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逆向思维是指从结果寻求原因，从现象寻求根源，从本质问题的逆向出发的一种思维方法，也是是发散思维的一种方式。逆向思维具备相反性、创新性、评断性、突破性和悖论性等特点。在初中数学的教学过程中，逆向思维使用的比较广泛，老师应重点引导学生锻炼逆向思维。有效地使用逆向思维，对于学生学好数学是有利的。一、注重培养学生逆向思维水平
培养学生学生逆向思维能力，不单单是出于学生综合素质发展教育中本身的需要，也是为了达到新课程标准的标准。逆向思维可以指引学生更系统地认识问题，从而在问题逆向推导时候寻求到处理问题的方发。由于初中学生年龄的特殊性，重点培养学生逆向思维能力，不但可以加深学生对数学基础知识的掌握，还能锻炼他们思维的整密性。在初中数学教学过程中，教师应挣脱旧式的机械式思维模式，锻炼学生的逆向思维能力，改进他们的思维模式，以帮助他们养成较好的思维习惯。重视学生逆向思维水平的提升能够使学生养成良好的思维模式，进而提高学习兴趣与个人的综合素质。二、引导与锻炼学生逆向思维的方案1.指引学生养成良好的逆向思维模式与习惯
就初中学生来讲，他们并不习惯使用用逆向思维的方式来分析、解决问题。因此，教师应及时提醒、引导学生，强化学生逆向思维模式训练。例如在学习"角平分线的性质"这章内容的时候，在学生理解"角平分线上的点距离角两边相等"的前提下，老师就应要求学生将这个结论作为已知条件，采用逆向思维考虑能得出什么结论。学生通过仔细的考虑后进行解答，并在教师的引导下亲自去证明了结论的正确性。这样，学生不仅可以巩固对所学知识的理解，还能够渐渐培养科学的逆向思维模式与习惯。就初中数学课本来看，采用可逆方式的知识点也比较多，就像数的乘方和开方、判定定理和性质定理、整式的乘法和因式的分解等等的内容。在实际教学过程中，应充分使用教材中的可逆定理来锻炼学生的逆向思维。例如在提到绝对值这一知识点时，应首先告诉学生一个数的绝对值的求解方式，然后再提问学生像绝对值为11的数之类的问题。这种貌似简单的讲课方式能够在不知不觉中培养学生的逆向思维意识与习惯。2.在数学概念中学生逆向思维能力的锻炼
初中数学教学概念教学的一个很重要的环节，针对培养学生逆向思维能力的也有着重要的影响。因此，在数学概念教学的时候应指引学生对问题进行逆向思考，使他们对概念有一个全面、透彻的理解，方便日后习题练习。比如在上一元二次方程内容的时候，就方程nx2+mx+q=0来看，其中n≠0，x的最高次方是2，随后让学生探究当n为多少时，方程（n-3）xa2+4a-19+3x+7是一元二次方程。这时候，学生就能采用逆向思维很快便可得出，a2+4a-19=2且n-3≠0，于是得出n=-7。由此可见，经过学生对于数学概念逆向思维的使用和练习能有效深化他们对数学概念的理解。3.数学命题（定理）中学生逆向思维锻炼
在初中数学学习的时候，我们会遇到各种类的题目，都是用原命题的逆命题形式出现，但是部分学生在写逆命题的时候缺乏对知识框架的把握，因而导致错误，就像命题是关于"同角的余角相等"，许多学生把它的逆命题写成"若是同角，它们就相等"这种不正确的答案，很容易就看到学生只是单纯地认为逆命题就是将原命题反过来写，并没有判断其中的条件和结论，因此，教师在教学时应注重引导学生对知识分析，然后进行逆向思维练习。4.数学证明中学生逆向思维锻炼
逆向思维的变式训练就是将题目中的已知和求证条件替换训练，例如，在学习等腰三角形证明角相等的时候，我们能借助"等边对等角"的定理去证明；相反我们也能借助"等角对等边"，依据角相等来进一步证明三角形是等腰三角形，在初中数学教学过程中可以经常训练，培养学生的逆向思维习惯。在学习几何证明题的时候，教师也能指导让学生从要求证明的结论开始，逆向推导，进而写出全面的证明过程，这种教学过程中充分展现了老师的主导地位。5.数学公式中学生逆向思维锻炼
