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数学概念的学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等多种学习方式。但在教学实践中，我们一线教师都有一个共同的困扰，即在学生自主探索的时间内，①有的学生根本提不出问题，②有问题也无从下手分析，③大部分学生抓不住要点。一节时间过去了，什么教学任务没有完成。教师看在眼里，急在心上，属于无效教学。现代教育提倡自主探索、情景激发、合作学习，但并不是每节数学课必不可少的步骤，数学课不能以“生活化”和“社会化”代替“数学化”。一个数学概念的形成是前人把大量的同类事物某方面的特性单独抽出来研究，经过比较、分析、归纳和抽象再把这类事物的共同特性综合起来概括出数学概念。严谨科学的数学概念的理解，对学生来说不是一下子就能领会深刻的。因此教师必须搞清楚数学概念的属性，有些概念只需识记；有些概念需弄清楚它的来龙去脉、深刻理解；有些概念不仅要理解还要应用其解决问题。这样就能合理地安排教学。
一、原始概念的教学
原始概念指不加定义的概念，根据人们的直觉，形象描述，举例说明。我们在教学中要找到现实的最佳原型，把这个概念的特性表征出来。如：自然数、点、线、平面、集合、对应、平行、相交、代数式、等式、不等式等。例1：代数式的说明：经过举例后，描述为像这样由数和字母乘积组成的式子就叫代数式。例2：集合的说明：通过举同种性质事物全体后，描述为像这样特定对象的全体构成集合。原始概念是概念中的基石，有了原始概念就可以在其基础上抽象出新概念。这类概念的教学，只需举出日常生活、生产中的实例形成这类概念的印象，搞清楚其特征。教学的要求是达到了解水平，即能说出这些知识是什么，能在有关问题中识别它们。
二、规定式概念的教学
由于数学发展的需要而作出的规定。模长等于1的向量是单位向量。非零实数的零次方等于1。还有绝对值、圆周率、自然对数的底数等。教学要求也只需达到识别、回忆、套用即可。因为这些概念是硬性规定的。但应用时要抓住使用条件。
三、构造式概念教学
日常生活、生产中研究的对象变化符合某种规律，就可构造出相应数学模型。通常由数与式通过运算法则和符号组成固定形式。如：“形如y=ax（a>0且a≠1）的函数”叫指数函数。这类概念形式有严格的要求。要理解这类概念，就需进行概念辨析。如：y=3-x，y=2·3x，y=（-3）x，y=3x+1是不是指数函数。这类概念教学用不上情景和启发，用得上点拨与讨论，记住这些基本函数的形式。
四、逻辑式概念的教学
在已学过的数学概念基础上，用若干个原始概念或者改变某些条件形成新的数学概念。例：棱柱的定义为：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体。其中已学过的定义有“平行平面”、“四边形”、“公共边”、“平行”、“多面体”。此类的概念还有：等腰梯形、圆锥等。教学中需要用到原来已学过的概念，再搞清要改变的条件即可。
五、程序性概念
经过有限步骤的运算或画图由数学基础知识和技能而形成的概念。此类概念是教学中的重点，有时也是难点。这类概念占的比例最大，又可细分为两种情况：（1）过程型定义：完成运算步骤，就可以得到该概念的定义。例1：要想理解平均数的定义。①给出一组实数，②求这组实数的和③用和除以这组数的个数④所得的数即为这组数的平均数。例2：理解函数的定义。①观察两个非空数集A、B中有哪些元素，②分析对应关系f，③集A中的元素在f作用下的结果在B中能否找到④做出判断。（2）结构型定义：观察数学对象的各部分结构加上组合方式做出的判断。例1：理解单项式定义时：举出几个式子，观察每个式子都是数字与字母的乘积。例2：理解三角形定义时：观察三条线段首尾顺次相连即可。 教学中要搞清楚形成该概念有几个步骤或分解这个概念的组成成分。
六、数形结合式定义
先通过画图认识其形状结构，再通过蕴含的数量关系搞清其本质特性。例1：在平面内到两个定点距离的和等于定长的点的轨迹形成椭圆。我们虽然通过线绳操作画出椭圆，但这些感性知识还是不够的。其中的数量关系式①两定点距离为2c，②动点到两定点的距离之和为2a，③2c
数学概念除了定名称，搞清定义以何种方式形成外，还应举出适当数量的正例和反例加深理解和记忆。要熟练的掌握数学概念，还应对定义进行变式训练，即加强或减弱或隐含某些条件来辨析概念的正误以及适用范围。
【参考文献】
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1．注重概念的本源，概念产生的基础。
每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思维呈依赖，这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力，因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。
2．概念的教学中注重思维品质的培养
如何设计数学概念教学，如何在概念教学中有效地培养和开发学生的思维品质，是我们在教学中经常遇到并必须解决的问题．
1．展示概念背景，培养思维的主动性，思维的主动性，表现为学生对数学充满热情，以学习数学为乐趣，在获得知识时有一种惬意的满足感． 2．创设求知情境，培养思维的敏捷性思维的敏捷性表现在思考问题时，以敏锐地感知，迅速提取有效信息，进行“由此思彼”的联想，果断、简捷地解决问题． 3．精确表述概念，培养思维的准确性思维的准确性是指思维符合逻辑，判断准确，概念清晰。新概念的引进解决了导引中提出的问题．学生自己参与形成和表述概念的过程培养了抽象概括能力． 4．解剖新概念，培养思维的缜密性思维的缜密性表现在抓住概念的本质特征，对概念的内涵与外延的关系全面深刻地理解，对数学知识结构的严密性和科学性能够充分认识．在这个过程中渗透了把空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法．5．运用新概念，培养思维的深刻性。思维的深刻性主要表现在理解能力强，能抓住概念、定理的核心及知识的内在联系，准确地掌握概念的内涵及使用的条件和范围．在用概念判别命题的真伪时，能抓住问题的实质；在用概念解题时，能抓住问题的关键．巩固深化阶段：在学生深刻理解数学概念之后，应立即引导学生运用所学概念解决“引入概念”时提出的问题（或其他问题），在运用中巩固概念．使学生认识到数学概念，既是进一步学习数学理论基础，又是进行再认识的工具．如此往复，使学生的学习过程，成为实践?认识?再实践?再认识的过程，达到培养思维深刻性的目的．6．分析错解成因，培养思维的批判性。思维的批判是指思维严谨而不疏漏，能准确地辨别和判断，善于觅错、纠错，以批判的眼光观察事物和审视思维的活动．举反例，从反面来加深学生对概念的内涵与外延的理解，培养思维的批判性．
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概念是客观事物本质属性、特征在人们头脑中的反映。数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。在初中数学教学中，加强概念的教学，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，搞清概念是提高解题能力的关键。在新一轮课改理念的引领下，结合我的教学实践，就数学概念教学的有关问题与大家共同探讨。
