引论：我们为您整理了13篇三角函数变换规律范文，供您借鉴以丰富您的创作。它们是您写作时的宝贵资源，期望它们能够激发您的创作灵感，让您的文章更具深度。
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一、把握公式规律，巧记公式
对三角公式的准确、熟练记忆是进行三角变换的前提，但是三角公式繁多：同角三角函数的基本关系式（8个）、诱导公式（36个）、两角和与差的三角函数公式（6个）、二倍角公式（5个），再加上各组公式的变形，总共有60多个公式。如何才能保证记忆时不出现错误呢？这就要求学生在记忆时不要死记硬背，而是要把握其中的规律，巧记公式。下面，介绍各组公式的记忆方法。
1. 同角三角函数的基本关系式
这组公式常称“三类八式”，即这八个公式分为三大类：平方关系、商数关系和倒数关系。八个公式可画一个六边形来记忆。
记法：①在最长对角线上的两个三角函数的乘积为1。如：tanα・cotα=1；②在3个倒三角形中，上面两个顶点的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方（中心点为1）。如：tan2α+1=sec2α；③任意一顶点上的三角函数值等于与之相邻的两个顶点的三角函数值的乘积。如：sinα=tanα・cosα.
2. 诱导公式
诱导公式看似很多，其实可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式左边的角可统一写成k・±α(k∈Z)的形式，当为奇数时，等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变，当k为偶数时，等号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当做锐角，k・±α为第几象限，以及左边的三角函数之前的符号即为公式右边的符号。
3. 两角和与差的三角函数公式
这6个公式可分为三组，故可分为三组来记忆。每一组的特征都很明显：两角和（差）的余弦：余余、正正、符号异；两角和（差）的正弦：正余、余正、符号同；两角和（差）的正切：分子同，分母异。
4. 二倍角公式
其实，二倍角公式是两角和的三角函数公式当两角相等时的特殊情况。把握住这点，记住两角和的三角函数公式，二倍角公式自然就记住了。有规律有方法地巧记公式，有事半功倍的效果。
二、总结题型规律，活用公式
记 住了三角公式，如果不了解三角变换的提醒规律，也很难去用公式解题。三角变换题目虽然很多，但是也是有规律可循的，大致可以分为以下几类。
1. 角的变换
进行角的变换常用的公式有诱导公式、两角和（差）公式和二倍角公式。因此，题目当中需要化角时就要想到用这些公式，而不是往别的公式上去套。例1：已知α、β为锐角，且sinα=，cos(α+β)=-，求sinβ的值。解析：此题就需要用到角的变换β=(α+β)-α，然后两边取正弦，右边用两角差的正弦公式展开即可。
2. 函数名称的变换
一般是切割化弦或弦化切割，常用公式为同角三角关系式中的倒数关系式和商数关系式。例2：已知tanα=3，求的值。解析：已知正切的值，求关于正余弦的值，很显然只能采用公式tanα=。
3. 常数变换
在三角变换中，有时需要将常数化为三角函数值，比较常见的是“1的变换”，常见的变形有1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=cot2α-
sos2α。例3: 若2k?仔-≤α≤2k?仔+(k∈Z)，则+的化简结果为( )。解析：巧用常数1的变换：1=sin2α+cos2α，则1-2sinαcosα= sin2α+cos2α-2sinαcosα=(sinα-cosα)2，同理，1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2，再结合角的范围开方即可。
4. 幂的变换
降幂是三角函数变换时常用的方法，对次数较高的三角函数公式一般采用降幂处理方法，常用的降幂公式有：二倍角公式的逆用和同角三角函数平方关系式，降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂处理变成有理式。例4：化简cos8x-sin8x+ sin2x・sin4x。解析：本题中三角函数的次数较高，需要从降幂入手进行化简，先后用到平方差公式，二倍角公式和sin2α+cos2α =1。
总之，三角变换题目比较灵活，其解法也千变万化，没有固定的、唯一的解法。所以，在解题时，应根据题目的特点确定解题方法和变换技巧，再选择有关公式，千万不能对公式生搬硬套。如果在学习过程中多归纳、多总结，注意分析题目的结构及发现其规律，则可以结合所学的知识迎刃而解了。
参考文献：
篇2
掌握三角函数的基本公式是最重要的，同学们在学习过程中，由于随着学习的深入，前面的公式掌握得不够牢靠，导致了后边的学习跟不上，这就是由于三角函数最基础的公式掌握不够造成的.如何弥补这个缺陷，最重要的还是要牢记公式，没有别的办法，只有熟记公式，才能在以后的深入学习中不至于被动.
倍角公式、半角公式、和差化积公式以及积化和差公式，是需要花时间和精力去掌握的，并且要经常练习，才可以达到运用比较熟练的地步.
二、掌握基本的解题规律
三角函数的题目有其基本的解题思路和过程，要掌握这些基本的方法，在高考中，三角函数的题目也无非就是这些内容，不会偏离了这些基本的解题思路.对于题目，首先应该观察题目的基本叙述，了解清楚后，看适合于哪类三角函数的公式进行解题，在解题过程中，对于自己运用公式的熟悉程度是一种考验，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.
对于常用的解题方法要熟练掌握，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等.通过对这些方法的研究，使得学生不仅掌握这些方法，而且能够举一反三，同时，在应用这些方法应用时，可以做到综合的运用，而不是单一的、片面的掌握.
举例来说，学习某个函数肯定是先学习定义，而定义一般是用函数式来定义的，并且定义式中的参数一般会有一定的限制，如一次函数y=ax+b，a不为0.定义域优先应该说所有的老师都明白，但是应用的时候就可能会忘记.事实上在方程与不等式的研究中也应该有“定义域”优先的原则，缺少了定义域就不是完整的函数的定义了.而函数的值域是由解析式与定义域唯一确定的，所以一般不写，但它是研究的重点，研究的方法也非常多，并且不同的函数研究的方法不一样.
三、比较法的学习
通过对函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、图像变换等的理解和掌握，把握三角函数的这些基本性质，与其他函数进行比较，以达到比较法的学习.函数的概念、性质的相同、相似点以及它们之间的差异会给学生在学习中留下较深的印象.通过比较法的学习，会加深对三角函数的理解和应用.
