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过关测试，不仅可以检验学生掌握知识点的情况，还可以督促学生自觉学习。《学习金字塔》中说到：单纯的“听说”两周后学习的内容只能留下5%；通过“阅读”方式学习，保留10%；用“声音、图片”方式学习，保留20%；“示范”保留30%；“小组讨论”，保留50%；“做中学或实际演练”，可以达到75%；“教别人或马上应用”，记住90%的内容。过关测试，就是实现“做中学或实际演练”“教别人或马上应用”这两种效果最好的载体。在过关测试的现场，经常看到学习好的学生，或者是刚刚过完关的同学，立刻被班级其他同学邀请要求辅导。这些“小老师”在教授的同时，也进一步提高了自己的数学水平，而经过这些“小老师”辅导后，学生马上应用起来，独立完成过关。在教师营造的氛围下，同学们摩拳擦掌，跃跃欲试。学习气氛非常激烈。此外过关时面对场下虎视眈眈的同学，独自在黑板上解题，当运用所学知识解对题目，顺利过关，会使学生有很大的成就感，有效地促进学生学习自信心的建立。过关测试的上课形式与以往的课堂完全不同，学生学习的方式也由被动学习变为主动学习。
当然，让学生能主动过关，愿意过关，教师还需要做好以下几点：
1.过关的内容在课内是作为重点要求的，解题步骤很明确，知识概况性强。如落实正弦型函数图象求作的过关测试：第一步列表；第二步描点；第三步连线。又如落实椭圆几何性质的过关测试，椭圆性质概况为1、2、3及4点。具体就是1个离心率，2个焦点，3个长度，4个顶点。
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教师往往独霸课堂，以“满堂灌”为主。“我只要讲了，学不会是你自己的事情”成为有些老师的挡箭牌。结果出现越讲问题越多，越讲学生越不会的现象。针对目前这一现象，教师应该采取“问题、合作、探究、分享”为核心来构建高效的互动课堂。在课堂师生交往中，注重学生个体的表达、质疑、讨论与合作分享，养自学能力和创新精神。作者尝试在教改班让学生组织教学活动，学生分组讨论，组织内容，针对一个小问题，上台讲清楚即可。此时学生积极性很高，主动查阅资料，随时和老师沟通，这一活动结束后学生普遍反应准备的过程收获颇丰，主讲也是很锻炼自己。这样的教学过程教师只是学生身边的“教练”，不再是站在讲台上的“圣人”。拉近了学生和教师的距离，构建了高效的互动课堂。
（3）课堂内容剖析透彻，气氛活跃
人们通常将自然问题分为三类：变化问题，结构问题，或然性问题。目前我国理工科院校为学生开设的高等数学、线性代数、概率统计这三门数学课程，正是为了研究上述三类自然问题。事实上，学生开始学习这些课程时是零散的知识碎片，可作为教师要给学生把课程内容剖析透彻，分析清楚，让学生有种醍醐灌顶的感觉。变化问题就是研究事物的变化规律，研究变化问题的是微积分；或然性问题是研究事物发生的可能性，结构问题就是当时间固定时事物之间的关系，结构问题就是代数研究的对象，线性代数是代数中最基本也是最重要的内容。例如：线性代数中一个重要的概念----线性空间，定义非空集合中的元素，若对“加法”和“数乘”满足八条规律,则称该集合为线性空间，其元素称为向量，满足八条规律的运算称为线性运算。这样的化对于一个不太明白的结构，若满足上述八条规律，就可以对其进行线性化处理，并且可以用熟知的线性代数理论来处理。如果可以知道所研究的对象的维数，那就可以将其等同于维向量空间。这足以见线性代数作为结构工具的威力。
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（二）处理好师生关系，培养学生学习信心
要注重培养学生良好的学习能力，改善学生的学习心理，教师首先要做的就是要建立良好的师生关系。俗话说：亲其师而信其道。我们如果要充分了解学生的实际情况从学生的角度入手开展教学设计，选择教学模式更需要我们教师与学生有良好的师生关系。教师只有与学生拉近心理距离，学生才能放开心扉地与教师沟通交流，才能认真接受教师的指导和帮助，在课堂教学中才能放松心态积极主动的发言、思考问题。
二、教学情境创设流于形式
