名同学就是58条腿,大船相当于9条腿的怪兔,小船相当于5条腿的怪鸡。
师:在这个活动中,把生活中的问题与鸡兔同笼问题建立了联系,大家发挥了很强的想象力,甚至想象出了5条腿的怪兔,3条腿的怪鸡。说明大家头脑中的模型越来越清晰、完整。那么选择其中的一题进行解决吧。
再现模型
3.再现模型
师:能不能编编生活中鸡兔同笼问题呢?
生编在作业纸上,师展示。
闪光之处:
从取名――初建模型,到和历史名题建立联系――完善模型,最后编鸡兔同笼问题――再现模型,是循序渐进的过程。在其间,初建模型是“立”基本模型,完善模型环节则是“破”基本模型,建更完整的模型。“破与立”之间,模型更完善与深刻,使“建立模型,由点及面”这颗珍珠更熠熠生辉。
篇5
知识与技能：了解“鸡兔同笼”问题，掌握画画数数的解法及其升华――假设法，并能用来解决生活中简单的该类问题。
过程与方法：掌握将画画数数解法抽象升华到假设法的过程，培养初步的抽象逻辑思维能力、符号和数学建模意识，渗透对应思想、优化思想。
情感与价值：获得解决问题的成功体验，提高学习数学的兴趣和自信心；了解有关的数学史，增强民族自豪感；体会“鸡兔同笼”问题的应用价值。
教学重点与难点：将画画数数的解题方法抽象升华为假设法及模型的过程。
教学准备：多媒体课件、白纸等
教学过程：
一、观察提炼，做好铺垫
师：同学们，你们喜欢小鸡和小兔吗？
生：喜欢。
师（放录像）：我们先放一段有小鸡和小兔的录像，同学们观察一下一只鸡和一只兔子各有几个头、几个身子、几条腿，一样多吗？
生1：一只鸡有一个头，一个身子，两条腿；一只兔有一个头，一个身子，四条腿；一只兔比一只鸡多两条腿。
师：很好！可鸡和兔子的腿长在哪里呢？
生1：长在身子上。
师：鸡和兔的身子都像什么图形？
生1：扁圆形。
师：同学们观察得很仔细。鸡和兔的身子有相似性，都接近于扁圆（椭圆）形，也就是这种 形状。
【评析：引导学生对鸡兔的头、身子、腿的数量及对应关系进行观察，提炼出身子的形状，为后面画身子、画腿做了铺垫。这有别于大多数教学设计“用圆或椭圆表示头，在头上画腿”的不合情理的教学设计。】
二、创设情境，导入新课
师（课件展示）：一天傍晚，小明去王阿姨家串门，发现阿姨把养的鸡和兔关进了一个笼子里。他就问：“为啥关在一个笼子里？”阿姨说：“家里只有这一个笼子，晚上把它们关在一个笼子里睡觉好管理。”小明又问：“您养了多少只鸡，多少只兔？”阿姨说：“笼子里的鸡和兔共有8个头，20条腿，你就自己算算吧。”“啊！这也需要数学？”
师：是啊！生活中到处都要用到数学。为了方便，我们先结合这个问题产生的背景给它起个名字，然后帮帮小明吧。
生2：叫“笼子里的鸡兔问题”。
生3：名字太长，也没说明是同一个笼子。叫“鸡兔同笼”吧。
师：同学们真善于动脑筋。我国古代的劳动人民早就给它起了“鸡兔同笼”问题这个名字，既简短，又能反映其产生的背景。这节课，我们就来探讨这个问题。（板书课题：鸡兔同笼问题）
【评析：教者从创设生活情景入手，既体现了数学与生活的密切联系，又使问题的引出水到渠成。】
三、诱导启发，主动探索
师：同学们都喜欢画画，看看能不能用画画数数的办法来解决这个问题呢？当然，没有必要像美术课那样去画，只要简单地画出来，能体现题目中鸡和兔子的有关数量关系就行。可不知道各有几只，画多少个鸡头、兔头好呢？头的差异又比较大，难画，画错了改的时候也麻烦。怎么画好呢？
生4：一个头对应一个身子，身子都是扁圆形，先画身子，再画腿，确定了鸡和兔后再画头。
师：同学们真善于动脑筋。那就用 表示身子，用一道竖杠“|”表示一条腿试试吧。少画了补上好办，多画了擦掉麻烦，不多画当然最好。
（教师巡视，以便选择不同画法的学生回答）
师：我看到同学们都画完了，也都画对了，而且画法好多啊！有的先全画成鸡；有的先全画成兔；有的先画2只鸡，再画6只兔；有的先画5只鸡，再画3只兔；有的先画4只鸡，再画4只兔；有的按一只鸡一只兔的顺序画；有的按两只鸡两只兔的顺序画；等等。结果都是――
生（齐答）：6只鸡，2只兔。
师：由于时间关系，老师下面请三位同学把画的过程说出来。
生5：我先画了8个身子，再在身子下画腿。考虑到多画了还得擦掉，就把它们当鸡来画，在每个身子下画2条腿，数一数画了16条腿，比实际的20条腿少4条腿，需添上4条腿。一只兔比一只鸡多两条腿，画的每只鸡上添2条腿就改成兔，4条腿添到了两只鸡上，所以兔有2只，鸡有6只。
师：这个同学很善于动脑，思路很清晰，表述得也很好。
生6：我也先画了8个身子，再在身子下画腿。我估计鸡应该多，就先在5个身子下画2条腿当鸡，在3个身子下画4条腿当兔，数一数画了22条腿，比20条腿多2条腿，就把画4条腿的一个身子擦掉了2条腿改成鸡，所以兔2只，鸡6只。
师：这个同学首先进行了估计，思路也很清晰，值得我们学习。
生7：我也先画了8个身子，再在身子下画腿。我喜欢兔，就先在每个身子下画4条腿当兔，数一数画了32条腿，比20条腿多12条腿，就每个擦去2条腿改成鸡，擦到第6个时就一共擦去了12条腿，所以6只鸡，2只兔。可惜我喜欢的兔太少了。
师：这个同学从喜欢的角度出发开始画，思路也很清晰，表述也很好。老师也给出了多种画法，就包含这三位同学的画法。同学们比较一下这三种画法，哪种最简单呢？（展示课件，让学生浏览）
生8：第一种画法简单，没多画腿，省了擦的工夫。
师：以后我们解题时，既要善于探讨不同的方法，又要比较哪个方法更好，争取掌握最好的方法。
【评析：不同画法的展示及优劣比较，既培养了学生的发散思维能力，又渗透了数学优化思想。尤其是让学生把画的过程用语言表述出来，实际上是解决问题思维过程的展现，有利于学生思维的清晰化、条理化、系统化，以及方法的内化和语言表达能力的培养。】
四、抽象提炼，思维升华
师：既然大家都认为第一种画法简单，我们一起把这种画画数数的过程边说边用算式来表示一下。
师（课件展示过程）：把8个身子当鸡来画，在每个身子下画2条腿，数一数画了16条腿，可以列成――
生9：2×8=16（条）腿。
师：比实际的20条腿少4条腿，可以列成――
生10：20-16=4（条）腿。
师：一只兔比一只鸡多两条腿，可以列成――
生11：4-2=2（条）腿。
师：画的每只鸡上添2条腿就改成兔，4条腿添到了2只鸡上，所以兔有2只，鸡有6只。可以列成――
生12：4÷2=2（只）兔，8-2=6（只）鸡。
师：同学们真棒！写出画的过程太麻烦，我们把能用式子表示的语言替换下来，写成下面的解法。
解：全当做鸡，有2×8=16（条）腿，比实际少20-16=4（条）腿。一只兔比一只鸡多4-2=2（条）腿，兔有4÷2=2（只），鸡有8-2=6（只）。
答：有6只鸡，2只兔。
师：同学们看，简单吧？
生：简单。
师：以后我们再解这类问题就没有必要真的去画，只要在自己大脑里展现画的过程，边说边写就行了。
【评析：首先，教者不厌其烦地引导学生从画法中提炼、抽象算式的做法有着重要的意义。这种把汉语语言转化为数学语言过程的展现，有利于学生掌握转化的方法，为升入高年级解数学应用题奠定了基础。因为，解应用题的实质就是实现这两种语言的转化。同时，也有利于学生的认知由具体运算阶段向形式运算阶段过渡，由具体形象思维向抽象逻辑思维发展。