一、新旧理念下数学概念教学模式的层次分析。
传统的数学概念教学大多采用“属+种差”的概念同化方式进行。通常分为
以下几个步骤：
1、揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；
2、对概念的进行特殊分类，揭示概念的外延；
3、巩固概念，利用概念解决的定义进行简单的识别活动；
4、概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其他概念间的
联系。
这种教学过程简明，使学生可以比较直接地学习概念，节省时间，被称为是“学生获得概念的最基本方式”。但是，仅从形式上做逻辑分析让学生理解概念是远远不够的。数学概念具有过程——对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。因此，必须返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理。
美国教育心理学家布鲁纳曾指出：“获得的知识如果没有完满的结构将它联系在一起，那是一个多半会被遗忘的知识。一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命。”就数学概念教学而言，素质教育提倡的是为理解而教。新课改理念下的数学概念教学要经过四个阶段：
1、活动阶段。
2、探究阶段。
3、对象阶段。
4、图式阶段。
以上四个阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。其中的“活
动”阶段是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系；“探究”阶段是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、概括过程，学生在头脑对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；“对象”阶段是通过前面的抽象认识到了概念本质，对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体的对象，在以后的学习中以此为对象进行新的活动；“图式”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式
二、新课改理念下的概念与法则的教学案例。
1、代数式概念
代数式（字母表示数）概念一直是学生学习代数过程中的难点，有很多学生
学过后只能记住代数式的形式特征，不能理解字母表示数的意义。代数式的本质在于将求知数和数字可以像数一样进行运算。认识这一点，需要有以下四个层次。
（1）通过操作活动，理解具体的代数式
问题一：让学生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并请填写好下表：
正方形个数
1
2
3
4
……
100
……
n
火柴棒根数
问题二：有一些矩形，长是宽的3倍，请填写下表：
宽
1
4
7.5
11
长
周长
面积
通过以上两个问题，让学生初步体会“同类意义”的数表示的各种关系。
（2）探究阶段，体验代数式中过程。
针对活动阶段的情况，可提出一些问题让学生讨论探究：
①问题一中3n+1，与具体的数有什么样的关系？
②把各具体字母表示的式子作为一个整体，具有什么样的特征和意义？（需
经反复体验、反思、抽象代数式特征：一种运算关系；字母表示一类数等）。
这一阶段还包括列代数式和对代数式求值，可设计下题让学生进一步体会代
数式的特征：
①每包书有12册，n包书有________册。
②温度由t℃下降2℃后是_________℃。
③一个正方形的边长是x，那么它的面积是_________。
④如果买x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自来水费（每立方米b元），共花去_______________元钱？
（3）对象阶段，对代数式的形式化表述。
这一阶段包括建立代数式形式定义、对代数式的化简、合并同类项、因式分
解及解方程等运算。学生在进行运算中就意识到运算的对象是形式化的代数式而不是数，代数式本身体现了一种运算结构关系，而不只是运算过程。这一阶段，学生必须理解字母的意义，识别代数式。
（4）图式阶段，建立综合的心理图式。
通过以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该建立起如下的代数式的心理表
征：具体的实例、运算过程、字母表示一类数的数学思想、代数式的定义，并能加以运用。
2、有理数加法法则
（1）运算操作：计算一个足球队在一场足球比赛时的胜负可能结果的各种
不同情形：
(+3)+(+2)——+5(-2)+(-1)——-3
(+3)+(-2)——+1(-3)+(+2)——-1
(+3)+0——+3…………
（其中每个和式中的两个有理数是上、下半场中的得分数）。
（2）探究规律：把以上算式作为整体综合进行特征分析：同号相加、异号相加、一个数与零相加等的过程和结果对照总结规律，理解运算意义。
（3）形成对象：把各种规律综合在一起成为一完整的有理数加法法则，并产生有理数和的模式：
有理数+有理数=①符号②数值
这一阶段还包括按照有理数和的模式及具体的运算律进行任意的有理数和的运算和代数式求值的运算等。
（4）形成图式：有理数加法法则以一种综合的心理图式建立在学生的头脑中，其中有具体的足球比赛的实例、有抽象的操作过程、有完整的运算律和形成的模式。而且通过以后的学习获得和其他概念、规则的区别与联系。
三、两种教学模式下学生学习方式的对比分析。
与新课改理念相比，传统的教学模式下学生的学习缺少“活动”阶段，对概念的形成过程没有充分体验，学生数学概念的建立靠教师代替快体验、快抽象。反映出的情况有：
（1）过快的抽象过程使得只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。例如学生学习有理数运算很长时间，还经常出现符号运算错误，这就是学生对有理数运算没有理解而造成的。
（2）由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，即使是能跟随教师进行有意义学习的学生其学习活动也是不连贯的，建构的概念缺乏完整性。例如学生学习了代数式的概念，经常出现a+a+a×2=3a×2,25x-4=21x,5yz-5z=y等错误，这是因为学生没有进行必要的“活动”，使“探究”的体验不完整需用造成的。又如在求解方程中出现(x+2)2=1=x2+4x+4=1=……等错误，说明学生还停留于运算过程层面，对方程对象的结构特征不理解。
（3）学生建构概念的图式层面是学习的最高阶段，在现有教学环境下很多学生难以达到这一层面。例如，为什么要学习解方程？解方程的本质是什么？
四、新课改理念下数学概念教学的策略。
新课改理念下的数学概念教学是由学生活动、探究到对象、图式的学习过程，体现了数学知识形成的规律性。为此，我结合自己的教学实践对数学概念教学采取以下策略：
（1）教师要把“教”建立在学生“学”的活动中。
为了使学生建构完整的数学知识，首先要设计学生的学习活动。这需要教师创设问题情境，设计时要注意以下几个方面：①能揭示数学知识的现实背景和形成过程；②适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开；③适当数量的问题，使学生有充足活动体验；④注意趣味性，活动形式可以多种多样，引起全体学生的学习兴趣。
