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第三步，就是要给刚才列出的方程，进行变形处理，变成学生熟悉的，易于解答的算式，如上题可以通过乘法分配律将等式写成120x=270，利用乘法算式各部分间的关系，积÷一个因数=另一个因数，得x=2.25。有的方程并不是通过一步就能解决，这时就显示了简化的重要性，需对方程进行一定的变形、转化。
三、展示和验证数学模型
当问题解决后，就要对建立的模型进行检验，看看得到的模型是否符合题意，是否符合实际生活。如上题检验需将x=2.25带入原式。左边=65×2.25+55×2.25=270，右边=270。左边=右边，所以等式成立。在这个过程中，可以体现出学生的数学思维过程与其建模的逻辑过程。教师对于学生的这方面应进行重点肯定，并鼓励学生对同学间的数学模式进行点评。一般而言，在点评时要求学生把相互间的模式优点与不足都要尽量说出来，这是一种提高学生对数学语言运用能力与表达能力的训练，也能让学生在相互探讨的过程中，得以开启思路，博采众长。
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引导学生建立数学模型的过程，实际上就是引导学生用数学的思维去观察、分析和表示事物之间的关系。因此，教师在教学中要努力创设能够促进学生思维抽象化的教学程序，层层递进，引导学生在学习的过程中，深深感悟到数学思维的抽象美，感悟到数学建模的文化价值所在，汲取到求真求知的力量。再以《解决问题的策略——倒推》一课的教学为例，教学例题1时，我引导学生在理解题意的基础上，将文字转化为框式图，然后再进一步引导学生将文字表达的框式图，舍弃次要因素，抽象出既简洁又准确的纯数学符号表达的框式图，初步建构起数学符号归纳的模式。这种纯数学符号的框式图，更利于学生厘清倒推的过程、方法，形成技能。学生在教学中亲身经历了框式图逐步抽象的过程，初步建立起倒推策略的模型。而教学例题2时，我引导学生主动探究两步倒推问题，让学生用自己喜欢的框式图整理信息，在汇报比较中进一步沟通文字和数学符号的联系，优化方法。此时，教学的重点转向倒推策略本身，我引导学生细细体会倒推的起点、顺序、方法，并在方法多样化的比较中，进一步体会倒推策略的基本特点，从而促使学生掌握基本方法。
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（2）培养同学抽象的分析能力。
在数学建模的实践中，能否取得最后的成功，关键是要有将实际问题抽象成数学模型的能力。而这一能力的获得也是需要通过大量的实践，使同学们在数学模型的实践中提高抽象的分析能力。在DVD在线租赁方案设计（2005B题）中，要确定商家至少要购买多少光盘，还要使得顾客满意度最大，而这两个问题是互相矛盾的。这就要求参赛者必须先确定一个量，在此基础上求出最少购买量或最大满意度。另外，如果每一位顾客都只能从自己事先预定订的光盘中租借，又要按题目要求“每次皆三盘”，则问题本身可能无解。事实上，在建立了整数规划模型以后，即使去掉上述第一个约束条件，由于目标函数是“使得顾客满意度最大”，在模型的计算过程中也会尽可能考虑到这一约束，因为很显然，从没有预订的光盘中租借是不可能使满意度最大的。
（3）培养建立模型的想象力。
深入事物本质,寻找其内在联系不仅需要逻辑思维,更需要形象思维,而形象思维通过形象概括来能动地反应事物的本质。美国心理学家Vinacke特别提出了想象力对思维,特别对问题解决的作用，因而想象力构成对问题研究的实在要素，是成功的关键。在数学建模中培养学生的想象力是参加整个数学建模活动的重要环节。也是同学们在建立数学模型中发挥主观能动性，体验探索的乐趣，从中体会创新带来的收获。
二、注重培养学生综合运用知识的能力
注重培养学生综合运用所学的知识在数学建模竞赛实践也是十分重要的，包括以下三个主要环节。
（1）综合运用物理学,力学,工程和经济社会学中的相关知识,原理和方法对现实世界的特定对象所提出的实际问题,研究分析其内在机理,寻找反映事物本质的内在规律,并综合运用数学工具加以描述和刻画,即建立与原型问题对应的数学模型。
（2）综合运用计算机技术和数学方法对已建立的数学模型应用数学软件编程进行数值计算,实现模型求解,并以此来对模型进行检验。
（3）运用已检验的数学模型回答所提出的实际问题对所研究的特定对象进行结构分析，预测等等。
三、注重培养学生的科研能力
学生参与数学模型的活动，运用数学工具分析和解决实际问题是提高数学教学的有效手段。对一个数学模型中所提出的原型问题,怎样引导学生一步一步地接近问题的本质,寻找恰当的方法,从最原始工作开始，分析问题,查阅资料,提出各种方案,发现数学模型的不足和问题,从模型到数据，再从数据到模型，在不断地反复过程中，使学生体验到探索问题，运用知识进行研究的整个过程，这对学生未来的发展都是极有益的，以数学模型的教学为平台，对学生进行科研的基本训练，也是数学模型能力培养的重要方面。
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小学数学；建模；教学
一、数学建模思想及其意义
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象，简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段，其对于学生学习数学具有非常积极的意义。首先，通过培养学生数学建模的能力可以开拓学生的思维能力，使学生在思考问题时思维更为发散，反应更加敏捷。其次，由于数学建模对于教师和学生来说都是相对新颖的教学方式，可以很大程度上调动起学生的积极性，加强学习效果。同时因为数学建模最主要的意义在于解决实际问题，因此教师在教学过程中运用数学建模思想，可以培养学生的应用意识，提高其利用所学知识解决实际问题的能力。
二、数学建模在教学中存在问题及原因分析
1、存在问题
教学目标不够明确。由于数学建模对于大部分教师来说也是一个新领域，因此许多教师在教学设计中对于什么是数学建模，如何让学生了解建模思想，如何让学生能够使用建模思想解决实际问题存在模糊的地方，对于学生应该掌握到什么程度，即数学建模教学的课堂效果也没有明确的目标，例如教师在讲解“线段图”时并没有将其作为数学模型来考虑，而仅仅是讲解知识点让学生掌握画线段图的能力，而没有对其进行数学模型思想的渗透。这就难免会导致教学难以获得良好的收效。教学环节单一陈旧。课程导入，知识点讲解，练习巩固，课堂总结，这种传统而单一的课堂形式已很难引起学生兴趣，即使教授的内容是数学建模这一相对新颖的概念，枯燥的环节也很难带来实际的收效。再者，部分教师在教学过程中只是使用课本上的例题进行讲解，而没有运用生活中的具体事例进行举例和引导，这既与数学建模的思想相悖，又不能提高学生的积极性。
2、原因分析
造成数学建模在实际教学中难以有效开展的最主要原因，我认为是教师自身的建模思想相对薄弱。一些教师教学中大多依赖于以往的教学经验，对新概念没有认真学习掌握，也没有观摩其他人的教学，导致自身的教学没有得到更新，没有相关的教学经验，在目标设计、方法选择、事例选取等方面也就难以满足教学要求，从而导致建模教学效果差。
三、数学建模教学方法探讨
1、创设生活化情境
要想充分利用数学建模的思想和方法，首先还是要考虑到小学生的数学基础以及其对于事物的认知能力。数学与生活息息相关，因此，创设出一个生活化的情境对于小学生掌握数学建模的思想和方法是一个很好的选择。选取与日常生活紧密联系的问题与事例，例如：植树问题，站队问题，分配问题等等。通过这样学生们熟知的问题进行数学建模的讲解，不仅能吸引学生的兴趣，提高其积极性，而且因为易于理解，可以很大程度上加强学生的理解，使得教学收到良好的效果。
2、注重实践，让学生亲身参与到模型建立的过程
实践是最为直接的教学方式，也是最易于学生理解记忆的教学方式。在数学建模的教学中也是如此，让学生亲身参与到模型的构建当中，引导其积极地进行思考，结合老师总结出的数学模型可以更为直观具体的传授给学生。例如植树问题，要在全长100米的小路上栽种树木，每隔10米栽一棵（两端要栽），问一共需要栽多少棵树。学生很容易得出100÷10=10（棵）的错误结论。而若想纠正学生这一错误结论，单纯的讲解远不如利用数学模型直观且简明易懂。让学生通过“线段图”帮助其进行思考，总结出一般规律后在较短的距离上进行验证，从而最终建立起建立一条线段两端栽树的问题的数学模型：棵数＝间隔数＋1。这样让学生自己参与到数学模型建立的过程中的方法，不仅有利于其更好的了解问题，解决问题，更有利于培养其利用数学模型进行思考的能力，为更深层的数学学习奠定良好的基础。
3、引导学生利用数学模型解决实际问题