其次，教者在画画数数方法的基础上进行提炼、升华，呈现出了用假设法解决鸡兔同笼问题的解题过程。这一浑然天成的处理方式，既抓住了两种方法之间的联系，又展现了假设法的实质就是画画数数解决问题的这一学前儿童都能掌握的方法，实现了两种方法的统一，有利于学生掌握。另外，假设法出而不点的处理方法还是很有新意的，既避免了不同方法的罗列，又避免了学生产生新的疑惑。】
师：同学们能仿照着老师写解法的过程，把第二和第三种画画数数的过程，边说边写吗？（课件展示画法及画图过程）
（教师巡视指导，让两个学生板演）
生13：写第二种。
解：5只当做鸡，3只当做兔，共有2×5+4×3=22（条）腿，比实际多22-20=2（条）腿。一只兔比一只鸡多4-2=2（条）腿，所以多了2÷2=1（只）兔，兔有3-1=2（只），鸡有8-2=6（只）。
答：有6只鸡，2只兔。
生14：写第三种。
解：全当做兔，有4×8=32（条）腿，比实际多32-20=12（条）腿。一只兔比一只鸡多4-2=2（条）腿，鸡有12÷2=6（只），兔有8-6=2（只）。
答：有6只鸡，2只兔。
师：同学们都写得很好（课件展示这两个解法）。大家都掌握这个问题的解法了吗？
生（齐声答）：掌握了。
【评析：教者首先示范，再让学生去抽象、提炼解法，既发挥了低年级学生模仿性强的优势，又可促进学生抽象逻辑思维的发展。尤其是三种不同假设法的展现，打破了大多数书籍、教学论文中只假设全是鸡或全是兔的做法。事实上，若鸡和兔共有n个头，可以假设有m（0≤m≤n）只鸡（兔）来解答。】
五、巩固拓展，建立模型
师：前面说过，我国古代的劳动人民早就提出了鸡兔同笼问题。大约在1500年前，数学著作《孙子算经》中就有一个这样的问题。（课件展示）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
师：雉就是鸡，足就是脚，几何是指多少。用现代话来说是“现在有若干只鸡和兔在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问鸡兔各有几只？”
师：同学们帮古人解决这个问题好吗？要边在大脑里画，边说边写解法。
（学生独立练习，小组交流自己的解法）
师：《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题还漂洋过海传到了世界上很多国家，如日本、俄罗斯等。人们又仿照它编出了“龟鹤问题”、“人狗问题”等，这说明了它具有重要的价值。其实，“鸡兔同笼”问题不是一个题，而是一类问题，画画数数的解题过程可作为一个模型用来解决很多类似的问题。
师（课件展示）：这个问题就属于“鸡兔同笼”类问题。老师买了两种不同的圆珠笔共16支，一种每支3元，另一种每支5元，共花了62元。问两种圆珠笔各买了多少支？
生15：这里没有鸡和兔啊？
师：不要紧啊，我们可以把每支3元的圆珠笔当成“1个头，3条腿”的“怪鸡”，把每支5元的圆珠笔当成“1个头，5条腿”的“怪兔”。这样，16支变成了什么？62元变成了什么？
生16：16支变成了16个头，62元变成了62条腿。真有意思！
师：那就在大脑里想象画画数数的过程，边说边写，把解法写出来吧。可要灵活啊！
生17：全当做是3元的圆珠笔共花3×16=48（元），比实际少62-48=14（元）。1支5元的圆珠笔比1支3元的圆珠笔多花5-3=2（元），所以5元的圆珠笔有14÷2=7（支），3元的圆珠笔有16-7=9（支）。3元的圆珠笔有9支，5元的圆珠笔有7支。
师：大部分同学解的都很好，只是个别同学把圆珠笔真的写成了“怪鸡”、“怪兔”。我们说可以当做 “怪鸡”与“怪兔”，但不要机械地往上套啊！
【评析：教者通过对有关史料的介绍，在传承我国古代数学文化的同时，也使学生体会到我国文化的博大精深，有利于学生民族自豪感的培养。另外，让学生感受问题的变式，使其解法成为解决这类问题的模型，既渗透了建模思想，又有利于学生的灵活应用。】
六、课堂小结
师：今天我们学习了什么内容？你有什么收获？
生18：学习了“鸡兔同笼”问题，会解这类问题了。
师：这类问题难不难？
生：不难。
师：这可是五六年级的哥哥姐姐们才学的呀！
生：啊！
师：这说明只要我们勤动手、勤动脑，数学一点都不难。也说明同学们真棒（伸大拇指）！最后请同学们在大脑里再画一遍，嘴里默默地把过程再说一遍好吗？
生：好！
【评析：通过回顾总结，让学生对知识进行梳理，再次巩固和内化了解“鸡兔同笼”问题的数学模型。最后揭示该问题是五六年级所学知识，使学生树立了信心，培养了学生的自豪感。】
七、课后作业（略）
总评：“鸡兔同笼”问题是我国广为流传的有名的古算题。由于解决这个问题的思维含量高，人们常常拿它来考察一个人的智力状况，也成了小学高年级奥数的经典题型，现已进入小学五六年级的数学教材。因此，让二年级的学生掌握这类问题的解法，是一具有挑战性的教学任务。当我的学生刘慧进行课外实践，提出想给二年级学生讲这堂课时，我为她捏了一把汗。没想到的是，她的教学设计取得了很好的教学效果，不仅深受学生欢迎，还得到了任课教师的好评。总之，这是一堂出色的课，除了穿插的评析外，再指出以下几点。
1.符合学生的认知和思维发展水平是本节课成功的关键
教学从画画数数入手，抽象与提炼解法时要求学生脑子里想象画法、边说边写，以及解法用语言与式子混合写出，没有只用算术表达式（含综合算式）等，均符合二年级学生的认知发展与思维发展水平。
2.引导到位，放收合理
本节课教师的引导与学生的自主探究结合得比较好，教师始终有效地掌控教学，没有大撒把，避免了自主探究流于热热闹闹的形式。
篇6
“鸡兔同笼”问题始见于公元3～4世纪的《孙子算经》，该书作者不详。从清代的《子部集成?科学技术?数理化学?孙子算经?孙子算经（宋刻本）?卷下》中看，“鸡兔同笼”问题的叙述为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。”［1］（见图1）
其中的“雉”是“野鸡”的意思，“几何”是“多少”的意思。用现在的语言可以把这个问题叙述为：“鸡和兔在同一个笼子中，总头数为35，总足数为94。问鸡和兔各有多少只？”《孙子算经》中对这个问题的解法分为如下的四个步骤：
第一步：上置三十五头，下置九十四足
我国古代是用算筹进行计算的，所谓“算筹”就是用于计算的小棒，是古人用于计算的一种工具。这里所说的“上置三十五头，下置九十四足”，就是把题目中的头数“35”和足数“94”用小棒分别摆在上面的位置（上位）和下面的位置（下位）。（见图2）
古人用算筹表示数时，摆放方式分纵式和横式两种。通常用纵向小棒摆放个位数字，横向小棒摆放十位数字，以后依次纵横交替摆放。比如“35”就摆放成如图3形式。
如果横向摆放的数大于5，就用纵向小棒代表5，比如图2中的“”就表示5＋4＝9。
第二步：半其足得四十七
意思是求出下位总足数94的一半等于47。图2就变成了图4的形式。
图4中“”上面的横向小棒表示“5”，下面两条纵向小棒表示“2”，因此“”表示5＋2＝7。
