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Evolutiaon Algorithm for Multi-Objective Optimization Problems
MO Hai-fang
(Computer and Experiment Center, South-Center University For Nationality, Wuhan 430074, China)
Abstract: Evolut ionary algorithm is especially suitable to solve multi-object ive optimization problems. The basic principle of multi-object ive evolution algorithm is introduced, and the Pareto optimial-based evolutionary approach is discussed.
Key words: multi-objective optimization; Pareto optimal solutions; evolution algorithm
1 引言
多目标问题的求解是近年来优化计算的一个热点问题。与单目标问题不同，多目标问题的解不是单一的解，而是一组相互之间不可比较，甚至是相互冲突的解。因此求解多目标问题比求解单目标问题要困难得多。
求解多目标问题的传统方法主要有加权法、层次优化法、目标规划法等，这些方法的主要思想是对多目标进行权重分配，转化为单目标问题，然后运用单目标优化技术进行求解。这类方法需要较多的先验知识，而且计算效率低。
演化算法（EA）是一类模拟自然界生物进化的全局性概率优化搜索方法，因为其内在的并行性，特别适合于求解复杂的多目标优化问题。
基于向量评估的VEGA算法是Schaffer于1985年提出的，这是第一个多目标演化算法。该算法的主要思想是在每一代中根据各目标函数，用适应度比例法产生一定数目的子种群，然后把它们合并成新的一代，继续执行交叉和变异等遗传操作。VEGA算法在本质上仍然是加权和的方法。随后有许多成功的多目标演化算法被提出。1993年，Fonseca和Fleming提出MOGA算法，Horn和Nafploitis提出NPGA算法，Srinivas和Deb提出NSGA算法。其中MOGA最著名，这是基于Pareto最优概念的算法，它统计出群体中优于某个体的个体数量，并依此计算该个体的适应值。同时采用自适应的小生境技术和受限杂交技术来提高种群多样性。1999年，Zitzler和Thiele提出了SPEA算法，该算法采用精英保留策略来提高多目标进化算法的性能。这些算法都能成功求解多目标问题，它们的实现基于以下基本的策略：Pareto最优策略和保持种群多样性的策略。
2 多目标优化问题中的一些概念
一般地，一个多目标优化问题可以归结为多个目标的极小化模型：
定义1：多目标优化问题
v-min f(x)=[(f1(x), f2(x), …,fm(x))]T
subject to x ∈X
X?哿Rm
其中的v-min表示向量极小化，即向量目标函数f(x)=[(f1(x),f2(x),…,fm(x))]T中的各子目标函数都尽可能地极小化。
然而在很多情况下，多目标优化问题中的各个子目标是相互冲突的，一个子目标性能的改善可能会引起另一个子目标性能的降低，也就是说，一个能够同时使所有目标函数达到最优的解很可能是不存在的，只能在它们之间进行协调和折衷处理，使各个子目标函数都尽可能地达到最优。为了对多目标问题的解进行比较, 先给出Pareto最优解的定义。
定义2：Pareto占优
任何两个决策向量a∈X和b∈X，如果f(a)
定义3：Pareto最优解
如果不存在y∈X，使fi(y)≤fi(x), i=1,2,…,m，且至少有一个严格不等式成立，则称x∈X是多目标优化问题的Pareto最优解，或称为非劣解。
通常的多目标问题的Pareto最优解都有很多，把Pareto最优解的集合称为Pareto前沿。由定义3可知，Pareto最优解集中的解是彼此不可比较的，解集中的解数量越多，分布越广泛, 决策者的选择空间越大，越能对实际多目标问题进行合理求解。
3 多目标演化算法
多目标演化算法的大致流程如下：
1) 初始化：产生初始群体P(0)；
2) 计算个体的适应值；
3) 在群体P(t)中执行选择、交叉和变异等进化操作产生下一代种群P(t+1)；
4) 若满足结束条件则将退出，否则转到步骤3)。
3.1 基于Pareto非劣概念的排名
用Pareto非劣解的概念计算个体适应值的方法首先是由Goldberg于1989年提出的。他提出排序方法（Ranking）和基于序的适应度函数形式。先将多目标函数值组成一个向量代表一个个体，假设个体xi在t代群体中有n个个体优于它，则它在群体中的序为：rank(xi)=1+n。如图1所示，当前群体中所有非劣最优解的序都为1。
图1 群体中个体的Pareto序
排序仅仅体现了各个个体之间的优越次序，没有体现各个个体的分散程度，所以容易导致最终得到很多个相似的Pareto最优解，而难于获得分布均匀的Pareto最优解。
3.2 群体多样性
为了逼近Pareto最优解集，就要得到多个不同的解，因此，群体多样性极其重要。为了提高群体多样性，多目标演化算法已经提出了多种小生境与共享技术，以求获得均匀分布得Pareto最优解集。已有的保持群体多样性的方法有：适应值共享、受限杂交、孤岛模型、重新初始化、拥挤机制等。比较适合多目标演化算法的是适应值共享。
适应值共享的思路是：同一个小生境中（Niche）的个体必须共享资源。一个个体有越多的邻居（neighborhood），那么该个体的适应值越小。
两个个体之间的空间距离小于某个伐值（Niche radius）时，就成为邻居（neighborhood），一个个体的邻居数量称为小生境数（Niche Count）。某个个体的适应值除以它的小生境数就得到它调整后的适应值，从而使有多个相似的个体降低了适应值，减少了它们遗传到下一代群体的机会。
3.3 精英策略
SPEA算法采用精英保留策略来提高多目标进化算法的性能。精英是指一代群体中适应值较高的个体。在多目标演化算法中，在每一代群体中都有多个精英，把这些精英保存到一个精英集合中，然后按照概率从这个集合中再选择优秀个体进入下一代群体，从而加快了算法的收敛速度，提高算法的性能。
4 测试函数
minimize T(x)=(f1(x1),f2(x2)
subject to f2(x)=g(x2,…, xm)h(f1(x1),g(x2,…,xm))
where x=(x1,x2,…,xm)
测试函数1：
f1(x1)=x1
(m=30并且xi∈[0,1]。当达到Pareto前沿时g(x)=1)
5 结束语
多目标演化算法具有广泛的应用前景，目前已经被成功应用到自动控制、机械设计、航空航天、网络通信、作业调度、图像处理、生命科学等多个领域。随着多目标演化算法在理论上的深入探索，必将在更多领域得到应用。
多目标演化算法的研究在近年来取得了许多成果，进一步值得研究的问题包括：加强多目标演化算法的基础理论研究，从理论上证明算法的收敛性，设计能反映多目标演化算法基本特征的测试函数；对于高维多目标优化问题，研究新的非基于Pareto 最优概念的群体排序方法；结合领域知识，设计专门的多目标演化算法。
参考文献：
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作者简介：马春连（1988-），男，安徽理工大学理学院硕士研究生，研究方向为智能计算；许峰（1963-），男，安徽理工大学理学院教授，研究方向为波谱学和智能计算。
0引言
在科学研究和工程应用中，许多决策问题具有多目标的特点和性质，它们需要同时满足几个相互冲突的不同目标，即无法使各个目标同时达到最优，这类问题称之为多目标优化问题（Multi-objective Optimization Problem， MOP）。多目标优化问题存在一个最优解集合，其中的元素称为Pareto最优解。
由于多目标进化算法在优化控制、挖掘数据、设计机械、移动网络规划等领域的成功应用，使得学术界兴起研究进化算法的热潮。自上世纪80年代以来，人们已提出多种多目标进化算法，比如Srinivas的NSGA，Zitzler的SPEA，Knowles的PAES以及Deb的NSGA-Ⅱ等。
近年来，一些新的进化算法被用来求解多目标优化问题，如蚁群算法、粒子群算法、免疫算法、分布估计算法等。
上世纪90年代末，人工免疫算法开始兴起，其思想源于生物的免疫系统，它借鉴了免疫系统的功能、原理和模型并用于进行寻优搜索。由于现在还不能充分认识免疫机理，所以有关免疫算法的研究基本集中在其它算法。我们用免疫原理来改进并构成新的算法，比如免疫神经网络、免疫遗传算法等。人工免疫系统算法的自身研究成果并不多，主要有基于克隆选择原理的克隆选择算法和基于阴性选择原理的阴性选择算法等。
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人类通过了社会自然的漫长的考验最终开始进化，于是在解决生活中复杂问题的的同时，合理对问题进行优化安排成为了人们的首要研究问题。于是，各种各样的算法就产生于求解问题的方法。进化算法中包含了重要的差分进化算法，这是一种智能型的优化方法，特点在于可调节参数不多、内容简单、持续性强、结构单一。在日常生活中多目标优化对人们发展具有相当重要的意义。对人们生活的影响方面涵括了如下表1所示。
表1 多目标优的发展
二、差分进化
（一）差分进化算法构理
差分进化法是新兴的一种计算的算法，它最基本的特点就是拥有集体共享的特点，可以这么说，差分进化法可以在自然种群的个体通过竞争与合作的关系来实现对复杂问题的优化以及提供必要的解决方法。这种算法与遗传算法的最大一个区别就在于他们对变异的操作不同之上，例如，差分进化算法中的变异操作属于变量中向量的一种，是在个体的染色体差异之间进行的。算法的实现是建立在两个正在变异的个体之间的染色体差异之上的。接着，在选择变异个体之前，对另外一个随机抽取的目标进行整合，提取必要的参数的数据，对合适的目标开始研究，继续产生一个新的个体进行下一个类似的实验。
（二）差分进化算法模型流程
从差分进化算法的基本数据结构与方法来看，差分进化算法已经广泛开始应用于自动化控制、规划、设置、组合、优化、机器人、人工生命等重要的领域当中去。对于差分进化算法模型流程可由如下图1所示
三、多目标优化
（一）多目标优化的研究现状
多目标进化算法是为了解决现实生活中存在的难以用单一的目标来解决的难题。毕竟在生活琐事中总能遇到不同的多目标优化问题，放任不理之后，久而久之就会越来越难处理这些问题。于是为了找到新颖简便的法子，会让学术家们花很多的精力。在历史当中，多目标最优决策的方法最先是由英国的一名数学家Pate指出，随后他圈概出了最优解的概念。在那个时候确实有很好的影响目的。距现在一百多年前，在寻求多目标优化的问题之上学术家们发表了无数不完美的优化方法，传统上有加权和法、目标规划法的方法。所以一百多年前进化算法就已经开始了兴起。为此，学术家们贡献了大量的精力去进行计算数值来寻求解决进化算法的难题。