任何学科最终的意义都是作用于生活实际，数学建模的教学也是如此。运用数学模型高效地解决实际问题，不仅有利于学生更好的理解数学模型，还可以使其学以致用，培养其利用所学知识解决实际问题的能力。因此，小学数学模型教学实践中，教师不仅应教授学生构建数学模型的方法，更应该鼓励学生学以致用，培养其将理论落实到实践的能力。建立数学模型实际上就是将问题中的数量关系用恰当的数学语言表达出来，通过合理的分析，列出正确的数学表达式，从而得出正确结论。例如：：有一块平行四边形的麦田。底是250m，高是84m，共收小麦14.7吨。这块麦田有多少公顷？选取日常生活中的问题激起学生兴趣，使其不断调动起已有知识，理解题意，找出相关数据，然后利用数学模型平行四边形的面积S=ah，其中a=250m，h=84m，从而得出S=250*84=21000（平方米）的结论。类似这样通过将理论与实际相结合的训练，让学生体会到学习的乐趣，提高其学习积极性，感受数学模型的实际作用，增强利用数学模型解决实际问题的意识。
四、结语
综上所述，在小学数学的教学过程中加入数学模型的方法和思想的教育是必要的。随着教学改革的不断深入，教育已不仅仅满足于书本知识的书面考查，更多的是注重学生的思维及实际运用的能力。而数学建模能够打破传统数学教学模式，并注重思维培养与实际运用。因此，在小学数学的教学过程中应有意识的注重数学模型的教学，采取灵活多样的教学方法，创设生活化的情境，鼓励学生亲身参与到数学模型的构建活动中，使其在学习过程中更好地理解和利用数学知识，真正做到学以致用。
参考文献：
[1]李祥立.数学教育：澳门教育文选[M]中国社会科学出版社.2012
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一、明确教学目标
我国现阶段的小学教育由1-3 年和4-6 年级两个阶段组成。在低年级阶段，建模教学要实现两个主要目标：（1）在教学过程中渗透建模的思想，培养学生建模的意识。教师可以通过引进比较贴近生活的实例，引导他们在利用数学模型来解决一些实际问题，并从中体会数学模型的作用，不断增强他们在学习数学中的建模意识。（2）引导学生在学习数学的过程中初步体验建模的过程，并逐步形成学习数学中的模型思想。数学建模有分析现实问题、提取数学信息、建立模型、验证模型、应用模型等几个过程。教师在教学过程中可以有意识的引导学生建一些简单的模型，让他们体验数学建模的完整过程，并学习应用所建模型来解决问题，让他们在亲自体验中初步形成数学的模型思想。
二、选准教学内容
教学内容，是为实现教学目标，由教育行政部门或培训机构有计划安排的，要求学生系统学习的知识、技能和行为经验的总和。它具体体现在制订的教学计划、课程标准以及编写的教科书、教学软件里。当前教师们的课堂教学都是围绕着指定教材来展开，其中，有些内容是不适合进行建模教学，也有不少内容是适合开展建模教学。教师可以针对学生的实际情况与接受能力选取合适的内容开展建模教学。在选择内容时，应注意以下几点：（1）内容的基础性，比如在小学三年级数学教学中，我们可以选取“长方形与正方形的周长”为建模教学的内容。这部分内容属于图形与几何部分，而它是小学生所接触数学模型的最大来源之一。“长方形与正方形的周长”涉及到两个基本的数学模型：长方形的周长和正方形的周长。，它是学生今后学习三角形、平行四边形、梯形等的基础，熟练掌握好这两个模型也可以为学生较好地理解面积、体积与容积等模型做准备。（2）内容的适应性，由于小学三年级的学生属于低年级阶段，他们正处于由具体运算向形式运算过渡的阶段，有一定的逻辑思维能力和抽象推理能力，并基本具有理解模型所需的心理素质和学习建模的基础。“长方形与正方形的周长”这部分内容的重点是长方形与正方形周长的计算公式这两个模型，很具有适应性。（3）内容的趣味性，即教学内容要能激起学生的学习兴趣，让他们主动参与到教学活动中。“长方形与正方形的周长”这一内容比代数部分直观，也贴近他们的生活，在教学中如果还辅之以实物，是能教好的激起他们学习兴趣的。
三、定好教学方法
教学方法即为了完成一定的教学任务，达到一定的教学目标，教师与学生在双方共同活动中所采用的方式。它包括教师的教法和学生的学法，是教法与学法的统一。常规的教学方法一般都为讲授法，观察法与练习法。在小学1-2 年级的教学中，由于学生的认知能力较差，教师采用讲授法，以讲为主，学生辅之以练习，引导学生形成各种概念，还是能收到较好教学效果的。但到了3年级，学生的认知能力开始提高，已具备了理解数学模型的生理与心理条件。而模型是属于比较抽象的东西，学生只有在亲身体验后才能真正的理解、准确的记忆、熟练的运用。因此这种常规的方法就不能取得较好的效果。再加上他们上课时注意力的不集中，单纯的讲授并结合练习与观察很容易使学生感到枯燥乏味，失去学习兴趣而学不好。如果在教学过程中进行一些方法的改进，比如采用小组讨论法为主，练习法与讲授法为辅的辅导式教学法。在学生进行小组合作讨论与探究的过程中，教师及时掌握每一组的情况并加以点拨指导。这样既能活跃课堂气氛，提高他们的参与意思，也能取得很好的教学效果。
四、合理设计教学环节
一般教师所设计的教学环节包括导入、新课讲授、练习巩固与课堂小结四部分，讲授时也就按照分析题意、画图、列式、解答等的一般步骤。这些只是普通的教学环节，没有针对建模的特点进行设计。根据所选内容和指定的教学目标，如果在新课讲授这一环节中加入创设情境，自主探索，建立模型，讲解模型与运用模型等一些新的环节，并在讲授不同的知识点时对所设计的环节加入不同的元素。比如，在讲授长方形的周长时，在创设情境环节时加入一些卡通元素，这样能引起学生的学习兴趣，在讲授正方形周长时，在创设的情境中加入一些现实生活的元素，为学生运用数学模型解决实际问题做些铺垫。在自主探索环节中，采用小组合作尝试让学生自己探究长方形周长的计算公式，引导学生自己得出计算公式；因为学生已经积累了一些建立模型的经验，可以让学生自己运用模型环节，并加入模型的变形环节，思考正方形周长的公式，并得出结论，之后再进行交流，这样能加深学生对建模过程的理解。因为正方形的周长计算公式这一数学模型比较简单，学生通过练习模型的变式能更深入的理解模型并准确的记忆模型。
五、科学进行教学评价，构建系统的评价体系
教学评价是一种根据教学目标对教学过程及结果进行评判并为教学决策服务的活动。本论文所涉及的主要是对学生学习效果的评价和教师教学过程的评价。常规的教学评价主要集中在课堂作业以及课后作业中，这种评价方法是一种形成性评价，评价手段比较单一，不能较好的了解学生在教之前的水平以及教后所达到的水平，也就很难了解教学目标的实现情况。而且，教师在进行评价时也很难考虑教学效果这一因素，所以在评价中，要加入诊断性评价与终结性评价，只有这样才能准确的掌握教学中存在各种问题并改正。
参考文献：
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二、夯实基础，为建模做充分准备
一是掌握数学语言，既能看（听）得懂，能识别、理解；弄清数学问题的语言表达，并能转化为具体的数学思想，能用自己的语言复述、表达；又能写（讲）得出，能将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程用恰当的语言标准流畅地表达出来. 二是教师引导学生掌握好非数学语言与数学语言之间的互译、转化工作，使学生理解数学语言表达的意义，把非数学的问题转化为数学问题. 三是强化阅读能力的培养. 通过数学阅读，能促进学生语言水平的发展以及认知水平的发展，有助于学生更好地掌握数学. 从语言学习的角度讲，数学教学也必须重视数学阅读. 作为数学教师，要注重教给学生科学有效的阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性，使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处. 如让学生学会说题，即让学生阅读题目后，进行分析思考，说出题目提供的信息条件、现象过程、解题思路及应采用的规律方法等. 又如让学生“写数学”，写学数学的心得体会、知识小结、解题反思、调查报告和小论文等，这样做不仅可以提高学生的数学写作、阅读能力和理解能力，而且可以进一步提高学生的数学建模能力.
三、根据学情开展数学建模活动
按《数学课标》倡导“问题情景建立模型解释、应用与拓展”的模式组织教学活动，培养学生解决实际问题的能力，即把实际问题转化为纯数学问题的能力. 而提高这一能力，需要教师平时对学生进行长时间的启发、引导、点拨，和不断地探究、反思、思维碰撞、纠错磨炼. 所谓：谋定而动，马到功成. 建模前的准备工作：选材要联系学生和教材的实际，资源是学生的家长及他们的实践，相关刊物和网站，内容要好入手，趣味强，思维开放，可使用计算工具，并能多途求解. 再设计下面的活动方案：
（1）利用放学的机会，认真观察商场“打折消费”、“诱导消费”的各种广告信息，测算花200元可以最多实际买到价值多少钱的商品. 计算实际打折率. 如果你是商家，能为商场设计收益较多的购物方式吗？
（2）到超市观察各种不同包装设计的同种商品，如同一个牌号的各种茶叶，收集它们的价格信息，找一个表示它们的重量和价格的公式. （如每克的价格是多少？）
（3）观察不同商品的外包装（用塑料纸装或塑料装、厚度、重量、大小等），提出一个与“节约”有关的问题，将问题数学化，并用学过的知识试着解决它，能将自己得到的结果发表，甚至向厂家推广.