三角函数具有自身的特点，要从两个方面加以注意：一是三角函数的图像及性质.函数图像是函数的一种直观表示方法，它能形象地反映函数的各类基本性质，因此对三个基本三角函数的图像要掌握，它能帮助你记忆三角函数的性质.此外还要弄清y=Asin（ωx+φ）的图像与y=sinx图像的关系，掌握“A”“ω”“φ”的确切含义.对于三角函数的性质，要紧扣定义，从定义出发，导出各三角函数的定义域、值域、符号、最值、单调区间、周期性及奇偶性等.二是三角函数式的变换.三角函数式的变换涉及的公式较多，掌握这些公式要做到如下几点：一要把握各自的结构特征，由特征促记忆，由特征促联想，由特征促应用；二要从这些公式的导出过程抓内在联系，抓变化规律，这样才能在选择公式时灵活准确.同时还要善于观察三角函数式在代数结构、函数名称、角的形式等三个方面的差异，根据差异选择公式，根据差异确定变换方向和变换方法.
四、有条理的归纳总结
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一、知识性错误
数学中的知识性错误是指由于对有关所学的概念理解不清，对概念、性质混淆不清等，从而导致的错误.
（一）概念理解不清
致错分析 以上错解的原因是没有考虑函数的定义域，因为函数f（x）的定义域为x≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .
二、逻辑性错误
由于我们认知结构的不完善，所以在数学解题中就很容易出现逻辑性的错误.逻辑性错误指的是我们在解题的过程中由于违背了逻辑思维的规律而产生的错误.逻辑思维的规律，即逻辑规律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常见的逻辑性错误的类别一般为循环论证、偷换概念、虚假理由、分类不当和不等价变换这五种.在高中数学三角函数的学习中，一般会出现的逻辑性错误有分类不当、循环论证和不等价变换这三种.
（一）循环论证
论题、论据和论证是构成任何数学问题的三大要素，其中论题指的是为了真实性而需要的那个命题，论据指的是为了证明论题的真实性所需要依据的真命题，论证指的是联系起了论题和论据的具体的推理形式.只有真实的论据才能论证出论题的真假，但是论据的真实性不能不依赖于论题的真实.循环论证指的就是论据的真实性需要依赖论题的真实性的一种论证.
致错分析 上述解法看上去好像是正确的，其实已经犯了循环论证的错误，错在没有利用题设条件进一步缩小α-β的范围，产生了增根.
事实上，同理可得：.
（二）不等价变换
不等价变换是属于逻辑错误中的违反同一律原则的错误.在解题过程中，对命题进行不等价的变换，常常会出现解集的缩小或者是扩大.
三、策略性错误
在数学解题过程中的策略性错误主要指的是在解题方向上有偏差.这样的错误往往会导致解题的思路受阻而无法完成解题过程，或者解题思路过于曲折而即使做对了也非常费时费力.
（一）不善于正难则反
我们在解题的过程中一般都会习惯于从正面去思考问题，而并不去做反面的思考.但是有时候从正面来解决一个问题是非常艰难或者复杂的，甚至常常会容易出错.这就要求我们在解题的时候要灵活运用方法，当正面解题比较艰难的时候可以从反面进行思考.
例5 函数y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.
错解 将原函数变形为：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，则y=（t-a）2+a，当t=a时，ymin=a，a=3.
致错分析 三角函数中通过换元便隐去了三角函数的特性，三角函数的定义域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，当a=3时，t=3，即sinx =3显然不符合题意.事实上，换元后，问题转化为二次函数y=f（t）=（t-a）2+a在闭区间[-1，1]上的最小值问题.
正解 （1）当a
（2）当-1≤a≤1时，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合题意，舍去；
（3）当a>1时，由ymin=f（1）=3，得a=2.
综合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.
（二）审题出现主观臆断
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三角函数是高中数学新课程中的重要内容，在这些内容中强调了三角函数作为函数的作用，强调了三角函数是刻画周期现象的基本模型等，这是数学课程发展中的一个变化.虽然高中数学新课程已对一些内容降低了要求，但很多学生同样不适应，不能很好地理解与掌握。高考试题中的三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常以简单题形式出现。因此，在学习、复习过程中要特别注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象及其变换、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等重点内容的学习，要求学生熟练记忆和应用三角公式及其恒等变形，同时要注重三角知识的工具性.对此本人从几个方面加以阐述，希望能够帮助学生认识“三角函数”在数学中的地位，能较为全面地把握“三角函数”知识脉络，学好三角函数知识，提高综合能力.
一、解决角的问题是学好三角函数的前提
（一）解决好特殊角的三角函数值的求法
在初中，学生对0°～90°之间的特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值已了如指掌，但到了高中，随着角度的扩展，求与特殊角有关的角的三角函数值也随之增多，如对120°、135°、330°、―30°等角的三角函数值的求法开始出现了混乱。如何解决这一问题呢？通过学习诱导公式，学生明白了求这一类角的三角函数值，看似众多，其实都与0°、30°、45°、60°、90°的三角函数值有关，且只有符号的异同。因此帮助学生弄清诱导公式所概括的“奇变偶不变，符号看象限”这一规律，计算这一类角的三角函数值的问题也就迎刃而解。
（二）解决好角与角之间的关系
在三角函数中，如例1：已知，cos（α+β）=-■，sinα=■，求cosβ.
相当多的学生直观地把cos（α+β）化为cosα+cosβ-sinαsinβ用于计算，造成运算烦琐或无功而返。究其原因是缺乏整体思想，没有注意到对角的关系进行观察、分析。事实上若清楚β=（α+β）-α，则问题迎刃而解。又如：
例2.已知cos（■-α）=■，■-α是第一象限角，求■的值.