（2）体现数学知识形成中的数学思维方法。
数学思维方法是知识产生的灵魂，把握数学知识形成中的数学思维方法，是学生展开思维、建构概念的主线。学生学习中要给予提示、建议并在总结中归纳。另外，要设计能引起学生反思的提问，如“你的结果是什么？”“你是怎样得出的？”“你为什么怎样做？”……使学生能顺利完成由“活动”到“探究”，“探究”到“对象”的过渡。
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二、数学概念课的教学任务
就是要使学生认识概念的来源，准确的掌握概念的内涵和外延，弄清概念间的关系，并运用概念解决问题，从而提高学生的能力。
三、 数学概念课教学的几点方法
这是数学教学课教学的关键一步。
1. 概念的引入
数学概念，有的是从客观事物的数量关系和空间形式反映而得来，有的是在抽象的数字理论基础上得来的。这就要求我们在概念教学中，既要从学生接触过的具体事物，具体内容引入，也要从数学内容问题提出。如初一代数中，数轴的概念教学，可用温度计作为数轴原型，明确三要素—原点，正方向和单位长度，从而给数轴下定义；从具有相反意义的量引入正数和负数，同时也要从正数减法运算（被减数小于减数）的需要，引入负数概念，使学生认识到引入负数是生产实践的需要。
这就是说：⑴在概念数学教学中，常常需要提供新概念的原型，从多个原型中进行归纳，引入新概念。例如，引入平行线的概念，给出教室黑板的两边，让学生观察以上对象有什么特点，再通过分析、对比、归纳、抽象出以上对象共同的本质属性，即都具有：在同一平面内，两条直线不相交的本质特征，然后给出定义。
⑵在数学概念教学中，还需要利用新旧概念之间的联系引入新概念，如学生已有了方程，一元一次方程的知识，要引入一元二次方程的概念时，就可写出3x2-2x+1=0，y2-3y-2=0等方程，学生从观察未知数个数及未知数的最高次数而说出它们叫一元二次方程。
2. 概念的明确
在明确数学概念中：⑴应重点讲解概念中的属概念和种差，使学生认识到被定义的概念既具有它的属概念的一切属性，又具有它自己独有的特性，即定义的种差，这样学生就初步掌握了概念的内涵，例如，有理数教学中，既要弄清它的分类，又要弄清各种概念与属概念之间的区别与联系。⑵同时，应引导、启发学生从知识的整体中，认识概念，挖掘概念间的内在联系，发现和认识同类概念间的相互联系，以及两个同类概念的内涵和外延间存在着包含和被包含关系，例如，四边形平行四边形矩形正方形；函数一次函数正比例函数，这样学生就会明确这几个概念之间的内在区别与区别，从而更好的掌握概念。⑶为了明确概念在概念教学的一定阶段或一个单元之后，应让学生把所学概念与同类概念放在一起进行分类，这样不使学生只见树木，不见森林的独立学习第一概念，如y=kx+b何时为一次函数，何时为正比例函数。⑷还应使学生正确理解和应用数学概念的名称和符号。例如， sinα表示∠α 的正弦函数，是一个整体，sin 与α 不是相乘关系， sinα是正弦符号。
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根据二十五年的教学实践，以及新课标对数学课教学的要求，我深深的感悟到要搞好数学概念课的教学，应从概念的引入、形成、深化、应用四大环节入手。
一、概念的引入
众所周知，数学概念是比较抽象的，教师在授课的过程中学生理解起来也相对较难，作为一名教师如何调动学生思维的积极性和创造性，更好地理解和掌握所学的概念，概念的如何引入就显得尤为重要。因为一节好的数学课犹如一只优美的乐曲，“起调”赏心悦目，“”激情似火，“尾声”余音缭绕。作为从事多年数学教学工作的我，要想自己的教学达到上述效果，其中的“起调”即概念的如何引入是决定这节课成败的关键之所在。
在具体教学中，我常采用下列方法：（1）以旧引新：数学中许多概念都是具有联系的，都是旧知识的引申和延续。因为我们在初中学过四种三角函数：正弦；余弦；正切；余切。当时是针对锐角定义的，当我们学过角的概念的推广和弧度制后，就借助锐角的三角函数自然地推广任意角的三角函数的定义上，学生也易于接受。（2）观察概括：在讲奇函数和偶函数的概念时，我让学生在我事先建好的坐标系纸张上快速画出函数y=x2和y=x3的图像，然后让学生观察每个图像的特征，启发学生用符号语言表示两图像的特征，最后教师揭示课题，给出奇函数和偶函数的准确定义。（3）类比猜想：这种方法可用于新旧知识之间、相似或同类知识之间。课本中的许多知识都存在这种属性，如等差数列和等比数列；指数函数和对数函数；三种圆锥曲线等。（4）故事导入：就是用讲与新授内容有关的生动有趣的小故事来到如新课，吸引学生的注意力和想象力。如在讲《反证法》一课时，我以历史典故引入：相传古时候，有一位忠臣被一个奸臣所害，被判死罪。可皇帝念其功大，决定用运气来决定最后的处决办法：用两张小纸条，一张写上“死”字，另一张写上“活”字，让他自己抽签来决定其死活，可奸臣把两张纸条都写上死字，恰巧被忠臣的朋友看见告诉了他，忠臣思索片刻便高兴地说我有救了。当他抽出第一张纸条时，谁也不让看，便吞进肚子里，斩官只好看第二章纸条，剩下的无疑是“死”字了，于是这位忠臣被赦免了，以此引出反证法的概念。（5）实例引入：中等职业学校的数学教材为了适应新课改的需要，改变了以往的编写模式。新教材特别注重从生活中的具体实例引入新概念，这种方法最适用于我们职业学校的学生，也是我最常用的方法。它让学生感知概念的产生和发展的过程，从而把抽象的概念变成了学生易于理解和接受的客观事实，激发了学生学习数学的热情和创造性思维，再加上自己在教学过程中充分挖掘教材，并把具体问题设置成合理的教学情景、多媒体动态演示，展示知识的发生、发展的过程，引导学生从感性材料中挖掘出事物的本质属性、抽象出数学概念，实现从感性认识到理性认识做好了铺垫。
例如，在讲指数函数的概念时，我借助多媒体演示细胞分裂的的过程，每一个细胞分裂一次变为2个
第一次：1个分裂为2个
第二次：2个分裂为4个
第三次：4个分裂为8个
第四次：8个分裂为16
……
第x次：细胞分裂的个数y=2x
从上面的例子中，发现自变量出现指数位置上，从而揭示课题――指数函数。
二、概念的形成
概念是在感性认识的基础上形成的，所以在对感性材料进行分化的基础上，抽象出概念的本质属性，然后进行高度概括而形成概念，并用精准的语言给出定义，给出概念的符号表示，有时还需要给出反映概念本质属性的图形，有意识的让学生在文字语言，图形语言和符号语言三者之间建立联系，形成相互间的信息通道。
例如，指数函数的概念：形如y=ax （a>0，a≠0）函数叫指数函数。它的本质属性是底数是常量，指数是变量。其图像如下：
于此同时，通过题组让学生进行辨析，引导学生把握指数函数的特征，进一步完善概念。
三、概念的深化
有些概念，从大量引入感性材料后，初步形成了理性认识，但这样的理性认识是肤浅而不深刻的，学生对于这样的概念的理解，由于基础薄弱显得有些措手不及，有些学生即使理解也模棱两可。这时就需要我们教师在教学中，有目的性地安排一些强化活动，让学生在操作中理解和掌握新概念，显然最佳的方案就是练习，教师通过题组让学生正反分析实例，加深对所学概念的透彻理解。
例如，讲完指数函数的定义后，我安排一组训练题：指出下列哪些函数是指数函数，那些不是，为什么？
（1）y=2.1x （2）y=3*2x
（3）y=x3（4）y=3-x
答案：（1）是；（2）不是，因为前面的系数不是1；（3）不是。因为幂底数不是常数，幂指数不是变量。（4）不是。幂指数的系数不是1。