第三步：上三除下三，上五除下五
这里的“除”是“除去”或“减少”的意思，“上三除下三”就是“从下位四十七中除去与上位相同的三十”，“上五除下五”就是“从下位四十七中除去与上位相同的五”。（见图5）
用现在的语言说，就是从47中减去35为12，得到兔子的只数。这一过程在《孙子算经》的“术”中叫做“以少减多再命之”（见图1），意思是以少减多之后，下位“总足数”的含义发生了改变，需要重新命名，也就是把“总足数”重新命名为“兔头数”。（见图5）
第四步：下有一除上一，下有二除上二即得
与前面类似，这句话的意思是用总只数35减去兔只数12就得到鸡的只数了。上位的“总头数”需要重新命名为“鸡头数”。（见图6）
以上算法的合理性并不难理解。总足数94取半成为47，此时相当于所有鸡都成为了金鸡独立的“独足鸡”，所有兔都站立起来成为了“双足兔”。此时每只鸡的头数和足数都是1，每只兔的头数是1，足数是2，所以用47减去总头数35就得到兔的只数是12。最后用总头数35减去12就得到鸡的只数。《孙子算经》中把这一算法概括为：“上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头即得。”不妨称此方法为“半足法”，右上的表格可以更加清晰地呈现这一过程。
二、 《算法统宗》中的“鸡兔同笼”
“鸡兔同笼”问题后来又收录于明代程大位（1533年～1606年）所著《算法统宗》第八卷的“少广章”。［2］（见图7）
其中对问题的叙述把“雉”改为了“鸡”，因此“鸡兔同笼”的说法沿用至今。《算法统宗》中对问题给出了两种算法，这两种算法与《孙子算经》中的算法是不一样的，相当于现在所说的“假设法”。第一种算法的过程为：
第一步：“置总头倍之得七十”，意思是将总头数35加倍，也就是乘2，得到70。
第二步：“与总足内减七十余二四”，也就是从总足数94中减去70得到24。
第三步：“折半得一十二是兔”，将24折半（也就是24除以2），得到12，这就是兔的只数。
第四步：“以四足乘之得四十八足”，用每只兔的足数4乘12，得到兔的总足数48。
第五步：“总足减之余四十六足为鸡足”，用总足数94减去兔的总足数48得到46，就是鸡的总足数。
第六步：“折半得二十三”，将鸡的总足数46折半（46除以2），就得到鸡的只数为23。
另外一个算法是先求鸡的只数，与前面先求兔只数的程序基本相同，这一算法可以用下面表格的形式呈现出来。
《算法统宗》中关于“鸡兔同笼”问题的两个算法，在书中概括为两句话：“倍头减足折半是兔”和“四头减足折半是鸡”（见图7）。第一句话的意思是把求兔只数的过程分为了倍头、减足和折半三个步骤，“倍头”就是把总头数35加倍变成70；“减足”是用总头数94减去70得到24；“减半”就是取24的一半得到兔子的只数为12。这个过程写成如今的算式就是：
（94－35×2）÷2＝12（只）
第二句话的意思是把求鸡只数的过程分为了四头、减足和折半三个步骤，“四头”就是用4乘总头数35得到140；“减足”是用140减去总足数94得到46；与求兔只数的过程类似，“折半”就是取46的一半得到鸡的只数23。写成算式就是：
篇7
二、“鸡兔同笼”问题的教学片段摘记
片段一：“画一画、划一划”开始部分
生1：老师，我不会画鸡，更不会画兔。
生2：不用画鸡，也不用画兔，只要简单画鸡头鸡脚和兔头兔脚就可以了。
师：你的简单法是怎样的呢？
生2：圆圈表示头，鸡下面画两竖表示两只脚，兔下面画四竖表示四只脚。
师：（出示图a）这个图片表示什么？谁能看懂？
生3：6个正方形。
生4：6只鸡或兔，一个正方形表示一只鸡或兔。
生5：应该是表示一只鸡和一只兔，左边一列表示一只鸡，2个正方形表示鸡有两只脚，右边一列表示一只兔，4个正方形表示兔有四只脚。
师：（出示图b和图c）这两个图片又分别表示什么，谁能看懂？
生6：图b表示8只兔有32只脚，图c表示8只鸡有16只脚。
生7：我不完全同意你的观点，我认为虚线表示“不确定”，这两个图表示的就是例题1，鸡兔共8只，但脚还没有画好。
师：那怎样才算画好？
生8：图b显然脚数大大超过26只，要划去一些，图c显然脚数不足26只，要再画上几只。
……
我的理解：以上教学事实说明，学生可以通过这样的图形去理解“鸡兔同笼”的问题，这样的图形比用圆圈和线段表示的方法更简单，凌乱的线段之“脚”显然不如连成一片的方框之“脚”，这样的“脚”显然更富数学意义；这样的图形更能说明问题，学生可清晰地知道，一只鸡与一只兔的转换，脚数改变2，这样的“画一画、划一划”的方法具有现实的教学意义与价值。我坚信，二年级学生适用的直观手段，对于五年级学生来说，适用性是值得怀疑的，是需要改进的。
片段二：其他方法的自主探究后的交流之一
生1：我是从鸡兔各半的情况开始想的，3×8=24只脚，26-24=2只兔，兔比鸡多两只，所以鸡有（8-2）÷2=3只，兔有5只。
师：3×8=24只脚，哪种动物有3只脚？（生大笑，以为该同学说错了）
生1：没错啊，我说鸡兔各半的话，把兔子4只脚中的一只脚看做对应的一只鸡的脚，这样这对鸡和兔就各3只脚。题中鸡兔共26只脚，多了2只脚，说明这两只兔子没有对应的鸡，没有借出自己的1只脚，所以兔比鸡多2只。
师：你们听明白了吗？我们一起来画个图（见前，图略，教师在画出图形后，进一步提出“三脚法”的另一种情况：按1头3脚计算，脚数比已知脚数多。面对老师的图形表示，学生惊叹：哇，原来是这样的！）
……
我的理解：想不到“三脚法”被第一个提出，为什么？我和那些语文老师交流这类问题时，语文老师一般也是从鸡兔各半或很接近的情况开始的，难道是中庸之类的哲学影响在发挥作用？ 通过画图，为学生展示了这种方法的几何意义，学生更能接受这种方法。
片段三：其他方法的自主探究后的交流之二
生1：我们刚学过方程，所以我选用方程的方法。
解：设鸡有x只，则兔有（8-x）只，根据题意得：2x+4（8-x）=26，但是这个方程我解不好。
师：谁能帮帮他？
生2：第一步去括号，2x+32-4x =26，交换2x与32的位置，得32+2x -4x =26，加2x减4x相当于减2x……
师：还可以怎样列方程？每人做一做……
生3：我的方程是4x+2（8-x）=26，我发现这样列方程比较容易解。
师：好的，原来把脚数多的动物只数设为未知数，解方程比较方便，我们能把这个方程用图形来表示一下吗？（略，见前。）
……
我的理解：方程法应该是本课的学习重点，但用方程法解决问题时学生解方程的能力，往往被教师疏忽。我之所以要让全体同学用方程的方法练一练，不仅要求每个学生掌握这种方法，而且要让学生明白，把脚多的动物只数设为未知数，解方程时可以避免出现学生现有知识水平难以支撑甚至不能支撑的情况，这种方法应该是“鸡兔同笼”问题教学的重点方法。通过画图的方法，学生明白了两个不同的方程表达的意义，明白如何设未知数可以给自己解决问题带来方便。
片段四：《孙子算经》的论战
师：今天我们学习了“鸡兔同笼”问题，让我们看看《孙子算经》原题“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四脚，问鸡兔各几何”，你能用现在的话来表述吗？