公式和法则是初中数学知识的有机组成部分，使用逆向思维不但能加深学生对于数学公式法则的理解，还能够引导他们对于公式法则精髓的学习和运用。从判定定理过渡到性质定理、从多项式的乘法深化到分解因式这些等都是培养学生逆向思维的材料。与此同时，就某些问题来说，若是采用正向思维来解答会较为繁杂，但是用逆向思维的方式来解题就会容易一些。
例如：计算（6a+7b-8c）2+（6a-7b+8c）2。
如果这个题使用一般的方法解答就会很难，但是借助逆向思维方式来解就会容易些。
解：原式=[（6a+7b-8c）+（6a-7b+8c）][（6a+7b-8c）-（6a-7b+8c）]
=12a（14b-16c）
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二、初中数学教学培养学生逆向思维的途径
1.挖掘学生数学逆向心理是培养学生数学逆向思维的前提
培养学生数学逆向思维就应该先树立给学生一个可逆性思考的角度，让学生认识到可逆性在数学中是大量存在的、可逆性是数学逆向思维的最基本特征。这样在老师的不断引导下学生就会在浅意识中慢慢植入运用可逆性思维来解决数学问题的想法。这样学生在做数学题的时候除了习惯传统的正向推理外，也会尝试利用逆向思维来思考，从而培养学生一分为二、多角度来分析与解决问题的能力。
2.定理公式中渗入逆向理念是培养学生数学逆向思维的重要方式
首先，逆向思维应该在定理与公式中体现出来。在初中数学中有很多定理和公式不仅可以用正向思维向学生讲解，还可以利用逆向思维从相反的方面向学生传授。互逆定理最为典型，像勾股定理及逆定理、角的平分线性质定理及逆定理等，公式像乘法公式、整数指数幂的运算公式等都可以从两方面来分析。
其次，在概念与定义中传播数学逆向思维方式。从数学学科的特点中我们可以知道，有很多数学定理与公式都是可逆的、双向的。教师在讲解一个公式的时候除了向学生教授基本的、固定的形式外，增加并分析该定理与公式的逆向结构也是非常重要的。例如，学习同类项时，我就利用了一个逆向思维的题目加深学生对此概念的理解和掌握：如果-amb3+2a2bn是单项式，求m+n的值。起初同学们还比较困惑，但是当我引导学生倒着想，题目就迎刃而解了。这种逆向运用定义的训练，可以为学生以后几何证明学习打下良好的基础。
3.课后的补充练习是培养学生数学逆向思维的巩固和完善
数学逆向思维的培养不仅局限于课堂上，而且在课后的作业中也应该有所体现。教师在课堂上除了由浅入深地举例讲解外，在布置课后作业时也应特别注重学生逆向思维解题能力的巩固。例如，在平面几何的定义和定理中应强调其可逆性与相互性，在布置课后作业时可以要求学生从多角度来思考问题，给予学生以数学逆向思维的引导，便于学生在解题中训练数学逆向思维能力，做到熟能生巧。
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数学是一门十分重要的学科，它在我们的现实生活中也有着很大的用途，所以说学好数学是非常有利于学生将来学业的发展的。在我们的课堂里，数学教学中，逆向思维能起到的效果会让你意想不到，它不仅能够开拓学生的想象空间与理解基础的知识，更能发现解题的技巧跟克服迟滞性的思维。
2 基本定义公式和定理教学的逆向思维应用
概念具有两个要素：内涵与外延，两者存在反比关系，内涵丰富外延就小，内涵少则外延就广，数学概念也是如此。在教授概念时，在对概念内涵与外延进行深入剖析的基础上，让学生通过逆向思维体会概念存在的充分条件和必要条件。
3 充分利用习题训练，培养学生的逆向思维
习题训练也是培养学生思维能力的重要途径之一。教师有意识地选编一些习题，进行逆向思维的专项训练，对提高学生的逆向思维能力能够起到很大的促进作用。数学中的许多公式、法则都可用等式表示。等号所具有的双向性学生容易理解，但很多学生习惯于从左到右运用公式、法则，而对于逆向运用却不习惯，因此，在数学公式、法则的教学中，应加强公式法则的逆用指导，使学生明白，只有灵活地运用，才能使解题得心应手。