（二）多目标优化方法
在上一世纪的三四十年代，对多目标问题的优化问题探究就引起了普遍的科学家们的重视。发展至今，优化的方法就从很多不同的的角度对问题进行了归纳和总结，并且提出了解决的k法，顺带着给出了多目标问题最优解的原始概念。在那个世纪，学术科学家们会把注意力放在简单的单一优化方法中，用传统的办法对问题进行简单的优化。于是在那时候就提出了很多关于求解多目标优化问题的方法，例如，目的计划法、平均和法。从那时候开始，更简便的进化算法开始在学术家们当中以迅雷不及掩耳之势发展开来，至此，科学家们又将自己的主要兴趣放在求解多优化的问题发展中去。下面多目标优化方法如图2所示。
四、结语
在现代生活中，技术人员对于实现人工智能已经不是难题，把人工智能与运筹学以及控制理论等方面的方法进行融合，将静态与动态的优化等方法进行结合。差分进化算法的缺点类似于遗传学的算法，都有过早对数据进行收敛的过失。所以对差分进化算法的优化，让算法深入到人们遇上的工作难题当中去，是大家探究这个算法的意义所在。通常来说，多目标之间存在着矛盾的关系，在解决有多目标的问题之上，算法通常存在传统方法中的计算难，与难操作的问题。在多优化目标的问题当中，如果运用到了工作当的各大领域当中去，可以在更广的范围内运用到算法的结构。根据已出意义的算法能大幅度提高人们的生活质量。在我们生活的轨迹当中，难免碰“瓷”，有时候会很难得到想要的解决方法，于是需要解决的越来越多，这更突出了多优化目标实现对人们生活有很大的意义。
参考文献：
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1引言
大多数多目标优化问题，每个目标函数之间可能是竞争的关系，优化某一个函数的同时，往往以牺牲另一个优化目标为代价，如果将多目标转化为单目标函数优化时，各优化目标加权值的分配带有很大的主观性，必然造成优化结果的单一性，没有考虑全局优化。而如果将多目标函数利用评价函数法转化为单目标函数求解，得到的仅仅是一个有效解，所以我们可以考虑直接采用多目标函数的优化方法对多目标进行优化[1-2]。
2多目标优化的发展现状
在多目标优化问题中，各分目标函数的最优解往往是互相独立的，很难同时实现最优。在分目标函数之间甚至还会出现完全对立的情况，即某一个分目标函数的最优解却是另一个分目标函数的劣解。求解多目标优化问题的关键，是要在决策空间中寻求一个最优解的集合，需要在各分目标函数的最优解之间进行协调和权衡，以使各分目标函数尽可能达到近似最优。多目标优化问题不存在唯一的全局最优解，而是要寻找一个最终解。得到最终解需要通过各种算法来实现，如进化算法、模拟退火算法、蚁群算法、粒子群算法和遗传算法等[3-4]。由于各种算法存在应用领域的差异和自身缺陷，人们也提出了一些改进算法和组合算法。
2.1进化算法
进化算法 （Evolutionary Algorithms，EA）是一种仿生优化算法，主要包括遗传算法、进化规划、遗传规划和进化策略等。根据达尔文的“优胜劣汰、适者生存”的进化原理及盂德尔等人的遗传变异理论，在优化过程中模拟自然界的生物进化过程与机制，求解优化与搜索问题。进化算法具有自组织、自适应、人工智能、高度的非线性、可并行性等优点[5]。
进化算法在求解多目标优化问题上优势在于：一是搜索的多向性和全局性，通过重组操作充分利用解之间的相似性，能够在一次运行中获取多个Pareto最优解，构成近似问题的Pareto最优解集；二是可以处理所有类型的目标函数和约束。三是采用基于种群的方式组织搜索、遗传操作和优胜劣汰的选择机制，不受其搜索空间条件的限制。
虽然基于Pareto最优解的多目标进化算法可以得到较好分布的最优解集，但如何保证算法具有良好的收敛性仍是一个热点问题。
2.2模拟退火算法
模拟退火（Simulated Annealing，SA）算法是根据物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性，基于Monte-Carlo迭代求解策略的一种随机寻优算法。SA在初始温度下，伴随温度参数的不断下降，结合概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解，即在局部最优解能概率性地跳出并最终趋于全局最优。SA具有以下优点：通用性强，对问题信息依赖较少，可有效避免陷入局部极小并最终趋于全局最优。因此在诸多工程和学术领域得到了研究与应用[6-7]。遗憾的是它在多目标优化领域的研究与应用尚少。
2.3蚁群算法
蚁群算法（Ant Colony Optimization， ACO）是一种用来在图中寻找优化路径的正反口的新型模拟进化算法。。蚁群算法具有并行性、分布性、正反馈性、自组织性、较强的鲁棒性和全局搜索能力等特点。目前运用这种方法已成功地解决了旅行商（TSP）问题、Job-shop调度问题、二次指派问题等组合优化问题。
由于蚁群算法需要的参数数目少，设置简单，在求解多目标优化问题时存在一些困难。首先，多目标函数优化问题是在连续空间中进行寻优，解空间以区域表示，蚂蚁在每一阶段可选的路径不再是有限的，蚂蚁在信息索的驻留和基于信息素的寻优上存在困难。文献[8]提出先使用遗传算法对解空间进行全局搜索，再运用蚁群算法对得到的结果进行局部优化；文献[9]修改了蚂蚁信息素的留存方式和行走规则，运用信息素交流和直接通讯两种方式来指导蚂蚁寻优；文献[10]将搜索空间划分为若干子域，根据信息量确定解所在的子域，在该子域内寻找解，也取得了满意的结果。
其次，蚂蚁算法需要较长的搜索时间、容易出现早熟停滞现象。文献[11]提出了具有免疫能力的蚂蚁算法和蚁群遗传算法，提高算法的寻优能力和寻优效率。
最后，多目标优化问题由于解的多样性，不仅要求所得的解能够收敛到Pareto前沿，而且要有效地保持群体的多样性。蚂蚁之间的这种信息素交流方式，会使所求得的解集中在解空间的某一区域内，不利于群体多样性的保持。
2.4粒子群算法
粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是在1995年由美国社会心理学家Kennedy和电气工程师Eberhart共同提出的，源于对鸟群觅食过程中的迁徙和聚集的模拟。它收敛速度快、易于实现且仅有少量参数需要调整，目前已经被广泛应用于目标函数优化、动态环境优化、神经网络训练等许多领域。
由于直接用粒子群算法处理多目标优化问题，很容易收敛于非劣最优域的局部区域，以及如何保证算法的分布性等问题，Coello等人提出了基于Pareto的多目标粒子群算法（MOPS0），强调了粒子和种群之间作用的重要性[12]。
多目标粒子群优化算法作为一种新兴的多目标优化算法具有以下优点：（1）在编码方式上PSO算法比较简单，可以直接根据被优化问题进行实数编码；（2）对种群的初始化不敏感，可达到较快的收敛速度；（3）算法适用于绝大多数的多目标优化问题；（4）优化过程中，每个粒子通过自身经验与群体经验进行更新，具有学习和记忆的功能；（5）该算法在收敛性、解的分布性以及计算效率方面具有很大改善。
2.5遗传算法
遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是进化算法的一种，是美国密执安大学的John Holland教授于七十年代中期首先提出来的，从生物进化的过程中得到灵感与启迪，模拟人自然“物竟天择，适者生存”的自然选择的法则创立的。
与其他优化算法相比，遗传算法求解多目标优化问题的主要优点：一是保证算法的收敛性，即在目标空间内，所求得的Pareto最优解集与实际Pareto尽可能的接近。二是多样性的维护，即希望找到的Pareto最优解集具有较好的分布特性（如均匀分布），且分布范围尽可能的宽阔。三是具有很好的鲁棒性，是一种高度并行、随机、自适应能力很强的智能搜索算法，因此特别适合于处理传统搜索算法解决不好的复杂非线性问题。四是新的遗传算法引入精英概念，使进化的每一代的Pareto最优解总是直接保留到下一代的群体中，提高了Pareto最优解的搜索效率。五是引入用户的偏好信息，以交互的方式表达偏好，使用决策者的偏好信息来指导算法的搜索过程和范围[13-14]。
3多目标优化研究的热点问题
多目标优化问题中，各个目标之间通过决策变量相互制约，对其中一个目标优化必须以其他目标作为代价，而且各目标的单位又往往不一致，因此很难客观地评价多目标问题解的优劣性。传统优化方法往往强调最优化，在解决因多种复杂因素难以建模，或根本不存在传统意义上的最优解或获得最优解的代价太大的优化问题时。由此，采用满意优化方法解决这类问题是较好的策略。满意优化本质上是一个多目标优化方法，它摒弃了传统的最优概念，它将优化问题的约束和目标融为一体，将性能指标要求的满意设计与参数优化融为一体，强调的是“满意”而不“最优”。所以，近年来，满意优化也逐渐成为各领域关心的问题。
4结束语
多目标优化问题是近年来人们越来越需要面对和解决的问题。除了以上单一优化算法外，很多学者已经在单一优化算法的基础上，结合多种优化算法解决了一些多目标优化问题，如NSGA-Ⅱ与MOPSP的结合算法[15]，模拟退火算法与遗传算法的结合算法[16]。然而，由于各种多目标优化算法的不同特点和缺陷，如何使这些优化算法能够更好地无缝对接，对解决多目标满意优化问题具有非常重要的意义。
参考文献
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在发电权的交易上，很多文章主要以买卖双方报价为主，本文为体现发电调度的节能减排要求，将煤耗率和价格这两个参数结合起来，提出了基于能耗和效益综合最优的多目标交易模型，并使用Pareto最优的方法来对多目标进行求解。
1 发电权交易模式
发电权是一种商品，发电权市场是双边交易市场，撮合交易是组织发电权交易的常见模式。
2 发电权交易成本
本文将交易成本分为两部分，固定成本 和电力网损成本 。固定成本包括组织发电权的固定佣金，管理费用，行政费用等，电力网损成本是开展发电权交易前后整个网络潮流变化所带来的成本。
3 发电权交易模型设计
3.1 发电权交易模型
基于文献[3]提出的效益最优、文献[6]提出的能耗最优的发电权交易模型，本文提出了基于能耗和效益综合最优的发电权交易模型。
3.2 基于煤耗和效益综合最优的模型
基于煤耗和效益综合最优的发电权交易的目标函数为：
其中C表示Pareto前沿所组成的集合， 买方i和卖方j 的交易量，
为卖方j出售的电量， 为买方i购买的电量， 为第i个买家申报的报价， 为第j个卖家申报的报价， 为买家 和卖家 之间的交易成本，
和 是参与交易的机组 和机组 的煤耗率函数。 表示发电权交易产生的社会效益， 表示发电权交易所节约的煤耗量。
4 Pareto最优的概念及求解