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“数学建模”在课程标准中解释得比较详细：“从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；求出模型的结果并讨论结果的意义，是求解模型的过程。”读了这段话老师们肯定会说：我们在教学学生解决实际问题的过程不就是这样吗？只不过数学问题是现成的，我们已经提供给学生了，关键是引导学生分析题中的数量关系，理清解决问题的思路与步骤，准确列出分步算式、综合算式或方程，再算出结果，检验后写上答语。是的，这是数学建模与解模过程的一部分，但这里的数学模型已经预设了，一般不需要学生“从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题”，我们没有了数学建模的出发点，所以这样的教学便称不上是数学建模的教学。
数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象，如自由落体现象，也包涵抽象的现象，如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态、内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容。具体地说：建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。因此，“数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并‘解决’实际问题的一种强有力的数学手段。”②由此可见数学建模一般有这样几个过程：1、模型准备；2、模型假设；3、模型建立；4、模型求解；5、模型分析；6、模型检验；7、模型应用。③
那么，教师如何帮助学生体会建模过程，树立模型思想呢？
一、教师主导，学生主体。小学生的生活经验比较少，数学知识、技能水平都比较低。所以，在小学阶段引导学生体会建模过程、树立模型思想势必要在教师的指导帮助下进行。教师要根据学生的年龄特征与认知水平，选择学生感兴趣的、通过合作与努力能够成功建模的生活问题，让学生来体会、研究。
二、夯实“四基”，提升素养。小学阶段是学生打基础的阶段，所以新课程标准提出“通过义务教育阶段的数学学习，使学生获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”在组织引导学生开展有效的数学学习活动与训练过程中，使学生掌握扎实的基本知识和技能，渗透基本的数学思想方法，积累基本的活动经验。夯实了这些基础，学生对进一步学习数学才有信心与兴趣，其数学素养的发展与提升才成为可能。
三、课中渗透，感悟模型。在平时的数学课堂教学过程中，教师要有意识地让学生在许多直观或贴近生活的实例中进行有效地综合比较，抽象出它们所具有的共性，再用数学的语言或符号等进行概括，从而让学生体会到学习新知的过程就是数学建模的过程。例如教学分数与除法之间的关系时，通过大量的实例使学生从中抽象出它们的共性是：被除数÷除数=被除数/除数，最终用数学符号概括出：a÷b=a/b(b≠0)的结论。
四、重点训练，体会建模。数学建模的过程是一个综合运用的过程，所以我们重点训练的基础内容很多。如计算，包括估算与口算；分析数量间的关系等等。如果学生相关的能力没有训练到位，将影响学生体会数学建模的过程。纵观小学阶段的数学内容，比较容易组织帮助学生建立的数学模型是简易方程。因此，在学习了这部分内容以后，我们便可以帮助学生体会数学建模，树立模型思想了。可以创设学生熟悉的生活情境，如家中的收支结余问题、找规律填数问题等等。教师要引导帮助学生经历完整的数学建模的过程，要用学生喜欢的方式表达解模过程，可以是列式解答，也可以是小论文。在学生完成学习任务以后，一定要进行激励性评价，让学生感受到建模的成功及数学模型思想的生活价值，从而提高学习数学的信心与兴趣
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素养是指在长期训练和实践中获得的技巧或能力，也指平日的品行、气质等修养。PISA认为，数学素养是指个人能认识和理解数学在现实世界中的作用，并能在当前与未来的个人生活中做出有根据的数学判断和拥有从事数学活动的能力。笔者以为，数学素养是指通过数学知识的积累、方法的掌握、运用和内化，让儿童在用数学视角发现问题、用数学理解提出问题、用数学思维分析问题、用数学方法解决问题的过程中逐渐形成的能力、习惯和品质、精神等。
数学学科核心素养是指在众多数学素养中处于中心位置的、最基本、最重要、最关键、起决定性作用的素养。日本学者米山国藏曾说过：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益。”
（二）小学数学学科核心素养的基本特质
1.内隐性——数学核心素养是无形之物。
素养是人的内在之物，数学素养是个体在数学学习过程中体验、反思、提炼、感悟的结果，并将这种结果内化为自我的数学头脑和数学品质。它作用于分析和解决具体的数学问题以及其他一些现实问题，使儿童形成自我的思维方式、数学模型与数学能力，并不断转化为一种内在的、稳定的、整体性的核心要素，从而促进儿童的生命成长。
2.统摄性——数学核心素养是有形之魂。
数学学科核心素养具有统摄性，对数学知识与能力、数学思想与方法、数学思维与经验具有强大的凝聚力。如果说数学的关键能力是数学的结晶，那么素养往往起到结晶核的作用。当然，数学学科核心素养也是一般的、必需的、个体的，是在数学学习、生活、生产和创造中必不可少的，能起到积极的作用。
二、小学数学学科核心素养的具体表征
小学数学教育旨在让儿童通过六年的学习，拥有数学的思维方式、问题解决能力、创造力和良好的人格修养等。
（一）儿童的数学情感
数学情感不仅是指儿童学习数学的动机、需求和兴趣，还指儿童学习过程中内心丰富的情感体验。数学情感包括道德感、理智感和美感。数学情感来自儿童对数学内在美的追求，来自数学本身理性精神的映射，来自儿童在探索中对观察、猜测、推理、验证的理智体验。数学情感在于儿童的内心世界与数学世界相互交融并产生联想与想象以及共鸣的道德体验。
（二）儿童的数学思维方式
1.结构化思维。美国教育心理学家布鲁纳认为：不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的结构。所谓基本结构，是指基本的、统一的观点，或是一般的、基本的原理。在结构化思维的过程中，我们要关注数学学习的“三维结构”——数学问题的内部结构、学生的知识结构和认知结构。培养学生的数学结构化思维，就在于引导他们用尽可能少的数学知识作为基石，不断建构知识结构、完善认知结构，运用结构化思维解决问题。
2.建模思维。数学模型是根据事物的特征以及数量间的关系采用形式化的方式表达出来的一种数学结构。在学习数学、解决数学问题的过程中，儿童会经历“观察生活问题进行简化—抽象为数学问题—建立数学模型—探索并推理论证—检验—解释—拓展应用”的过程，这有助于他们探索事物间的内在规律。通过培养儿童的数学建模思维，有助于他们学会数学观察，进行数学抽象，用数学观点解释问题，从而形成较为稳定的数学素养。
（三）儿童的数学关键能力
1.数学表征能力。数学表征能力是指用语言、符号、模型、图式等方式对数学问题、数学原理、数学规律等进行表达的能力。表征可以分为两种：一种是内在表征，就是在头脑中构建模型思考问题;一种是外在表征，就是将数学问题通过文字、语言、符号、图表、模型等方式进行表征。儿童经常借助图形、图像进行表征，将抽象的问题变得具体形象。
2.问题解决能力。问题解决不等同于解决问题，它要伴随着儿童对生活的观察、简化、抽象发现和提出问题、分析和解决问题。问题解决教学要通过创设情境来激发学生的求知欲望，使儿童亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程，从而培养他们的数学应用意识、探索精神和实际操作能力。
3.数学交流能力。数学交流能力是儿童运用口头语言或书面语言，把自己对问题的理解、解决问题的方法、建构的数学模型表达出来的能力。数学交流能帮儿童达成对数学知识全方位、深度的理解，使他们的知识结构更为完善。
（四）儿童的数学精神
1.求真，拥有数学的理性头脑。在数学学习过程中，通过动手实验、探索发现、争论分辨、抽象概括，能使儿童学会数学地思维。
2.尚美，分享美妙的数学世界。数学的世界充满了美——数学规律的优美、解题思路的简洁、观察视角的独特、探索过程的一波三折、不同方法的殊途同归、问题结果的出人意料，可以让儿童获得数学美的体验。
三、小学数学学科核心素养的策略构建
（一）体系思考，情感体验，完善儿童的认知结构
1.营造儿童数学情感的体验场。
数学情感主要指儿童数学学习体验中获得的美感、道德感、乐趣感、实践感和理智感。几何图形的美妙、方法的多元、游戏的引人入胜都能成为儿童体验数学乐趣感的元素。在数学学习中，儿童通过观察、想象、直觉、猜测、实验、检验等实践活动能产生积极的实践感。例如：教学苏教版五下《圆的认识》，课始，在教师的引导下，“圆有几条边？”“为什么说圆是无限正多边形？“为什么很多物品都要做成圆形的？”……一个个问题均来自儿童自己的思考，他们乐于积极提出自己的问题并发表自己的意见。
2.开启儿童数学学习的探究泵。
培养儿童的数学核心素养，教师一方面要找到儿童数学学习的“源”，善于挖掘教材中蕴含的数学思想方法;另一方面要找到儿童自主学习的“泵”，善于营造有利于儿童探究的场，让儿童自如地思考、自主地探究、自发地创造。要通过问题引导，如“你能试一下吗？”“通过观察，你有什么发现？”“你还有不同的想法吗？”让儿童从整体上观察和研究问题。要鼓励儿童从多个角度去思考同一个内容，让他们尽可能地去面对具有现实意义的开放性问题。
3.构建儿童数学学习的结构网。
整体构建数学知识体系，需要引导学生从结构化的视角透过生活现象洞察数学的本质规律。例如：可以以数学整理课的方式在低年级建立分与合的模型，将加法和乘法作为合的模型，将减法和除法作为分的模型。“数学整理课教学模式”中的各个环节和心理机制、认知规律之间的基本关系如下表所示：
让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，重在衔接各模型间的联系。在单个模型的基础上，把相关联的各个模型构建成一个数学模块，接着形成知识网络结构。在这个过程中，知识的整理是载体，模型群的建立是关系，方法链的衔接为要义，从而在学生头脑中形成知识框架、方法结构、数学模型。
（二）问题解决，数学建模，发展儿童的关键能力