本例的解法很多，学生若能发现（■-α）与（■+α）的关系及（■-α）与（■-2α）的关系，本例就好解了。因此在教学中，帮助学生树立整体思想，引导学生注意观察、分析、比较。（如：角与角之间的和差倍半关系，互补、互余关系等）总结基本的方法、规律，提高解决问题的能力。
（三）解决好隐含条件的问题
解题是数学学习中的一个主要环节，它的一般过程是：问题条件知识方法结果，可见寻找问题条件是解题的第一步.可是在一些数学题中，它的某些条件较为隐蔽，需要经过反复推敲，剖析题意.挖掘题设隐含条件，所谓隐含条件，是指题中若明若暗、含蓄不露的条件，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被人们所觉察，或者极易被人忽视，而直接制约整个解题过程，三角函数在许多方面如定义、公式、三角函数值，条件等式中都存在着隐含条件。在解三角函数题时，常因未能发掘其隐含条件造成一开始解题就无法进行，或者解到某一个阶段而陷入困境，或者造成解题失误。
例3.设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A-C）+cosB=■，b2=ac，求B.
学生通过公式的变换及运算得sin2B=■，sinB=■或sinB=-■（舍去），于是B=■或B=■.这样的解法存在错误，其实在条件中cos（A-C）+cosB=■隐含着cosB>0的条件，即B为锐角。或由b2=ac知b≤a或b≤c得B为锐角。所以引导学生多观察条件，从中找出隐含条件，以免造成解题失误。
二、熟记，灵活运用公式是学好三角函数的基础
（一）熟练掌握三角变换的公式
很多学生刚开始学习三角函数时，因为三角函数的公式太多，而造成混乱。其实公式之间也有一定的内在联系，比如诱导公式sin（■±α）（k∈z）中，只需把“α”看成锐角，画出■的终边表示在X轴正半轴、X轴负半轴、Y轴正半轴、Y轴负半轴中的哪一个，终边在X轴上则函数名不变，终边在Y轴函数名改变；终边再按顺时针还是逆时针转一个锐角定象限，确定函数符号。掌握了诱导公式以后，就可以把任意角的三角函数化为0°～90°间角的三角函数。又如：以两角和的余弦公式为基础推导得出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握这些公式的内在联系及推导的线索，能够帮助我们理解和记忆这些公式；同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一，它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中要经常用到，必须熟记，并能熟练运用. 这也是学好本单元知识的关键.
（二）灵活运用三角公式
熟练掌握三角变换的所有公式理解每个公式的意义，特征；熟悉三角变换常用的方法――化弦法、降幂法、角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形中的有关公式解决一些实际问题.
1.运用化弦（切）法：
例5：已知tanα=■，求：f（α）=-2cos2α-■sin2α+2的值。
把-2cos2α-■sin2α+2除以1得■，化为■，再弦化切。本题就好解了。
2.运用增减倍与升降幂法：在运用公式化简三角函数时，引导学生根据具体问题分析采用增倍还是减倍，升幂还是降幂。
例6：设函数f（x）=2sinxcos2■+cosxsinφ-sinx（0
解：f（x）=2sinx・■+cosxsinφ-sinx=sinx+sinxcos φ+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ）
因为函数f（x）在x=π处取最小值，所以sin（x+φ）=-1，由诱导公式知sinφ=1，因为0
例7：已知函数f（x）=sin2x+■sinxcosx+2cos2x，x∈R.求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；其中sinxcosx可转化为sin2x，所以将sin2x、cos2x降幂同时把角转化二倍角。
3.运用辅助角及常用模式的转换法。在三角函数中除了运用课本内的公式外，还利用类似辅助角公式asinθ+bcosθ=■sin（θ+φ）进行解题。（这里辅助角φ所在象限由a、b的符号确定，φ角的值由tanφ=■确定。）而且在实际解题中，这一类问题大部分集中在sinα±cosα=■sin（α±■）和■sinα±cosα=2sin（α±■）和等常用模式的转化。
如上例7函数化简为：
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一、三角函数的恒等变形
在高中数学三角函数教学过程中，恒等变形是教学难点，也是教学重点。教师在讲解恒等变形时，要注重把握其教学要点，并明确三角函数恒等变形的应用。首先应该建构三角函数恒等变形的知识网络，确保学生明确三角函数的求值类型。在三角函数求值中，不同类型的求值方式不同，教师应该注重把握不同类型求值方式的异同，如“给角求值”“给值求值”等。教师还要注重把握恒等变形在具体运用过程中的注意事项，只有这样才能让学生真正学会三角函数的恒等变形。无论是简化三角函数的角度，还是证明不同角度之间的关联性，都应该在教学过程中注重把握角度的差异与联系，注重把握函数名称间的变换和联系，如升降幂，化切为弦等常用手段。
在这样的三角函数恒等变形的教学过程中，教师要引导学生仔细地分析题目，选择三角函数恒等变形中最合适、最直接的方法。在这类型题目中，切化弦是比较直接的方式，通过切化弦，能够将复杂的题目快速地转化为简单的题目，快速地进行题目解析，更有利于学生理解与把握题目。可见，在教学过程中，教师要注重把握三角函数恒等变形的重点，特别是让学生把握不同角度之间的关联，注重不同角度的差异，帮助学生理解三角函数的恒等变形。
二、三角函数的图象和形式
相比低年级数学，高中数学难度有所提升，教学侧重点也发生了转变。为了有效地帮助学生理解三角函数，教师要充分依托三角函数的性质、三角函数不同角度的差异，将抽象的内容形象化，通过数形转化来提升教学的质量，快速地帮助学生架构起理解的桥梁，只有这样才能真正帮助学生理解三角函数。
1.三角函数的区间
在高中数学教学过程中，三角函数的区间是三角函数的重要性质，是三角函数的重要内容。在把握三角函数的区间时，要注重引导学生理解与把握三角函数的递增或递减区间，明确不同区间的单调性，把握不同区间的递增方向，帮助学生更好地理解三角函数递增或递减的性质。不同三角函数的单调区间是不同的，很多学生在理解与把握的过程中，难免会混淆，这就要求教师要注重运用图形的方式来帮助学生形象化地理解不同三角函数的单调区间及区域。
2.三角函数的图象变换
三角函数的图象变换往往是基于y=sinx演变而来的，在此基础上衍生出了很多多样化的图象。所以在教学过程中，教师要注重引导学生扎实地理解与把握y=sinx等基本函数的特点，找准演变的规律，从而更好地了解三角函数。如在y=sinx的基础上，演变出来的新图象y=sin（ωx+φ），这是图象在值域或区间上的变化，在图象变化的过程中，往往存在两种典型的途径，不过这两种不同的途径在变化过程中方式不同，教师要引导学生注重把握其不同。
篇6
（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧长l及该弧所在的弓形面积.