（二）函数（a2-3a+3）ax是指数函数，则a的值为（C）
A.a=1或a=2 B.a=1
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恩格斯说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系。”数学概念是整个数学知识体系的基础，是进行数学推理、判断、证明的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。数学概念的教学既是数学教学的重要环节，又是数学学习的核心，其根本任务是准确地揭示概念的内涵与外延，是学生思考问题、推理证明有所依据，能有创见地解决问题。可以说掌握数学概念是学好数学的关键。因此，数学概念的教学也相应称为数学教学的重要环节。高中数学教学实践表明数学概念是数学中既不易教也不易学的内容。在数学教学中要自始至终抓住数学概念的本质属性及其内部联系，就要了解概念的体系，关注概念的引入，剖析概念的本质，掌握概念的符号，重视概念的巩固。
一、了解概念的体系
数学概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础，数学概念是相互联系、由简到繁而形成的学科体系。人们认识事物的本质特征通常不可能一次性孤立完成。事实上，学生“获得的知识，如果没有完满的结构把他联系在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。一连串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命”。因此，数学概念的教学，要弄清楚学习这个概念需要怎样的基础，分析这个概念以后有何用处，它的地位和作用如何。这样，在讲授时就能主次分明，轻重得当，既复习巩固已学过的概念，又为后继概念作恰当的孕伏。例如，“绝对值”是贯穿整个中学数学的重要概念，先是在有理数中引入；接着在算术根中出现了，把绝对值得概念拓展到实数范围；最后在复数中，绝对值的概念扩展成了复数的模
二、关注概念的引入
传统的概念教学将获得知识结论作为主要目标，忽视了学生在知识形成过程中的重要作用，使学生的学习行为更多的表现为机械记忆，而不是理性分析。根据建构主义学习理论学习应是认知主体的内部心理过程，学生是信息加工的主体。高中数学新课标中提出了“过程与方法”这一教学目标维度，在这一维度下，新课程对学生的学习要求从原来的“知识性”向“过程性”转变。概念的引入是进行概念教学的第一步，这一步走得如何，对学好概念有重要的作用。
1.提供现实原型。著名教育家杜威曾说：“教学绝对不仅仅是简单地告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟。”数学教学中，教师应立足教材，着眼学生的发展，把握核心知识内容，有效开展自主探究活动，向学生展示本质，是学生理解数学概念的形成过程。形成准确概念的首要条件，是使学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料。因此，在教学中要密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，观察有关的实物、图示、模型，在具有充分的感性认识的基础上引入概念。例如在“异面直线”概念的教学中，教师应先展示概念产生的背景，如在粉笔盒这样一个长方体模型中，当学生找出两条既不平行又不相交的直线时，教师告诉学生像这样的两条直线称之为异面直线，接着教师可提出问题“什么是异面直线呢？”可让学生进行讨论，尝试叙述，再进行反复修改可得出异面直线的简明、准确而严谨的定义“我们把不在任何一个平面上的两条直线称为异面直线”。再让学生找出教室中的异面直线，再以平面为衬托作出异面直线的图，这样学生对异面直线的概念就有了一个较为明确的认识，同时也让学生经历了概念发生发展过程的体验。
2.从数学内在需要引入概念。例如，在实数范围内，方程x2+1=0没有解，为了使它有解，就引入了一个新数i，i满足i2=-1，它和实数一起可以按照通常的四则运算法则，进行计算。由此再引入复数的概念。于是方程x2+1=0就有解了。
3.用类比的方法引入概念。类比不仅是思维的一种重要形式，而且是引入新概念的一种重要方法。任何数学概念必定有与之相关的最近概念，因此教学中要以学生已掌握了的知识为基础，引导学生探求新旧概念之间的区别与联系，通过类比教学引出新概念。例如，二面角可类比平面角引入，平面与平面的位置关系可类比平面上直线与直线的位置关系引入，平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则概念的引入可以与物理学科中的位移的合成、力的合成进行类比引入等。
三、剖析概念的本质
概念在人们头脑中形成，仅是人们对概念认识的开始，对概念认识的深化必须从概念的内涵与外延上作深入的剖析。概念的内涵是指反映在概念中的对象的本质特征。概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的对象。内涵是概念的质的方面，即概念所反映的事物是什么样子的。外延反映的是概念的量的方面，即概念的适用范围，它说明概念反映的是哪些实物。以三角函数的概念为例，对六个基本三角函数的定义，应抓住其中一个，如正弦函数sinα=y，可这样进行分析：正弦函数的值本质上是一个“比值”，它是角α的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值，因此它是一个数值；指出由于｜y｜≤r，所以这个比值不超过1，这个比值与点在角的终边上的位置无关，这可用相似三角形的原理来说明；这个比值的大小，随着α的变化而变化，当α取某个确定的值，比值也有唯一确定的值与之相对应。如此，以函数概念为基本线索，从中找出了自变量、函数以及对应法则，从而对正弦函数概念的理解就比较深刻了。经过对正弦函数概念的本质属性分析之后，指出角的终边上的任意一点P（x，y）一经确定，就涉及x，y，r这三个量，任取其中两个量组成比值，有且仅有六个。因此，基本三角函数就有六个，从而对三角函数的外延，就揭示的非常清楚了。
四、掌握概念的符号
用数学符号表示数学概念既是数学的特点又是数学的优点。由于数学概念本身就十分抽象，加上用数学符号表示，就更加抽象了，因而在数学概念教学中使学生真正掌握概念符号的意义是十分重要的。例如，学生往往将正弦函数的符号“sin”看成一个数，从而得出如下的错误等式：sin（α+β）=sinα+sinβ。所以在教学中，要始终给形式符号以具体的内容，时刻提醒学生注意符号的意义及使用符号的条件。
五、重视概念的巩固
初步形成的概念，巩固程度差，易受相近概念的干扰，适时利用变式训练有助于纠正学生的思维偏差。概念巩固是概念教学的重要环节。心理学原理告诉我们，概念一旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应在引入、形成概念后，及时进行复述，以加深对概念的印象。其次应重视在发展中巩固。第三是通过概念的应用来巩固。概念的应用要注意递进的过程，即由初步的，简单的应用，逐步发展到较复杂的应用。要引导学生在判断、推理、证明中运用概念，在日常生活、生产实践中运用概念，以加深对概念的理解，达到巩固概念的目的。例如，教学对数的概念后，可以通过以下四类练习题予以巩固：