分析：只注意到结果中的x（x-1）2是积的形式，却忽略了小尾巴“-2”使积成了和，应该这样做原式=（x3-2x2）+（x-2）=（ x-2）（ x2+1）
4 要注意引导学生探索定理的逆命题是否成立
初中的数学命题中，很多性质定理和判定定理互为逆定理。对于数学定理，探索其逆命题是否成立，既可以训练学生的逆向思维能力，又能激发学生的学习兴趣和创造性思维。
例如，等腰三角形三线合一的性质，可分为三种情况：顶角平分线和底边上的中线互相重合；顶角平分线和底边上的高互相重合；底边上的中线和高相互重合。这三种情况都易于证明，其逆命题是否成立？三种情况是否都成立？学生探索后发现：一边上的中线和高互相重合的三角形是等腰三角形，一角平分线和对边上的高相互重合的三角形是等腰三角形，而一角平分线和对边中线相互重合的三角形是等腰三角形却没法证明。三种情况的不同，既能激发学生的学习积极性，又能培养学生的逆向思维能力。
又如，对顶角相等是正确的，而其逆命题：相等的角是对顶角却不正确。数学命题的正确与否，说明方法有两种：证明和反例。证明即肯定一个命题，必须在题设的条件下，对所有可能情形都证明其结论正确，而否定一个命题时只要举一个符合题设而结论不成立的例子，即反例即可。反例是突破固有定向思维而从问题的逆向思考的。因而，反例教学也是培养逆向思维的一条重要途径。在教学中，反例教学要引起足够的重视。三、要注意引导学生探索定理的逆命题是否成立。
初中的数学命题中，很多性质定理和判定定理互为逆定理。对于数学定理，探索其逆命题是否成立，既可以训练学生的逆向思维能力，又能激发学生的学习兴趣和创造性思维。
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逆向思维作为一种具有创造性的思维，是发散性思维的一种。在遇到问题的时候，人们往往喜欢顺着事物发展的角度对问题进行分析并探索解决问题的方法。而逆向思维恰恰相反，但是利用逆向思维思考问题有时可以使得问题大大简化，从而降低解决问题的难度，达到正向思维所达不到的效果。因此，在当前初中数学教学过程中，注重学生逆向思维能力的培养对于提高学生分析问题和解决问题的能力，以及提高整个初中数学教学工作的质量和水平都具有十分重要的意义。
一、培养逆向思维的重要性
作为发散性思维的一种重要形式，逆向思维最突出的特点就是从解决问题的常规思路的对立面对问题进行思考和分析，对于一些定义、定理、公式等进行反向运用，从而摆脱思维定势的束缚，找到解决问题的新思路和新方法。逆向思维的重要性主要表现在以下方面。
（一）逆向思维可以进一步拓展学生的想象空间。
在初中数学教学过程中，一些运算与逆运算、定理与逆定理等蕴含着双向思维的知识是非常多的，而在平时对于公式或者定理运用的过程中，学生习惯从左向右利用公式，而教师也不大注重对学生逆向运用的引导，这就导致学生在利用公式或者是定理的时候形成固有的思维定势，限制思维的发展。如果教师在教学过程中有针对性地进行适当引导，往往就会给学生带来对于公式或者定理的新的理解和思考，从而在解决问题的过程中能够多一种思考问题的角度。
（二）逆向思维可以进一步加深学生对于课本上的基础知识的理解。
比如正比例函数与反比例函数两个概念，在教学过程中就可以利用逆向思维的方式，将反比例函数当做是正比例函数的一个逆向的运算来理解，同时要注重函数中自变量及常数值K的要求，这样进一步加深学生对于两个函数概念的理解。
（三）逆向思维可以进一步拓展学生的解题思路，克服思维的迟滞性。
当学生在解决问题过程中利用正向思维没有办法找到解决问题的方法时，逆向思维的运用可能会使整个问题大大简化，从而使得问题解决的难度大大降低，因此在教学过程中培养学生“从右到左”的逆向思维能力有助于克服学生的思维定势，提高学生的思维能力，使学生分析问题和解决问题的能力进一步提高。