1.以数学问题解决为核心。
问题解决是小学数学教学的重要方面之一。教学时，应将儿童置于具有挑战性的、有意义的问题情境中，让他们通过合作探索解决真实的问题，建构数学模型，形成解决问题的方法与策略，获得自主学习能力与思维的发展。基于问题解决的数学学习，应与生活问题、社会问题、实践问题联系起来，如自行车与儿童身高的问题、抽水马桶的节能问题、游园路线、安全疏散模型、峰谷电是否划算、红绿灯的时间是否合理等问题。在问题解决过程中，应以儿童的生活经验和现实水平为起点，让他们经历智慧的生长过程，由表及里逐渐认识规律。
2.以数学建模过程为载体。
儿童解决问题的过程，必定伴随着数学建模的过程。建立数学模型，首先要将具体情境中的实际问题抽象成数学问题，并验证数学模型是否适合，进而运用数学模型解释拓展与应用。例如：通过解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”，形成“一笔画”的数学模型。运用这一模型，能顺利解决动物园的“游园路线问题”，从而设计出不重复、不遗漏地一次性走完动物园的最佳路线。
（三）思想渗透，表达交流，提升儿童的结构化思维水平
1.培养结构化思维。
结构化思维便于儿童用一种模型解决多种数学问题。比如，教学“运算律”时，有学生询问：为什么乘法和加法有运算律，除法和减法却只有运算性质呢？其实，如果从整体的视角来观照，就会发现，减法和除法分别与加法和乘法互为逆运算，学习了负数，减法就自然变成了加法;学习了分数除法，除法就自然转化成了乘法。从这个意义上来说，减法和除法的运算性质不是核心的“源头”，而是产生的“支流”。
结构化的处理方式，让儿童学习的知识不再是零散的点状，而是整体性的、模块化的，便于他们形成数学观念与结构化思维。另外，通过数学结构中相似模块的组建，可以让儿童由此及彼、举一反三、多题一解，有助于他们整体地思考问题，有序地学习数学知识，构建知识网络。
2.建构数学模型体系。
数学具有一定的结构性特点，能够进行抽象和模型的提炼。数学教学应注重引导儿童在构建模型的过程中，逐步把相关联、相似性强的模型构建成模型体系。如教学“转化”思想，可以引导儿童体验运算中的转化（小数乘除法转化为整数乘除法、异分母分数加减法转化为同分母分数加减法）、图形面积计算中的转化（平行四边形转化成长方形、梯形转化成平行四边形、圆形转化成长方形进行计算），使他们明晰将不规则转化为规则、将复杂转化为简单、将未知转化为已知的核心思想。
3.营造数学交流场域。
教师应注重营造数学交流的场域，引导儿童进行交流沟通。要引导儿童敢于表达自己的观点、思路和想法，注重儿童口头表达与书面表达的结合、过程与结果的结合。
总之，数学核心素养的形成与发展是一个循序渐进的过程。对于儿童数学核心素养的研究，在静态上，要研究其各个要素;在动态上，要研究处于不同发展阶段的儿童的数学核心素养发展、变化的特征与规律。
篇9
在21世纪的今天，教育面临着前所未有的机遇与挑战，作为教育的中枢部位—师范教育体制成为枚关人才培养与教育质量提高的关键。从目前形势来看，中小学数学从教科书、课程内容到教学手段都发生了很大变化，原有的人才培养模式已经不太适应当代社会发展的需要。面对新形势.师专数学专业的培养目标如何科学定位，如何发挥自身的优势办出特色，使其稳定健康的发展，就成为一个至关重要的问题。本文在深入研究临沧师专数学教育专业所面临现状的基础上，对其培养目标的定位与专业特色做了初步的探讨。
一、临沧师专数学教育专业所面临的现状
数学是任何一个学校的主题，是中学的主科，是高考3+X的三大支柱之一，所以数学教育的改革倍受关注。临沧师专数学教育专业在此新形势下，既有难得的机遇，又有严峻的挑战。
机遇与挑战主要表现在五个方面:一是国家对师范院校的层次与布局进行了调整，把临沧师专推到了与综合大学、非师范院校激烈竞争的环境中，这迫使其必需转变教育观念，为未来发展准确定位;二是提高中小学教师队伍的整体素质及其继续教育是实施素质教育基本要求的必要保证，而数学在素质教育中占有重要的地位，这给临沧师专数学教育赋予了重大责任，带来了发展机遇;三是开放示范体系的建立使得培养、培训中小学教师的工作不仅仅是师范院校的任务，综合大学与非师范院校的参与将给临沧师专招生、就业工作带来很大的困难;四是临沧师专地方性较强，自身条件有限，总体实力偏弱，发展不快;五是随着一九九九年高校扩招的开始、中专学校的逐渐消失，这必然导致了本科生在高校教育中出现“饱和”甚至“过溢”现象，近年来不少县级及以上城市的小学教师在迅速向本科层次发展，这使得临沧师专数学教育专业面临着严峻的挑战。
二、临沧师专数学教育专业培养目标的定位
培养目标规定了临沧师专数学教育专业培养人才的总体要求，培养规格是本专业的学生在本学科领域应具备的基本条件。确定科学的培养目标和培养规格是构建临沧师专数学教育专业新课程体系的重要依据。
培养目标:数学教育专业培养掌握数学科学的基本知识与基本方法，能够运用数学知识解决若干实际问题，具备一定的创新能力及教学研究能力，德、智、体、美、劳全面发展的能适应21世纪数学教育改革所需的创新精神和实施素质教育的能力，胜任义务教育阶段数学教学，具有服务山区和农村义务教育思想的“下得去、用得上、留得住”的合格初中、小学数学教师。
培养规格:临沧师专数学教育专业的学生应具备以下几个方面的目标要求。
(一)思想品德的目标要求
教师在教学中向学生传授科学知识，发展学生能力的过程，同时也是对学生进行思想教育的过程。教学中师生之间，特别是教师本身的思想观点、言行作风、教学态度等都有着深刻的教育影响。因此，我们要注重师范生的德育培养，使其今后以为人师表的姿态，能在教学中深刻的挖掘思想教育因素，为提高全民族的素质作出应有的贡献。结合数学特点，思想品德教育的目标主要反映在以下几个方面:一是培养辨证唯物主义世界观，辩证唯物主义是认识世界和改造世界的有力武器，辨证唯物论的思想方法也是学好数学所必需的辅助工具和表现方式。二是培养爱国主义思想和民族自尊心，一个有理想有道德有文化有纪律的社会主义公民必须具备爱国主义思想和民族自尊心，数学教育专业的教学应该有计划有目的的向学生介绍一些与教学内容有关的数学史和我国现代化建设中有关数学研究、数学应用的伟大成就等。三是培养刻苦、求实、创新的个性品质，良好的个性品质是社会主义公民必备的素质，作为临沧师专的学生—未来的人民教师，更要具备这种品质。在学习阶段，良好的个性品质主要是指:正确的学习目的，浓厚的学习兴趣，顽强的学习毅力，实事求是的科学态度，独立思考和勇于创新的精神，这些个性品质属于非智力因素，是促进数学学习，培养数学能力的强大动力。
(二)知识的目标要求
临沧师专数学教育专业的学生必须掌握数学和数学教育的基本理论和基本知识;初步掌握数学科学的基本思想方法;了解数学研究与发展的前沿知识;了解现代数学科学的发展动态以及九年义务教育的数学教学改革的新情况;了解相近专业的一般原理和知识;熟悉网络知识，掌握计算机方面的基础知识以及数学软件和计算机多媒体技术。
(三)能力的目标要求
临沧师专数学教育专业的学生必须具备以下能力:较好的口头和书面表达能力;较强的中、小学数学教学实践与研究能力;一定的组织管理与合作交流能力;较强的计算机应用及信息加工处理能力;较强的抽象思维、逻辑推理和运算能力;较强的自学能力以及创新意识和创新能力;至少掌握一门外语，具备基本的听读说写能力;一定的科研能力。
(四)素质的目标要求
临沧师专数学教育专业的学生必须热爱祖国，热爱人民.热爱劳动，遵纪守法;有良好的人文素质和科学修养;有健康的体魄和坚强的毅力;具有良好的数学素养和强烈的数学素质教育意识。
上述的知识、能力、素质方面的目标要求具体阐述如下:
以上四个方面是一个密切联系的整体，对人的发展具有十分重要的作用，它们是在丰富多彩的数学活动，数学教学以及数学研究中实现的。其中，数学思考、解决问题、教学能力与态度的发展离不开知识与技能的学习;同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。
三、临沧师专数学教育专业的专业特色
临沧师专位于云南省的一个边疆小城、“世界低乡”—临沧，总体情况比较落后。数学教育专业是临沦师专数理系最主要的专业之一，但是要与其他本科院校、师范院校的数学专业、数学教育专业相比，我们具有一定的弱势。在这种情况下，我们数学教育专业只有通过全体师生的不懈努力与奋斗和一定的专业特色才能在与其他学校的竞争中保持不败之地。临沧师专数学教育专业的专业特色主要有以下几个方面:一是培养的学生“下得去、用得上、留得住”。“下得去”是指大多数毕业生都能到条件艰苦的农村从事教学工作，“用得上”是指数学教育专业的毕业生基本功扎实，能胜任一切与教学有关的工作与班主任工作，“留得住”是指大多数毕业生都能扎根于农村，为祖国农村的教育事业贡献自己的力量;二是建立本专业的教学督导组，制定督导计划，开展专题教学督导活动。实行听课制度，包括系领导听课、教研室主任听课、教师之间互相听课，学生评价教师等。通过督导活动和听课制度来提高教师的教学能力和水平。三是数学教学课程开设与就业方向和人的发展相结合。比如找们开设了《中学数学教学论》、《初等数学研究》等专业课程，为学生将来成为一名合格的数学教师打下坚实的基础，另外我们还开设了《美术基础》、《音乐基础》等选修课程，为学生拓展各方面的兴趣、陶冶情操提供了平台;四是进行教学手段改革，采用多媒体教学的课程达专业课程的15%以上;五是加强学生见习工作。实习前三个学期内，每学期组织学生进行两次以上见习，充分利用微格教学室组织学生在实习前进行规范的试讲，并有专门的教师对学生的教案、教学进行个别指导，另外开设(中、小学数学教学法)与(中、小学数学教学技能培训)课程使学生具备胜任初中、小学数学教学的基本技能和能力;六是加强学生应用数学知识的能力，开设建模课，鼓励学生积极参加全国大学生数学建模竞赛，培养学生学习数学的兴趣;七是加强专业课程建设，建立了“代数与几何”、“函数论”、“教法与初等数学”三个教研室。另外，数学教育专业的两门基础课程《数学分析》与《高等代数》课时足，学分高，充分体现了该专业对基础教学的重视。
面对我国基础教育迅速发展的大好趋势，临沦师专数学教育专业培养目标与专业特色的科学定位是一项紧迫而艰巨的任务，其涉及面广，影响深远。与其相适应的数学教育专业新课程体系的建设是一项系统工程，需要依据党的教育方针和培养目标并结合自身的特色来不断探索与实践，我们期待着广大教育工作者能与我们同行共同研究。
参考文献
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[2]李海龙.21世纪师专数学教育的改革[J].数学教学研究，1999，(23):81-82.