通过这些练习，可以使学生逐步学会运用对数概念进行判断、推理和证明。在运用的过程中，加深对对数概念的理解。
人类的认识过程是一个特殊的心理过程，对于数学概念的理解和掌握，智力不同的学生完成这个过程往往有明显的差异。在教学中要面向全体学生出发，从不同的角度，设计不同的方法，使学生对概念作辩证的分析，进而认识概念的本质属性。例如选择一些简单的巩固练习来辨认、识别，帮助学生掌握概念的内涵与外延；通过变式或变式图形，深化对概念的理解；通过新旧概念的对比，分析概念的矛盾运动，抓住概念之间的区别与联系来形成正确的概念。只有让学生深刻理解并掌握了概念，才能更好的帮助学生认识数学，进一步发展学生的数学思维，提高学生的理解能力。
参考文献
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一、在体验数学概念产生的过程中认识概念
数学概念的引入，应从实际出发，创设情境，提出问题。通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性。
如在“异面直线”概念的教学中，教师最好先陈述概念产生的背景。如在长方体模型中，让学生观察长方体的各条棱中，是否存在两条既不平行又不相交的直线？若存在，请同学们找出来。教师接下来告诉学生像这样的两条直线就叫做异面直线。接着提出“什么是异面直线”的问题，让学生相互讨论，尝试叙述，经过反复修改补充后，给出简明、准确、严谨的定义：“我们把不在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线。”经过了学生自己的直观感知，归纳概括的基础上，再让学生找出教室或长方体中的异面直线，进一步深化学生对概念的理解。最后以平面作衬托，引导学生如何画出异面直线的图形。学生经过以上过程对异面直线的概念有了明确的认识，同时也经历了概念发生发展过程的体验，更有利于学生对概念的把握。这一点在新课标教材改革后有明显的体现。
二、在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念
一个新概念的引入，无疑是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义，等等。可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个“三角”部分的奠基石，它贯穿于与“三角”有关的各部分内容，并起着关键作用。所以重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，对于学生理解概念显得更有必要。常言道：磨刀不误砍柴工。事实上，也正是如此，对概念的内涵与外延的把握，不但不会耽误例题的讲解，反而会相得益彰。
三、类比邻近概念，引入新概念
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1.联系生活中具有相反意义的量。如用收入与支出，前进与后退，盈利与亏损，上升与下降等引出正负数的概念。
2.从实物抽象出概念。如利用杆秤引出数轴的概念。用杆秤称量物体时，移动秤砣保持秤杆平衡，秤杆上星点表示的数就是物重，秤砣左右移动表示物体的重量增减变化，从这一过程中抽象出本质属性：称量要有起点，称量要定单位，有表示增减变化的方向。由此启发学生思考如何用一个比较简单形象的方法来表示？学生容易联想到用直线上的点表示数，从而引出“数轴”的概念。
3.通过复习旧概念提出新概念。如复习一元一次方程类比得出二元一次方程。
4.让学生动手操作，发现新问题，提出新概念。新课程理念倡导让学生自主，合作探究的学习方式。因此在概念教学时，可让学生亲自动手试一试，在实验中发现问题，提出新概念。学习镶嵌时，让学生剪一些多边形（包括正多边形）纸片，动手拼图观察探究，发现镶嵌的条件。即体现了学生的主体地位，也活跃了课堂的学习气氛。
在概念引入时要鼓励学生大胆猜想，让学生依据已有的知识做出推测。经历概念形成的最初阶段，培养学生数学发现的基本素质。
二、重视概念的形成过程
一般来说概念的形成过程为：创设情景，归纳特征――建立模型，抽象概念――理解定义，巩固应用。注重概念的形成过程，可以完整地揭示概念的本质属性，使学生理解概念具有思想基础，培养学生的思维能力。例如在学习“有序数对”这一概念时，问：“同学们，你怎样向家长说明你的座位位置？”学生：“我在第五排第三行。”“很好，那么单独用排数或者行数能确定你的位置吗？”“不能。”再让第五排学生站一下，第三行学生也站一下。通过这样的过程让学生体验利用一对数来确定一点位置的正确性，加深了对概念的理解。
三、重视概念的理解过程
数学概念是用精炼的语言表达出来的。在教学中，抽象出概念后，还要注意深入分析概念的定义，帮助学生进一步理解概念的含义。
1.分析概念的定义。例如，学习“单项式”这一概念抓住“只含有数字和字母乘积运算”这一特征进行分析。如果还有其他运算如：加、减、除，这样的式子都不是单项式，只有理解这个定义，学生在判断时才不会出现失误。
2.剖析概念中关键词语。例如：同类项就是“含相同字母，并且相同字母的指数也相同”的项。抓住“相同”做分析，明确“相同”是指字母和它的指数都相同。
3.揭示概念的内在联系。对于有内在联系的概念要做好比较。例如“一元一次方程”的概念是以“元”“次”“方程”这三个概念为基础的。“元”表示未知数，“次”表示未知数的最高次数，次数是针对整式来说的，“一元一次方程”是最简单的整式方程，学生掌握“一元一次方程”为后面学习“二元一次方程、一元一次不等式”打下基础。类比内在联系的概念，学生用起来才会得心应手。
4.归纳对比，区分概念的异同。数学中的许多概念之间既有联系又有区别，学生容易混淆。教学应引导学生归纳比较。如“三角形的角平分线”“与角的平分线”
是密切联系的两个概念，相同点是它们都是能够平分角，不同点是前者是线段后者是射线。
四、重视概念的巩固过程
心理学认为概念形成后要及时巩固，否则就会被遗忘。巩固是概念课教学的重要环节，首先复习要及时。遗忘规律指出，识记后最初遗忘得较快，以后渐渐减慢，因此在概念初步形成后，趁热打铁，及早复习，引导学生正确叙述，把握概念的要点、特征、优点是既省时间，效果也好。其次，适当采用复习，通过单元，章节，周末，月考等多种方式进行复习，维持学生的学习兴趣，增强主动性，积极性，让学生看到成绩，增强信心，进而取得好的复习效果。还要善于利用最佳时间进行复习，早晨头脑清醒，干扰因素少，把概念温习一下，晚上临睡前把学习的概念回忆一遍，使获得的概念理解更准确，影响更深刻，巩固得更有效果。
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一、抓概念的形成，正确理解概念
在教学一个新的概念时，首先要注意它是如何形成的，是如何从具体的事物中抽象出来的，此概念的内涵（就是概念所反映的本质属性的总和）是什么，它的外延（就是具有概念所反映的本质的所有对象的集合）是什么，只有这样，才能使学生正确理解概念.例如：“函数”这一概念定义为：“如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作y=f(x)”.从定义可以看出，函数的概念的本质属性有：变量x的取值范围（定义域），对应法则f，每一个确定的x对应唯一确定的y值（y值的集合叫值域）.如果联系到我们前面学过的集合A到集合B的单值对应（也叫映射），应当发现，函数实质上就是定义域A，值域C以及A到C的对应法则f三部分组成的一个特殊的映射.