新课程改革要求我们要创设良好的教学情境，让学生在轻松愉快的学习氛围中，积极主动的参与教学，参与教学。我们许多教师也都是本着此目的挖空心思地设计很多生动有趣的教学情境。但问题是，这些教学情境很多是为了学生兴趣而创设的，情境创设已经背离了为教学服务的宗旨，一味地为了提高学生的学习兴趣，参与热情却忽略了教学的本质。学生倒是热闹起来了，课堂秩序却无法保证。因此，我们每一位教师都应该恰当、合理利用教学情境的创设，要保证情境的有效性和合理性，既要保证学生的学习兴趣和参与的积极性，又要保证与教学内容息息相关。并且，教师在预设情境前要充分考虑到情境创设可能会发生的问题，要提前思考情境下的可控性，保证学生学习的有效性和课堂内良好的学习秩序。
三、合作形式滥用，缺少实质性
纵观现在，教师运用的合作学习方式,为不同层次的学生提供了参与学习、体验成功的机会,更重要的是学生在平等、自由、真诚地交流中学会了探索交流,学会了与人共处。但并不是每一节课,每一个内容都适用小组合作学习,有些一目了然的问题,有些一点就透的内容,如运用合作学习,费时、费力,且学生得到的知识不完整、不系统,甚至不准确。合作学习必须建立在学生个体“合作需要”的基础上才有效,即应以个开始,当学生解决问题陷于迷惑,苦求不得之际,再开始小组合作学习才最有效。在听课过程中，我们发现有些教师一提出问题，马上组织学生合作讨论，有的学生还不知道干什么，因此看似“热热闹闹”，但结果却是“蜻蜓点水”；有的课合作次数过多，反而削弱了师生间信息的交流与反馈，使教学目标无法在40分钟内完成；有的合作学习，教师为急于完成预设的活动，在学生意犹未尽时就终止合作，使合作成了“中看不中用”的花架子。
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二、学习方式的转变是新课程改革的显著特征
改变原有的单纯接受式的学习方式，建立和形成发挥学生主体性的多样化的学习方式，是这场改革的核心任务。学习方式的转变并非是用一种方式替代另一种方式，而是强调由单一转向多元，让学生更多地经历知识形成的过程，在乐趣中学、体验中学、活动中学、探索中学、合作中学……我根据学生的个性、能力、心理、性别等因素，把学生编成每4人为一小组。每组保证都有好、中、差三类学生，其调配比例为1：2：1，即1为优，2为中，1为差，使合作学习小组达到组内异质，组间同质。这样的调配，既有利于优等生带动中等生的“拔高”学习，又能帮助差生的“达标”学习，同时对优等生又是一个能力的锻炼，小组中形成互帮，互促的学习氛围。组间水平的大体平衡也有利于各组展开公平竞争。教师要改变传统课堂教学的讲授方式，讲授过程力求简要清晰，时短量大，有着较强的研究性、探究性，能为学生的小组活动留有足够的空间。在学习“平行四边形”时，对说理的表述学生是一个难点，我由易到难设计了几道题让学习小组通过讨论向我推荐本小组表述得最好的到黑板上板演，各小组积极响应，每个同学都全身心的投入，几节课下来，学生的几何表述的能力有了很大的提高。合作学习比较好地解决了如何使学生学会、会学、好学、乐学等世界教育改革的热点问题，使他们更加热爱学校、善爱同学、爱护班级、尊重不同的价值观念、能从不同的角度解决问题，具有与他人协同活动的能力。
三、信息技术与中学数学教学有机整合的实践
“整合”，不是简单地将信息技术作为一种教学手段与传统的数学教学手段叠加，而是通过信息技术的介入，达到数学教学各要素的丰富和谐，使信息技术融入教学过程之中，通过改变教与学的方式，改变信息资源与传播渠道等实现数学教学的突破与发展。
适度运用多媒体，激发学生学习兴趣，引导他们积极思维。爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”没有兴趣，学生主体参与的活动将是勉强的。而多媒体教学可以利用计算机技术集文字、图形、动画、音频、视频、投影等媒体技术，集光、形、色于一体，直观形象，新颖生动，能够直接作用于学生的多种感官，激发学生的学习兴趣，使表现的内容更充实，更具有吸引力。因此在展示问题时，适度运用多媒体，或把重点、难点的内容设置成醒目的颜色，或让“固定的”几何图形运动起来，提供丰富的感知信息，可以刺激学生的视觉和听觉，激起他们的学习兴趣，促进他们积极思考。如教学《圆柱、圆锥、圆台及它们的侧面积》一章时，可用《几何画板》制作分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周的动态过程，让学生观察这一过程以及这样旋转一周而成的面所围成的几何体，从中抽象出圆柱、圆锥、圆台的本质属性，形成概念。
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1.将知识衔接做个承上启下的铺垫