（2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
（3）若将该扇形的圆心放在坐标原点，使角α的始边与x轴重合，已知角α的终边上一点P的坐标为（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.
（4）若α=60°，求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ
【思路点拨】 （1）可直接使用弧长公式计算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧长或半径来表达出扇形的面积，弓形面积由扇形面积与三角形面积的差组成，然后确定其最大值.（3）利用三角函数的定义求解，注意对y的讨论.（4）利用终边相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.
【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.
S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.
（2）由题意得l+2R=20，l=20-2R（0
S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.
当且仅当R=5时，S有最大值25（cm）2.
此时l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.
当α=2rad时，扇形面积取最大值.
（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.
所以当y=5时，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，
当y=-5时，cosα=-614，tanα=1513.
（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到适合-720°≤θ
60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.
【归纳总结】 扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，应注意角度制与弧度制不能混用.合理利用圆心角所在的三角形，合理选择参数，运用函数思想、转化思想，解决扇形中的有关最值问题.利用定义法求三角函数值需要已知或设角α终边上一异于原点的点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
【变式训练1】
（1）已知角α的终边在直线y=-3x上，则10sinα+3×11cosα=.
（2）不借助计算器的情况下，证明：sin20°
考点二、三角函数的同角公式及诱导公式
【考点解读】 求值题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，利用三角公式进行恒等变形的技能.题型多为选择题或填空题.六组诱导公式可统一记为“奇变偶不变，符号看象限”.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.切弦互化的技巧必须灵活掌握.
例2（1）设θ为第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，则sinθ+cosθ=.
（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.
【思路点拨】 （1）利用两角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再联想平方关系式，解题突破口就是求解关于“sinθ，cosθ”的方程组.（2）要想求出α，β的值，必须知道α，β的某一个三角函数值，解决本题的关键是由两个等式，消去α或β得出关于β或α的同名三角函数值.
【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，
即3sinθ=-cosθ
sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.
sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.
（2）假设存在α，β使得等式成立，即有
sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①
3cos（-α）=-2cos（π+β）1②
由诱导公式得sinα=2sinβ1③
3cosα=2cosβ1④
③2+④2得
sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，
又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，
将α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.
将α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.
综上可知，存在α=π14，β=π16满足条件.
【归纳总结】 （1）对于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）关于sinθ，cosθ的齐次式，往往化为关于tanθ的式子.已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：①由三角函数值的符号确定角α所在的象限；②据角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式.
【变式训练2】
若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.
考点三、三角函数的图象和性质
【考点解读】 能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，理解这三种函数的性质（如周期性、单调性、奇偶性、最大值和最小值、对称中心和对称轴等），函数的单调性是相对于某一区间而言的，研究其单调性必须在定义域内进行.
例3（1）求函数y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定义域；
（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及单调区间；
（3）求函数y=3cosx-3sinx的值域.
【思路点拨】 （1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图象来求解.（2）先化为：y=-3tan（x14-π16），再求单调区间.（3）先将原函数式进行等价变形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自变量的取值变化.
【解析】 （1）要使函数有意义，则
2sinx-1>0
-tanx-1≥0
cos（x12+π18）≠0sinx>112
tanx≤-1
x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），
如图利用单位圆得：
2kπ+π16
kπ+π12
x≠2kπ+3π14（k∈Z），
函数的定义域为：{x|2kπ+π12
（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），
T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期为4π.
由kπ-π12
3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递增，
y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递减.
（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），
|cos（x+π16）|≤1，该函数值域为[-23，23].
【归纳总结】 （1）求三角函数的定义域，既要注意一般函数定义域的规律，又要注意三角函数的特性，如题中出现tanx，则一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函数的定义域通常使用三角函数线、三角函数图象和数轴.（2）对于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ为常数），其周期T=π1|ω|，单调区间利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范围，即为其单调区间.（3）将原函数式化为一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化为关于sinx（或cosx）的二次函数式，切忌忽视函数的定义域.
【变式训练3】
已知函数f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函数f（x）单调递增区间.
考点四、函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用【考点解读】 该考点是高考的必考点.理解函数y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意义及其对函数图象变化的影响.能根据所给三角函数的图象和性质确定其中的参数，并能由一个三角函数的图象通过平移变换、伸缩变换、振幅变换和对称变换得到另一个三角函数的图象.利用三角函数的解析式可研究三角函数的性质和图象.会用三角函数解决一些简单实际的问题.
例4已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由.
【思路点拨】 （1）根据题目给出的周期和对称中心求得函数f（x）的解析式，利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步得到g（x）；（2）将等差数列问题转化为方程在指定区间内是否有解的问题，再构造函数，利用函数的单调性确定零点的个数.
【解析】 （1）由函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω>0，得ω=2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为（π14，0），φ∈（0，π），
故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移π12个单位长度后得到函数g（x）=sinx.
（2）当x∈（π16，π14）时，112
所以sinx>cos2x>sinxcos2x，
问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）内是否有解.
设G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），
则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.
因为x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）内单调递增，
又G（π16）=-1140，
且函数G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（π16，π14）内存在唯一零点x0，
即存在唯一的x0∈（π16，π14）满足题意.
【归纳总结】 探讨三角函数的性质，难点在于三角函数解析式的化简与整理，熟练掌握三角恒等变换的有关公式，灵活运用角之间的关系对角进行变换，将解析式转化为一角一函数的形式，然后通过换元法求解有关性质即可.根据y=Asin（ωx+φ）+k的图象求其解析式的问题，主要从A、k、ω及φ等四个方面来考虑.
【变式训练4】
（1）函数y=2sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是.
（2）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在图中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同学在RtACH中解得AC=11cos72°，据此可得cos72°的值所在区间为.
考点五、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及简单的三角恒等变换【考点解读】 该考点是高考的必考点.研究不同三角函数值之间的关系时，常以角为切入点，并以此为依据进行公式的选择，同时还要关注式子的结构特征，通过对式子进行恒等变形，使问题得到简化.在进行三角运算时必知的几个技巧：“1”的代换，正切化弦，异角化同角，异次化同次，变角，变名，变结构等化简技巧.