在3.2所提到的煤耗和效益多目标综合最优模型，在数学上称为多目标优化问题，关于多目标最优有很多种求解方法，本文使用Pareto最优的方法来对多目标进行求解。
4.1 Pareto最优的概念
一般地，多目标优化问题有如下形式：
其中Ω表示所有可行解的集合， 表示k个目标函数。
4.2 Pareto最优解的求解方法
多目标优化Pareto最优解集的求取可分为两大类：传统算法和进化算法。PSO粒子群优化算法是最近兴起的一种进化计算方法。
PSO算法的标准形式如下所示：
其中 和 分别表示第 个粒子在第 次迭代中的位置和速度；
表示第 个粒子的个体最优解； 表示全局最优解； 是之间的随机数； 是学习因子，用于控制收敛的速度； 是惯性系数。
本文在PSO算法基础上，提出一种基于动态Pareto解集的PSO算法（Dynamic Pareto Warehouse-based PSO，DPW-PSO），利用这种算法可在较小的初始种群规模下，产生大量的Pareto最优解而并不显著增加计算量。
5 DPW-PSO算法求解多目标发电权交易问题
本文使用Pareto最优的方法、DPW-PSO算法对多目标进行求解，求解过程是先通过随机算法大致得到（U，F）这个二维函数的Pareto前沿，然后在Pareto前沿上选出一些解和它们对应的交易方案，这些交易方案在某种程度上来说都是最佳的。
6 发电权交易算例分析
下面是对某电网发电权交易的算例分析，选取电网典型运行方式下的数据，分别按效益最优、能耗最优、效益和能耗综合最优三种模型进行仿真计算。表1是某电网典型情况下各机组的发电出力和煤耗率。
A6电厂发电不足，A1-A5电厂代其发电，表2为发电权交易在效益最优模型、煤耗最优模型、煤耗和效益综合最优三种模型下所产生的社会效益、消耗的煤的总量以及电网网损的变化。
对计算结果分析可知，多目标最优有多个解，这些解得到的交易方案在某种程度上来说都是最佳的，电力公司可以根据交易结果对发电权进行安全校核，每次交易的完成都以电网通过安全约束为标志。
7 结论
基于煤耗和效益综合最优的发电权交易模型，其Pareto最优解为一个解集，这表明决策者有多组相对而言都比较理想的交易方案可做选择，这些交易方案效益和降低煤耗不一样，但总体是朝着煤耗减少和社会效益增大的方向变化。因此，研究与市场机制相协调的电网节能降耗发电权交易机制，实施“以大代小”、“以煤代气”发电权交易，对于充分发挥其节能减排的优势，满足发电调度的节能减排要求具有十分重要的意义和广阔的应用前景。
参考文献：
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近年来，多目标优化问题的研究成果已广泛应用于自动控制、生产调度、网络交通、集成电路设计、化学工程和环境工程、数据库和芯片设计、核能和机械设计等众多领域。随着研究问题的复杂度越来越高，优化目标的个数也不仅仅局限于2到3个，有时往往会达到4个或者甚至更多[1]。一般意义上，当多目标优化问题的优化目标个数达到3个以上时，我们将此类多目标优化问题称为高维多目标优化问题[2]（Many-Objective Optimization，简称MAP）。
进化算法作为一种基于种群的智能搜索方法，目前已经能够成功地求解具有2、3个目标的多目标优化问题。然而，当遇到目标数目增至4个或4个以上的高维多目标优化问题时，基于Pareto支配排序的多目标进化算法在搜索能力、计算成本和可视化方面都遇到了很大的挑战。因此，高维多目标优化问题的进化算法研究成为进化算法领域的一个难点和热点问题。
由于高维多目标优化问题的复杂性，目前对于此类问题的算法研究尚处于起步阶段，首先分析高维多目标优化问题研究存在的困难，然后对当前所提出的高维多目标进化算法进行分类概述，接下来重点总结了可降维的高维多目标优化问题的几类目标缩减进化算法，最后给出了未来研究的方向。
1 高维多目标优化问题的基本概念
定义1 （多目标优化问题和高维多目标优化问题）
通常，对于单目标优化问题，其全局最优解就是目标函数达到最优值的解，但是对于多目标优化问题来说，往往这些目标f1（x），…fm（x）的最优函数值之间会相互冲突，不能同时达到最优值。这里，为了平衡多个相互冲突的目标，采用Pareto最优解来定义多目标优化问题的最优解。
定义2 （可行解与可行域）
多目标优化问题通常有非常多或者无穷多个Pareto最优解，但是要找到所有的Pareto最优解往往是不太可能的，因此，希望找到尽可能多的Pareto最优解以便为决策者提供更多的选择。在利用进化算法求解多目标优化问题的过程中，进化算法使用适应度函数引导群体向Pareto最优前沿收敛，在设计算法时需要考虑下面两个方面：一是算法的收敛性，即希望算法的求解过程是一个不断逼近Pareto最优解集的过程；二是算法的分布性，即要求所求出的Pareto最优解集中的非支配解尽可能均匀且宽广的分布在目标函数空间中。
2 高维多目标优化问题研究难点
Hughes通过实验表明基于Pareto排序多目标进化算法（如NSGAII，SPEA2等） 在具有较少目标（2个或3个）时非常有效，但是，随着多目标优化问题目标数目的不断增多，目前经典的求解一般多目标优化问题的多目标进化算法的搜索性能将大大下降，从而导致求出的近似Pareto最优解集的收敛性能急剧下降。对于此类问题的研究难点在于：
1）经典的多目标进化算法通常利用传统的Pareto支配关系对个体进行适应度赋值，但是随着目标个数的不断增多，非支配个体在种群中所占比例将迅速上升，甚至种群中大部分个体都变为非支配解，因此，基于Pareto支配的个体排序策略会使种群中的大部分个体具有相同的排序值而导致选择操作无法挑选出优良个体，从而使得进化算法搜索能力下降。
2）随着目标数目的不断增多，覆盖Pareto Front最优解的数量随着目标个数呈指数级增长，这将导致无法求出完整的PF前沿[4-5]。
3）对于高维多目标优化问题来说，当Pareto前沿面的维数多于3个时，我们就无法在空间中将其表示出来，这给决策者带来了诸多不便，因此，可视化也是高维多目标优化的一个难点问题。目前，研究者们相继提出了用决策图、测地线图、并行坐标图等方法来可视化问题的Pareto前沿面。
3 高维多目标进化算法分类
目前的高维多目标优化问题按照Pareto前沿的实际维数可以分为以下两类。一类问题是高维多目标优化问题真正的Pareto前沿所含的目标个数要小于目标空间的个数，也就是说，存在着原始目标集合的一个子集能生成与原始目标集合相同的Pareto前沿，具有该性质的原始目标集合的最小元素子集称为非冗余目标集，而原始目标集合中去掉非冗余目标集的剩余目标称为冗余目标，此类问题称为含有冗余的高维多目标优化问题，求解此类问题的方法就是利用目标缩减技术删除这些冗余目标，从而确定构造Pareto 最优前沿所需的最少目标数目，以此来达到使问题得到简化的目标。与此类问题相对的是一类不含冗余目标的高维多目标优化问题，其分类结构图如1所示。
对于不含冗余目标的高维多目标优化问题来说，非支配个体在种群中所占比例随着目标个数的增加迅速上升，利用传统的Pareto支配关系大大削弱了算法进行排序与选择的效果，导致进化算法搜索能力下降。所以，处理此类问题的方法大致分为三种：一是采用松驰的Pareto排序方式对传统的Pareto排序方式进行修改，从而增强算法对非支配个体的排序和选择能力，进一步改善算法的收敛性能；二是采用聚合或分解的方法将多目标优化问题整合成单目标优化问题求解。三是基于评价指标的方法：基于评价指标的高维多目标进化算法（Indicator-based Evolutionary Algorithm 简称IBEA）的基本思想是利用评价非支配解集优劣的某些指标作为评价个体优劣的度量方式并进行适应度赋值，从而将原始的高维多目标问题转化为以优化该指标为目标的单目标优化问题。直接应用一些评价指标代替Pareto 支配关系以指导进化算法的搜索过程。
4 含有冗余目标的高维多目标优化问题的目标缩减算法
求解含有冗余目标的高维多目标优化问题的方法就是利用目标缩减技术寻找并删除冗余目标，从而确定构造Pareto 最优前沿所需的最少目标数目。处理含有冗余目标的高维多目标优化问题的方法大致分为两种：一种是基于目标之间相互关系的目标缩减方法，另一种是基于保持个体间Pareto支配关系的目标缩减方法。下面介绍两类算法的基本思想。
（1）基于目标之间相互关系的目标缩减方法
此方法首先利用多目标进化算法获得的非支配解集合作为样本数据来分析目标之间的相互关系，然后通过分析目标间相关性的强弱来寻找冗余目标。2005年，Deb等提出了基于主成分分析法的高维多目标问题的目标缩减方法（PCA-NSGAII）。该算法将进化算法NSGAII和删除冗余目标的过程相结合，目标间的相关性是通过分析非支配集的相关系数来得到的，并由此生成目标集合中两两目标间的相互关系矩阵，然后通过分析相互关系矩阵的特征值和特征向量来提取互不相关冲突目标来表示原始目标集合，从而达到目标缩减的目的。Jaimes等提出了基于无监督特征选择技术的目标缩减方法来求解高维多目标优化问题。在该方法中，原始目标集按照目标间的相互关系矩阵划分成若干个均匀的分区。算法将目标间的冲突关系类比于点之间的距离，两个目标间的冲突性越强，则它们在目标空间中对应的两点之间的距离越远。算法要寻找的冗余目标是在联系最紧密的分区中寻找的。
（2）基于保持个体间Pareto支配关系的目标缩减方法
Brockhoff等研究了一种基于Pareto支配关系的目标缩减方法，该方法认为如果某个目标的存在与否对非支配解集中个体之间的Pareto支配关系没有影响或影响很小，则可以将其视为冗余目标删除。他们在其文献中定义了目标集合间相互冲突的定义，并提出了两种目标缩减算法δ-MOSS和k-MOSS，使得在一定误差允许下保留非支配解集中个体间的非支配关系。
另外，HK Singh提出了一种新的基于Pareto支配关系的目标缩减方法，（Pareto Corner Search Evolutionary Algorithm and Objective Reduction 简称PCSEA），该算法将一些具有代表性的处于边界区域的非支配解作为辨识冗余目标的样本点集，并通过逐个删除每个目标能否保持样本集中解的非支配性来辨识冗余目标。
高维多目标优化问题的求解算法是科学研究和工程实践领域的一个非常重要的研究课题，同时亦是目前进化算法领域的一个研究热点问题之一。但是由于问题求解复杂，当前的研究成果还较少，还有待进一步研究和探讨。今后，对于高维多目标优化问题的求解算法的进一步研究可以从以下几个方面展开：
1）引入新的非支配个体的评价机制。在高维多目标优化问题中，基于Pareto支配关系的个体排序策略由于缺乏选择压力而无法将位于不同区域的非支配个体区分开来，所以如何设计新的非支配个体的评价机制对这些个体进行比较和排序，既能保证搜索能力不受目标个数增加的影响，又能得到Pareto最优解。
2）探索新的目标缩减算法。为了减轻高维目标所带来的高额的计算成本，目标缩减技术仍然是当前求解高维多目标优化问题的一个重要方向。
3）多种策略融合。在高维多目标优化问题的求解过程中，将基于分解的技术和新的个体适应度赋值策略相结合，既能有效的增加个体在选择操作中的选择压力，又能在进化过程中更好地维持种群的多样性。