篇10
引言
问题解决是一个高级的认知过程，它可以在内部知识表征的基础上与其他认知过程(如抽象、决策、推理和分析等)相互作用。问题解决是数学教育的核心，使用有效的认知工具能够帮助学生提高问题解决能力，形成科学的思维方式。国内外研究发现，很多小学生存在不同程度的应用题解题困难，而在当前我国现有的课堂教学模式中无法实现一对一个性化教学与辅导。因此，认知工具作为扩充人类思维和方便问题解决过程的智能伙伴开始出现在我们的日常学习生活中。现有关于认知工具的研究多是从信息技术与课程整合的角度出发，根据学科知识特点设计认知工具。较少有研究是针对问题解决中的影响因素，研究如何运用有效的认知工具辅助教师教学设计和学生的学习过程的。基于此现状，本文从问题解决的角度对认知工具进行了深入的研究。
作为支持、指引、扩充使用者思维过程的认知工具可以是任何一种计算机软件、技术设备、媒体系或环境、认知策略以及一些其他辅助学习的工具，它们都具有共同的特征，即扩充人类的思维过程，提高思维能力；促进人的高级认知心理加工过程：方便了学习者的问题解决过程。本文以小学数学应用题为例，分析了学生在问题解决过程中可能存在的一般影响因素，并针对影响因素，归纳了现有的小学数学教师和学生可以参考选择的认知工具。在此基础上，构建了基于问题解决的认知工具模型，并提出相关设计原则，希望为今后设计开发者从新的视角研究认知工具提供借鉴。
一 认知工具概述
1.认知工具的界定与分类
认知工具的概念来自认知心理学领域，认知心理学是以信息加工观点为核心的，所以认知工具可以理解成是促进信息加工过程的工具。由于地域分布、研究兴趣和视角上的千差万别，不同的研究者对认知工具有不同的界定。Pea(1985)定义认知工具为：“任何帮助超越大脑限制的媒介，例如在记忆、思维活动、学习和问题解决方面。”Derry认为认知工具是一种支持、指引、扩充使用者思维过程的心智模式和计算机设备。Liu及其合作者Williams、Pedersen等人从问题解决的角度，认为认知工具是学习者在具体的认知过程中与问题解决的特殊阶段具有或多或少联系的计算机技术。宾夕法尼亚州立大学教授Jonassen将认知工具定义为以计算机为基础的可用于帮助学习者发展批判性思维与高阶思维的工具或学习环境。从Jonassen的观点出发，认知工具不是某种新产品，而是对某些计算机软件的重新归类。
综合以上学者对认知工具的界定可以看出，认知工具可以是有形的(如铅笔、黑板、投影等)也可以是无形的(如一系列的认知策略)，这使认知工具的概念也有广义与狭义之分。本文是在信息技术与课程整合的背景下，关注的焦点是认知工具在小学数学应用题解决中的运用，因而本研究主要探讨的是狭义的认知工具。从问题解决的视角将其界定为：帮助学习者突破思维局限，减轻认知负荷，提高问题解决能力和学习过程中的认知能力的计算机软件工具。
一个计算机软件或系能否成为促进学习者高级思维能力的认知工具有其固有的评判标准。Jonassen提出了用以鉴别一个软件工具是否可作为认知工具的9项标准，即：计算机化；现成的应用软件；用户(在经济上)可承担；可用于表示知识；可泛化(可用于不同领域)；可支持批判性思维；学习可迁移；简单而功能强大的知识表示形式；易学易用。认知工具的种类有很多，国内外学者对其分类方法也各不相同。国内有学者提出将认知工具划分为可视化工具、建模工具、绩效支持工具及知识管理工具四大类。Jonassen从计算机的角度将认知工具分为八类：数据库、电子表格、语义网络、专家系、超媒体软件、会议系、协作学习环境等。国外有关认知工具的分类主要依据Jonassen的观点，提出认知工具按功能分为五大类：
(1)语义组织工具：可帮助学习者表达各观点间的语义关系，包括数据库、语义网络等；
(2)动态建模工具：用于描述各观点间的动态关系，包括电子表格、专家系、系建模、微观世界等；
(3)信息解释工具：包括有意义的信息搜索工具、概念可视化软件等；
(4)知识建构工具：如多媒体知识库；
(5)交流协作工具：如聊天室、计算机会议等。
2.研究现状
国外对认知工具的研究相对比较成熟，目前已有大量的相关文献和著作。Hogle提出将游戏作为教学中的认知工具，以达到寓教于乐的效果。Stephan John研究了超媒体学习环境中认知工具的本质。Min Liu研究了超媒体环境中认知工具的使用模式。WENLI CHEN等提出掌上电脑可以用来支持、指引和延伸学生在课堂内外的思维过程。KostasLavidas等将电子表格作为一种认知工具，研究了电子表格对数学故事问题的影响。Jonassen等对认知工具的定义、分类、标准和应用等方面都做出了巨大的贡献。此外，一些发展比较成熟的软件系已经被当做认知工具应用到小学数学领域，如ARITHPRO系通过模拟学生解一步加减应用题来试图推断学生发生错误的原因，ANIMATE系帮助学生构建应用题的网络图，LIM－G系能自动解答学生用自然语言输入的一步几何应用题。这些都可以作为提高学生问题解决能力的认知工具。
国外以计算机为主要认知工具的研究大致经历了三个发展阶段，其中不同阶段的教学形式、理论基础和研究重点如表1所示：
相比较而言，我国对认知工具的研究起步较晚，最早在是在1996年张宇容提出促进学习的认知工具。总体看来，国内对认知工具的研究可以概括为四个方面，即多媒体计算机作为认知工具的学习环境：信息技术与课程整合背景下认知工具的介绍及其应用；网络环境下学科认知工具设计与开发；教学中使用认知工具的案例分析。这基本上与国外的研究方向和脉络一致。在对其理论探讨的同时，也逐渐重视环境的创设和技术的支持。值得一提的是，尽管我国对认知工具的应用研究还于初级阶段，但思维导图作为认知工具在国内已经得到了普遍的应用。
二 影响小学数学应用题解决的一般因素分析
小学数学应用题是用自然语言描述的，学生解题的过程不仅涉及数学知识，还涉及语言知识和一些生活常识。所以学生解题时一方面要利用自己的日常生活经验进入假设的问
题情境，另一方面还要结合数学思维推理解决问题，这势必会使学生产生认知负荷，影响学生解决问题的质量。本文运用文献研究法，归纳总结出了影响小学数学应用题解决的五大因素：问题表征、工作记忆、试题难度和类型、视空间能力、情感因素。
1.问题表征
表征是问题解决的开始。对问题做出什么样的表征，这种表征是否适宜，对问题解决有直接影响。错误的表征会导致错误的结果，而正确的表征可以提高学生的问题解决能力。学生在处理不同类型的应用题时会选择不同的表征策略。不同的表征策略会对学生成绩产生不同的影响。常用的表征策略有两种：直接转换策略(direct translation strategy)和问题模型策略(problem－－model strategy)。直接转换策略强调对题目中的数字和关键词进行加工，而问题模型策略则强调对题目中问题情境和问题中条件之间的关系的理解，建构情境模型。二者的根本区别是前者注重量的推理，后者注重质的推理。冯虹等根据眼动研究结果表明，随着年级的升高，学生会更多的使用问题模型策略进行问题解决，他们不再满足于表征题目的“关系词”和“数字”等表面信息，而是会更关注于题目所描绘的情境。陈英和等在研究中指出，成功的问题解决者倾向于使用问题模型策略，不良问题解决者倾向于使用直接转换策略。而且，当学生学会使用问题模型策略时，他们解题的错误率会明显降低。
学生解题时选择的表征类型也是影响问题表征的因素之一。董妍等的研究结果表明小学生应用题的表征方式有复述内容、图式表征、图片表征、直译表征、语义结构分析等，成功解题者在图式表征、直译表征和语义结构分析表征下的成绩显着优于不成功解题者。此外，学生对问题的表征水平也可以影响学生的问题解决过程。研究发现，表征水平越高，学生在问题解决上的成绩越好，且表征水平随着年级的升高而不断提高。同时，题目难度会影响学生的表征水平。
2.工作记忆
工作记忆(working memory，简称WM)的概念是Baddeley和Hitch在分析记忆信息三级加工模型中的短时记忆的基础上提出的。工作记忆是一个有限的记忆系和重要的心理加工资源。它的测量指标之一是工作记忆容量(working memorycapacity)。众多研究表明，工作记忆容量与数学问题解决有着紧密了联系。Hitch等针对数困生的研究发现，数学学习困难是由于储存数字的工作记忆容量不足造成的，工作记忆容量不足可能是数学学习困难的根本原因。宋广文等人探讨了工作记忆对学生几何应用题解决的影响，结果表明：工作记忆容量的主效应显着，容量高者成绩好。