例5已知函数f（x）=2cos（x-π112），x∈R.
（1）求f（-π16）的值；
（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.
【思路点拨】 （1）直接代入，根据诱导公式和特殊角的三角函数值得出结果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角变换公式求解.
【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）
=2cos（-π14）=2cosπ14=1；
（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）
=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，
因为cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.
【归纳总结】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.公式的逆用，变形十分重要，常通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数.
【变式训练5】
31cos10°-11sin170°=.
【变式训练答案】
1.解析：（1）设α终边上任一点为P（k，-3k）.则r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.
当k>0时，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.
10sinα+3×11cosα=-310+310=0.
篇7
变形技巧是解决数学问题的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。我们对式子变形实质上是为了将式子转化为可解决问题的某种形式，为下一步解决问题做准备。变形属于技能性的知识，其中存在着一定的技巧和方法，需要人们在学习和解题的实践中反复提炼才能把握其技巧，以至在解题中灵活应用。下面介绍基本不等式、三角函数变形中常用的变形技巧。
1、基本不等式的变形技巧
在高中数学中多应用基本不等式来求函数的最值、值域等，在解题过程中对已知条件给出的式子灵活变形使基本不等式出现积（或和）为定值是解决问题的突破口。常用的方法为拆、添、配凑、代换，现就常用技巧给以归纳。
（1）拆、添、配凑
在解决与不等式相关的问题中，拆、添、配凑有各自不同的方向和技巧但往往又是紧密相连的，拆、添常常为配凑做准备。拆常数：将不等式中的某个常数进行拆分成题中所需的常数。拆系数：将不等式中某些项的系数进行拆分。拆常数或系数多为配方创造条件。拆项：将不等式中的某些项进行拆分，为使用基本不等式创造条件。添倍数：不等式的左右两边添上倍数（注意符号），为配方创造条件。添式：在不等式的两边添上一个代数式，为使用基本不等式创造条件。
例1、x>3，求函数 的值域。
分析：添常数将 凑成含基本不等式结构的式子
例2、已知 ，则 ，求函数最小值。
分析：本题已知函数式为分式看似无法使用基本不等式，对函数式进行配凑变形再分离便可构造出基本不等式。
，
技巧点评：在求分式型函数的最值中常用配凑的变形技巧，可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑。通过拆、添常数，逐步配凑基本不等式并分离出一个常数，这是分式函登笾涤虺S玫姆椒āT诮馓夤程中常常需要采用“拆项、补项、配凑”等变形技巧找到定值，再利用基本不等式来求解，使得复杂问题转化为简单的问题。
（2）常值代换
这种方法常用于如下两类题型
①“已知ax+by=1（a、b、x、y均为正数），求1x+1y的最小值.”
②“已知ax+by=1（a、b、x、y均为正数），求x+y的最小值”
例3、若 且满足 ，求x+y的最小值。
分析：结合问题和已知条件进行“1”的代换 可将问题转化为求含有基本不等式结构 ，接着可利用基本不等式求函数最值。
技巧点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式能巧妙地解决问题。利用基本不等式求函数最值时，还需注意“一正、二定、三相等”，通过变形技巧找到定值，若和定则积最大，若积定则和最小。
2、三角函数的变形技巧
高中阶段三角函数与初等代数、初等几何紧密联系，是初等函数的重要部分。解决三角函数求最值问题常常要对三角函数式进行灵活的变形，而其变形主要有三个基本方向一是看角、二是看函数名称、三是看结构特征。除此之外，我们还常常结合代数的变形技巧和构造法，为三角函数的变形创造一定的条件，现就常用技巧给以归纳。
角的变换
在三角函数的求值、化简与证明题中，函数式常常出现较多的不同的角，但这些角又有一定的联系。解题过程中分析条件与结论中角的联系，进行三角函数变换 主要是“消除差异，化异为同”。根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换能有效解决问题。
例4、已知 ，求证： 。
分析：可以考虑将条件中的角 和 配凑成求证结论中的角 ，即 ， ，再利用三角函数和差关系解决问题。
函数名称的变换
题目中若出现不同名称的三角函数，这就需根据同角三角函数关系式或诱导公式将异名的三角函数化为同名的三角函数，达到“消除差异，化异为同”的目的。函数名称的变换中最常见的就是切割化弦。
例5 、已知 ，试用 表示 的值。
分析：将已知条件中“切化弦”将原式转化为关于 的式子即 。
（3）常数的变换
在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，或将三角函数转化为常数，从而构造所需的函数式。例如常数“1”的变换有： ， 以及一些特殊角三函数值等等。
例6、求函数 的最小正周期，最大值和最小值。
分析：由所给的式子 可联想到
（4）幂的变换
对于一些次数较高的三角函数式，一般采用降幂的方法处理，达到化简的目的。而降幂并非绝对，有时也常需要对于无理式 用升幂处理化为有理式。
（5）公式的变形与逆用
高中教材中给出每一个三角函数公式的基本形式，但在解题的过程中往往要对基本公式变形后加以应用，有时也需逆用公式。顺公式较容易，而逆用公式较困难，因此要有逆用公式的意识和思维。这要求我们既要熟悉基本公式又要对其变通形式有所了解。
三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识的重要基础。三角函数式的恒等变形常应用于化简三角函数式，求三角函数式的值，证明三角恒等式等。三角函数式恒等变形的理论依据是代数式恒等变形的一般方法和法则，与三角函数式的变形公式。变形中还需注意符号的变化，以及三角函数定义域和值域的范围。
篇8
《义务教育数学新课程标准（2011）》（以下简称《新课标》）明确提出在数学教学中不仅要让学生记住一些数学的基础知识、掌握一些数学的基本技能，而且要让学生感悟数学的思想，积累数学的经验和实践经验，培养学生的数学素养.下面我将结合高考数学三角函数的主要题型，论述数形结合思想、函数与方程思想、等价转换思想和分类与整合思想在解高考三角函数问题中的运用.