再如，讲授数列｛an｝的极限是A（即an=A），采用从直观描述，再由定性到定量，由浅入深地进行。（1）数列｛an｝的极限是A的描述是：当自然数n无限增大时，数列｛an｝无限趋近A.（2）什么叫数列｛an｝无限趋于A，就是| an-A|无限趋向于0，即当自然数n无限增大时，| an-A|无限趋近于0.（3）什么叫|an-A|无限趋近于0？就是|an-A|能任意小，即对预先指定的任意小的正数ε恒成立，通过对极限由表及里、由浅入深的认识，数列｛an｝的极限A可表述为“无论预先指定多么小的一正数ε，都能在数列中找到一项an，使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε（即当n>N时, | an-A|
二、抓概念的要点，分层次掌握概念
数学概念的教学，要注意对概念逐字逐句加以推敲分析，善于剖析每一概念的层次要点，多层次、全方位地启发学生理解概念.例如：“奇函数”的概念，课本上是这样写的：“对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x).那么函数f(x)叫做奇函数.“那么，这个概念的内涵是什么呢？通过深“深抠”，使同学们认识到：（1）对奇函数来讲， x与-x都应该在定义域中，即它们的定义域关于原点必须是对称的，这是一个隐含条件；（2）对定义域内任意一个x，都有f(-x)= -f(x),这就是说它的自变量，因变量之间有这样的一种特定的对应规律，即对于自变量的两个相反值x与-x，它们对应的函数值f(x)与f(-x)恰好是相反数；（3）这种特定的对应规律，反映在作图上，必然是函数的图象关于原点对称.这样一“抠”就使学生清楚地认识到奇函数的三条性质是从它的定义中引伸出来的，定义和性质是源与流的关系，因与果的关系.两者之间不是孤立的、割裂的，这样一步一步地使学生正确理解函数的奇偶性是函数定义域上的一个整体，而不是局部的性质.使学生深刻理解概念理论体系和理论发展中的科学价值，从系统上，本质上正确掌握概念。
三、抓关键，找本质强化概念
概念是对客观事物本质属性的概括和反映，要正确理解某一概念，必须引导学生全力找出概念的本质，把概念的本质属性向学生讲清楚，切忌让学生死记硬背。例如：“椭圆的定义”，课本上是这样定义的：“平面内到两定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹叫做椭圆。”通常表示为椭圆就是集合；P={M| |MF1|+|MF2|=2a}不少同学死记这个公式，认为只要形式上符合这个公式，则M点的轨迹就是椭圆，认为满足方程|z-i|+|z+i|=2的点z的轨迹是椭圆，事实上，点z的轨迹是不存在的，因为定义要求动点到两定点的距离之和大于两定点的距离，即2a>|F1F2|，之所以发生此类的错误，主要原因是学生没有掌握概念的本质属性。
再如，集合的概念，课本上是这样说的：“像这样，把具有某种属性的一些对象，看作一个整体，便形成一个集合。”通过典型的例题分析，引导学生发现集合的本质属性是：集合的范围、集合的特征、集合的对象”。而形成集合的元素必须具备以下三点：（1）集合里的元素是确定的，这就是说，任何一个对象或者是这个集合的元素，或者不是这个集合的元素，二者必居其一。（2）集合里的元素是互异的。这就是说，一个集合里的元素都是彼此不同的，即在一个集合里元素不能重复出现如方程（x-1）2=0的实数解的集合里只有一个元素1。（3）集合里的元素是无序的，在一个集合里，通常不考虑它的元素之间的顺序，也就是说，集合的元素哪个在前，哪个在后是无关紧要的，只有让学生掌握了概念的本质属性，才能不出现象“花园里好看的花”、“较大的数”等组成的集合的错误。
四、抓变式、举反例深化概念
数学概念大都是从正面阐述的，从而导至教师讲解时，机械地讲授数学概念，如果在教学中，在学生正面认识概念的基础上引导他们从反面或侧面去剖析，那么就可以深化对概念的理解。例如，在讲授等比数列的定义后，可以向学生提问：“是否存在公比为0的等比数列？”通过分析讨论知道，这种数列是不存在的。而且学生可以得到一个新的发现――等比数列中的项是不能为0的，至此，学生对等比数列的概念加深了了解。
“曲线和方程”的对应关系比较抽象，学生不易理解，教学中，可先通过实例，使学生弄清曲线和方程的内在联系，再归纳出曲线和方程的一般关系。
（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点都适合这个条件而毫无例外（纯粹性）.