二、初中数学教学过程中逆向思维的培养策略
逆向思维有助于学生在分析问题和解决问题的过程中打破思维定势，形成对问题的简化，降低解决问题的难度，进一步完善学生解决问题的方法和手段。在初中数学教学过程中，培养学生的逆向思维能力可以从以下方面入手。
（一）在备课过程中注重对于学生逆向性思维的培养。
教师是数学课堂教学的实施者和引导者，在课堂教学的设计过程中，要有意识地将一些蕴含着逆向思维的问题和知识引入课堂教学之中，引导学生从正反两个方面对问题进行相关的探讨和分析，从而进一步提高学生对问题的思考能力。比如在进行因式分解的教学时，教师可以将因式分解与整式乘法二者结合起来，在课堂上进行对比，让学生能在对其解决问题的过程进行充分的比较之后得出两者之间的关系是一种互逆的关系这一结论，从而进一步加深学生对于因式分解的理解。学生在解决因式分解问题的过程中可以在其对立面也就是整式乘法的角度思考问题，从而进一步拓展解题思路。
（二）利用多种形式对学生的逆向思维进行锻炼。
学生对于逆向思维的学习不能仅仅停留在理解的层次，更重要的是能够在实际解决问题的过程中对逆向思维加以利用，从而进一步体会到利用逆向思维解决问题的优点。因此，教师可以通过一些课下的作业或者是课堂的练习为学生设置一些蕴含着逆向思维的题目，让学生在解决实际数学问题的过程中对于逆向思维加以利用，让其体会到利用逆向思维解决问题的优越性，从而进一步提高学生对于数学学习的兴趣。
（三）在教学环节中注重逆向思维的运用。
教师在授课过程中，要充分利用讲授的新知识与原有的知识之间的互逆关系进行教学组织和课堂设计，在教学过程中注重逆向思维的渗透，将反面思考法、转换法、倒序思考法等一些渗透着逆向思维的教学方法和解题方法在课堂中进行综合运用，在教师进行各种方法展示的过程中让学生体会到逆向思维在解决问题过程中发挥的重要作用。同时要注重在问题解体的具体过程中进行逆向思维的应用，比如在教学一些几何证明题时，可以引导学生由所需要证明的结论出发，要得出这个结论需要具备哪个条件，要具备这个条件需要各个线、角之前满足怎样的几何关系，从而帮助学生找到解决问题的症结，进而利用逆向思维的方式找到解决问题的办法。
结语
逆向思维有助于打破学生的思维定势，让学生从反向的角度思考问题，进一步完善学生解决问题的方法和手段。在初中数学教学过程中，教师要注重对于学生逆向思维的培养，提高学生利用逆向思维解决实际问题的能力，从而进一步提高初中数学教学的水平和质量。
参考文献：
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对于数学学科来说，其存在极强的逻辑性，对于学生的逻辑思维要求极高，如果学生可以掌握学习规律，就能够在某种程度上完善思维能力，继而有效解决学习中遇到的困难。有研究表明，数学教学中如果运用单一教学模式将会禁锢学生思维，长此以往促使学生思维能力变弱，而如果对学生施以逆向思维培养将会获得相对较好的教学效果。本文简要介绍了逆向思维的定义及具体教学策略，进一步促进初中数学教学质量与效率都得到极大的提升。
1.逆向思维概述
所谓逆行思维，从本质上分析属于创造思维，是正思维的对立面，与以往的思维模式具有极大的差别性，是从问题结果着手进行反向思维思考，然后得出结论。逆向思维是传统思维的一种反面，探索方向正好相反，这在某种程度上打破了学生固有思维，这对学生的帮助是非常大，可以快速找到解决问题的方法策略，极大的提升了学生的学习效率，通过逆向思维思考问题变得清晰简单，同时还可以从日常的解题中总结经验，形成规律性。基于整体教学考虑，教师应该关注这一方面的教学引导，将学生逆向思维充分调动起来，这样可以拓宽学生思维，对于其日后的学习也是非常有帮助的。
2.逆行思维培养于教学中的具体应用