初中数学教学中存在的跳跃性的知识是通过教材呈现的，因而要让学生掌握好数学知识，教师的引导作用不可小觑，对知识灵活运用，不要死板，具体情况具体分析，做好学生们的指路人。此外教师可以将彼此之间有关联的知识放在一起进行教学，这样只要学生掌握一个点，教师便可由点及面，在学生掌握了全部知识的同时也对学生的思维能力进行了培养，对学生学习能力进行了加强，为课堂教学改进做好铺垫。
2.将教材内容体系结构与学生思维进行有机结合
初中生思维能力与结构还不太完善，这就要求老师有义务对知识进行处理。人从呱呱坠地起便会学习，但是如果后天不正确引导，这种与生俱来的学习意识可能会逐渐淡化，甚至被遗忘。初中生思维能力还停留在直观具体层面上，对于抽象事物还没有感官。所以老师在引导学生掌握新知识时，要基于学生之前的思维定式，让学生对于知识的学习有个逐渐加深的过程，也要培养学生善于思考的能力，对知识掌握抱有主动权，如果按照这种办法进行教学那么改进课堂教学也不会是什么难事了。
3.变复杂为简单，开拓思维
在实际教学中，部分教师自身素质与能力不是很高，往往会忽视教学内容复杂笼统的特点与学生对于抽象事物掌握的困难。如果老师直接将知识灌输给学生，而且不考虑学生的接受能力，最终学生可能会一无所成。对于数学课程的复杂笼统要求老师在进行知识传授时，务必讲求方式方法，根据学生思维的独特性，将教学内容化繁为简，学生思维能力自然会得到提高。通过以上三种方式我们相信初中数学课堂教学质量一定会得到改进的。
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1.美学感受
数学是人类文明史中一个非常重要的部分，波澜壮阔，源远流长，奔腾不息。它博大精深，令人临川浩叹：“逝者如斯夫!”它精英荟萃,令人心驰神往：“大江东去，浪淘尽千古风流人物”。数学中的美有多种形式（对称美、线形美等）和魅力，在教学过程中要将数学中的美充分融入到课堂中，以美的享受对学生起到启发作用。使学生既能学到数学知识，又能达到美的享受。如，在教学轴对称一课时,笔者之前准备好材料,然后请同学思考如何以最快捷的方法画出完全对称的京剧脸谱,同学交流后请一位同学上台演示,发现只要先将纸对折后在折痕的一侧先画半边脸谱然后翻折过去即可,左右两边完全重合。在这一过程中学生的学习热情被充分调动,并且对轴对称的性质也有了一个初步的认识，充分感受到数学中对称之美。
2.对比激励
初中学生正处在生理和心理发展的初步阶段，对新事物的接受能力强，积极的激励性评价能够起到事半功倍的效果。但由于理解和认识能力还不成熟，对许多问题的认识只是停留在表面，深广推究的能力较差。因此，初中数学教学要符合学生的身心发展规律和认知特点，适当的采用对比激励，能够激发学生的学习兴趣，使学生更好、更快地进入有效课堂。如，在教授合并同类项这节课时,笔者没有单刀直入,而是先在黑板上写出了一个多项式给出X和Y,要求求出这个多项式的值(当然已经知道这个多项式经过化简后是个很简单的式子2XY)，并请同学推举一位成绩优秀的同学和我进行比赛,经过大量的演算同学得出正确结果,而笔者却轻而易举说出答案,学生很不服气,说老师是不是事先已经算好了呀,在此情形下笔者请了2位同学重新给定X和Y的值,都很快得出结果,在学生诧异崇拜的时候,有效把握情感的度，笔者采用对比激励法：想和老师一样厉害吗?那就随老师进入我们今天的内容吧。
3.巧设情境
创设情景作为外部的诱因，是良好的教学情境，能够诱发、触及、满足学生的精神需要和心理需求。心理学研究表明：当学习内容和学生熟悉的生活情境越贴近、越密切，学生自觉接纳和理解知识的程度越高。在教学中，教师可以结合教材内容和学生的生活经验，创设一些生动的教学情境，这样既能引起学生的共鸣，激发学生的学习兴趣，又能拉近数学与生活的距离，使学生在快乐学习数学知识的过程中。如，在教授概率这节课时,笔者带着自制的转盘走进教室,学生的目光就被吸引了过来(转盘分成12个区域,6块涂成红色为再来一次,再转到再来一次就结束；5块区域涂成蓝色为鼓励奖,奖品为橡皮一块;1块区域涂成黄色为特别奖,奖品为精美笔袋一个)。上课了,笔者扮成小贩的口吻吆喝:一元钱一转喽,精美大奖等着您!在我举着转盘这样讲的同时,学生已经在心里盘算自己有多少的胜算(赢的机会,即概率了),最差就是一半的可能再来一次,但还存在一半的可能可以拿奖品,拿不到大奖至少也可以拿块等值的橡皮,运气好就可以拿个远远超出一元的笔袋呢,虽然这个可能只有1/12.请了12位报名的同学上来参与,6人次中鼓励奖,却没有一位同学中大奖,同学都明白这个就是运气,所谓机会(概率)，让同学们明白生活中概率无处不在,善用概率。