一、数形结合思想
所谓数形结合思想，就是通过数与形的转化，对不易解决的数学问题借助图形来解决.华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非。”对数形结合解题技能进行了精辟论述.通过对三角函数整体章节内容及普通高中新课程标准（实验）的分析发现，三角函数实际上是平面图形知识和函数知识的有效结合.因此，学生在解决高考三角函数问题时，首先要树立数形结合思想，将三角函数看成是平面图形和代数的结合体，利用“数”的精确性和“形”的直观性，进行三角函数问题的有效解答.
在高考中，选择题和填空题的特点（即只需写出结果而无需写出过程），为考查数形结合的数学思想提供了方便，能突出考查学生将复杂的数量关系转化为直观的平面图形的问题解决意识.而高考解答题要求写出解答过程，需要严谨的推理论证，对数量关系问题的研究以代数为主，因此在高考解答题中对数形结合思想的考查以“形”到“数”为主.
例1：（2012浙江理科4）把函数y=cos2x+1的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的图像是（ ）
评定：本题是三角函数的图像变换问题，首先需要回顾一下三角函数图像变换的规律：（1）平移变换：①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿轴平移，遵循“上加下减”法则.（2）伸缩变化：①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长（01）或缩短（0
二、函数与方程思想
函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质分析问题、转化问题，从而使问题得以解决；方程思想是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或者构造方程，通过解方程和方程组，或者运用方程的性质分析问题、转化问题，使题得以解决.在高考试卷中，三角函数中的最值问题有时候可转化为函数问题解决.
三、等价转换思想
通过某种变化和手段，变换问题的角度，使较难的三角问题变得容易解决；在解决数学问题时，要采用等价转换思想，将复杂问题转化为简单问题，将难解问题转化为容易求解的问题，将未解决问题转化为已解决问题.三角函数涉及的公式多、变化多，运用等价转换思想可以把复杂的含三角函数的式子转化为简单的式子.
点评：等价转换思想是最重要的数学思想之一，本题就是利用等价转换思想，结合正切函数的两角和公式，将未解决问题（tan（α+β）的值）转换为已解决问题（tanα+tanβ，tanα·β的值）.
四、分类与整合思想
解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问题后，还必须进行综合归纳，因为我们研究的毕竟是这个问题的整体，这就是分类与整合的思想.有分有合，先分后合，不仅是用分类与整合的思想解决问题的主要过程，而且是这种思想方法的本质属性.近几年，高考题对分类与整合的思想考查主要有：（1）有没有分类意识，遇到该分类的问题，是否想到分类；（2）如何分类，分类的标准是否统一，分类有没有不重不漏；（3）分类之后如何解题，各类的讨论有没有越级；（4）分类讨论后，有没有整合，以及如何整合.
近年来高考数学对数学思想方法的要求越来越高，这对高中数学三角函数的教学提出了新的要求.为使学生灵活运用数学思想方法解高考三角函数问题，教师应该在教学中注意以下几点：（1）利用三角函数是平面图形与函数的有效结合体，培养学生的数形结合思想；（2）利用三角函数是特殊的函数，培养学生用函数与方程的思想；（3）利用三角函数公式多、变换多的特性，培养学生等价转换的思想；（4）利用三角函数的丰富性，培养学生分类与整合的思想.对于一些复杂的三角函数问题，有时需要综合运用多种数学思想方法才能解决.数学思想方法是解决一切数学问题的通法，数学教育的价值体现于数学的基本思想，数学文化的核心体现于数学的基本思想，学生一旦熟练地掌握了各种数学思想方法，就能以更广的视角审视、理解和解答数学问题.
参考文献：
[1]倪雪华.从历年高考题谈三角函数的关注点[J].南通高等师范学校，2011.
[2]王冬岩.高中生对三角函数概念的理解[J].华东师范大学，2010.
[3]娄艳芳.从三角函数的历史发展看高中生三角函数的学习[J].数学教育研究，2011（5）.
篇9
考点1．三角函数的求值与化简
例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0
(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.
解：（Ⅰ）由cosα=17,0
tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347
（Ⅱ）由0
又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314
由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)
=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.
突破方法技巧：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构．即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点．
考点2．解三角形：此类题目考查正弦定理，余弦定理，两角和差的正余弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知识.
例2 设函数f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．
解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1
=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域为［0,2］
（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0
突破方法技巧：
(1)内角和定理：三角形内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值均为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
(4)面积公式：S=12aha=12absinC.
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A+B+C=π这个特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化．
考点3．求三角函数的定义域、值域或最值：此类题目主要有以下几种题型：（1）考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.（2）考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.（3）考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力.
例3 已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．
（1）当m=0时，求f(x)在区间［π8,3π4］上的取值范围；（2）当tanα=2时，f(α)=35，求m的值．
解：（1）当m=0时，f(x)=sin2x+sinxcosx
=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12
又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，
从而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.
（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x
=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12
由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，
cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．
突破方法技巧：
三角函数的最值主要有以下几种类型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，换元去处理；③形如y= asinx+bsin2x的，转化为二次函数去处理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函数的有界性去解决，也可转化为斜率去通过数形结合解决．
考点4．三角函数的图象和性质：此类题目要求同学们在熟练掌握三角函数图象的基础上对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题.
例4 已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．
解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期为π
f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上单调递增，在［π6，π2］上单调递减，
又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值为2，最小值为-1.
（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，
由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］从而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45
cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310
突破方法技巧：
研究复杂三角函数的性质，一般是将这个复杂的三角函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，这是解决所有三角函数问题的基本思路.
篇10
一、基础知识的复习，注意转换
由于数学知识的逻辑性强，缺乏趣味性，加之学生的注意力集中时间较短，如果单元复习知识按照课文的先后顺序把所学过的知识（概念、法则、共识、定力、公理）原本地复述一遍，就会导致学生乏味，缺乏联系，不便记忆，难以理解.针对这个问题，可以采取如下方法：首先列出文章的主要知识，然后适当归类排队，给出知识联系的框架结构，再用数学编码.如以下三角函数知识要点的梳理：三角函数基本概念，三角函数的恒等变形（化简，求值，等式的证明），三角函数的图像和性质，三角变换基本解题方法：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理.常用的技巧：升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法、利用倍角公式建立2α与α、α与的关系、角的配凑等.对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合，一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究.易错点：要注意正切函数定义域的限制；在三角变形过程中要注意自变量取值范围的变化，以防出现增根或失根；遇到参数或字母时，应注意分情况进行讨论.然后，由主干知识点、基本方法回顾练习.