（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明适合条件的所有点都在曲线而毫无遗漏（完备性）
只有具备了上述两个条件，才能称为“曲线的方程”和“方程的曲线”，为了使学生正确理解曲线和方程间的对应关系，可举实例从反面加以说明：
过点（2，0）平行于y轴的直线L与方程|x|=2之间的关系，如图1直线L上的点只具备条件（1）而不具备条件（2），因此，方程|x|=2不是直线L的方程，直线L也不完全是方程| x|=2的直线，它只是方程|x|=2所表示的图形(如图2)的一部分。
例2、到两坐标轴距离相等的点轨迹与方程y=x之间的关系，只具备条件（2），而不具备条件（1），如图3因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线L1和L2，直线L1上点的坐标都是方程y=x的解，但直线L2上的点（除原点外）的坐标就不是方程y=x是直线L1的方程，方程y=x不是所求的轨迹方程，通过上面两例，使学生对曲线和方程概念的理解等到了深化。
在教学中，寻求分式的多变形式，逐步培养学生灵活多变的思维能力，同时也加深了对概念的理解，如对数tg(α+β)= (tgα+tgβ)/(1- tgαtgβ)可变为tgα+tgβ=tg(α+β)・(1- tgαtgβ)也可变为（1- tgαtgβ）=(tgα+tgβ)/ tg(α+β)等。
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数学新概念的产生一般都有生产和技术发展的需要，或者数学本身发展的需要。参照数学发展史，模拟创设符合学生认知水平概念出现的情境，使学生真正感受到数学对象的存在。
如“负数”的引入，负数的概念是学生进入初中学习的第一个重要概念，一般的教科书中都列举了很多实例，无非是要说明引入这个概念的必要性。诸如“收入500元”和“支出200元”、“海平面以上2000米”和“海平面以下1000米”等等这样相反意义的量在生活中是大量存在的。也许有的学生会想，引入“负数”这个概念有必要吗？没有使用“正数”和“负数”不也把意思表达得很清楚吗？根本就不需要引入这两个概念呢。这时，我们可以让学生比较：“海平面以下1000米”与“－1000米”哪个简洁？而且，如果不引入“负数”这个概念，“海平面以下1000米”如何与其他数字进行计算？学生这时明白，意思表达虽然也很清楚，但是却不简洁，而且很难进行计算。这样不仅显示出负数的引入有其数学发展本身的需要，而且还涉及数学的符号化问题。
二、准确阐述概念的内涵
在形成概念的时候，还应让学生理解概念概括数学对象的合理性和科学性，也就是说，这个概念的内涵确实反映出这类数学现象的共性，即定义的合理性。
我们来看看相似概念的形成。首先，教师会像教科书一样，提供一些相似的图例。如用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，以及排版印刷时使用的不同的字号等等，都给我们以形状相同的图形的形象（即相似）；其次，要形成数学中相似的概念，就需要进行抽象概括（数学化）。两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到的（如放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上的图形的放大，用复印机把一个图形放大或缩小后所得的图形）；再次，哈哈镜里看到的镜像却与本人不相似，那又是为什么呢？这时就要启发学生思考：哈哈镜里看到的镜像与本人各部分放大或缩小的比例不同。进一步的研究，学生们就会发现，放大镜里看到的三角形，与原来的三角形也是相似的，而角并没有放大，而只是放大了线段，这说明了什么呢？说明相似图形的对应角应该是相等的，而且，对应线段被放大了相同的倍数，否则就不是相似图形。最后，可以问学生：“矩形和正方形相似吗？”“正方形和菱形相似吗？”这时，学生差不多自己就可以给出相似多边形的定义了，即“对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。”由此可以看出，这个相似多边形的定义是合理的，反映出了事物的本质属性，即隐藏于“放大”、“缩小”、“压缩”、“拉长”之类说法中的数学表达。
三、理解概念利于构建知识网络
在概念教学中，有时仅仅阐明其实际意义是不够的。随着学习的不断深入，接触到的数学概念越来越多，教师要根据概念之间的逻辑关系，按知识和结构组成概念体系，把学生感知的“孤立”、“零散”的概念纳入相应的数学体系中，让学生获得一个条理清晰的知识网络。
1.对于并列相关的概念，可进行类比联想。在繁多的数学概念中，我们经常可以见到，有些概念表面貌似，但有着本质区别，存在并列关系；有些概念的本质相同，只是名称不同，有着等同关系。对于这类概念，我们可以采用类比联想，联想的东西越多，思考的途径就也越多。例如，二次根式的加减就是合并同类二次根式，它可以与初一的整式加减中的合并同类项类比，使合并同类二次根式与合并同类项的新旧意义迅速得到同化。再如，轴对称与中心对称，虽然都是图形的对称，但其内涵有着本质的不同。通过纵横对比，在类比中找特点，在联想中求共性，把数学知识系统化。
2.还有一些概念是在原有概念的基础上发展的结果，是因数学知识体系本身发展的需要而产生的。如负数的产生，除了上面所说的有相反意义的量以外，还因为有在减法中被减数小于减数在正数范围内无法计算的问题，显示出负数的引入有其数学发展本身的需要。
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二、揭示概念的内涵、外延，培养学生的数学能力
概念的内涵是指反映在概念中的事物的本质属性，概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的事物。让学生明确概念，就是要让学生明确概念的内涵与外延，培养学生的领悟能力。如数列极限的概念的引入：
首先给出实例：①0.9、0.99、0.999、……1——、……②1、－、、－、……（－1）n＋1、……分析这些数列的“项随n增大，逐渐逼近某一个常数”的特点，让学生感知这种“形式上从有限到无限，其结果无限双转化为有限”的数学家思想，即极限思想。接着给出数列项在数轴上的表示，直观反映数列项逼近常数的过程，在此基础上用数学语言表述这一数学现象，进而对一般数列极限的情况给出ε——n的定义，这种从“特殊”到“一般”，从“形象”到“抽象”的过程，可促使学生深刻体会极限的内涵，培养学生抽象概括能力。
又如函数奇、偶性的概念：前提：对于函数定义域内的任意x，其中“任意”即“所有”，说明函数奇、偶性是定义域内的整体性质。其次给出f(x)与f(－x)的关系，意味f(x)与f(－x)都存在，隐含着函数定义域关于原点对称，通过这样的剖析，可防止学生偏面地认为判断函数奇、偶性就是验证f(x)与f(－x)的关系，使学生领悟函数具有奇偶性的必要条件是“函数定义域关于原点对称”。
三、强化概念的运用，提高学生综合素质
学数学离不开解题，美国著名的数学教育家波利亚就曾指出：“掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题”结合数学学习水平分层次配备训练题组让学生运用概念层层深入地分析解决问题，是提高学生综合素质重要环节。
如在“函数单调性”概念教学中，给出下列题组加以巩固训练。
例1：判定函数y＝x2的单调性？学生可直接归入单调性定义加以判定。
例2：判定函数y＝log2(x2－3x＋2)单调性？需要学生通过转化，变为复合函数内层、外层函数单调性进行判定。