3.试题难度和类型
试题的难度和类型也是学生问题解决过程的不可轻视的影响因素之一。试题难度的大小直接影响学生对题目的问题表征、学生的解题动机和兴趣。有些学生遇到较难题目可能会由于产生畏惧心理而影响问题解决过程。冯虹等在研究中把代数应用题分为规则问题和不规则问题。他们认为规则问题是完整的应用题，不规则问题是有多余条件的、缺少条件或是缺少问题的应用题。有关研究表明，学生对题目中隐含条件的识别将会直接影响学生解题的正确率。Sweller等提出的认知负荷理论认为，解题者解带有多余信息的题目时会感觉到更加困难，原因在于解题者必须对两种信息进行加工，一种是正确解题所必需的信息，另一种是多余信息。
4.视空间能力
视空间能力是人类智能结构中的重要组成部分，其中在空间视觉化(visualization)和空间定向(orientation)因素上所表现出的差异是个体空间能力差异中最稳定的特性之一。研究表明，视空间能力是影响数学应用题解决的重要因素之一，空间能力越高，数学解题水平也越高；场认知方式与数学问题解决关系密切，学生场独立性越强，数学解题水平越高。
5.情感因素
情感因素包含解题动机、兴趣、压力、争强欲望等。大量研究表明，动机是影响数学应用题解题的众多因素之一。宋广文等在研究中分析了数优生和数困生的解题动机与应用题成绩的关系，结果表明，两种类型的学生在数学解题动机上存在显着差异。
以上是学生在解决小学数学应用题时可能存在或遇到的内在或外在的影响因素，这些影响因素在学生的问题解决过程中是相互作用、相互影响的。比如题目的类型和难度可能直接影响学生的问题表征。学生在信息加工过程中产生的认知负荷也会使学生的解题动机和热情大大降低。
三 小学数学问题解决中的认知I－具研究与设计
1.小学数学中的认知工具
不同学科的认知工具在使用目的和结构特点上均有不同。与其他教学领域相比，认知工具在数学教学中发挥着不同的作用。Heid(1997)曾在研究中列举出数学教学中常见的认知工具，如计算机代数系computer algebra systems(CAS)――有助于使用者对符号、图形和数字及其中的逻辑进行表征；基于计算机模拟的微观世界和动态几何工具，可以帮助学习者表达和研究数学问题；基于技术的实验装置。CBL
(calculator－based laboratory devices)、
MBL(microcomputer－based laboratory devices)使学生更容易收集和分析真实世界的数据；图形计算器graphing calculators(GC)，使用学生更容易分析图形结果。
本文根据认知工具的评判标准以及Jonassen对认知工具的分类，针对学生在问题解决过程中可能存在的不同影响因素，帮助学生选择不同的认知工具类型，并举出现有的符合小学数学学习特点和小学生操作水平的具体认知工具以供参考，如表2所示。
从表中可以看出，问题解决过程中的每一种影响因素都可以使用不同类型的认知工具支持。而且很多认知工具都呈现出同时具备多种功能的情况。为了让学生更有效的解决比较复杂的综合应用题，教师可以根据具体情况选择认知工具进行相应的教学和辅导，进而提高学生的解题能力。比如，教师可以选择动态建模工具和语义组织工具帮助学生进行问题表征。动态建模工具允许学习者参加超出他们范围的认知活动，如模拟动画、虚拟现实。通过对具体问题的真实模拟，让学生构建情境模型或对象，并通过操作模型验证参数，帮助学生发现其中的规律，提高对知识的理解力。常见的动态建模工具有几何画板、图形计算器(GC)、MP－Lab等。以MP－Lab(Multi－Purpose Laboratory，万用拼图实验室)为例，它是专为开展小学数学学习活动，帮助学生“学”而设计的数学学习情境建构平台。采用拼图而非画图的模式，向师生提供包括作图、拼图、变形、背景图片、文字编辑等功能。利用MP－Lab可以为学生创设问题解决情境，使学生通过亲自动手操作体会数学概念的含义，有助于学生更高效的解决问题。语义组织工具也可以帮助学生的问题表征，它能够支持
学生的认知过程和元认知过程，如图示、思维导图。通过连线、归类以及表格化等形式对相关的数学元素进行可视化表征，帮助学生把握概念之间的关系，促进学生思维的培养。使用语义组织工具，可以有效解决小学生在应用题方面存在的问题表征障碍，帮助学生学习和思考，提高学生的问题表征水平。
工作记忆作为问题解决的重要影响因素之一，可以用主要采用语义组织工具支持。语义组织工具能使人脑内部的图式认知结构实现可视化，如概念图。这些图式是概念以及它们在存储在记忆中的相互关系的空间表征。使用语义组织工具可以减少由于工作记忆容量有限产生的认知负荷。学生在面对题干较长的应用题时，可能会不知如何下手。题目中的冗余信息不只对学生问题表征产生干扰，也为学生的工作记忆造成一定的负担。教师可以通过语义组织工具帮助学生画概念图或语义网络分析图，把题干中的数学概念抽象出来并进行分类，同类概念可用圆圈，有联系的概念可用短线连接。以三角形为例，它的概念图如图1所示。概念图或语义网络图可以相对减少工作记忆的负担，促进问题快速而准确地解决。语义网络程序是基于计算机的可视化工具，常见的工具软件有SemNet，Learning Tool，Inspiration，MindMapper。此外，还可以使用一些其他帮助分担认知负荷的工具，如计数器和计算器通过帮助学生简化机械性的运算而减轻工作记忆中的压力，以促进问题解决。
视空间能力与问题表征有一定的联系，空间能力越高，学生采用视觉一空间表征的程度越高，其中采用图式表征的程度越高，数学解题水平也越高。这样就需要根据具体情况选择动态建模工具或语义组织工具。还可以利用信息解释工具和知识建构工具通过多媒体知识库进行信息搜索，为综合类应用题呈现各种媒体资源，如呈现各种图片资源、播放有关的视频或音频及动画资源，促进学生的认知，帮助学生解决问题。关于影响问题解决过程中的情感因素，可采用动态建模工具或交流协作工具帮助学生学习，这类认知工具能够帮助学生实现思维形式的过渡，支持和促进其对抽象数学概念的意义建构，同时也为学生的问题解决过程增添乐趣。交流协作工具支持同步或异步交流，是一个良好的促进协作学习、思维过程以及知识结果共享的平台。如QQ、论坛、博客，学生可以信息进行群体探讨式学习；或是结合画面性，进行有主题的讨论，如聊天室、在线电子画板。学生通过交流与协作找出盲点，解决不同程度的难题，进而增加学生的解题兴趣。此外，国内已经出现多种与小学数学相关的计算机软件，如语音计算器Voice Calculator、小学数学伴侣、小学数学练习机、几何图霸等。这些软件界面友好、操作性强，而且易学易用，比较适合小学生的数学学习。这些工具软件都可以为学生的数学问题解决过程提供相应的帮助。
2.基于问题解决的认知工具模型架构及其设计原则
现有小学数学工具软件多是从学科教学的角度研发的，在支持学生问题解决方面还有所欠缺。有些认知工具在功能上还比较局限，如概念图作为一种语义组织工具，虽然在帮助学生实现问题表征、减轻认知负荷等方面功能非常完备，但却不能方便学生之间的交流协作。学生需要有一种功能强大，可以多角度多方面支持学生的问题解决促进学生高阶思维能力发展的工具。笔者从这一需求出发，设计了基于问题解决的认知工具架构模型，为相关的设计开发者从问题解决的角度研发工具提供参考。如图2所示。
基于问题解决的认知工具应该从解决问题的角度为学习者提供解题方案，帮助学生构建问题情境模型，使问题直观化、可视化。师生、生生之间通过交流协作找出问题的盲点并及时解决。系中的各个模块可以在学生遇到困难时给予必要提示与指导。帮助学生找到合适的解决方法。同时，在超媒体环境的支持下，学生采用超链接找到与自主探究学习的相关资源，并使用工具进行模拟、制作和探索，从而达到积累大量表象材料、增强小学生形象思维能力和问题解决能力的目的。具体来说，基于问题解决的认知工具应遵循以下设计原则：
(1)可视化原则。将内部认知结构可视化，能够帮助学生获得并对知识进行表述，减轻学习者的认知负荷。有助于学习者进行问题表征，提高学生的认知能力。可以增强使用者的思维广度和清晰度，帮助学生整理、分析和组织知识，制作学习计划，提高学习效率和记忆能力。