二、例题讲解，应重视变化
是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.
2.在对例题进行解答之后，应注意例题的以点带面功能，有意识地在例题的基础之上进一步引申扩展，挖掘问题的内涵和外延，指导学生对新问题的探讨，以激发思维，启迪智慧，开阔视野，让学生通过对同一题目条件改变的比较，达到分析问题能力的升华，同时也可以培养学生对知识的迁移能力.把文字语言翻译成数学符号语言，然后运算.例如有关数列的问题.首先判断是等差数列还是等比数列，确定首项、公差（比）、项数是什么，能分清，然后选用适当方法求解.最后的程序是还原，即把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解.
例如，在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是什么？
篇11
三角函数问题在我们实际生活中不是很常见，有些脱离我们的实际生活，但是它灵活多变，同学们感到难以应对。近些年来，高考命题组越来越多地考查三角函数的抽象性、恒等变换，而这些考点都是我们不擅长的，也就导致了三角函数学习出现了很多问题。同学们在学习三角函数问题的过程中不应有心理障碍，只要掌握一些基本的方法和策略，这样许多问题都会迎刃而解。新课程标准下，三角函数作为基本初等函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考考查的重点内容之一，也是高考的热点之一，在高考中，客观题和主观题均有所体现，并且以中低档题目的考查为主，对同学们来说是很重要的得分点。
一、主要的学习问题
实行新课标以来，三角函数的知识体系变化比较明显，我们高中生要采用和初中不同的学习策略才能有效地应对这一变化。在初中时期，我们接触到的函数全部是一对一型的函数，而三角函数是我们上高中以来第一次接触到的一对多型函数，它具有明显的周期性，它代表着一类函数。三角函数与其他函数知识紧密相关，学好三角函数对其他知识的学习有着巨大的指导意义。
总体来说三角函数的难度还是不大的，它渗透着数形结合的思想，掌握了这一本质特征，学好三角函数还是比较容易的。但是我们高中生学习三角函数的过程当中还是存在很多问题的。好多同学反映三角函数并非书中所述的那样简单，甚至陷入了学习三角函数的困境。因为三角函数是我高中数学的起始环节，这种困境长期持续下去，会造成更为深层次的影响，会影响我们的学习动机和对数学的学习态度。
（一）概念模糊
任何一个知识点的学习几乎都是从概念开始的，可是很多同学并没有理解三角函数的定义。直角三角形问题是三角函数问题的一部分，我们初中的时候就能轻松掌握。可是到了高中我们依然运用初中的知识去解答此类问题，虽然得到了正确的答案，但是与学习的初衷相背离。这也就间接地导致了我们对三角函数的概念的理解出现严重的偏差，甚至有些含糊不清。
（二）用错公式
公式众多，紧密联系是三角函数最大的特点。三角函数知识中涉及的公式数量非常大，包括弧度数的绝对值公式，弧长公式，扇形面积公式，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，需要掌握的总共 22 个。三角函数的公式不仅数量多，而且变换灵活，例如诱导公式中角的奇偶性变化、正负取值，两角和与差公式中角的组合变化等，角发生变化取值就相应改变，三角函数的公式就应用了多种方式展现出来，这就让同学们寻不到规律，不知道该用什么公式解题。
（三）数学思想理解不到位
简单的三角函数蕴含着多重的数学思想，如数形结合思想、等价转化思想、函数与方程思想等。同学们经常大量的做题，而不去总结，许多数学思想根本体会不到。题做得再多，数学思想没有学到，遇到相似的问题还是无从下手。三角函数知识体系较为抽象，各个函数间密切联系、变换灵活，我们必须掌握公式的本质特征、课下勤加练习才能灵活运用。
三、简单的应对措施
（一）摒弃形式化
我们来到高中对知识的理解经常以自己经验加以判断，缺乏理性思考，我们的水平不高，对抽象的三角函数只是记住了形式，造成了生搬硬套、死记硬背的尴尬局面。我们应将公式和图像相结合的学习，注重数学结合的思想。学会单位圆的应用，运用它掌握三角函数的定义；例如，正弦函数的学习，我们学会借助图像巧妙的掌握，能画出 y = sinx的图象，通过图像观察其周期性；借助图象理解正弦函数在[0，2π]的性质等，如单调性、奇偶性等
（二）形成有效的学习方法
我们学习数学效率低，速度慢大部分原因是方法不恰当，三角函数的学习也是一样的，我们很多高中生对待三角函数不够重视，更别提方法了。三角函数各个知识点联系非常密切，可是大多数同学只是孤立的学习，不懂得把知识点串联起来，这就无法形成体系，只是混乱，不能融会贯通。所以，学习过程中，我们要懂得将知识作对比，善于复习，找到学习三角函数的有效途径。
（三）训练基本的数学技能
解决好三角函数的问题，化简很重要。它是做题的第一步，而且是最为关键的一步。许多同学做不出三角函数的题目，就在化简的过程中出现了错误，所以同学们要在课下训练化简、运算等基本技能。
三、结语
总而言之，发现自己学习三角函数的问题，结合自身的特点，制定相应的学习策略，灵活应对，学好三角函数还是较容易的。
[参考文献]
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二、口诀解释法