生：鸡兔35头，94脚，鸡、兔各几只？
师：你会几种方法？你喜欢什么方法？
生1：我会假设法和方程法，我喜欢方程法。解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只，方程是4x+2（35-x）=94。
生2：方程书写麻烦，我还是喜欢“三脚法”，3×35=105只，105-94=11只，说明鸡多11只，（35+11）÷2=23只，兔有12只。
生3：方程书写麻烦，我也还是喜欢假设成“全部是鸡”，比实际少多少脚就换相应的兔。35×2=70（只），94-70=24（只），24÷2=12（只），兔12只，鸡23只。
生4：我还是喜欢画图法的。
师：你准备画35列正方形方框？
生4：那也不必，用省略号表示一下也可以。我看题目中的头数与脚数，我估计鸡多兔少，我先省略20只鸡，5只兔，共60只脚，余下10头35脚，这样也可以画出来。
师：你对画图的方法进行了改进，老师觉得你很有创造精神。就使用是否方便的角度而言，你觉得选用什么方法比较方便？这个问题每个同学自己想一想。
……
我的理解：从哪里来，到哪里去，我们回到了课的出发点。但是，这时的学生不仅能解决这一问题，而且能选用自己喜欢的方法解决，这是一个更高的学习出发点。学生嘴上的选择，出于多种原因，有时候不一定与真实的选择相符，这就需要老师的引导，尽量使学生走上“通式通法”之路。有一定创新的画图法是好的，有一定古典人文价值的假设法也是好的，但我认为就是学生认为“书写麻烦”的方程法，才是学生最应该掌握的方法。
三、“鸡兔同笼”问题的教学思考
以新的图形表征方法为依托，这一问题的一次教学尝试获得了一定的成功，我还希望在下次的教学中能继续用这一方法，其他老师也能采用这一方法。
在“画脚法”这一环节中，我们发现，与原来用圆圈与线段表示的方法相比，用正方形小方格列表示这一方法更具可操作性，更富数学化倾向，若一定要选用“画脚法”，则可以思考我们的方法。
篇8
[文献标识码]A
[文章编号]2095-3712（2014）26-0027-03
[作者简介]杨金珠（1983―），女，江苏南京人，本科，南京市江宁实验小学教师，小学一级。
苏教版六（上）解决问题的策略（假设）是在学生已经学习了画图、列表、一一列举和倒推等策略基础上又一次有关策略的学习，许多课外辅导用书和提优训练都把此类问题称之为“鸡兔同笼”。解决此类问题需要学生具备较高的思维水平和逻辑推理能力。
一、了解学生学习情况
为了全面掌握学生知识情况，笔者课前对所教两个班级103名学生进行“学习前置”（只做“自主探索”部分）。
表1学生预习表
江宁实验小学六年级数学（上）第七单元
姓名
预习日期年月日
课题解决问题的策略（2）
自主
探索
例2：全班42人去公园划船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有多少只？
想一想：你能用已学过的策略解决这个问题吗？
结果统计如表2。
表2学生预习情况统计
从上表信息可知：学生想到用列表方法（含多种方法中的列表）解决的有50人，占49%；画图9人，占8.7%；算式54人，占52.4%；方程14人，占13.6%。通过分析能看出学生解决此类问题时所使用的一般方法是列表法和假设法。接着，笔者对学生做了进一步调查。
师：你是怎么想到用这些方法的？
生1：我们在五年级学过一一列举，这道题目数字不大，我一个一个列出来就能找到答案了。
生2：画图的方法比较直观，好理解。
生3：这学期第一单元我们学的就是方程，根据等量关系就可以列出方程，不过怎样解方程是我爸爸教的。
生4：我在辅导班的时候学过用假设法求解。
师：对于用假设法列出的算式你能解释每一步表示的意义吗？
生4：我只是记住算式模型。
通过访谈，可以较客观地了解到学生对于此类问题的一般思考过程和个体间的思维差异。教学中要尊重这种差异，充分展示彼此间不同的观点和想法，在多维立体互动中不断对学生差异进行比较、修正和提升。而这，无疑是需要教师进行思考和正视的。
二、教学案例分析
（一）列表
1.陈诺：我先从9只大船1只小船开始想。9只大船1只小船可以坐50人，比42人多，8只大船2只小船……
生1：当我们列举出“6只大船4只小船”正好坐42人时，下面就不要再列举了。因为随着大船的增加，小船的减少，人数会越来越多，肯定不符合条件。
师：对于这张表格的数据同学们有什么发现？
生2：每增加1只大船，减少1只小船，人数会多2人。
生3：我补充一下，应该有个条件“船的只数10只”要保持不变。
一一列举是学生以前学过的策略，这其中就蕴含了“假设”的思想，学生通过同学对列表方法的介绍，初步体会“假设”思想在列表中的运用。同时，与以前所学的一一列举答案的多样性不同，此类题目答案是唯一的。
师：我觉得应该从“10只大船0只小船”开始想。虽然“10只大船和0只小船”一看就知道不符合条件，但如果写出来的话，这样列表就会很有序。
（用红笔补上“10只大船0只小船”）
假设策略的重心是假设后的调整，调整的过程实质上是替换的过程。在“一一列举”中其实就蕴含“一一替换（1只小船替换1只大船）”的思想。当教师提出需要补上“10只大船0只小船”时，“10大0小”或“0大10小”正是下面学生画图、假设法的基础，这样从学生熟知的列表法切入符合学生的实际。
2.唐沛年：我和陈诺的方法有点不一样，我是从1只大船9只小船开始想的……
生1：我发现陈诺列举的次数多。
师：你能解释其中的原因吗？
生1：当我们假设9只大船1只小船时，总人数是48人，48离42很近。而1只大船和9只小船总人数是32人，离42比较远。
生2：有价值的发现！如果从不同的角度思考，替换次数会有不同。
生3：应该像陈诺那样补上“0只大船和10只小船”的情况。
设计意图：学生两种不同的列表方法实际上就是两种不同假设法的原型。在这里通过师生对话、生生互动，为下面调整假设策略解决问题做了提前渗透和有力铺垫，可谓“未成曲调先有情”。
3.岳晨曦：我先假设有5只大船和5只小船，可以坐40人，然后4只大船6只小船发现人数少得更多，所以应该是6只大船4只小船。
师：是的，当岳晨曦先假设“5大5小”时发现和42人是有“差距”的，岳晨曦先用向小船方向调整，发现人数少更多，所以才向大船方向调整，谁能解释其中的道理？
生：当5只大船5只小船时坐40人，比42人少，所以应该增加大船减少小船，因为大船能坐更多的人。
设计意图：调整可以是“渐进式”的，也可以是“跨越式”的，无论从哪个角度想起，重点都是要让学生借助表格感受为什么要把大船换成小船或者为什么要把小船换成大船，以及因为“换”而带来的人数变化。充分展开这个过程，使学生深刻体会调整的目的、方向和方法，进而初步形成调整意识。
（二）画图
陶致远讲解画图过程。
师：陶致远为什么一次只画去2人？
生：一只小船替换一只大船只能少2人。
师：谁能把陶致远和陈诺的方法联系来说一说？