三、复习引入
复习引入在教学中是衔接新旧知识的桥梁和纽带。可以通过课前引入和课后引入的方式指导学生进行复习，可采用作业、小测等引入，要根据学生的实际和教学的不同课题，以学生真正掌握所学知识为前提，以便使学生更好地全面提高。在讲新知识之前，先简要复习学过的相关知识，对于复习引入要把握时间的度和知识的度，以便使复习起到最佳的效果，有利于更好地进入新课。如在教授平行四边形的时候,以三角形一边中点为对称中心作中心对称图形,在复习旧知的同时引入新知,让学生感受到数学的严谨,前后知识联系紧密。对于引入材料的选择要能起到“复习加引出新知”的作用，题目选择要有针对性，比如“单项式”一课的引入，先让学生对一些应用问题列式，然后对所得的代数式进行观察，发现规律，进而引出单项式的概念，水到渠成。
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小学数学教学过程中落实探究性学习，目的是要真正地调动学生学习的主动性和积极性，使学生的学习主动性被激发。同时，在探究的过程中使学生在收获一定的数学知识的同时，也能够提升学生的综合素质及能力目标，因此，探索研究是核心。具体来说那就是教师根据学生的生活实际，巧妙地设计课外思考题，并鼓励学生在课外、在生活中发现并关注数学问题，主动地探究解决问题的一般方法和最佳途径。例如，有一根不均匀的香，香烧完的时间是一个小时，你能用什么方法来确定30分钟的时间。从而让数学知识更加生活化，使课堂得以延伸，探究得以延续。学生的自学能力、认识水平和数学素质的提高与形成，就是在对相关信息提取、加工、分析、处理的过程中发展生成的。学生的探究精神、创新意识和充实的情感体验、健全的人格也是在这个过程中受到熏陶、感染，历炼而成的。给学生足够的机会，宽裕的学习空间和主动权，让他们充分地理解、讨论、感悟，高效率地达到目标，获得丰富的体验和最大限度的发展。
三、创设情境，引导自主探究
学生的数学学习必须是一个主动探索的过程，每一位教师都努力创设一个鼓励学生去探索的情境，让学生主动地参与到实践活动中去，这就需要教师精心创设情境，吸引学生投入。创设问题情境能激活学生的思维。例如，“怎样打电话省钱”“压岁钱怎样花”，这样的问题情境对学生而言，既有现实性、趣味性，又有思考性和开放性，不同程度的学生都愿意积极参与问题的讨论。在设计问题情境时，教师可将问题情境故事化，提高问题情境的趣味性，也可将问题情境活动化，确保每个学生主动有效地参与。根据教学任务，创设具有趣味性、启发性、新颖性、生活性等情境，为学生营造一个民主平等、宽松自主的学习环境，从而激发学生求知欲，引导学生积极学习和运用知识进行探究，自觉地、主动地探索问题、获取新知。如在教学人民币的认识时，我让学生模拟小商场购物的情境。加深了学生对人民币的认识，使学生体会到生活离不开数学，激发学生学数学的欲望，积极地在实际生活中探究数学知识。
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1巧借“概念图”回顾教学内容，帮助学生巩固数学概念
在高中数学教学中，由于受到课堂教学时间、教学计划和教学内容安排等诸多因素的限制，很多学生对教学内容的认识、理解和学习都存在片面性，无法将教学内容有机结合起来形成整体.如果学生在课后没有及时对其进行分析、思考和巩固，就会导致对数学概念和数学知识无法做到综合应用.因此，数学教师需要在课堂教学中，巧借“概念图”帮助学生回顾教学内容，这样既可以帮助学生巩固数学概念和数学知识，又可以帮助学生对教学内容进行消化吸收.例如：在苏教版高中数学必修二第二章第一节“直线与方程”的讲解中，教学内容既包括倾斜角和斜率等数学概念，又包括直线方程的表达形式、距离求解和两直线间位置关系等内容，而每部分教学内容又涉及很多的数学公式.学生在分课程学习的过程中，很难做到一窥全貌.教师可以在整节知识讲解结束后，单独安排一节课的教学时间，引领学生以“概念图”的形式对教学内容进行回顾（如图2），以加深学生对数学知识的理解和掌握.在教师的概念图中，不仅将数学概念和数学公式逐一列出，而且对数学概念和数学公式应用的条件也有详细的说明.同时，数学教师在讲解的过程中，还可以与学生进行积极的互动交流，以引导的方式让学生回顾相关的数学概念和数学知识，从而加深学生对教学内容的印象.