(2)情境性原则。能够实现情境再现，使学习者处于问题解决的情境，有助于学生建构思维模型，激发学习动机和学习兴趣。通过文字、声音、动画、图形图像等多种形式，直观、形象地模拟各种数学概念、公式、定理等数学知识的产生、变化过程，激发小学生求知愿望和学习兴趣。
(3)交互性原则。能够为学习者提供探索的空间，促进学生的探索与交流，有效实现人机、人人交互。帮助学生在小组讨论中以清晰的思路组织语言，积极展示自己的观点，有助于学生之间的交流合作。同时能够提供关于学生完成学习情况的反馈信息。不仅提供“对”或者“错”的信息，还能够提供怎样修改错误的建议信息。
篇11
1。抓教研组长的学习。定期召集组长理论学习、听课、评课；赋于组长责任，让他们带动全组的教师开展互听、互学、互研活动，提高每一位教师的素质。
2。抓课前教案检查制度。不定期检查教师的教案，督促每一位教师切实做好本职工作，并在期中、期末组织了两次全面的常规检查。
3。做好课堂教学评估。协同教师就如何“减负增效”、“提高40分钟的课堂效率”进行全面深入的讨论与研究。本学期，校领导、教研组长到课堂听课均在25节以上。
4。做好教学质量评估工作。教导处认真做好后进生的期中、期末试卷分析工作，并建立完备的后进生档案，以点带面，抓全校的质量的提高。
通过努力，现我校教师在课堂教学中都能以发挥学生的主体作用、培养学生的学习能力为中心，课堂教学改革又迈出了新的一步。
二、教研成绩突出。
本学期我校教研工作在语文教研组的市级课题《小学语文“探疑求新、主动发展”教学模式的研究》、数学教研组的县级课题《小学数学“问题—建模—应用”教学模式的研究方案》的带动下，通过全校教师的努力，取得了丰硕的成果。
1、教师论文获奖县级以上8人次：
陈建秋老师的生劳论文《向双手要创新》获中央教科所、《中小学劳动技术教育》征文活动二等奖；张叔阳老师的体育论文获市三等奖、县一等奖；陈建秋老师的生劳论文获县一等奖；徐远敏老师的体育论文获县二等奖；王春丽、徐银仙、丁海潮老师的作文论文分别获县二等奖、县三等奖。
2、教师教案、教学设计获奖县级以上4人次：
徐远敏老师的体育教案获市三等奖、县二等奖；徐远敏、张叔阳老师的数学教学设计分获县二等奖、县三等奖。
3、教学能力竞赛获奖县级以上3人次：
张叔阳老师参加县教导主任上课比赛获优秀奖；丁海潮老师参加思品优质课获县二等奖；王春丽老师参加语文阅读教学优质课获县二等奖。
三、青年教师成长迅速。
一直以来，对于青年教师，我们给他们压担子，也予以他们机会如：听课——青年教师优先、严要求、在肯定其优点的同时多提不足；外出学习——青年教师优先；县教研室组织的各项观摩课让好学的青年教师参加；县外的活动，更是让青年教师参加。通过几年的努力，现我校的青年教师均函授或自考即将毕业，并在县、市级的比赛中频频获奖。本学期的学区教坛新秀评比中，我校王春丽、张叔阳、陈建秋、丁海潮四位教师出线，这在同类学校中是出类拔萃的。
四、教学质量稳步前进。
学校教育是以培养高质量的学生为目标。我校教科研工作所取得好成绩，其归宿就是为更好地质量服务。为提高学校的质量：在校长的直接领导下，我们建立了教学质量奖励制度，精心组织好校内的教研活动，经常性地开展学生竞赛，促学校质量的提高。一学期来，我校教师乐教苦教、学生爱学好学，现学校已消除了“落后班”，学校质量提高较快。
五、学生轻负担、全面发展。
创造性的人才观，需要我们在创新性和开拓性上下功夫，重视让学生有足够的自我支配时间发展自身的兴趣爱好，形成自己的能力和特长，就是我们所想的，也就是我们所做的。
篇12
1、关注转变教师对课堂练习的观念。新课标提出，“有效的学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手操作、自主探索与合作交流是学习的重要方式”。课堂练习作为课堂教学的重要环节之一，其效果直接关系到教学质量和人才培养的实际价值。
2、提倡对课堂有效练习的设计。新课程强调增加学生对新知识的探究时间，必然会大大缩短课堂练习的时间，从而减少课堂训练的数量与份量，有意识地设计针对性、梯度性的练习，对能否实施有效堂练起着至关重要的作用，因而必须重视练习设计，确立效益意识。
3、重视学生个性的发展。必须承认学生的生活实践及个性确实存在差异，所以应针对不同层次的学生设计不同的练习，让每个学生都能获得不同程度的发展和提高。
二、研究的理论依据：
1、儿童心理学研究揭示：儿童心理发展的原因和根本动力是儿童的需要和已有心理发展水平之间的矛盾，学生能否产生主动的学习活动，直接影响儿童对知识技能的掌握。激发和调动学生的主动性、积极性和自觉性是有效教学的出发点和基础。2、建构主义理论的核心认为：人的知识不是被动地接受，而是通过自己的经验主动地建构的。理论指出：教学应当力求使学生自己进行知识的建构，而不是要求学生复制知识，并强调学生是学习活动中不可替代的主体，具有主动发现、思考、探究、质疑的需要与可能。3、有效教学的理论源于20世纪上半叶的教学科学化运动，有效性概括为“三有理论”-----有效果、有效率、有效益，其核心是教学的效益。有效教学理论应关注学生的进步或发展，要求教师有时间与效益的观念，并具备一种反思的意识，以便于自己面对具体的情景作出合理的决策。
三、研究的目标：
1、深入挖掘新课程下课堂练习设计的原则和方法，增强教师的预设意识，使教师在备课过程中更重视课堂练习的设计，提高教师对新教材练习意图的领悟能力和整合、优化课本资源，并设计出有效练习内容的能力，为实施有效课堂训练提供可靠的保障。2、积极探索新课程下学生喜闻乐见的课堂练习形式和合理优化的课堂练习结构，激发学生的学习兴趣，提高学生参与练习的积极主动性，使学生在堂练过程中确有所获，发展思维、培养习惯，提升数学素养，向40分钟要质量、要效益。3、着力完善实用有效的课堂评价体系，不断提高教师的课堂评价手段，打造一批讲究课堂操控艺术的骨干教师。
四、研究内容：
1、新课程下小学教学有效课堂练习设计的原则与方法。2、小学数学有效课堂练习的形式与内容。3、小学数学有效课堂训练环节的结构与实施过程。4、小学数学有效课堂练习的评价系统。
五、研究的方法：
1、文献研究法：研究国内外新的教育理论和教改发展动态，借鉴已有的理论成果，支撑和构建本课题的理论框架和方法论，制定好研究的目标与实施方案。2、调查法：调查教师的教学、学生的学习活动，获取相关信息，制定策略。3、案例分析法：边实践、边探索；边归纳、边完善，总结提取有效课堂训练的方式、方法。4、经验总结法：教师通过学习、实验，总结教学实践中的成功经验，撰写论文。
六、研究对象：
一至六年级
七、研究的保障措施：
1、经费保障：筹集足够的经费，专款专用。2、时间保障：学校定期安排实验教师进行研究活动，每周通报一次研究情况，每月一次小结，每学期一次总结。撰写相关论文，并对研究人员进行考核、奖励。3、措施保障：学校鼓励实验教师进行实际调查研究，并为研究者提供材料、设备。
八、研究的步骤：
第一阶段：研究论证阶段。（2011年5月至2011年7月）
1、阅读文献，情况调查，确立课题。2、确立研究方案。3、开题论证。4、进行课堂练习设计、实施与评价问卷。
第二阶段：课题实施阶段。（2011年8月至2012年8月）
1、进行课堂练习设计、实施与评价研究。2、适时反馈，调整研究策略。3、课题研究小组进行论证，设计有效课堂练习内容与实施、评价的组织形式。4、实施的调查报告，撰写教学论文、案例，教学实践阶段经验总结。
第三阶段：总结阶段。（2012年9月至2013年4月）
1、有效的课堂练习设计、实施与评价模式展示。2、经验总结。
第四阶段：反思提高，结题。（2013年5月至2013年7月）
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一、案例分析
2011年微软公司在招聘毕业大学生时，给面试人员出了这样一道题：假如有800个形状、大小相同的球，其中有一个球比其他球重，给你一个天平，请问你可以至少用几次就可以保证找出这个较重的球？面试者中不乏名牌大学的本科、硕士甚至博士，可竟无一人能在有限的时间内回答上来。其实，后来他们知道这只是一道小学六年级“找次品”题目的变形。