设计意图：借助图示，结合学生的讲解把结果的呈现过程化、动态化，清晰呈现画图过程。并与列表方法相互比较，相互验证，相互启迪。这其中算式方法的雏形已初见端倪，使学生对假设策略的认识进一步接近其核心和本质。
（三）算式
蒋霏凡介绍自己的思考过程。
师：同学们，“数形结合”是一种重要的思想方法，你能不能根据陶致远的“图”来解释这位同学的算式呢？
设计意图：细细分析列表、画图和算式，可以发现都有假设和替换的影子。某些时候，它们的思路完全一致。“打通”这些方法的联系，让学生通过不同的方式理解同一种策略，理解会更深刻。
师：明明假设的全是大船，怎么求出来的却是小船呢？
（学生一时难以回答，沉默片刻后，从画图方法中找到了解释）
生1：因为假设全是大船，会多算出8人。
生2：把多算的8人要“赶下船”，1只大船“赶”下两人后就变成小船，因为要“赶”4次，就变成了小船。所以假设全是大船，求出来的就是小船。
生3：如果假设全是小船，求出来的就是大船。
设计意图：为什么明明假设的是大船，求出来的却是小船？这历来是不少学生的困惑之处。在这里，教师应放大这个环节，在反问、追问中，放慢进程，借助表格的直观、示意图的支撑、形成式的凝练，理解掌握假设法的内涵和本质，在此基础上抽象出一般算式方法。
三、分析总结
通过列表和画图不难发现，随着小船数量的逐一增加，总人数逐次减少2人，正是这一基本的变化规律，我们很容易得出“如果人数要减少2人，应该将一只大船‘变成’小船，反之，人数要增加2人，应该将1只小船‘变成’1只大船”。进而思考：如果人数要减少8人（增加12人），应该将几只大船（小船）“变成”几只小船（大船）？有了这些观察思考的基础，在列表和画图中就找到了“假设法”的影子。如果说第一次列举被视为假设的前提，那么接下来就可以根据人数的差距，计算出应该将多少只大船（小船）“变成”小船（大船），就能解决一共有多少只大船和多少只小船的问题。由此，解决“鸡兔同笼”一类问题的典型方法――假设法，便跃然纸上。这样教学不仅切合教材的实际，而且切合教学的实际，更是切合学生的实际。
参考文献：
篇9
中图分类号：G421；623.5 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2017）17-0044-01
综合与实践活动越来越被广大学者、教师所重视，在小学数学中体现得尤其明显。小学阶段是学生思维开发与发展的最佳时期。根据学生的年龄特点，作为教师和各级教育研究人员，提高小学数学综合与实践活动的有效性，对活动进行合理设计迫在眉睫。
一、精心设计问题，开展实践活动
在综合与实践活动中，学生的学习更加注重生活实践，所以教师在数学问题设计中，要突破传统教学中对数学应用问题以人为编造为主的模式，注重数学与生活的联系。结合学生的知识经验，结合教材内容，设计一定的问题，让学生对所学知识进行多方面的思考与创新。例如，在小学数学六年级课本当中，学生要学习“扇形统计图”这一知识，需要学生学会画图和计算各分量所占总量的百分比。针对这一学习内容，教师可以结合学生生活进行设计。比如，可以让学生询问班级同学们的体育运动爱好情况，然后根据调查的数据制作扇形统计图。首先学生列出三到四项常见的体育运动，然后去询问同学，通过画‘正’字的方法进行数据收集，最后得出同学们参加各项体育运动的人数。再分别计算出参加各项体育运动学生人数所占全班人数的百分数，最后画出扇形统计图。学生通过亲身实践收集数据，进行整理加工，绘制统计图，使得学生对这个知识点理解得更加轻松和透彻，激发了他们对数学的学习兴趣。
二、注重动手操作，发展学生创新思维
动手操作有利于开发学生创造力，促进学生大脑和语言的发展，能够有效培养学生各方面的能力，尤其是能培养学生的创新能力。学生动手能力培养在小学低年级尤为重要，数学教师一定要引起高度重视，把培养学生动手能力落到实处。在小学课本中，有一节知识“有趣的七巧板”，利用这节知识，能够对学生动手操作能力进行培养，还能够培养学生的想象力和创造力。在这节知识的学习中，教师如果只是拿着课本说应该怎么做，不应该怎么做，显然对培养学生动手操作能力、想象力和创造力作用不大，并且还会遏制学生思维的发展。教师如果让学生自己动手操作，与同学进行交流，相互欣赏，学习效果就会大大提高，而且能培养学生动手能力、合作能力，更重要的是能够培养学生的创新能力。
三、渗透数学思想，发展思维能力与合作能力
学生在数学学习中，学习知识固然十分重要，但是思想方法的掌握也不容忽视。在开展综合与实践活动时，教师要多组织学生进行交流与合作学习，并在教学当中渗透一些主要的数学思想。例如，在小学六年级数学课本中讲到了“鸡兔同笼”的问题，这一学习内容对于学生来说，有一定的学习难度。为了帮助学生理解，教师可以先出示这样一个题目，鸡兔同笼，有15个头，50条腿，问鸡和兔子各多少只？在这个问题的解决中，教师要发挥引导作用，牢记课堂的主角是学生，要充分发挥学生的主体作用。教师让学生先用自己的思维方式自主地尝试解Q，并且把自己的想法和思考进行记录与小组同学进行交流探讨。学生通过相互交流可以得出很多种解题方法。即：列表法、假设法和列方程。列表法和假设法对于六年级的学生来说比较容易理解，而列方程是属于学生新接触的知识，因此，教师可着重引导学生理解用方程解决问题的方法。下面是采用列方程的方法解决“鸡兔同笼”这一经典例题的解题过程。由题意可知，鸡和兔子一共有15只，且鸡的腿加上兔子的腿一共有50条。先假设在15个动物之中，有x只兔子，那么鸡的数量就是（15-x）只。我们知道兔子有4条腿，鸡只有2条腿，根据题目所给的数量关系，可以列出以下方程，即：4x+2（15-x）=50，化简得2x+30=50，最终就可以计算出 x=10，15-x就是5，就可以得出兔子有10只，鸡有5只。在解决这个问题的过程中，教师要让学生自主进行合作交流，思考解题方法，同时还要让学生自行解决难度较大的这种类型的数学题，以巩固学生所学。在运用列方程的方法解决实际问题时，学生进行了较好的合作，都能做到开动脑筋想办法，学生的思维能力和合作能力得到了培养。教师必要的指导和在问题解决中渗透数学思想，再加上学生的实践，会对学生以后数学学习具有实质性的帮助，学生的思维能力、合作能力、创新能力都得到了培养。
四、结束语
综合与实践活动的开展，为学生知识经验的积累打开了一扇门，提升了学生的数学创新精神和实践能力。对此，广大教育工作者必须跟上教育改革的步伐，结合学生的学习特点，积极探索合理有效的教学方法，让基础教育越办越好，为学生的成长成才奠定坚实的基础。
参考文献：
篇10
然而在初中数学复习中，不少学生“一听就懂、一看就会、一做就错、一考就倒”，其原因就在于复习课教学的有效性不高。有效的课堂教学是指教学行为在达到教学目标和满足学生发展需要方面获得成功，是教学的社会价值和个体价值的双重表现，既要关注学生当前发展，同时又要关注学生的未来发展，可持续发展。那么在新课标的要求下，怎样进行数学复习课有效教学的设计呢？笔者结合自己的教学实践进行了思考。