2巧借“概念图”加强知识联系，帮助学生推导数学公式
高中数学教学内容中包含着很多数学公式，这给学生的理解和记忆造成了一定的困难.因此，高中数学教师在课堂教学中，可以巧借“概念图”，将不同数学公式之间千丝万缕的联系清晰直观地呈现出来，这样既可以帮助学生综合应用数学公式，又可以帮助学生学会推导数学公式，降低学生记忆数学公式的难度.例如：在苏教版高中数学必修四第三章“三角恒等变换”的讲解中，教学目标要求学生既要掌握数学公式的理解和运用，又要了解数学公式的推导过程，尝试运用所学数学知识推导两角和与差及二倍角公式.很多学生对两角和与差及二倍角公式的运用较为熟练，但是对于其推导过程却不太熟悉，只能通过死记硬背的方式掌握数学公式.数学教师可以将和角公式、差角公式和二倍角公式以“概念图”的形式进行呈现（如图3），帮助学生更好地理解、掌握和运用这些数学公式.在概念图中，学生可以很清楚地认识到不同数学公式之间的关系，以及相互推导的关键环节，这样既减少了学生记忆数学公式的时间，提高了学生记忆数学公式的效率，又帮助学生加深了对数学公式推导过程的理解，为学生更好地运用数学公式解题创造了有利的条件.襛巧借“概念图”进行解题，提高学生解题水平概念图不但可以帮助学生掌握数学概念之间的联系，而且可以帮助学生求解较难数学题目，让学生找到正确的解题方法和解题思路.因此，高中数学教师在教学中，可以利用“概念图”指导学生分析和思考题目，建立已知条件和求解问题之间的“概念图”.例题：已知函数f（x）=loga（2－ax）在区间［0，1］上为减函数，求a的取值范围.分析：本题为对数函数中的综合题，虽然题目中的已知条件较少，但是在底数和真数中均含有参数a，即使对底数进行分类讨论，也不太容易求解最终的答案.教师可以利用“概念图”进行讲解（如图4）.首先，教师可以让学生将题目中的已知条件列举出来，如原函数是由u=2－ax和f（x）=logau构成的复合函数，定义域为［0，1］，原函数在定义域中为减函数.然后教师以“概念图”的形式，让学生思考题目中复合函数同增异减性质和定义域及单调递减条件之间的联系.最后，学生很容易通过“概念图”，想到利用复合函数单调性进行求解，并得到正确答案.高中数学教师在指导学生解题时，可以巧借“概念图”帮助学生将题目中的已知条件和隐含条件有机结合起来，从而使学生找到正确的解题思路和解题方法，逐步提高学生的解题能力.总之，高中数学教学内容抽象深奥，数学概念和数学公式较多，如果教师单纯以课堂理论知识讲解的形式开展教学活动，就会使课堂教学枯燥无味，学生失去了学习的兴趣，课堂教学效果自然也难以尽如人意.而高中数学教师在课堂教学中巧借“概念图”，利用其形象直观、层次分明和条理清晰等特点，既可以帮助学生构建完整的知识体系，又可以加深学生对教学内容的理解和掌握，从而在提高课堂教学质量和教学效率的基础上，培养学生的数学思想，增强学生处理数学问题的能力.
作者：周建平 单位：江苏苏州市陆慕高级中学
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在教学过程中如何让生活问题走进数学课堂教学，我认为可以从以下几个方面来操作：
一、结合生活实际，创设问题情境，引起学生自主探索的欲望。
数学教育是要学生获得作为一个公民所必须的基本数学知识和技能，为学生终身可持续发展打好基础，必须开放小教室，把生活中的鲜活题材引入学习数学的大课堂。创设问题情境应注意从学生已有的生活经验合知识背景出发，既要让学生感觉到所面临的问题是熟悉的，常见的，同时优势新奇的，富有挑战性的。一方面使学生有可能去进行思考和探索，另一方面又要时期感受到自身已有的局限性，从而处于一种想知而未知、欲罢而不能的心理状态，引起强烈的探索欲望。按国家课程标准编订的新教材（苏教版）使我们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。像比一比、分一分、分与合、统计等都是选择生活中常见的情境，让学生感觉到生活中处处有数学问题与数学知识。因此，教师在教学中要联系生活实际，吸收并引进与现代生活，科技等密切相关的具有时代性、地方性的数学信息资料来处理教材，整理教材，重组知识。例如：在学习加减混合运算时，先让学生说一说乘坐公交车时的情景，学生会说到有人上车，也有人下车，还有可能是一群人蜂拥而上等，这时老师提问“你可以提出什么问题呢？”很自然地会提出“下了多少人，又上了多少人，车上现在有多少人？”这很自然地引入新课，而且会让学生受到思想道德教育，因为一群人蜂拥而上，就不会清楚上了多少人，下了多少人，因此要遵守秩序“先下后上，前门上，后门下”。这样就把枯燥的知识变成了学生感兴趣的、活生生的题目，使学生积极主动地投入学习生活中，让学生发现数学就在自己身边，从而提高学生用数学思想来看待实际问题的能力。