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小学低年级的数学概念，大部分是具体的，可以直接感知。从四、五年级起，概念的抽象程度逐步增加，要使四、五年级学生掌握这些抽象的概念，有一定的难度。但学生对具体的材料和经验性的知识却很感兴趣，因此，教师要抓住学生这一特点，按照由具体到抽象，由感性到理性的认识规律，采用直观演示、动手测量、新旧知识相联系等方法，深入浅出地讲清概念，使学生快捷深入地理解概念。在进行概念教学时，教师要做到：
一、结合生活实际引入概念
数学来自现实生活，学生的周围处处有数学，结合生活实际引入概念是一个有效的途径。在小学教学中有很多数量关系都是从具体生活中表现出来的，因此，教师在教学中要充分结合学生的生活实际，把抽象的内容转变成具体的生活知识，在学生思维过程中强化抽象概念。小学生从掰手指到简单地运用计算机，都是在生活中不断总结而学习获得的。要从生活实际出发，打好概念基础，教师就必须熟悉小学生的生活环境。如在学习比较数值大小时，“2”和“3”的大小，可以把“2个苹果”和“3个苹果”放在学生面前，让学生选择，当学生选择3个苹果时，可以问为什么会选择“3”，这样让他们在实际生活中真正体会到比较大小的概念。还可利用小学生在生活实际中比较熟悉的一些知识，概括出新的概念。例如在引入平行四边形概念时，先出示两组不同长度的四根小木棒，教师进行演示，让学生观察后，再把这四根小棒钉成一个长方形。让学生观察这个长方形，然后教师又进行演示，把它向其中一头拉斜，让学生观察教师演示后的形状，引导学生说说这时的长方形变形后有什么特点。这时学生可以说出：两组对边的木条长度相等，但四个角又不是直角，这样就在小学生思维中形成了平行四边形的概念。
二、通过直观演示形成概念
小学生心理发展的主要特点是：善于记忆具体的事实，而不善于记忆抽象的内容。因此，要充分发挥直观演示的作用。通过教师的演示，以及学生自己动手操作等直观教学方法，有助于学生形成正确、明晰的概念。通过学生动手、动脑进行实际操作，才能刺激学生多种感官的协同参与，这样，既能顺应学生学习心理，又能使学生在“亲自创造的事物”中愉快地获得真正的理解。例如小学生认识“米”的概念时，首先通过观察米尺，初步直观认识1米有多长，接着将米尺与铅笔、身高、课桌面的长度进行比较，进一步直观认识1米的大约长度，然后让学生与同桌合作，用米尺量教室内的长，这既是对米的概念的进一步强化，又是对学生动手能力的一次锻炼。又如教学圆锥体积时，可先用纸做三个圆锥体和一个圆柱体。其中一个圆锥体和圆柱等底等高；一个圆锥体和圆柱等底不等高；一个圆锥体和圆柱等高不等底。然后把圆锥里盛满沙子（每个圆锥盛三次）倒入圆柱。这样学生就清楚地看到：三个圆锥体中，只有那个和圆柱体等底等高的圆锥体里的沙子三次正好填满圆柱体，其余两个不合适。接着再让学生思考，找出圆柱和圆锥之间的关系，在学生理解的基础上，动用已学过的圆柱体体积的计算公式，推导出圆锥体体积的计算公式。最后，给学生小结，圆锥的体积等于和它等底等高圆柱体积的三分之一。经过这样由浅入深的直观演示和讲解，既复习了圆柱体体积的计算公式，又学会了计算圆锥体体积的方法，收到了较好的效果。
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一、从概念形成入手
形成概念是较高层次的认知过程。聋校聋生由于语言障碍对理解力的影响,加之概念一般又多使用高度简练、概括的语言叙述,所以聋生对数学中的概念很难理解,反之聋生的观察敏锐,感性认识居多。这时,概念形成这种方式对他们可能更有效。
从现实中提炼数学问题。在概念形成过程中,需要使用聋生头脑中已有的一些日常概念的具体性、特殊性成分作为依托,从中提炼出它的理论逻辑性,使聋生能借助经验事实,变得容易理解。因此,在新概念引入时,要注意利用聋生自己在日常生活中的经验或事实,让聋生自主提炼成现实数学问题。使他们身处现实问题情境中,通过亲身体验,在感性认识的基础上,借助于分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动,对常识性材料进行精细化,使日常概念向科学概念发展,从而步入理性认识。
这样做,不但可以使聋生理解概念形成的过程,并且可以减小某些聋生因语言发展的滞后影响理解能力,从简单的字面意思的理解,上升为对概念本质的理解,反之,也可以促进聋生的语言发展。
通过数学概念本身的联系和特点,利用以下的一些方法,从而形成概念。
事物之间通常会有一些相同点和不同点,通过对比,从而总结出本质属性或规律。这种方法是针对事物之间的异同点进行探索,运用这种方法可以使聋生正确认识数学知识间的异同和相互关系,更好地理解和掌握数学概念。
根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似,进行类比,联想或猜想它们的其他属性也可能相同或相似,继而得到新的结论。它是依据客观事物的相似性,进行猜测得到结论的发现方法。“类比”,也是培养聋生数学思维的一种重要手段。
例如,在学习分式的运算时,可以类比分数的运算,类比两者之间的共同点,从而利用已有知识掌握新的知识。
指引导聋生对大量的个别材料进行观察、分析、比较、总结,从特殊中归纳出一般的带有普遍性的规律或结论。教学中,教师可以引导聋生通过对具体实例的直接观察,进行归纳推理,得出结论。
例如,在讲“乘法分配律”时,先设计计算:
①(7+3)×4;7×4+3×4
②(6+5)×3;6×3+5×3
聋生通过计算,很容易发现每组中两个算式的结果相同。再引导聋生观察、分析,归纳总结出“乘法分配律”。
二、理解强化概念
在聋生理解和形成概念基础上,让聋生在不同题型、不同方式的训练中,深化对概念的理解。并在理解的基础上记忆、巩固概念,这样聋生所学到的结论就不单纯是文字的结论,而是对概念全面的理解和掌握。
要真正理解和巩固一个概念,往往可以借助“反馈”,及时利用刚刚形成和建立的概念去解决一些问题,加深对其内涵和外延的认识。这里教师可以精心地设计练习题,使聋生在不同题型、不同方式的训练中,深化对概念的理解。可以尝试采用以下几种方式:
(1)直接式。即让聋生从正面去直接理解。
(2)变形式。即从变式中把握概念的本质属性,排除非本质属性的干扰。
例如,在教授分式概念时,可以设计提问3aa-b是不是分式,从分式的概念入手,抓住“分母中含有字母”这个本质属性,得出分子中可以有字母,也可以没有,只要分母中含有字母,并且,分母是多项式或单项式都可以,只要含有字母。这又强调了分子分母为整式的这一本质属性。
(3)对比式。即设计有利于聋生从横向或纵向弄清概念之间关系的练习题,通过比较,加深对某一种概念本质属性的认识。
例如,在方程的教学中,一元一次方程的概念与一元二次方程、一元一次不等式的概念是同类概念,在教学中可以类比一元一次方程的概念,来发现和学习一元二次方程和一元一次不等式的概念。
(4)反例式。即设立一些与概念中的重要属性相违背的反例,让聋生通过找出反例的错误所在,从而更加深对概念内涵的理解。
同样,在分式教学中,可举反例:a+b4是否为分式?
聋生根据概念判断分母中没有字母,所以判断它不是分式,而是整式。不但加深对概念的理解,并能将概念简单应用。
三、概念的有效迁移应用
数学概念来源于生活,就必须要回到生活中。教师要通过设计富有实用性、生活性的习题进行训练,让聋生用所学的概念只是去思考“怎样做,为什么要这样做,还可以怎样做”等问题,根据理论与实际相结合的原则,把理解引向更深的层次。
参考文献:
[1]张宁生.听觉障碍儿童的心理与教育.华夏出版社,1995,1.