【参考文献】
篇7
Abstract：The constrained multi-objective evolutionary algorithm based on group clustering was improved， and crowding-density was introduced to measure the relationship among individuals and maintain the diversity of population. The basic idea is that the initial population is divided into four groups with different fitness by multi-criterion clustering method， and the crowding-density of each group is calculated. A poset is defined according to the objective function value and crowding-density， and the individuals are selected from poset by the principle of proportion selection， then the elite set is updated. The convergence and distribution of improved algorithm were studied by means of numerical experiments， and the results showed that the convergence of improved algorithm is roughly equal to the conventional multi-objective evolutionary algorithm， but the distribution of improved algorithm is significantly improved.
Key words：constrained multi-objective evolutionary algorithm； group clustering； crowding density； distribution
约束多目标优化问题的关键是对约束条件的处理，目前已有一些典型的带约束多目标进化算法和约束处理机制：文献[1]提出的COMOGA算法，将向量评估遗传算法和Pareto排序分级的方法结合起来处理约束问题。文献[2]提出的约束VEGA，将群体划分成几个子群体来处理。文献[3]提出的约束MOGA，将基于Pareto优胜的选择方案用来处理遗传算法中的约束方程。文献[4]提出了一种基于群体分类的复杂约束多目标进化算法，根据聚类方法来处理复杂约束，算法的基本思想是：按照类内距离平方和最小，类间距离平方和最大等多种判据将种群聚类处理，再按类赋以适当的适应度值。这种算法对于处理Pareto边界比较光滑的三目标的优化问题效果较好，收敛速度较快，基本上二百代即已达到较好的优化效果，但在维持种群的多样性和分布性方面欠佳，现将此算法做了改进，在进化过程中引入聚集密度以调控种群，可以达到维持种群多样性的目的，并根据量化评价指标和数值实验结果对改进算法的性能特别是分布性进行了评测。
1多目标优化问题的相关概念
11多目标优化问题及其最优解
多目标优化问题可表述为[5]
min y=f（x）=（f1（x），f2（x），…，fk（x））
s.t e（x）=（e1（x），e2（x），…，em（x））≤0
x=（x1，x2，…，xn）T∈X
y=（y1，y2，…，yn）∈Y
（1）
式中：x为决策向量，f（x）为目标向量，X表示决策向量x形成的决策空间，Y表示目标向量y形成的目标空间，约束条件e（x）≤0确定决策向量的可行取值范围。
定义1[6]满足式（1）中的约束条件e（x）的决策向量x的集合，即
Xf={x∈X|e（x）≤0} （2）
称为可行解集。
定义2[7]设xA，xB是两个可行解，若f（xA）≤f（xB）， 则称xA比xB优越； 若f（xA）
定义3若可行解x*满足：比x*更优越的可行解不存在，则称x*为弱Pareto最优解；
比x*优越的可行解不存在，则称x*为强Pareto最优解。
定义4Pareto最优解的集合称为Pareto最优解集或非支配解集，记为P*。
定义5Pareto最优解集P*中的所有Pareto最优解集对应的目标向量组成的曲面称为Pareto最优前沿或Pareto最优前端，记为
两目标优化问题的Pareto最优前沿是一条平面曲线，三目标优化问题的Pareto最优前沿则为一张空间曲面。多目标优化问题的结果习惯上多采用Pareto最优前沿表示。
12最优解集的评价标准
多目标优化算法性能的评价包括算法的效率和最优解集的质量。算法的效率主要指算法的复杂性即算法占用的CPU时间，而最优解集的质量包括算法的收敛性和最优解集的分布性。
评价多目标优化算法性能主要依靠量化评价标准和有代表性的测试问题。
常用的量化评价指标有：
1） 世代距离[8]（GD）
GD=∑ni=1d2i n （4）
式中：n为算法所得最优前端PFknown中向量个数，di为PFknown中每一维向量到最优前端PFtrue中最近向量的距离。
GD主要反映了PFknown对PFtrue的逼近程度。
2） 错误率[9]（ER）
ER=∑ni=1ein （5）
式中：n为PFknown中的向量个数，且PFknown={X1，X2，…，Xn，ei定义如下
ei=0， Xi∈PFtrue
1， 其它（6）
ER描述了PFknown对PFtrue的覆盖程度，即最优解集的分布性。
3） 分散性（SP） [10]
SP=1n-1∑ni=1（di-）2 （7）
式中：n和di同GD。
显然，SP即为di的均方差。根据方差的含义，SP反映的是最优解集的均匀性。
2基于聚集密度的约束多目标算法
上述群体分类的复杂约束多目标进化算法具有较好的收敛性，但在分布性方面存在着的一定的缺陷，原因是算法仅考虑了群体中个体的R适应度，并没有考虑群体中个体间的距离，即群体的拥挤程度，这极有可能降低种群的多样性，影响解的分布性。
在进化算法中，保持解的分布性的常用方法有：小生境技术，信息熵，聚集密度，聚类分析等[11]。
本文将聚集密度引入选择过程，改善解的多样性和分布性。
21聚集密度
聚集密度的概念是Deb在[12]中提出来的。聚集密度可以从个体的相似度，影响因子或者聚集距离几个方面来度量，本文选择从聚集距离角度度量。聚集密度与聚集距离成反比关系，聚集距离大的聚集密度小。一个个体的聚集距离可以通过计算其与相邻的两个个体在每个子目标上的距离差之和来求取。
如图1所示，设有两个子目标f1（x）和f2（x），Pm[i]为个体i在子目标m上的函数值，则个体i的聚集距离P[i]d是图中四边形的长与宽之和，即
计算出聚集距离后，再按照个体间的聚集距离越大，则个体的聚集密度就越小的原则，即可定义个体的聚集密度。这里，为了简单起见，定义聚集密度为聚集距离的倒数。
22基于聚集密度的约束多目标进化算法
基于聚集密度的约束多目标进化算法的步骤如下
1） 用多判据聚类方法将整个群体分成四类，不可行群体、可行非Pareto群体、聚类Pareto群体以及聚类Pareto最优群体。分别赋以适应度：R（不可行群体）≤R（可行非Pareto群体） ≤R（聚类Pareto群体）≤R（聚类Pareto最优群体）。
2） 当迭代次数小于最大迭代次数时，构造如下偏序集：① 计算种群中个体的目标函数值；② 计算每个个体的聚集密度；③ 根据目标函数值和聚集密度定义一个偏序集，该偏序集中的元素有两个属性：个体的目标函数值和聚集距离。
3） 根据比例选择原则，依次从偏序集中选择个体。
4） 对群体进行交叉运算。
5） 对群体进行均匀变异运算。
6） 条件终止判断。不满足终止条件，则进行新一轮运算，若满足终止条件，则输出计算结果，算法结束。
算法流程图如下
下面用基于聚集密度的约束多目标进化算法对两个标准约束多目标测试函数Binh4和Viennet 4进行了优化，并将计算结果与文献[12]中的原算法的计算结果进行了比较，从而检验改进算法的性能。
1） Binh4测试函数
F=（f1（x，y），f2（x，y），f3（x，y））
f1（x，y）=15-x（1-y）
f2（x，y）=225-x（1-y2）
f3（x，y）=2625-x（1-y2） （10）
约束条件为
-10≤x，y≤10
x2+（y-05）2≥9
（x-1）2+（y-05）2≤625 （11）
Binh4测试函数的PFlocal如图3所示。
2） Viennet4测试函数
Viennet4测试函数的PFlocal如图4所示。图4Viennet4 PFtrue 图图5Binh4 PFknown 图（改进算法）图6Binh4 PFknown 图（原算法）图7Viennet4 PFknown 图（改进算法）图8Viennet4 PFknown 图（原算法）
图5～图8分别是用改进算法和原算法求出的Binh4和Viennet4的Pareto最优边界。可以很直观地看出，改进算法在解的分布性和均匀性方面均明显优于原算法。
为了更进一步定量地评价改进算法的性能，下面给出改进算法和原算法的世代距离、错误率和分散性指标的对比数据。
考虑到计算结果的随机性，表中给出的是20次实验结果的平均值。
从表1和表2中可以很清楚地看出，原算法和改进算法的GD指标相差不大，但改进算法的ER和SP指标与原算法相比明显占优。
综合图5～图8和表1～表2，可以得出明确的结论：基于聚集密度的改进约束多目标进化算法的收敛性与原算法相当，但分布性和均匀性有了明显的提高。
4结束语
本文根据聚集密度的特点，将聚集密度引入群体聚类约束多目标进化算法，数值实验结果和量化指标表明：与原算法相比，改进算法解的分布性有了明显的提高。
由于多目标进化算法的理论基础目前还很薄弱，收敛性和分布性等关键理论问题无法从理论层次进行证明，所以算法的改进验证只能基于对比实验。
提高多目标优化算法解的分布性和均匀性的方法有多种，如小生境技术，信息熵，聚集密度，聚类分析等。本文采用的聚集密度方法与其它方法相比，优点是既能从宏观上刻画群体的多样性与分布性，也能从微观上描述个体间的内在关系，缺点是计算复杂度偏高。这完全符合优化中的“没有免费的午餐定理（No Free Lunch， NFL）”。
参考文献：
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[9]COELLO COELLO C A. Evolutionary algorithms for solving muli-objective problems [M]. Kluwer Acedemic， 2002：14-18.