要上好每一节复习课，老师不能只是对已学过的知识进行简单的重复，而要根据新课程标准对知识进行重点梳理，把握学科主干知识的内在联系，精选例题，优化教学过程，对已学知识的重点、难点进行分析、讲解，以便形成科学的知识体系，这样才有利于学生理解和运用，达到事半功倍的效果。
一、明确复习目标，拓展数学思维
上好复习课的关键在于如何让学生都有收获，使后进生把以前不明白的真正并明白，优秀生也有新发现。如果复习课仅满足于讲题做题就太笼统。因此教师要合理定位，找准复习课的目标，具体要做到：
1.钻研课程标准，增强学生信心。
教师要认真钻研初中数学新课程标准，理解教学要求，充分认识到新课程的教学理念，认识到复习课的目标该定位在大部分还不达标的学生。这些学生觉得数学难，有畏难心理，从而导致复习失败。教师要鼓励这些学生树立信心，认识到只要把握好复习的方法，人人都会有进步。数学有其自身的规律，这取决于他们在复习时是否有勇气和毅力去改正，因此要帮助学生树立上好复习课，学好数学的信心。
2.构建知识体系，渗透思维方法。
数学是思维性的学科，学生的数学能力取决于思维方法。复习教学中，要将知识点串成线、线形成面，进行复习，以便于学生理解，让学生逐步形成应用数学思想方法的意识，以利于他们深层次地理解数学的核心内容，从而形成独立分析问题和解决问题的能力。如“特殊的四边形”的复习课，可以通过设置下面的问题帮助理清知识脉络。
问题1：请说说平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形，等腰梯形，直角梯形，彼此之间有什么联系？
问题2：如何判断一个四边形是平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形，等腰梯形，直角梯形？
图1 特殊四边形关系图
通过问题1的思考，利用维恩图让学生形成清晰的概念图，明白外延；而通过问题2，让学生填写图1箭头方向上的各种条件而使学生清楚各种特殊四边形之间的内在差异和变化联系，把握内涵。用问题将相关知识（包括方法和技巧）自然、顺畅、扎实地联系起来，并有序地延展开去，能使知识得到深化拓展。
二、抓住复习重点，突破复习难点
复习教学要抓住重点，充分利用学生的固有经验达到难点的突破。在教学过程中教师明确告诉学生这节课的重点是什么，难点是什么，让学生做到心中有数，解决问题时有的放矢。
三、精选例题习题，优化教学过程
在明确复习目标，把握复习的重难点之后，教师要优化教学设计去实现教学目标，才能真正实现有效复习。
1.精心编写例题习题。
要通过题目的解答过程为学生提供分析问题和解决问题的方法和模式，促进学习迁移。所以，在复习教学中，教师要精心设计题组进行训练，将知识转化为技能，使学生从题海中解脱出来，优化复习过程，实现有效复习。可以近几年各地中考试题为基本素材，根据学生基础设计例题、习题。让不同层次、不同水平的学生都能轻松完成，既吃饱又吃好。
例如：有这样一道中考题：课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？如果假设鸡有x只，兔有y只，请列出关于x、y的二元一次方程组，并写出你求解这个方程组的方法。
在指导学生解题后，笔者对原题又重新设计，要求学生分组合作解决。
改编1：今有鸡兔同笼，上有三十五头，问鸡兔各几头（只）。请你和同学们探讨二元一次方程的概念和解的概念。你能求出它的解吗？
改编2：假如此题为：今有鸡兔同笼，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）。你对二元一次方程组的解的概念又有什么发现？
改编3：对于本题的方程组x+y=35（1）2x+4y=94（2），请你用尽可能多的方法，求出方程组的解。
改编4：请归纳解二元一次方程组的基本方法有？摇？摇？摇 ？摇？摇和？摇？摇 ？摇？摇？摇。它的基本思想是？摇？摇？摇 ？摇？摇。
这些问题覆盖了《二元一次方程组》中概念、解法和消元思想等知识要点，题目容易，又典型，便于学生总结。环环相扣的问题不仅可以激发学生探究问题的兴趣，而且使学生学得主动，同时加深对知识的理解，有利于培养学生思维的灵活性和创造性。当学生经过努力完成问题解答沉浸在成功的喜悦时，老师又将一个看似熟悉但又不同的问题放在他们的面前。由于刚才的成功，他们不会放弃眼前的问题主动探究。老师从不同的角度透视问题，开拓了学生的思路，从而提高了他们的思维能力和探索能力。
2.设计不同难度例题。
复习课的教学设计要详细明了，具有趣味性和挑战性。教师要有自己的创新，大胆改革知识的系统性结构进行合理重组，要考虑让不同的学生都有所收获，问题设计要有层次性，结论要有开放性。不要只设计一些低难度的问题（基础题可另外限时完成），要更多、更细地设计让不同的学生有不同的结论的好问题。如在复习《方程、不等式、函数的综合应用》时，笔者设计了以下问题：
某服装店经营某种品牌的儿童服装，有A、B两种型号，其中A型号儿童服装80元/套，B型号儿童服装100元/套。
（1）听说店里平均每天卖出两种型号的儿童服装共32套，销售额为2800元，你知道平均每天分别售出A、B两种型号儿童服装各多少套吗？
（2）已知店里平均每天卖出两种型号的儿童服装共32套，若欲使销售额不低于2960元且不超过3000元，请你帮店主制订出当天进货计划。
（3）又知店里某天卖出两种型号的儿童服装共32套，试说明如何销售才能获得最大的销售额，并求出最大的销售额。
（4）因为服装质量不错，价格合理，单是A型号儿童服装的月销量就从一月份的600套上升到三月份的726套，请你求出平均每月销售量的增长率。
（5）由于季节原因，该店主欲对A型号儿童服装进行降价处理，他先做了个市场调查，发现这种A型号儿童服装每套每降价一元，就可多售出2套。已知A型号儿童服装成本价为40元/套，现平均日销量为20套。为了尽快处理掉A型儿童服装，请你帮店主计算一下每套降价多少元时，可获得1200元的利润？
（6）在降价处理的过程中，店主欲获得最大利润，每套A型儿童服装应售价多少元？并求出最大利润是多少？（已知这种A型儿童服装每套每降价一元，就可多售出2套。且知A型儿童服装成本价为40元/套，现平均日销量为20套。）
六个不同的问题存在同一背景下，六个问题的解决用到不同的知识：方程、不等式、函数，没有贴标签，又不给暗示的情况下，起到了“异步训练”的作用，问题的设计符合学生的生活实际，易于学生理解接受。
三、引导学生主动探究
为了让学生能形成良好的知识结构，教师在问题解决过程中应更多地暴露思维过程，通过问题的合理设置激活学生原有的知识经验，启发他们形成新的理解、新的认识。因此复习教学的有效开展离不开教师的科学引导，教学中突出以问题为主线，启迪学生思考，使学生在课堂中深刻感受如何发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的整个过程，理解和认识发生和发展的因果关系，从而领悟到分析、思考和解决问题的数学思想方法，最终内化为自身知识结构的重要部分。如在复习三角形时，笔者就通过问题的设置及时引导学生主动探究。
如图，已知点C是线段AB上的一点，ACM、CBN都是等边三角形，求证：AN=BM.