2.1 数学概念应用。教师在进行数学教学时，可以在课堂中积极引导学生运用逆向思维去思考问题，继而解决问题，教师通过教学渗透让学生可以拓宽思维，运用不同的解题思路去完善学习。但是基于现状分析来看，很多学生逆向思维能力并没有得到有效开发，他们在理解数学概念遇到了一定的困难，对其抽象性难以有效分析，存在片面性，这在某种程度上将会影响到学生日后的解题方向。例如：教师在进行相反数概念教学时，可以先从正面渗透，如相反数是什么？然后再从逆向思维方面进行教学渗透，什么数属于相反数？例如：b=-6，则-a=（）；假如-b=-6，那么b=（）。教师通过上述逆向思维的提问可以帮助学生形成逆向思维，对于学生日后的学习起到助力。实施补角内容教学时，教师基本上都会正面进行引导，α+β=180°，就可以推断出上述α、β互为补角；反之，假设α、β互为补角，就能推断出α+β=180。。教师在教学过程中运用不同的逻辑思维对学生的帮助极大，对于概念的学习非常完整，加深概念理解对日后的学习打下良好的基础。
2.2 解题技巧应用。学生逆向思维的形成是需要自身努力的，而教师在此过程中只起到了引导作用，只有学生在日常学习中不断累积经验，通过锻炼总结规律。教师在课堂教学中应该起到引导作用，逐步向学生渗透解题策略，继而从最大限度上提升其解题能力，完善逆向思维训练。
逆用运算律，例如：139×（-60）+139×52-10×139-84×61-69×66，当学生看到这一题时通常会觉得是难题，这其中涉及到运算律，并且是逆用运算律，初中阶段学生刚刚接触到混合运算，这道题对于学生而言容易出现误区，教师需要在其中发挥关键性的引导工作，要求学生认真审题，帮助学生借助逆用运算律解决，从而简化解题步骤。原式可以这样解，即=139×（-60+52-10）+61×（-84+66）=139×（-18）+61×（-18）=（139+61）×（-18）=-3600。
从上述案例中我们可以看到，逆用运算律能够帮助学生有效解决数学问题，节省习题时间，提高做题准确率，从而提升学生数学解题能力，在日常的解题训练中不断优化自身的逆向思维能力，提高学习质量。
2.3 难题解答中的应用。初中数学教学中涉及部分难以解答的问题，教师通过正面讲解无法帮助学生理解透彻，这时可以借助逆向思维方式去重新理解题目，将会获得不一样的解题思路。例如：在以下三个公式中，X2+4ax-4a+3=0，X2+（a-1）X+a2=0，，X2+2ax-2a=0，至少有一个公式，具有实数根，求a的取值范围。这道题学生从正面思考相对而言问题较多，具有一定的困难性，情况极为复杂，假设从反方向思考，三个方程式均没有实数根，从这个角度分析，a的取值范围就很好确定，即Δ1=（4a）2+4（4a-3）
疑难问题是现阶段初中生极易遇到的类型，很多学生运用正向思维不能理解题意，并且难以有效解决，给学生造成一定的精神困扰，导致学生学习积极性受到影响，挫伤学生学习自信心，造成学生成绩不能有效提升。从另一角度分析，逆向思维可以帮助学生从不同角度分析问题，解题思路更为明确，有效解决教学过程中的弊端，从长远角度分析，学生逆向思维的培养是非常关键的，有利于促进学生全面发展，提升其数学问题解决能力，为提高学生成绩奠定良好的基础。
总的来说，逆向思维对学生学习数学是非常有帮助的，教师在日常教学中可以积极引导，并根据教学的具体情况拟定切实可行的教学计划，真正使学生具有逆向思维，提高解题效率与质量，从而实现高效学习。同时，逆向思维的培养还有赖于数学教师的专门研究，如果操作不当会给学生带来学习的困难和困惑。培养学生的逆向思维，需要对学生的学情充分掌握，因人而异。最好能够进行分组教学，只有这样才能把逆向思维教学取得更好的教学效果。
参考文献：
[1] 杨昭，李文铭.浅谈初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[J].学周刊，2016（01）.
[2] 刘赫.试析初中数学教学中学生创新思维能力的培养[J].中国校外教育，2012（23）.