篇8
协同进化算法是基于协同进化理论出现的一类新的进化算法，其在传统进化算法强调个体与个体之间因环境原因所产生的竞争的基础之上，进一步考虑多个种群之间、种群与环境之间的在进化过程中的协同作用。目前通常使用的协同进化算法主要可以分为两类：以种群竞争的方式加速算法收敛和使用种群合作的方式保持种群多样性。但是这两种方式都只是强调了协同进化中的一部分，都存在其不足。在大自然生物们个体之间的协同进化过程中，竞争、合作这两种相互矛盾的关系往往都是同时存在的。只有强者才具优先的权利，以遗传下自身的基因，其他处于弱势的个体会团结起来与其对抗，达到留下自身基因的目的。刘静在她的博士论文《协同进化算法及其应用研究》中基于种群竞争和合作思想构建了MOCEA（Multi-objective Coevolutionary Algorithm），通过竞争特性算子――吞并算子来达到使得优秀的基因得到广泛的传播和保持种群基因的多样性，并得到很好的效果。但由于刘的思想仍然是主要依靠种群合作来达到加速收敛的目的，其所采用的竞争特性算子――吞并算子对其算法进化并没起到决定性作用。
1 算法设计
1.1 算子设定
1.3.1 测试函数一
该测试函数为一带约束条件两目标函数，其主要用于测试多目标优化算法在pareto前沿的收敛的能力。
从表3.1可以看出CCEA算法在Spreed这个指标上具有很大的优势，从图3-1也可以看出CCEA算法比NSGAII算法在这个测试函数的计算上具有更大的优势。
1.3.2 测试函数二
该函数为带约束的两目标测试函数，在其约束条件内含有两个可调变量a、b，本文选取a=0.1，b=16来对CCEA算法和NSGAII算法进行测试。该函数的PFtrue曲线为三段相互之间不连续的曲线，在对多目标优化算法测试时，通常对中间一段进行关注，其主要特点在于这个区段的部分点不易被搜索到，性能较差的算法在这部分通常表现为断开。该函数因此可以检测算法在pareto前沿的搜索能力。
由表3.2可以看出CCEA算法除了在GD这个指标上占优势以外，在其他两个指标上并不占优势，甚至在Spreed这个指标上略有不如。但从图3-2看出来在中间一段曲线上CCEA算法搜索出来的为一条连续曲线，而NSGAII算法在这部分是断开的，这可证明CCEA算法对pareto前沿解的搜索性能要强于NSGAII算法。
2 结论
篇9
本文应用一种多目标模型和算法于配电网网架规划中。该算法同时考虑经济性和可靠性两方面的要求，应用一种模糊满意的方法，最终最大化实现配电网的经济性和可靠性指标的公共满意度，使得两者之间的矛盾最小化。
2 网架规划模型
本文同时考虑经济性和可靠性两大要求，经济性要求通常为网络的建设运行费用和损耗费用。可靠性要求为系统的缺电损失费用，两者的计算公式如下：
（1）
（2）
上式（1）中L为n维决策量，代表优化的解，li是L的元素，当线路i被选中架设时li=1，否则li=0。Cl=？着l+？茁l，？着l是线路投资回收率，？茁l是设备折旧维修率；CLP为该条架设线路单位长度的投资费用；Li指的是线路i的长度；Cp是电价（元/kW・h）；？驻P是整个系统总的网络损耗（kW）；？子m指相应的年最大损耗时间（h）。Rbenefit指的是停电损失。
这里用？啄1（e1）和？啄2（e2）分别代表经济性要求和可靠性要求接近其最佳情况的程度。上述模型可转化成下列模型：
（3）
（4）
式中，？孜为两者的公共模糊满意度。
3 求解网架规划模型
本文基于蚁群算法来解决配电网网架规划问题，针对配电网的树性特点，使蚁群的一次游程以某种随机策略形成一个辐射网（即一个网架规划方案）。
本文利用集合的概念进行求解：Ant表示t时刻第n只蚂蚁连入辐射型网络的节点集合；Bnt表示t时刻第n只蚂蚁未连入辐射型网络的节点集合；Cn0表示t=0时刻所有待建线路的集合；Dnt表示t时刻与连入网络的节点相连的属于集合Cn0的边的集合，即可以选择作为下一步待建边的集合；变电站和负荷统称为节点；一条线路表示两个节点间的电气连接。边包括已建线路和待建线路两种。待建边j（j=1，2，…，m）上有两个权值，其中一个权值Cj是线路的费用；另一个权值？子j指的是边j上的信息素。
在每次游历过程中，蚂蚁n都是从t=0时刻出发。蚂蚁n在t时刻先以随机概率从集合Ant中选择线路然后更新两节点集合，同时更新其他几个集合。重复执行上述过程，直到所有的负荷节点都被连入辐射性网络。
4 算例分析
本文采用IEEE经典算例中其中的单电源规划算例]进行分析，所用算例为一个具有10个负荷点，1个变电站的系统。如图1所示，S1为己经存在的变电站，虚线表示可选的待建馈线。
由于变电站的供电范围已确定，所以需要对算例中的S1变电站的网架结构进行规划，分别以经济性、可靠性和两者综合最优为目标进行规划，结果图分别如图2、图3和图4，费用结果如下表所示：
表1 不同目标时的网架规划结果
不同目标要求时候的配电网网架规划，单目标规划时候只能最大程度上的改善其中的一个目标，而另一指标不可避免的就会有所增加，只有在多目标规划的时候，才能得到两者的综合最优，使得经济性和可靠性都能得到相对满意的结果，同时也会降低总费用。
5 结束语
将多目标模型应用到配电网网架规划中，选择应用蚁群算法这种智能优化算法来进行优化。通过不同目标时候配电网网架规划方案的比较分析表明本文的多目标规划能够得到更好的效果。
参考文献
[1]孙洪波，徐国禹，秦翼鸿.电网规划的模糊随机优化模型[J].电网技术，1996，20（5）：4-7.
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[3]朱旭凯，刘文颖，杨以涵.综合考虑可靠性因素的电网规划新方法[J].电网技术，2004，28（21）：51-54.