本题的证明不难只需证CAN≌MCB即可，但在上课时，笔者并没有到此为止，而是趁热打铁，让学生结合图形，深入讨论，并引导学生证明以下结论：
（1）求证：ACD≌MCE，DCN≌CBE；
（2）连接DE，求证：CDE为等边三角形；
（3）求证：DE∥AB；
（4）若AN与BM交于点O，求∠MOA的度数；
（5）取AN的中点G，BM的中点H，连接CG、CH、GH，求证：ACG≌MCH；
（6）求证：CGH是等边三角形；
（7）若将CBN绕点C顺方时针方向旋转角α（α为锐角）后，以上结论是否还成立，为什么？
上述探讨和证明思维指向清晰，复习目标明确，把原来相对孤立的知识点有效地串联起来，优化学生的知识体系，能促进他们更深入地思考，引导他们从知识仓库中提取用的东西，从而产生一个好的思路，使学生的思维不断得以深化，知识得到拓展。
总之，为了提高数学复习课教学的有效性，我们必须以教学理论作指导，在课堂教学的设计上，必须符合学生的认知规律及各年级学生的特点，对问题生成单的设计，难度上要适中，方法上要典型，熟练地运用课堂教学的有效性策略，才能真正提高复习课的教学质量。
参考文献：
篇11
二、亲历过程，学会探究方法
探索性学习是一个充满着观察、思考、实验、模拟和推断的过程，学生是否亲自参与研究及探究，往往比结果更重要。学生自学能力、认识水平和数学素养的提高与形成，就是在对相关信息提取、加工、分析、处理的过程中发展生成的。下面介绍几种课堂中经常用到的探究方法。
1.列举法。即把事情发生的各种可能逐个罗列，并用某种形式进行归纳总结，从而得到问题的答案。数学学习中有许多实际问题，列式计算往往比较困难。如果联系生活经验，用一一列举的方法就能比较容易地解决。如搭配问题：有两件上衣，两条裙子，一条裤子，一共可以搭配出几套衣服？又如解决鸡兔同笼问题也运用到列举法。因此，一一列举是解决问题的常用策略之一。而且在一一列举的时候要有序地思考，做到不重复、不遗漏，这对发展思维也很有作用。
2.操作法。“我听见了就忘了，我看见了就记住了，我做了就理解了。”这是华盛顿图书馆墙壁上的三句话。它形象地说明了动手操作的重要性，小学数学学习更要注重动手操作。学生自主操作、动手实践、经历探索知识的过程，对知识的理解才能深化，记忆才会牢固，推理才能严密。而“猜测―动手操作实验―验证―下结论”是探究性学习的一种常见的好方法。如掷硬币猜一猜是正面还是反面，让学生对正面和反面出现的可能性作出预测，继而让学生通过实验来证明。通过每个人掷20次出现正反面的情况统计，学生发现与预测的结果相比有较大出入，这是为什么呢？从而引发学生进一步思考和探究，亲身经历和体验科学研究问题的过程，掌握科学研究问题的方法。
3.调查法。数学知识与技能的获取，一般是直接在课堂上通过创设问题情境，探索研究而获得的。但有些课题需要学生对问题情境进行调查、统计，对所需要的数据进行搜集、整理、研究、分析。例如教学“统计买多少水果”一节，可让学生自主在小组里调查每个同学喜欢吃什么水果，搜集小组每个同学喜欢吃的水果信息，然后进行整理分析，统计出哪种要多买，哪种水果可以少买。学生在这一活动中学会与人沟通交流，初步经历统计的过程，学会简单统计的基本方法与步骤，这样的学习有利于从小培养学生的探索意识和创新能力。
4.推因法。数学学习效果究竟如何，衡量的标准就是学生对知识点，是否达到不仅知其然而且知其所以然的境界。例如在学习平行四边形的面积时，很多同学通过课前预习就已经知道：平行四边形的面积等于底乘高。这时候，老师就要进一步追问为什么通过底乘高就能求出平行四边形的面积，从而引导学生探索把平行四边形转化成已学过的长方形，然后推导出平行四边形的面积公式。由学生自己收集素材，自创探究方法，共同归纳、总结出科学知识，使学生感受知识“再创造”的探究过程，充分展示各自的才能，成为知识的发现者、探索者、创造者；充分体验到成功的乐趣，更有利于培养学生的探索意识。
三、开放性练习，在自主探究中创新
教师要努力创造条件，使学生最大限度地发挥潜能，创造性地学习，从而培养创新精神。除在学习新知识时引导学生用不同的方法探究外，还可设计开放性练习，启发学生在探索中创新。
篇12
一、农村地区初中数学教师课堂教学设计现状
1.习惯以教材为中心
“为了每一位学生的发展”，是新课程教学改革的核心理念。素质教育课程改革实施以来，不少教师已经认识到以学生为中心开展教学设计的重要性，但在农村地区，受教育环境闭塞以及中考压力的影响，数学教师依旧习惯于以教材为中心进行教学设计。在教师看来，教材上的教学内容是教学设计的出发点与落脚点，学生在课堂上获得数学知识、掌握解题技巧即视为完成教学目标，很少有教师从学生角度出发开展教学设计。
2.教学设计认识不足
生本教育理念使教师的角色发生了翻天覆地的变化，相应
的，崭新教学设计理念应运而生。新教学设计理念对教师课堂教学设计的更新发出呼唤，但是，通过对“我怎样认识教学设计”这一问题的调查发现，大部分初中数学教师认为教学设计就是写教案，忽略了“教学设计是一个动态过程”这一关键问题。这反映了教师对教学设计的认识不足，缺少对教案与教学设计有效区分的正确理解。
3.严重脱离学生生活
对教学内容的分析是数学教师开展课堂教学设计的基础，教学内容是一个具有生命力、动态多变、开放性的系统，与学生生活的经验世界紧密相关。因此，教师应根据教学内容灵活开展教学设计。但是农村初中数学教师在进行教学设计时并没有考虑数学知识与生活的联系，学生很难理解学习数学知识对于改造世界的重要意义，教学质量的进一步提高受到阻碍。
二、导致农村地区初中数学教师教学设计不利局面的原因
1.环境因素
农村地区经济条件落后，初中数学教师所处的教学环境比较封闭，这对教学设计能力的提高造成一定影响。新课程教学改革要求教师创造性地使用教材，大胆地对教材进行二次创造，但教师反映，新课程参考资料匮乏、教学资源有限，对教学设计质量提高造成负面影响。
2.教师因素
高素质教师队伍的建设困难重重，农村地区的初中数学教师普遍是本科文凭，有的教师甚至不是师范院校毕业，自身职业素质“先天不足”，加上后天“营养不良”，加剧了教学设计形势的严峻。一些教师对教育教学观念、数学课程学科规律、教育心理学等问题缺乏专业认识，职业素养频频扯后腿，他们自己也不知道如何提升教学设计能力。组织教研会议时，大多数教师都是自顾自，敷衍了事，导致教研名存实亡，教学设计能力的提高成为一句
空话。
3.学生因素
学生是教学设计的最终服务对象，教学设计以学生能力为前提和基础。但在农村地区，学生成为制约教学设计质量提高的重要因素。新课程教学改革强调对学生学习方式的转变与培养，因此教师开展教学设计的过程中尝试突出学生的主体地位，但由于学生自身基础知识储备不足，他们经常跟不上进度，表现出厌学心理。学生明显缺乏合作学习意识和自主探究能力，对数学学习兴趣不高。
三、对策研究
1.深入与课程标准对话
《义务教育数学课程标准》是初中数学教材编撰、课堂教学组织、中考命题的根本依据，也是农村初中数学教师开展教学设计的根本参考。教师应当深入研读《义务教育数学课程标准》，严格按照标准当中所提出的教学要求进行教学设计。