（一）问题转化，认知策略
我们知道，要从800个球中找到较重的一个球这一问题如果直接运用推理思想应该会很困难，如果我们运用“使复杂问题简单化”这一认知策略，问题就会变得具体可行。于是，提出如下分解问题。问题1.对3个球进行实验操作[2]。问题2.对5个球进行实验操作。问题3.对9个球进行实验操作。问题4.对4、6、7、8个球进行实验操作。问题5.如何得到最佳分配方法。
（二）模型分析，优化策略
通过问题1和问题2，我们知道从3个球和5个球中找次品，最少并且保证找到次品的分配方法是将球分成3份。但这一结论只是我们对实验操作的感知策略。为了寻找策略，我们设计了问题3，对于9个球的最佳分配方法也是分为3份。因此我们得到结论：在“找次品”过程中，结合天平每次只能比较2份这一特点，重球只可能在天平一端或者第3份中，同时，为了保证最少找到，9个球均分3份是最好的方法。能被3除尽的球我们得到均分这一优化策略，对于不能均分的球怎么分配？于是我们设计了问题4，通过问题4我们得到结论：找次品时，尽量均分为3份，若不能均分要求每份尽量一样，可以多1个或少1个。通过问题解决，我们建立新的认知结构：2～3个球，1次；3+1～32个球，2次；32+1～33个球，3次；……
（三）模型转化，归纳策略
通过将新的认知结构运用到生活实践，我们知道800在36～37之间，所以我们得到800个球若要保证最少分配次数是7次。在认知心理学中，信息的具体表征和加工过程即为编码。编码并不被人们所觉察，它往往以“刺激”的形式表现为知觉以及思想。在信息加工过程中，固有的知识经验、严密的逻辑思维能力以及抽象概况能力将为数学建模中能力的提高产生重要的意义。
二、数学建模中认知心理学思想融入
知识结构和认知结构是认知心理学的两个基本概念[3]。数学是人类在认识社会实践中积累的经验成果，它起源于现实生活，以数字化的形式呈现并用来解决现实问题。它要求人们具有严密的逻辑思维以及空间思维能力，并通过感知、记忆、理解数形关系的过程中形成一种认知模型或者思维模式。这种认知模型通常以“图式”的形式存在于客体的头脑，并且可以根据需要随时提取支配。
（一）我国数学建模的现状
《课程标准（2011年版）》将模型思想这一核心概念的引入成为数学学习的主要方向。其实，数学建模方面的文章最早出自1982年张景中教授论文“洗衣服的数学”以及“垒砖问题”。虽然数学建模思想遍布国内外，但是真正将数学建模融入教学，从生活事件中抽取数学素材却很难。数学建模思想注重知识应用，通过提取已有“图式”加工信息形成新的认知结构的方式内化形成客体自身的“事物结构”，其不仅具有解释、判断、预见功能，而且能够提高学生学习数学的兴趣和应用意识[4]。
（二）结合认知心理学思想，如何形成有效的数学认知结构
知识结构与智力活动相结合，形成有效认知结构。我们知道，数学的知识结构是前人在总结的基础上，通过教学大纲、教材的形式呈现，并通过语言、数字、符号等形式详细记述的。学生在学习时，通过将教材中的知识简约化为特定的语言文字符号的过程叫作客体的认知结构，这一过程中，智力活动起了重要作用。复杂的知识结构体系、内心体验以及有限的信息加工容量让我们不得不针对内外部的有效信息进行筛选。这一过程中，“注意”起到重要作用，我们在进行信息加工时，只有将知识结构与智力活动相结合，增加“有意注意”和“有意后注意”，才能够形成有效的数学认知结构。根据不同构造方式，形成有利认知结构。数学的知识结构遵循循序渐进规律，并具有严密的逻辑性和准确性，它是形成不同认知结构的基础。学生头脑中的认知结构则是通过积累和加工而来，即使数学的知识结构一样，不同的人仍然会形成不同的认知结构。这一特点取决于客体的智力水平、学习能力。因此若要形成有利认知结构，必须遵循知识发展一般规律，注重知识的连贯性和顺序性，考虑知识的积累，注重逻辑思维能力的提高。
三、认知心理学思想下的数学学习观
学习是学习者已知的、所碰到的信息和他们在学习时所做的之间相互作用的结果[5]。如何将数学知识变为个体的知识，从认知心理学角度分析，即如何将数学的认知结构吸收为个体的认知结构，即建立良好的数学学习观，这一课题成为许多研究者关注的对象。那么怎样学习才能够提高解决数学问题的能力？或者怎样才能构建有效的数学模型，接下来我们将根据认知心理学知识，提出数学学习观的构建原则和方法。
（一）良好数学学习观应该是“双向产生式”的信息
加工过程学习是新旧知识相互作用的结果，是人们在信息加工过程中，通过提取已有“图式”将新输入的信息与头脑中已存储的信息进行有效联系而形成新的认知结构的过程[6]。可是，当客体对于已有“图式”不知如何使用，或者当遇到可以利用“图式”去解决的问题时不知道去提取相应的知识，学习过程便变得僵化、不知变通。譬如，案例中，即使大部分学生都学习了“找次品”这部分内容，却只能用来解决比较明确的教材性问题，对于实际生活问题却很难解决。学习应该是“双向产生式”的信息加工过程，数学的灵活性在这方面得到了较好的体现。学习时应遵循有效记忆策略，将所学知识与该知识有联系的其他知识结合记忆，形成“流动”的知识结构。例如在案例中，求800个球中较重球的最少次数，可以先从简单问题出发，对3个球和5个球进行分析，猜测并验证出一般分配方法。这一过程需要有效提取已有知识经验，通过拟合构造，不仅可以提高学生学习兴趣，而且能够增强知识认识水平和思维能力。
（二）良好数学学习观应该具有层次化、条理化的认知结构
如果头脑中仅有“双向产生式”的认知结构，当遇到问题时，很难快速找到解决问题的有效条件。头脑中数以万计“知识组块”必须形成一个系统，一个可以大大提高检索、提取效率的层次结构网络。如案例，在寻找最佳分配方案时，我们可以把8个球中找次品的所有分配情况都罗列出来。这样做，打破了“定势”的限制，而以最少称量次数为线索来重新构造知识，有助于提高学生发散思维水平，使知识结构更加具有层次化、条理化。在学习过程中，随着头脑中信息量的增多，层次结构网络也会越来越复杂。因此，必须加强记忆的有效保持，巩固抽象知识与具体知识之间的联系，能够使思维在抽象和现实之间灵活转化。而这一过程的优化策略是有效练习。
（三）良好数学学习观应该具有有效的思维策略
要想形成有效的数学学习观，提高解决实际问题的能力，头脑中还必须要形成有层次的思维策略，以便大脑在学习和信息加工过程中，策略性思维能够有效加以引导和把控。通过调节高层策略知识与底层描述性及程序性知识之间的转换，不断反思头脑思维策略是否恰当进而做出调整和优化。譬如，在案例中，思维经过转化策略、寻找策略、优化策略、归纳总结四个过程，由一般特殊一般问题的求解也是思维由高层向底层再向高层转换的层次性的体现。
在思维策略训练时，我们应重视与学科知识之间的联系度。底层思维策略主要以学科知识的形式存在于头脑，它的迁移性较强，能够与各种同学科问题紧密结合。因此可以通过训练学生如何审题，如何利用已有条件和问题明确思维方向，提取并调用相关知识来解决现实问题。
另外，有效思维训练还必须做到“熟练”，对于课堂需要识记的东西要提前预习并及时复习，对于同类型题目，找出知识之间的关联性组建知识层次结构，有效练习同类型题目，提高解难题能力，做到“熟能生巧”。
总之，认知心理学思想融入数学建模是非常有必要和有意义的。数学建模的最终目标是培养学生用数学的眼光观察问题，用数学的思维思考问题，用数学的方法解决问题的能力[4]。数学建模的过程即为已有信息经过智力加工编码而形成心理产物，这一过程需要运用到数学知识系统和思维操作系统。因此，要想提高学生数学建模能力、搭建理论与实践的桥梁、促进学生由知识型向能力型转变、推进素质教育发展，除了教师的引导、学校的重视外，学生自身在认知结构、信息构建、思维策略、训练方式等方面也应提出新的思考。
参考文献：
[1]刘勋，吴艳红，李兴珊，蒋毅.认知心理学：理解脑、心智和行为的基石[J].学科发展，2011，26（6）：620-621.
[2]陈晓虎.浅谈在找次品教学中优化数学思想方法的渗透[J].教研争鸣，2014，12（1）：151.
[3]管鹏.形成良好数学认知结构的认知心理学原则[J].教育理论与实践，1998，18（2）：40-45.
[4]罗苗.认知心理学在教学中的应用———C语言程序设计为例[J].科技教育创新，2010，121（19）：250.