篇10
现代工程实践和科学研究中遇到的很多问题都是多目标优化问题，多个目标之间通过决策变量项目制约，对于单个目标的优化问题的唯一最优来说，多目标问题的解并不是唯一的，而是存在一个最优解结合，在该集合内的每一个解都称为多目标非支配解。对于工程项目来说，工期、成本和质量是工程项目的“三大目标”，也是决定项目成功与否的关键因素，对于任何一个项目，即需要在约定时间内完成，也需要控制项目成本，同时还必须确保项目质量符合需求。但是工期、成本和质量这三个目标存在相互制约的关系，一般来说，工期和成本成正比，工期和质量成反比，成本和质量成反比。。因此，需要采用多目标算法来求解工期、成本和质量三个目标优化问题，并且从得到的解集中根据需求挑选出最优解作为该项目的最优规划目标解。
1 多目标粒子群算法
1.1 多目标算法
多目标优化算法可以描述为：一个由满足一定约束条件的决策变量组成的向量，使得一个由多个目标函数组成的向量函数最优化。目标函数组成了性能标准的数学描述， 而性能标准之间通常是互相冲突的。优化意味着要找到一个使得所有目标函数值都可接受的解。
多目标优化问题中的最优概念最先由Francis Ysidro Edgeworth提出， 后来Vilfredo Pareto 给出了系统的定义， 通常称为Pareto最优[1-2]。
不失一般性， 在一个有 k个目标函数最大化的问题中， 称决策向量[x*∈F]是Pareto最优的， 当不存在另外一个决策向量[x∈F]同时满足式1。
[fi（x）≥fj（x*），?i∈{1，2，...，k}fi（x）
同样地， 在最大化问题中称决策向量x优于y，或者支配y，需要满足式2。
[fi（x）≥fj（y），?i∈{1，2，...，k}] （2）
1.2 多目标粒子群算法
结合粒子群算法搜索思想和多目标算法原理设计多目标粒子群算法，由于相对于单目标粒子群算法中的个体历史最优和群体历史最优的唯一性，多目标算法中个体历史最优和群体历史最优均是一个非支配解集，因此在多目标算法的设计中需要解决从非支配解集中挑选出最优跟踪个体的问题。该文采用了文件记录的方法来记录在算法搜索的过程中找到的所有的非支配解，并且采用一定的方法来选择个体跟踪的优秀目标。
由于多目标粒子群算法在搜索的过程中同时记录个体全局最优解，个体最优解和局部最优解，因此需要三个记录文件来记录。但是由于三个记录文件中的非支配解存在相互交叉支配的现象，并且为了算法简洁高效，该文采用一个档案文件同时记录全局最优解，个体最优解和局部最优解，档案文件在算法搜索的过程中，只要发现新得到的搜索解存在支配管理，就把该解放入记录文件中，同时根据支配关系，密度关系等调整记录文件中的最优解。
在记录文件记录所有最优解的基础上，通过非支配解排序的方法来解决这个每次迭代搜索的时候，粒子跟随的最优个体问题，具体思路就是首先评估排序所有的非支配解，然后从排序好的解集中根据排序的序号，以选择概率的方法选择排序靠前的非支配解作为个体跟踪对象，非支配解排序的序号越靠前，其被选中的概率越大。
2 工程项目多目标建模
2.1 工程项目分解
本文在求解的时候首先采用网络计划技术把整个项目进行工序分解，并且得到工序流程图，流程图中的每个工序节点都有多种不同的施工方案，每个施工方法都对应不同的施工费用、工期和质量。因此项目建设规划便存在多种工期、成本和质量的组合方案，工程项目网络计划图如图1所示[3]。
其中，[Mji]表示第i道工序的第j种执行模式，[Cji]、[Tji]、[Qji]为该执行模式需要的执行成本、执行工期以及工序质量。
2.2 模型建立
在多目标模型建立的环节，首先分别建立工期目标模型、成本目标模型和质量目标模型，然后把三个模型进行组合，得到了工程项目工期、成本和质量多目标优化模型[4]。
项目工期模型如式（3）所示。
[min] [fT=i=1nMmiLj∈Lxmitmi] （3）
其中，L表示路径集合，Li 表示具体的路径，[xmi]为0或者1，代表是否执行了活动i的第m道执行模式，其中1表示执行，0表示没有执行。[tmi]表示执行了活动 i 的的第 m 道执行模式所获得的所需工时。
项目成本模型如式（4）所示。
[min] [fC=i=1nMmixmi（k∈Kumi，krmi，k+k∈Kidcmi，k）] （4）
其中，[xmi]为0或者1，代表是否执行了活动i的第m道执行模式。[umi，k]表示在执行活动i第m道执行模式时，所耗费的第k项资源的单位费用，[rmi，k]表示在执行活动耗费的第k项资源的量。[idcmi，k]表示执行活动耗费的第k项间接资源费用。
质量目标模型如式（5）所示。
[Q=i=1nMmj（xmi?qmi?gρgzgi）i=1nMmj（10xmi?gρgzgi）?10] （5）
其中，[qmi]表示在子工序i的在第 m 道执行模式中对应的质量值，分母表示[i=1nMmj（10xmi?gρgzgi）]把所有子工序对应的指标质量值均设为10时的项目总质量值。
因此，总体的多目标模型如式（6）所示。
[min] [max] [fT=i=1nMmiLj∈Lxmitmi]
[min] [fC=i=1nMmixmi（k∈Kumi，krmi，k+k∈Kidcmi，k] （6）
[max Q=i=1nMmj（xmi?qmi?gρgzgi）i=1nMmj（10xmi?gρgzgi）?10]
[s.t.] [mxmi=1i=1nmxmi?rmi，k≤RkT0≥fTC0≥fCQ0≥fQ]
3 仿真实验
采用工程项目多目标粒子群算法仿真实际工程道路项目，该道路工程为典型的土方施工项目，根据项目施工规划要求以及施工地的地质特点，整个项目可以细化为包括施工准备、路基土方、软土处理、防护工程等在内的15项具体活动，该连接线工程的网络计划图如图2所示。
采用多目标粒子群算法优化项目工序模式选择，因为项目工序模式为整数，所以采用对种群进行离散化，即每一次迭代得到新的种群后，都采用四舍五入的方法把新的种群离散化。因为一共有14道施工工序，所以粒子维数为14，从而每一个粒子都代表一个施工方案，其他的参数为种群个数为100，算法迭代次数为20。算法得到的多目标非支配解如图3所示。
从图3可以看出，该文提出的多目标粒子群算法搜索性能较高，算法在运行的时候能够找到较多的非支配解集，对于每个非支配解集中的解来说，都代表其中的一个施工方案。
4 小结
针对工程项目建设规划问题中工期-成本-质量三个目标相互制约，一般算法难以得到三个目标的最优解的问题，该文采用多目标粒子群算法进行求解，在建立寻优问题的基础上，采用粒子群算法搜索多目标问题的非支配解集，仿真实验表明多目标粒子群算法能够得到工期-成本-质量多目标优化问题的解集，从而为工程项目规划提供了一个新的参考方法。
参考文献：
[1] 郑向伟，刘弘.多目标进化算法研究进展[J].计算机科学，2007，34（7）：187-192.
篇11
1.1资源分配模型NNIA是一种经典的进化多目标优化算法，在此算法的运行过程中，只是采用少数的非支配个体进行操作，考虑到本文采用的多目标考试时间表的建模方式，在算法运行过程中，当出现非支配解数量不足的情况时，必然会对NNIA框架下的算法性能产生十分明显的影响。顾本文在采用NNIA算法框架的基础上，在个体克隆阶段，设计了一种基于博弈论的资源分配模型，通过动态控制优势个体的克隆数量手段，更加合理的分配计算资源。在资源分配模型中，根据非支配排序关系，待克隆的个体首先被划分为不同的等级（R1,…,Rn）。其中，Ri代表了第i等级的个体的数量。通常情况下，R1中的个体优于其他个体。根据R1个体在所有待克隆个体中所占的比例r，将资源分配模型分解为早期模型、中期模型和后期模型。算法在运行过程中，根据不同的模型，采用相应的克隆策略。早期模型(r≤1/3)：在此阶段只有很少的优秀个体（R1个体）。根据博弈论的相关概念，需要抑制R2中个体的克隆数量，以保证其无法影响到R1中的个体。如公式(5)所示，其中Si表示原始的克隆尺寸，Mi表示资源分配模型计算过后，克隆后第i级别的克隆规模。
1.2基于超启发方法的种群初始化许多学者的研究及仿真实验表明[1]，基于图着色的超启发方法十分适合处理单目标考试时间表问题。采用超启发方法拥有更大几率快速找到可行解或潜在的优势个体。针对本文所面对的多目标考试时间表问题，若能快速得到可行解或潜在的优势个体，在固定的算法迭代次数的条件下，则更加有利于得到更好的结果。因此，本文采用基于图着色的超启发方法生成初始种群。其中，初始种群是由一定数量的初始解(时间表)构成的。首先，随机产生由不同图启发算法构成的启发式链表，根据启发式链表，产生初始解（考试时间表）。在产生初始解的过程中，每当产生一个新的考试时间表示，通过这些不同的启发式算法，可以产生一个考试科目安排顺序，在不违反硬约束的条件下，根据考试安排顺序，每门考试随机安排在时间段中。具体的超启发方法请参看文献[1]。另外，本文采用二进制编码方式，其中每一列代表一个时间段，每一行代表一门考试，数字1表示在此时段安排某门考试，0表示在此时段未安排考试。
2仿真实验
本文选取Carter标准数据集[14]进行测试。近几十年来，几乎所有关于考试时间表算法的研究都采用此数据集进行性能测试，但此数据仍是开放数据，理论最优解仍然未知。本文选取了该数据集中的十个具有代表性的数据，对提出的算法进行仿真实验。以下仿真均为10次独立运行实验，运行环境为2.8GHzCorePersonalComputer。具体参数如表1所示：针对10个测试数据，算法经过10次独立运行，随机选取一组解集，其pareto前沿面如图2所示。少数几个测试集（car91,car92,ear83等）在个别区域没有找到非支配解。除上述测试集，大部分的测试集基本上能够完整勾勒出2目标优化的pareto前沿面，并且对于每一组数据的pareto解都可以较为均匀的分布在其前沿面上。表2记录了现今这些测试集的最好的运行结果，需要注意的是，此结果均为在单目标优化(固定时间表长度，只优化考试间冲突关系)的环境下产生的。我们选取的运行结果则是根据单目标环境下的时间表长度(P),在我们的多目标算法运行的结果中，选取的对应结果。从对比结果来看，除数据集york83，我们的算法均能找到与单目标模型中相同的时间段。从具体结果上来说，我们的结果的确与其他几种最优秀的单目标优化结果尚存一定差距，但差距并不明显。重要的是采用本文提出的多目标优化算法，经过一次运行就可提供不同时间段的多个解，运行效率是单目标优化的数十倍。上述结果表明，将考试时间表问题按照多目标优化问题建模有效且可以极大地提高计算效率。本文在NNIA框架下，在克隆阶段采用了资源分配模型，此模型对于整个算法的影响可由下列实验得出结论。图3为十组测试数据分别来自为采用资源分配模型的RA-NNIA和未采用此模型的原始NNIA进行十次独立运行后，非支配解个数的统计盒图。针对每一个测试数据，左边采用RA-NNIA，右边采用NNIA。我们可以明显看出，采用资源分配模型的RA-NNIA的非支配个体数量明显的好于未采用的NNIA。图4为十组测试数据，分别采用RA-NNIA和NNIA，经过十次独立实验后，spacing指标的统计盒图对比。由图可知，除少数几组数据(car92,ear83)，采用RA-NNIA算法的均匀性指标都要优于采用NNIA的运行结果。根据以上两组实验结果分析可知，对于如此建模的多目标考试时间表问题，非支配解的数量本身就十分的有限，传统的NNIA仅采用当前的非支配个体进行克隆，而后进行进化操作，导致种群的多样性难以保持，很有可能进一步导致最终的非支配解数目不足，而RA-NNIA克隆阶段，在非支配个体数量不足时，还会利用少部分较好的支配个体，共同进行克隆操作，并且，资源分配模型还会根据当前非支配个体所占的比例，动态控制每一部分个体的克隆比例，此种策略在一定的情况下可以很好地改善传统NNIA在这方面上的不足。所以，采用资源分配模型的NNIA是有利于非支配个体的产生与保留，有利于算法的多样性的保持，此策略十分适合用于求解多目标考试时间表问题的多目标进化算法。