二、注重实践活动，培养学生发现数学问题的能力。
为了在学生学习数学知识的同时，初步接触和逐渐掌握数学思想方法，不断增强数学意识，就必须在数学教学过程中加强实践活动，使学生有更多的机会接触生活和生产实践中的数学问题，认识现实中的问题和数学问题之间的联系与区别。例如：在教学《利息和利率》这一课时，可以利用活动课的时间带学生到银行去参观，并以自己的压岁钱为例，让学生模拟储蓄、取钱，观察银行周围环境，特别要记录的是银行的利率，学生记的时候就开始产生问题了，“利率是什么啊？”“为什么银行的利率会不同啊”……然后就让他们带着问题去预习新课，到上课的时候学生由于是自己发现问题，自己来解决问题，从而找到符合实际需要的储蓄方式。这样学生培养成留心周围事物，有意识地用数学的观点去认识周围事物的习惯，并自觉把所学习的知识与现实中的事物建立联系。又如：美国四年级“小数”这单元的引言是这样的：珍妮·陈在一个体操队，她每周大约要训练15个小时。珍妮最出色的项目是平衡木。平衡木的宽度大约有2厘米。最初珍妮是在地上画的一条“平衡木”上开始练习一套新的动作，然后再到一个很低的平衡木上做这套动作。经过一段训练之后，她就准备好了在标准的平衡木上做那套动作。标准平衡木的高度大约是1.19米。珍妮平时训练得很辛苦，时常累得筋疲力尽，甚至她有时怀疑这样辛苦是不是值得。但所取得的成绩告诉她，努力没有白费。一次珍妮所在的那个队得了冠军。她的平衡木得了9.35分，自由体操得了7.95分。这时珍妮觉得世界上再也没有什么比这更好。这是一个小故事，这样设计独具匠心，不但可使学生获取体操方面的知识，而且循序渐进的训练方式、孜孜以求的顽强意志，对学生的学习又能起到启迪、激励的作用，同时从这可以让学生衍生出多个数学问题，如“平衡木有多宽？”、“画一条与平衡木宽度相等的线段”、“珍妮的平衡木得了9.35分，自由体操得了7.95分，珍妮那项得分高？”、“珍妮两项比赛的总得分是多少？”这样让学生自己发现的问题富有魅力，对于提高学生应用数学知识的能力和增强学生的积极性都十分的重要。
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高效的课堂教学中必然会包含许多丰富有趣的教学活动，教学活动的设计也会直接影响到课堂教学效率．因此，教师在教学活动的设计上应当重点突出，并且要能够培养学生的各方面能力与素养．只有注重实效性的教学活动设计，才能够构建更为高效的课堂教学，进而让学生在课堂上有更多收获．教师可以结合教学内容的特点以及具体的教学目标设计能够引发学生独立思考与自主探究的教学活动，对于相关的思考问题在难度与深度的设置上也要更为合理．教师的教学活动设计是否科学、合理，是否符合学生的认知水平，这会直接影响课堂教学的实效性．教师应当不断思考和学习，要有意识地提高自己的教学设计能力，这样才能够构建高效的课堂教学．例如，在讲“三角函数诱导公式的推导”时，有的教师这样设问:(1)你能用三角函数的定义推导出α与α+180°的三角函数的关系吗?(此问起点太低，无法实现学生对于知识的理解与掌握)．(2)你能用圆的几何性质推导三角函数的诱导公式吗?(此问起点太高，很多学生都会出现理解上的障碍)．类似的不合理的设计还有很多．这样的教学设计，不仅无法有效实现知识教学，还会给学生在知识理解上造成误区．
三、提高学生的探究性
学习能力要想进一步提高课堂教学的实效性，增强对于学生各方面能力与素养的培养也很重要．教师要注重学生对于教学过程的参与，要设计更多开放化的教学活动来活跃学生的思维，鼓励学生独立学习与自主探究．在这个过程中，不仅能够让学生对于相关教学知识点形成更为深刻的体验，也能够深化对于学生各方面能力的培养，并且让学生对于相关教学内容有更加牢固的掌握．教师可以结合相关教学内容来创设学生动手探究的教学设计．例如，在探究“椭圆的定义”时，我组织学生展开如下探究活动．用具:两个图钉、一根长约20cm没有弹性的细绳、一支笔、一块纸板．活动步骤如下:(1)分组(四人一组)．(2)将纸板固定在桌面上，把细绳拴在图钉上，再把图钉固定在纸板上．(3)用笔尖把绳子拉紧使笔尖在纸板上慢慢移动，从而画出椭圆的图形，然后提出以下问题:椭圆上的点满足什么样的条件?如果绳长刚好与两个钉子间的距离一样，会出现什么情况?如果绳长比两个钉子间的距离小呢?绳长不变，改变两个图钉间的距离，椭圆的形状有何变化?整个教学过程十分有趣，随着对于这几个问题的探究，学生对于椭圆的定义也慢慢形成了认知．这样的知识获取，才是高效课堂教学应当采取的教学方式．
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（一）创建轻松愉快的学习环境