在讲解三角函数诱导公式的时候，九组三十六个诱导公式单独的记忆就有一定的难度.那么我们归纳分析后可以看出，凡是诱导公式中括号里前面的定角（如π，2π或π[]2，3π[]2之类的角）所落在坐标轴的位置不同，等号后面的三角函数与等号前面的三角函数的名称有的相同，如sin（π+A）=-sinA，有的不同，如tan3π[]2-A=cotA.那么有何规律呢？而等号后面的正负符号也不尽相同.这又有何规律呢？通过观察、归纳，我们可以简单的用两句话、十个字来佐以记忆.这就是“纵变横不变，正负看象限”.那么，这十个字、两句话怎么理解就显得尤为重要了.首先，什么叫纵，什么叫横？就是定角所落在坐标轴的位置，如果定角落在坐标轴的横轴上，就叫做横，如π或者2π的终边就落在了横轴上了，所以就叫做横了.同理可知纵.那什么叫变和不变呢？就是等号左右的三角函数名称变和不变.“纵变横不变”就是指的是如果定角的终边落在了坐标轴的横轴上了，那等号两边的三角函数的名称就不变，如果定角的终边落在了坐标轴的纵轴上了，那等号两边的三角函数的名称就改变.那变和不变，怎么变，怎么不变呢？变就是等号左边的要是正弦函数，那等号右边就是余弦函数，等号左边是正切函数，那等号右边就是余切函数了.这就是纵变横不变的解释理解.所以我们先要观察定角终边落在坐标轴的什么轴上，然后根据口诀就知道等号左右的三角函数名称是否改变了.其次是“正负看象限”.正负指的是等号右边三角函数前面的正负符号.看象限是看谁的象限呢？是要看定角和任意角A之和所在的象限.这里A虽然是任意角，但我们仍然要把这个任意角A看成是一个锐角.这里特别要强调的是“看成”.任意角就是任意角，无论是什么角，我们况且都可以把它先看成是锐角.这样，一个定角和一个锐角所在的象限就确定了.那么这个角和等号左边的三角函数所在的象限的三角函数符号就能确定了.所以等号右边的正负符号就由此来确定了.那么这样，等号左边的三角函数和括号里的定角与任意角的和或者差的诱导公式就可以由前面的“纵变横不变，正负看象限”得到等号右边的一个任意角的三角函数值了.这样，我们只要能记住理解这两句话.十个字就可以把三十六个诱导公式熟练的记住了.比如我们要求：cot（π-A）=？首先我们来确定定角π的终边所落的坐标轴是在横轴上了，由“纵变横不变，正负看象限”，那么我们就可以判定等号右边的三角函数的名称没变，即左边是余切函数cot（π-A），那右边也一定是余切函数cotA.再者我们来判断等号右边的正负符号，我们看定角和任意角A之差是在第二象限，第二象限内余切函数是负值，所以等号右边就应该是负号了，即cot（π-A）=-cotA.
三、定位记忆法
定位法就是先将我们要熟记的公式模式定位.比如，我们要熟记和差化积的公式.如：
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解决三角函数的问题，角的转化是常见类型，虽然常见，但却包罗万象，有倍角、半角、和角、差角、凑角、余角、补角等等，通过角的变换这一纽带，转变函数的运算符号和名称，或是次数，促使问题简单化、“已知化”，通过转化顺利求解原问题.在解决具体问题时，应注重拆和拼的技巧.如α=（α+β）-β=β-（β-α）=α+β2-β-α2.
例1已知3sinβ=sin（2α+β），求证tan（α+β）=2tanα.
评析我们可以将角进行转换：β=α+β-α；2α+β=α+β+α.从3sinβ=sin（2α+β）这一已知式出发，得到3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），再由此出发进一步推导就可以得证.
2.“名称”变换
在学习中经常会遇到名称不同的三角函数，为此“名称”变换是三角函数问题中最常见的类型.首先应将其转换成同名的三角函数，“切割化弦”、“齐次弦化切”是我们高中数学最为常见的函数名称转化策略，突破口在于“化函数”或者是“化形式”，从三角函数常见性来看，“正弦”和“余弦”的应用最广，是三角函数的基石，“正切”也很常见.
例2（江苏卷・2010年）锐角三角形ABC中，三个顶角A，B，C对边分别为a，b，c，若已知ba+ab=6cosc，则tanCtanA+tanCtanB=.
评析三角函数与解三角形相结合.从要求的式子着手，将切化弦，变形成sin2CsinAsinBcosC，将原式用正弦定理转化为sinAsinBcosc=16（sin2B+sin2A）代入化为6sin2Csin2B+sin2A，再将原式用余弦定理化为a2+b2=32c2即可求得答案.此题作为2010年江苏高考填空13题相对要求较高，但是都属于三角及解三角形的常规题型的结合.
例3（全国卷・2013）设θ为第二象限角，若tan（θ+π4）=12，则sinθ+cosθ=.
评析本题可先通过计算tanθ然后借助角的范围确定sinθ与cosθ.
3.“形”变换
从具体的三角函数问题来看，运算过程中需要将代数式中的常数进行变换，最常见就是转化常数“1”.
例4（辽宁高考文科・2009）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）.
A.34 B.54 C.-34 D. -54
评析从已知条件分析可以看出这一考题需要进行“名称变化”（弦化切）和“形变换”（将分母“1”化为sin2θ+cos2θ）.
例5已知tanθ=2，求值：
（1）sinθ-cosθsinθ+cosθ； （2）sin2θ-cos2θ.
常规思想：利用同角三角函数的关系，求出sinθ，cosθ，但是由于θ在一、三象限，所以还要分类讨论，比较麻烦.
简便思想：（1）分子分母同除以cosθ，转化为tanθ-1tanθ+1；
（2）“1”的代换，最终转化为tan2θ-1tan2θ+1.
二、高中数学复习建议
高中数学复习尤其是高三时间紧、任务重，没有科学的复习方法，难以帮助学生形成有效的联结，透过上述三角函数变化问题，笔者认为高三复习应注重以下几点：
1.科学制定计划，确保复习思路清晰化
既然时间紧，那么我们的复习思路必须清晰，确保走好每一步，应将一类问题放到一块，提高专题训练选题的科学性，站在学生的视角，通过问题的呈现形式差异将知识点、方法囊括进来，将复习课上成是引导学生自主应用规律和方法解决实际问题的探究课，通过具有联系问题的解决，实现方法和技能的沉淀.例如上文中三角函数变化的方法，通过具体的例题进行训练.
2.注重讲评策略，形成有效的知识网络
（1）重基础、勤应用.我们学生之所以在解题时出现障碍，其根本原因在于基础不牢.学习有一个从认识到理解再到应用的过程，对于复习而言，首先就应该引导学生顺利完成基础知识、基本方法的复认.如何复认和回忆呢？笔者在高三复习教学中通常是设置具体的问题情境（例题），学生分析例题、解题的过程是应用知识的过程，实现知识、方法的复认与应用同时施展.