《义务教育数学课程标准》明确指出：“数学教育活动必须建立在学生的知识水平和已有的知识经验基础之上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的笛е识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的引导和组织者。”这就明确启示广大数学教师，开展课堂教学设计的过程中应当充分考虑学生数学学习情感的激发，为学生提供参与数学课堂活动的机会，从而促使教学质量的提高。
以“一元一次方程”教学为例，笔者设计了一道经典问题：小梅数她家的鸡与兔，数头有35个，数脚有94只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？“鸡兔同笼”是最常见的一元一次方程问题，大热的综艺节目中也曾经出现过这道题目。上课之前，笔者一在黑板上出示这个问题，底下学生就纷纷来了兴致，绞尽脑汁想要找到答案。笔者趁势导入一元一次方程知识，提示学生设鸡的只数为x只，则兔为（35-x）只，即2x+4（35-x）=94，解得x=23，所以兔有12只。通过对“鸡兔同笼”这一趣味问题的解答，一元一次方程知识顺理成章被导入课堂，再开展方程教学学生就明显配合得多。
2.深入与学生主体对话
学生是教学设计的主体，教师应当对学生情况有良好把握，并针对学生数学学习活动当中表现出来的具体情况，因人制宜、因时制宜开展教学设计。教师应当多与学生沟通，了解学生数学学习方面的具体需求，将教学设计的重点转移到促进每一位学生发展这方面来。
班级学生人数多，不同学生数学学习水平不尽相同，教师应当将小组合作学习贯穿至课堂教学设计当中。学生可按照数学成绩高、中、低，均衡结合成4～6人小组，实行组内帮扶学习制度。学习上一旦有任何需求，可尝试先在组内讨论解决，组内讨论解决不了的，组长向教师反映，从教师处获得帮助。借助于小组合作学习，不同学生学习需求得到有效满足，而且在互帮互助之间，学生加强了交流与合作，优等生学习品质进一步升华，后进生学习水平进一步提高，班级学生整体学习能力的提高指日可待。
3.深入与乡土资源对话
课程标准中指出：“教师应高度重视学科教学资源的开发与利用，创造性地开展各类活动，多方面提高学生收集、整理、分析材料的能力。”农村地区经济面貌落后的局面一朝一夕难以转变，教师不妨考虑如何在教学设计当中关注可利用的乡土教育资源，转变以参考书、教材为主要内容进行教学设计的方法，真正将数学课程内容延伸至学生生活的每一个场所。
例如，在“丰富的图形世界”一课教学过程中，为了加深学生对球、圆柱、圆锥、长方体、正方体、棱锥、棱柱等基本几何体的认识，教师可以联系农村学生生活当中常见的事物进行教学设计。
比如，葡萄与球、水桶与圆柱体、砖头与长方体、纸箱与正方体、吊锥线与圆锥、走马灯与四棱锥等。又如，“数据在我们周围”一课教学过程中可以设计这样的任务：到本村调查10户人家，了解本村某一年11月水稻的平均产量。通过这样的调查任务，学生加深了对总体、个体、普查、抽查的理解，利用数学知识解决生活中问题的能力也得到了培养，可谓一举两得。
篇13
新课程强调教学要改变学生学习方式，大大加强探究式学习的比重，这就要求教师在教学中处理好学生自主与教师指导之间的关系，在合适的时机，合适的情境，合适的阶段，开展非指导性教学。而不是仅把分析思考后得出的结论直接呈现在教材中，意在促进学生的主动学习和探索。教师要引导学生亲历探究过程，给学生自主活动提供机会和空间，当然，探究学习强调学生的自主性，但并不忽视教师的指导。应该特别强调教师适时的、必要的、谨慎的、有效的指导，以追求真正从探究中有所收获，包括增进对世界的认识和学生探究素质的不断提升，从而使学生的探究实践得到不断提高和完善。下面结合新教材的特点，谈谈本人在数学课堂教学中让学生自主学习的一些体会。
1.创设问题情境，激法兴趣能培养学生自主学习的能力
激法兴趣有于学生自主学习方面下了苦功，如学习导语引人，强调以图代文等，教师要注意利用教材中的素材，促进学生的学习兴趣。亚里士多德曾说过："思维是从惊讶和问题开始的"。学生的创新想法、创造活动往往来自对某个问题的兴趣和好奇心，而兴趣和好奇心又往往来自教师创设的问题情境。因此，教师要有意设疑，使学生因 "疑"生奇，因"疑"生趣，去自主探究、创新。例如我在教学《直线与圆的位置关系》一节时，考虑到这一内容比较抽象，学生难以理解，所以我运用多媒体展示海上日出的情境，让学生感知太阳是一个圆，海平面是一条直线，提出质疑问题：直线和圆的位置关系？此时学生都产生了强烈的求知欲，特别是我让学生观看动画。对学生产生了极大的兴趣和好奇，学生自主探究了直线和圆的三种位置关系。可见，创设恰当问题情境的教学演示，点燃了学生的好奇之火，激起了他们探索知识的欲望，在整个教学过程中都极大程度地培养了学生自主学习的能力。
2.联系新旧知识，创造主动学习的条件
苏联霍姆林斯基说过，"越是利用和运用学过的教材来领会新教材，学生的脑力活动就越积极，新的教材就领会越深，过去学过的知识就变得越巩固。"在教学中，教师要善于引导学生把新旧知识联系起来。用旧知识引出新知识，再把新知识纳入旧知识结构，从而产生新的知识结构。例如：在教学异分母分式加减法时，让学生回顾小学异分数的加减法，然后教师有意识地与准备题中的通分相比较，再让学生进行尝试练习，对比训练，通过比较，最后让学生交流学习过程，总结出异分母分式加减法的法则，这样更突出了学生学习的主动性。
3.优化教学环境，加强交流与合作
现代教学论认为，数学教学过程应是学生主动学习的过程，它不仅是一个认识过程，而且也是一个交流与合作的过程。交流与合作的互利过程，为学生主动学习提供了开放的活动方式，提供了宽松和民主的环境，更有利于发展学生的主体性，促进学生智力、情感和社会技能的发展及创造能力的发展。为此，我们应当强化小组交流与合作学习，改变课堂教学中教师主讲，单一教学组织形式，促进各个层次学生的共同发展。这样就应当重视座位的编排在教学环境优化中的作用，合理设计和编排课堂座位，对整个教学环境的创设有重大的意义。有利于学生交流，更重要的是，这是一种合作学习空间，是一种开放式学习群体。使得课堂气氛宽松，学生容易进入学习状态，教师针对性地提出问题让小组围绕问题进行交流和合作学习。教学成效明显。
4.鼓励学生质疑反问，培养学生思维创造性
在教学活动中，教师与学生关系应充分体现平等与和谐。教师的提问是一项重要教学手段，成为发展学生思维，开发学生智能的钥匙。学生的质疑与反问是一个知识扩展的过程，根据教学实际，恰如其分的提问，能开拓、引导学生思路，指导学生去探索所要达到的途径，点燃学生创新思维的火花，使教学具有针对性。教师教学设计过程中，可以从几个方面着手：在教材关键处设问；在探索规律中设问；在容易混淆地方设问。总之，教学活动中所提出的问题应具有新颖性和挑战性，以激励学生的创造性，培养他们自学能力。
5.重视解题教学，促成自主参与学习