教师在教学中的主导作用就是为每一个学生创设形形的舞台，营造一种师生之间和谐、平等、民主交往的良好数学课堂氛围，促使学生愉快地学习数学，激发学生对数学问题肯想、敢想的情感。对学生中具有独特创新想法要特别呵护、启发、引导，不轻易否定，切实保护学生“想”的积极性和自信心。例如，在教学“数轴”一课时，我利用直观性教学原理，由三名学生到讲台来表演，（三人站在同一直线上），其中一人表示原点，另外两人左右移动，表示有理数的加减。这样的教学方式可以化抽象的数学概念为具体形象的表达，学生容易接受，而且给学生提供了参与教学活动的机会，激发了学习兴趣。
（二）适时启发点拨
在数学教学的过程中，教学的成效不但取决于教师对教材居高临下的认识水平，深入浅出的讲解水平，更取决于教师把教材、教案这些静态知识转化为动态信息传递给学生的启导水平。教师要根据学生的年龄特点和认知发展水平，改变教学内容的呈现方式和学生的学习方式，把适合教师讲解的内容尽可能变成适合学生探讨研究问题的素材。要尽可能给学生多一点思考的时间，多一点活动的余地，多一点表现自己的机会，使学生成为数学学习的主人，这样才能促使学生逐步从“学会”到“会学”，最后达到“好学”的境界。
三、创新教学中的小结
教学小结是教师和学生双方在完成一个学习内容或活动时，对知识及其他方面进行归纳总结，使学生对所学的知识纳入知识系统，形成数学文化的行为方式。开放性的小结，可以留下问题供学生去思考，鼓励学生继续探索，培养学生发散思维能力和数学的探究能力，形成良好的学习品质，实现知识的同化。
（一）学生谈学习体会
1.从学习知识的角度，概括本节课的知识结构，强调概念，总结定理、公式及解题的关键。如我在讲解《直线、射线、线段》一课时，鼓励学生自己进行小结，结果学生积极踊跃地总结，准确概括出了本节课的三个概念、一个公理。2.从学习的数学思想方法角度，学生总结分析自己的思维过程和解决问题所体现的数学方法、数学思想。如在《数轴》一课中的数形结合思想，让学生形象地理解了数轴的定义，以及数轴上的点与实数的关系是一一对应的。3.从学习的方法角度，学生总结学习过程中需要注意的问题、分析问题中的常见形式、几何图形中的常见辅助线等等。如在《三角形》的学习时，学生能总结出已知角平分线，应做出角平分线上的点到角两边的距离，以及“遇中线，加倍延”等等。4.从学习的感受和文化内涵角度，学习的感受就是处理问题的方法，解决问题的策略及在实际生活中的应用，体现的数学建模。如在学习《一次函数》时，学生能够熟练地利用待定系数法列出方程组，从而求出函数解析式。
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兴趣是最好的老师。数学对于小学生来说，是相对较为枯燥乏味的。如果老师在课堂提问的设置和提问的方式等方面还是照本宣科按部就班的话，在一定程度上就容易使学生对于数学学习更是兴趣缺缺，甚至会产生厌学的兴趣。因此，老师在提高课堂提问有效性的过程中，在问题的设置和提问方式上可以根据学生猎奇的心理特点进行选择，尽可能地使问题有趣和提问方式多样化，激发学生的学习兴趣，能主动积极参与到课堂中来。比如，老师在讲“圆”时，可以先举一个生活中的例子，然后让学生结合现实生活，举出类似的事物，然后老师可以举出一些生动的例子，并且假设出各种各样的情况，让学生自主选择哪一种最可行的方案。这样，通过将知识点与生活相结合，可以让学生发现数学的实用性，激发学生的学习兴趣。老师在提问方式的额选择上，除了可以师问生答之外，还可以学生之间互相提问，或者一个学生提问，其他学生回答等等方式，让学生参与到课堂中来，提高课堂提问的有效性。
2.问题具有一定梯度，启发学生进行必要的思考
课堂提问不仅仅是教学环节连接的手段，也是促进学生思维发展的过程。因此，老师在小学数学教学过程中，课堂提问的问题一定要具有梯度性，由浅入深，具有一定的启发性，引发学生思考，让学生在掌握知识点的同时，也能促进思维的发展，不能为提问而提问。比如，老师在讲分数时，在巩固练习中，老师可以根据“甲数和乙数的比为5:6”这一问题，从不同角度提出很多类似“乙数和甲数的比为多少”“、乙数比甲数多几分之几”等问题，由浅入深，引发学生思考。这样，不仅能让学生对所学的课本知识进行复习巩固，而且对于一些课本中没有的提问方式有更好的了解，能够在一定程度上让学生发挥自主思考，提高学生解决问题的能力。
3.采取措施鼓励学生积极提出问题，并引导解决问题
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（1）一桶油漆，第一次用去1／5千克，第二次用去这桶油漆的4／5，刚好用完，这桶油漆有多少千克？
（2）一桶油漆，第一次用去4／5千克，第二次用去这桶油漆的1／5刚好用完。两次一共用去多少千克？
（3）一桶油漆，第一次用去1／5，第二次用去4／5千克，刚好用完，这桶油漆重多少千克？