篇12
现代物流从起步期迅速进入发展期的重要标志之一是以新建和改建配送中心为主的大规模物流基础设施的投资。目前，投资超过百亿的就有上海、北京、天津、深圳、香港等地。在现代物流系统中，配送中心是集物流、信息流和资金流为一体的流通型节点，是我国物流系统建设中的战略规划之重。通常，对于物流配送中心的设计，绝大多数研究仅考虑了成本的优化。由于在物流配送中心进行的各种物流活动，如运输过程中车辆排放的co2、so2；对旧产品回收后进行翻新、循环产生的有害物质；流通加工中的能量消耗等，都会对环境产生影响，因此，在物流配送中心的选址决策问题中既要考虑降低成本，又要尽可能降低对于环境的影响。这就需要建立多目标优化模型。近几年，一些国外学者提出了可持续发展的供应链的概念，关注于物流与供应链对环境的造成的影响。文献利用多目标技术来优化设计可持续发展的物流网络。但是对于物流网络中需要建立的设施都视为相同的。实际上，不同的设施对于环境可能产生的影响不同。文献通过建立一个多目标优化模型来降低对于环境的影响，但是仅通过设施之间的距离来描述影响环境的因素，而影响环境的因素是多方面的。本文通过粗糙集方法来建模配送中心对于环境的影响时，利用绿色度概念将影响环境的多因素综合起来，提出了优化成本和环境的多目标模型来确定配送中心，从而更好的反映实际情况。
二、 配送中心的绿色度
我们建立配送中心的绿色度评价指标如下：（1）包装、运输、仓储的绿色化；（2）回收处理绿色化；（3）环境污染程度。如何确定指标的权重是一个重要问题。在现实中，人们往往在信息不确定情况下进行决策，而粗糙集方法是一种进行不确定性决策和推理的有力工具，因此本文利用粗糙集属性重要度方法获得指标的权重。下面给出关于粗糙集的一些基本性质。
定义6：s=（u，a，v，f）为一个信息系统，a=c∪d，c∩d=?覫，e?奂c。属性a（a∈c\e）的重要性sgf（a，e，d）=h（d|e）-h（d|e∪{a}），对给定的属性子集e，sgf（a，e，d）的值越大，属性a对决策d就越重要。
本文用“好”、“中”、“差”3个等级来评价指标（1）和（2）。用“高”、“中”、“低”3个等级来评价指标（3）。采用3分法，用1、2、3分别对应“好”、“中”、“差”和“高”、“中”、“低”。根据专家意见设计决策表，经过简约后得到14种不同的决策组合，如表1所示。
其中决策栏的“1”表示建配送中心，“0”表示不建。经过计算得到：
于是得到包装、运输、仓储的绿色化的重要度为0.188 2，回收处理绿色化重要度分别为0.102 2，环境污染程度的重要度为0.145 2。于是属性a的权重wa=0.188 2/（0.188 2+0.102 2+0.145 2）=0.432，属性b的权重wb=0.102 2/（0.188 2+0.102 2+0.145 2）=0.235，属性c的权重wc=0.145 2/（0.188 2+0.102 2+0.145 2）=0.333。对每个备选配送中心在指标体系下打分，然后按指标加权，则可得到每个备选配送中心的绿色度。
三、 选址决策模型
1. 参数和决策变量定义。
模型参数如下：
i∈i客户区的下标；j∈j备选配送中心的下标；fj建立配送中心j的固定成本；ai客户区 的需求量；dij将单位产品从配送中心j运到客户区i的运费；wj配送中心j的绿色度。决策变量定义如下：
xj=1如果在备选地j建立配送中心0否则，zij客户区i的产品由配送中心j配送的比例。
2. 多目标优化模型。
目标函数（1）式为最小化总的建设成本。（2）最大化配送中心的绿色度。（3）式确保每个客户区的需求都得到满足。（4）式表示客户区i的需求由配送中心j负责，当且仅当建立了j配送中心。（5）、（6）为变量的取值约束。
四、 算例分析
在不同的备选地建立不同等级的配送中心的成本如表2所示。有8个客户区，每个备选配送中心到客户区的单位产品运费如表3所示。
通过决策表的计算，得到6个备选配送中心的绿色度分别为0.713、0.882、0.561、0.758、0.608、0.843。
令f*1为目标函数（1）的最优值，f*2为目标函数（2）的最优值。先分别对两个单目标问题求出最优解f*1=31.380，f*2=4.365，采用理想点法，将“三”之“2”节中的模型转化为如下形式：
求解得到l=3.652，f1=31.380，f2=0.713，x1=1，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，x6=0，即只建立备选配送中心1。
五、 结论
配送中心具备发展现代物流的战略优势。目前我国新建的物流配送中心规模越来越大，同时在配送中心进行的各种物流活动对环境造成了负面的影响。为了实现可持续发展，需要在建立配送中心的时候，尽可能减低对于环境的污染。本文通过绿色度评价来获得备选配送中心的环境效益，通过建立最小化建设运营成本和最大化环境效益为目标，建立双目标优化模型来进行物流配送系统的设计，能够为企业和政府相关决策部门实施绿色物流提供科学的方法。
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篇13
文章编号:1004-373X(2010)05-047-04
Goals Optimization Based on Quantum Crowd Particle Algorithm in PHY
Layer and MAC Layer in Cognitive Radio System
XUE Zhoucheng1,LV Junwei1,NI Lei2
(1.Ordnance Engineering College,Shijiazhuang,050003,China;2.Unit 61451 of the PLA,Beijing,100094,China)
Abstract:Cognitive radio technology is tendency and the direction of future communication development,it is also the focus of the communication research.Aimming at solving the problem of goals optimization under certain channel condition in its physical layer and medium link layer in cognitive radio system.The problems of goals optimization problem in cognitive radio based on the basic thoughts of quantum particle crowd algorithm are solved and thoughts of quantum particle crowd algorithm in the cognitive radio system are used for carrying out proper improvements.Finally it emulates the optimization problem using the radio station controlled by WSGA.
Keywords:cognitive radio;quantum crowd particle algorithm;goals optimization;PHY layer and MAC layer
0 引 言
认知无线电(Cognitive Radio)将人工智能与无线电通信相结合,这个领域具有高度的多学科性质,混合了传统通信与电子工程的无线电,同时应用了来自计算机科学的一些概念[1]。基本定义可归纳为:它是可以感知外界通信环境的智能通信系统,认知无线电系统通过学习,不断地感知外界环境的变化,并通过自适应调整内部的通信机理达到对环境变化的适应。这样的自适应调整,一方面是为了改进系统的稳定性,另一方面也是为了提高频谱的利用率。根据认知无线电框架,用户首先需要检测频谱环境,估计当前信道中的干扰温度及其接入对邻近用户的干扰,根据这些测量数据,用户可以自适应地改变传输参数,以达到系统最终的性能最优。其基本任务是:环境分析、信道预测估计和信道预测建模、传输功率控制和动态频谱管理[2]。
认知无线电的目标是最优化自身性能以及支持用户的需求,但是“最优化”的含义是什么?它不仅仅是无线电用户追求自身资源消耗最大化的自适应参数调整,考虑在无线电通信上,如果两对节点在不同的网络上通信,传输在时间和频率上的重叠,会形成干扰。节点将低信干噪比(SINR)的情况认为是观测到了干扰,传统应对干扰的方法是通过增大发射功率来增加SINR,┮惶趿绰飞系姆⑸浠增加发射功率,另一链路也将会以提高发射功率来回应[3]。每个无线电用户都将通过增大自身的发射功率来使接收机的SINR最大化,这样最终会使功率增加到硬件的极限[4]。
在严重拥塞的频谱环境中,改变频率可能不是一个很好的解决方法,这是为什么要查找可能调整的所有物理层和链路层来改善其性能的原因[5]。
首先定义,在无线电中实现了满足用户的性能水平,并最小化其消耗资源(如占用的带宽、消耗的功率等)时,就认为“最优化”。因此应该知道用户的需要以及如何调整无线电性能才能满足这些需要。
在物理层中,中心频率、符号速率、发射功率、调制类型和调制阶数、脉冲成形滤波器(PSF)类型、阶数、扩频类型、扩频因子等都能进行调整。链路层上则为各种可以改进网络性能的变量,包括信道编码和交织类型和速率,以及接入控制方法,如流量控制、帧的大小以及多址接入技术等。