这种变换叙述形式的练习，尽管问题叙述不同，但学生通过仔细审题，很快便能理解这几道题的实质都是求这桶漆油的重量，从而培养了积极思维的意向品质。
二、增加含熵信息，提高思维密度
如果信息本身一部分已被认知，还有一部分不确定性（熵）不能消除，这类信息就称为“含熵信息”。学生学习就是接收信息——消除不确定性的过程。如果教师在课堂上处处“讲深讲透”，学生得不到“生疑——解疑——省悟”的一波三折，那么充斥这节课的便是“饱和信息”，便无法激起学生学习的热情，使其产生内驱力，学生的思维就得不到发展。思维的是一个信息传递、接收和贮存、加工的过程。因此，要激发思维活动，必须对教学过程进行有效控制，有计划，有目的地传递含熵信息，从而提高思维密度。
1．以内部言语培养学生的独立思考能力。数学课堂教学，要让学生能充分发挥学习的主动性，这就要求教师对学生提出思维要求，而且要留有一定的空间，让学生独立思考。在教学中，让学生先想一想再去做。使学生言语与行动逐步起着自觉调控作用，促进思维的“内化”，从而发展学生的独立思考能力。例如：“五（1）班现有学生49人，男女生人数的比是4∶3，五（1）班男生、女生各有多少人？”对这样的应用题，可先让学生独立思考，再试着做，而不是由教师直接教给解法。学生通过认真的思考，可以找出多种解法。
解法一：4＋3＝749×4／7＝28（人）……男生
49×3／7＝21（人）……女生
解法二：4＋3＝749÷7＝7（人）
7×4＝28（人）……男生
7×3＝21（人）……女生
（附图{图}）
（附图{图}）
解法四：先求出女生是男生的几分之几，再求男、女生各多少人。
3÷4＝3／449÷（1＋3／4）＝49×4／7＝28（人）……男生
28×3／4＝21（人）……女生
再让学生把思考的过程和方法说出来：解法一是用按比例分配的方法；解法二是用归一法；解法三是用倍比法；解法四是用分数解。这样的教学，学生有充分思考的机会，在“想一想”的过程中，内部言语得到了发展，从而培养了学生独立思考的能力。
2．以内部言语促进学生逻辑思维能力的提高。现代教育观认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。语言是思维的外壳……思维通常是以语言为载体表现出来。俄罗斯心理学家加里培林关于智力形成的学说提到，智力活动始源于物质活动，以语言为中介，内化为“人脑”的内部言语。根据学生的认知规律，学生在操作学具时，要把动手操作，动脑思考，动口表达结合起来，也就是从“外化”到“内化”，在操作中使“操作”与“思维”紧密结合，从而发展学生的内部言语，提高逻辑思维能力。
例如在进行三角形面积计算公式推导的教学中，可以安排三个层次的操作，即三个层次的思维训练。第一层，操作后问：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形分别和拼成的平行四边形的面积有什么关系？为教学公式中“除以2”奠定基础；第二层，让学生抽象出“任何三角形的面积都是平行四边形面积的一半”；第三层，进一步引导学生观察、比较认识三角形的底和高分别与平行四边形的底和高的关系。在此基础上，要求学生自己推导出三角形的面积计算公式，并讲出是如何推导的，公式中“底×高”是什么意思，为什么要除以2。这样引导学生紧扣操作活动中的“想一想”进行独立思考，不仅发展了内部语言，而且使学生的抽象概括能力和演绎推理能力得到了较好的训练和培养。
三、训练主体思维，优化思维品质
数学既能锻炼人的形象思维能力，又能锻炼人的逻辑思维能力。主体思维善于在事物的不同层次上向纵、横两个方面发展，向问题的深度和广度发展，达到对事物全面的认识。为此，教师应重视在数学教学过程中，揭示数学问题的实质，帮助学生提高思维的凝练能力。在解决问题的过程中，先对问题作整体分析，构建数学思维模型，再由表及里，揭示问题的实质。当问题趋于解决后，由此及彼，系统地研究相关的问题，做到解决一题就可解一类题，即触类旁通。以对应用题的训练为例，教师要善于从横向、纵向、逆向、系统等多层次、多方向上进行演变、扩展、加深，才能提高数学课堂教学的密度和容量。也只有这样，才能达到既不增加学生负担，又能提高教学质量之目的。
1．纵向延伸。要引导学生深入思考，沟通前后联系，弄清知识由浅入深，逐步深化的递进层次结
（附图{图}）
1／4，第一次修了多少千米？解答后再纵向延伸：如果改变题目的条件，怎样解答，如果改变题目中的问题，又怎样解答。
2．横向展开。学生解题后，还可以横向展开，引导学生从多种角度、多种途径进行解题（此种方法多适应于练习课与复习课）。例如：“修一条1800米的路，3天修了120米，照这样计算，修完这条路共用多少天？”可以这样引导学生：①以1天修的路程数表示效率；②以修1米所用的时间表示效率；③以修120米所用的时间，或以3天修的路程表示效率等方法进行解答。