认知无线电遵循的基本过程是调整自身的参数来实现某一期望的最优性能组合。无线最优化概念是通过分析许多目标函数的输入与输出来描述的,在这种情况下,描述各个目标之间的相互依赖关系使用单目标分析系统变得困难,用户和网络的需求不能同时得到满足,这种需求会随着时间和具体情况发生很大变化。这时单目标函数已不能充分表示这些不同目标的需求[6]。
设认知无线电需调整的N个参数为a=,具体参数是发射功率、调制方式、中心频率、符号速率等,由于受各种制度、物理环境、硬件条件等方面的限制,认知无线电参数通常要满足很多约束条件。为适应当前外部条件,认知无线电需优化的目标函数为f=,其中n为目标函数的个数,目标函数的选择要求能反映当前的链路质量,如平均发射功率、数据速率、识码率、带宽、频带效率、数据包延时等。不同的链路条件、不同的用户需求导致不同目标函数的重要性不尽相同。在实际运用中可用权重数值的大小来反映目标函数的重要性程度。由此可知实现认知无线电参数的调整功能是一个多目标优化问题,即如何调整无线电参数取值来实现给定权重情况下多个目标函数的优化[7]。
由于缺少单目标函数的衡量,所以不能从经典的优化理论来获得调整无线电参数的方法,取而代之的是使用MODE标准来分析无线电性能。MODE理论使得人们可以在与之用来建模的目标函数个数一样多的维数中实现最优化,目前遗传算法已被广泛用于MODE问题的求解[1]。
MODE理论的核心是用数学方法选择一系列的参数,从而使一组目标函数最优化。MODE方法的基本表示如式(1)、式(2)所示:
min/max(y)=f()=),f2(),…,fn()〗(1)
约束条件:
=(x1,x2,…,xm)∈X
=(y1,y2,…,ym)∈Y(2)
其中,所有的目标函数都定义成最大化y或最小化y,最大化或最小化取决于具体的实际应用。x的值(即x1,x2等)表示输入;y值表示输出。式(1)提供了MODE的表示,但没有指定优化系统的方法。某些目标函数以某种方式进行组合会产生最优化的输出。在实践中可以有很多方法实现最优化,目前遗传算法运用最广泛。
传统求解多目标优化问题的方法有加权法、约束法、目标规划法等,这些求解方法按某种策略确定多目标之间的权衡方式,将多目标问题转换为多个不同的单目标问题,并用这些单目标优化问题的最优解构成的解集去近似最优解。这些方法和每次优化结果,只得到┮桓鐾仔解,而且采用不同的方法求解,结果可能完全不同。
本文引入的量子粒子群算法用于对MODE问题的求解,同时对于量子粒子群算法进行了一些改进。量子衍生计算是近年来新提出的一种新的计算方法,引进量子理论的进化算法具有很好的空间搜索能力。量子多目标进化算法具有更强逼近最优前沿的能力和更好的多样性,具有量子行为的粒子群算法,能保证全局的收敛性,其性能优于传统的遗传算法。
1 量子粒子群算法
1.1 粒子群算法的基本思想
粒子群算法(PSO)是由Kennedy和Eberhart等于1995年率先提出的,它借鉴鸟群捕食过程的社会行为,是一种并行进化的计算方法,引入惯性权重来实现对解空间的搜索控制,逐步形成了目前普遍应用的基本粒子群算法[8]。思想是:为将每个个体看作是D维搜索空间中一个没有体积和质量的粒子,在搜索空间中,以一定的速度飞行,并根据个体和群体飞行经验的综合分析来动态调整这个速度。设群体中第i个粒子为Xi,它经历过的位置为Pi,其中最佳位置记为Pbest,当前组成的群体中所有粒子经过的最佳位置记为Pgbest,粒子i速度用vi=(vi1,vi2,…,vid)表示,对第i次迭代,粒子i在D维空间的运动方程为:
vid(t+1)=w•vid(t)+c1rand()[pbest-xid(t)]+
c2rand()[Pgbest-x(t)]
xid(t+1)=xid+v(t+1)(3)
式中:w为惯性权重,它使粒子保持运动的惯性,使其有能力探索新的区域;c1,c2为常数;rand为范围的随机数。
1.2 量子比特的表示
提出量子比特编码多态问题可由式(4):
α1α2…αm
β2β2…βm〗(4)
表示为。通用量子旋转门调整则相应可表示为:
α′iβ′i〗=cos(Δθ)-sin(Δθ)sin(Δθ)cos(Δθ)〗αiβi〗(5)
1.3 量子粒子群算法
从量子力学的角度出发提出了一种新的PSO算法模型。这种模型以DELTA势阱为基础,认为粒子具有量子行为,并根据这种模型,提出了一种具有量子行为的粒子群算法。此算法具有简单易实现和调节参数少的优点,具有良好的稳定性和收敛性[9]。
借用粒子群中的群智能策略,将这种群的所有量子看成一个智能群体,找到每次迭代过程中局部最优解进行进一步的动态调整,其操作过程是:量子粒子i在┑j比特经i次迭后,速度、位置、个体最好和全局位置分别为vij(t),θij(t),θbestij,θgbestij,则速度和位置迭代公式为:
vij(t+1)=w•vij(t)+c1rand()+
c2rand()
θij(t+1)=θij(t)+vij(t+1)(6)
本文基于以上量子粒子群算法的基本思想,采用基于Pareto支配关系的排序关系来更新粒子的个体最优值和局部发最优值,定义一种新的极大极小距离方法,并采用该距离方法裁减非支配解。利用量子粒子旋转门更新粒子的量子角度,提出了一种新的多目标优法算法。
1.4 基于距离方法的量子粒子群多目标优化算法
提出用于计算适应值的距离方法――量子粒子群多目标优化算法(Quantum Bit Particle Swarm Optimization,QBPSO),来解决多目标优化问题。这种方法的基本思想是根据每个个体到前┮淮获得的Pareto解之间的距离来分配其适应值。它采用外部惩罚函数将多目标优化问题转换为无约束问题。其中,参数r控制惩罚项的幅度,Pi是初始潜在值。
该距离方法对于Pi和r的设置比较敏感。对于任何不可行解,r的值越高,计算得到的距离值也越高,因此,适应值最终接近于0,如果太多,个体的适应值为0,搜索将无法进行。另外,如果初始潜在值与不同解之间的适应值差别会很不明显。这将导致选择压力过小,结果导致算法收敛速度较慢。另一方面,如果初始潜在值过小,计算得到的适应值将趋向于0。
对于每个个体历史最优解的选取,采用以下步骤:
(1) 如果当前解支配个体i个历史最优解,则作为历史最优解。
(2) 如果当前解不支配i个历史最优解,则比较当前解和历史最优解的D(i)值,选择具有较小D(i)的那个解作为历史最优解[10]。
1.5 惯性权重的改进
惯性权重类似模拟退火中的温度,较大的w有较好的全局收敛能力;而较小的w则有较强的局部收敛能力,惯性权重w满足:
w(t)=0.9-(0.5t)/MaxNumber(7)
式中:MaxNumber为最大截止代数。这样,将惯性权重w看成迭代次数的函数,可从0.9~0.4线性减少。
虽然该方法能保证惯性权重w随迭代次数的增加而减小,但在每一代中,所有粒子的惯性权重均一样,不能很好地体现每个粒子的支配关系和拥挤程度。因此,在本文算法中,采用不动态设置惯性权重。
惯性权重w=群体粒子数/个体粒子数N+被粒子I所支配的粒子数+距离密度D(i)。
可以看出,惯性权重取值区间为(0.33,1),在算法当前期粒子惯性权重趋向于后期惯性权重时,逐渐趋于1,而且在每次迭代过程中各个粒子的惯性权重也不尽相同,越好的粒子获得的惯性权重越小,越差的粒子获得的惯性的权重值越大。该方法能更好的平衡和局部搜索,提高算法的收敛速度。
1.6 算法流程
上述量子粒子群算法流程如下:
(1) t0,初始化种群Q(0)。
(2) 对初始化种群的各个体实施测量,得到一组状态P(0),并进行适应度评估。
(3) While 非结束条件do。
Begin
① tt+1;
② 对于Q(t-1)实施观测,得到P(t),进行适应评估;
③ 比较各解,计算各解所支配的解的个数;
④ 计算极大极小距离,求出各Pareto解的D(x)值;
⑤ 利用基于量子门旋转策略更新Q(t)。
End
2 算法验证及基于某型电台的最优化仿真
本文改进的这种基于粒子群化多目标优化算法,采用新的距离方法,以保持解群体的分布性能,同时,动态设置粒子的惯性权重,有效地保持了算法前期全局搜索和后期局部搜索之间的平衡。以多维0/1背包问题为测试对象,经多次实验结果表明,该算法具有较好的收剑性和保持解的分布性。该算法能够快速搜索到多目标优化问题的Pareto前沿,特别对多维、复杂优化问题提供更有效的方法[10]。
下面以某型电台为例,它是基于硬件的平台,具有有限的参数和调整范围,所有的物理层特性如表1所示。
在受限制的无线电台中,量子粒子群算法也是可行的,设计试验由WSGA控制的点对点无线电链路和作为干扰的第三个同型号的无线电台组成。
表1 硬件参数的配置
参数范围参数范围
频率5 730~5 820 MHz编码速率:1/2,2/3,3/4
功率6~17 dBmTDD29.2%~91%
调制QPSK,QAM8,QAM16
注:QPSK为正交相移键控;TDD为时分双工。
试验包括建立一条高流量的初始视频链路,当出现干扰时,信号质量迅速下降且变得无法区别时,WSGA接着运行,目标函数设置为最小化BER、最小化发射功率、最大化数据速率、电台不改变现有的频率,测试目的是为了测试无线电如何处理其他参数。
试验中显示了在测试中WSGA的良好性能,但仍然希望有更灵活的平台,这样就能建立一个软件无线电(SDR)的物理层仿真,具有更多的可调参数,以及更大的调整范围,如表2,表3所示。
表2 仿真参数
参数范围参数范围
功率0~30 dBmPSF滚降系数0.01~1
频率2 400~2 480 MHzPSF阶数5~10
调制MPSK,MQAM符号速率1~20 MSPS
调制M2~64
表3 仿真试验条件
函数
权重最小频谱占用最大流量干扰避免
BER255100200
带宽25510255
频谱效率100200200
功率22510200
数据速率100255100
干扰00255
在此时的无线电仿真参数和条件下,目标函数为BER、占用带宽、功率、数据速率以及干扰量。
运用算法如表3所示,每个目标都得到了优化,每个结果BER都为0。
第一试验:如图1所示,将占用频谱最小化为1 MHz。
第二试验:如图2所示,将流量最大化为72 Mb/s。
第三试验:如图3所示,找到一个嵌入干扰空隙的解。
图1 占用频谱最小化为1MHz
图2 流量最大化为72 Mb/s
图3 一个嵌入干扰空隙的解
3 结 语
认知无线电的设计目标是优化自身的性能,支持用户需求。当无线电在达到具有一定水平的性能,且满足用户需求时,对占用带宽和电池功率等资源消耗最小时,就实现了优化。本文所讨论的算法可解决物理层和链路层参数调整的一些基础性问题。
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