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逆向思维又称反向思维，属于发散性思维，是在研究问题的过程中有意地去做与正向思维相反方向的探索。进行逆向思维可以突破思维定势，往往能创造性地发现简捷、新颖、奇异的解决问题方法。
逆向思维在数学教学中具有广泛的应用，经过逆向思维训练的学生，思考问题比较灵活，解决疑难问题的效率比较高，处理实际问题的能力比较强。因此在数学教学中必须注意培养学生的逆向思维，在分析问题时，根据实际情况恰当地引导学生从反面来考虑，使学生学会动脑。
一、从概念定义去逆向思考
在数学概念教学中，应注意引导学生透彻理解概念的定义，并注意根据教学内容，适时进行逆用定义的指导和训练，从而使学生加深对概念定义的理解。
【例1】（2006年无锡试题）已知a、b满足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，则+的值等于 。
分析：此题如果用求根公式分别求出a、b的值，再代入求值式子计算，非常繁琐。如果注意到题目条件的结构特征，从一元二次方程根的定义来进行逆向思考，则可得到简捷解法。
二、逆用数学公式、法则
数学公式、法则的双向性学生容易理解，但很多学生只习惯顺向运用公式、法则，而对逆向运用却不习惯。因此，在数学公式、法则的教学中，应加强逆用公式、法则的指导，使学生明白，只有灵活运用公式、法则，才能使解题得心应手。
三、通过逆向运算求解
【例3】（第五届美国数学邀请赛试题）求出满足下列条件的最小正整数n：对于n，存在正整数k，使
分析：为了从条件中找出n应该满足的关系，需要简化，分离n，为此，可对条件不等式的各项取倒数。
四、从已知条件的反面入手解题
五、根据结论找出使结论成立的条件
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一、逆用定义、渗透逆向思维的思想
作为定义的命题，其逆命题一般总是成立的. 若能恰当地在教学中注意引导学生研究它们的逆命题及其应用，帮助学生建立双向联结，这对培养学生产生积极的迁移和培养逆向思维是有好处的. 因此在教学定义时要不断强化，以渗透逆向思维的思想. 尤其在初一年级就要注意这方面的训练. 例如，在“相反数”概念教学中，书上通过具体的实例引入，象+6与-6这两个只有符号不同的数，一正一负，就说+6与-6“互为相反数”.
二、逆用公式、训练逆向思维的习惯
数学公式总是双向的，可是不少学生只会从左到右运用公式，对逆用公式，特别是利用公式变形不习惯，其实只有会灵活运用公式，善于把公式从右到左熟练地逆向运用，才是对公式的真正理解，进而形成解题技巧，提高解题能力.
在不少数学习题的解答中，都需要将公式变形，逆向使用，而学生往往在解题时缺乏这种自觉性和基本功. 因此，我们在教学中应有意识加强这方面的训练，以培养学生逆向思维.
三、逆用定理和法则、激发逆向思维的兴趣
在学习数学定理后，引导学生探索其逆命题，再去判断或论证逆命题的正确性，进而启发他们用这些逆定理去解决一些问题，这也是训练学生逆向思维的有效方法.
例如，一元二次方程根的判别式定理的教学中，在学生充分理解掌握的基础上，可以组织学生讨论得到：若以ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）为大前提，余之为题设和结论可得逆命题：对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），若有两个不相等实根，则Δ > 0；若有两个相等实根，则Δ = 0；若没有实根，则Δ < 0. 若以ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）为题设，反之可得相应逆命题. 此结论在解题中大有作用.
另外代数的法则逆用也能有效培养学生的逆向思维. 例如，“若干个因式中只要有一个等于零，那么它们的积为零. ”有其反面“若干因式的积为零，则这些因式中至少要有一个等于零”成立. 利用此结论可轻松解决下例.
例 已知x，y，z是不等于零的实数，且（x + y）（y + z）（z + x） = 0.
按习惯方法可能先将结论化为（x + y + z）（xy + yz + zx） = xyz，然后把已知条件变形为上式，再想法完成解答. 但运用可逆法则，由条件知x + y、y + z、z + x中至少有一个为零，不妨设x + y = 0，即x = -y，代入后可证出结论.
四、重视反常规运算、提高逆向思维的自觉性
以退求进，事半功倍. 在数式的化简求值等问题中，通过合并同类项、分式通分相加减、分式约分、分母有理化等正常的运算手段，一般都能使问题推向前进，得以解决. 但有些问题却需要我们逆着这些常规运算手段进行，即运用单项式分项，分式裂项，和分子有理等方法才能使问题别开生面地得到解决，教学中注意这方面的训练，也是培养逆向思维的重要方面.
先分别计算两边或去分母，照此运算太繁，且易错，在教学中可引导学生以退求进，逆着分式通分相加而行，即将各分式裂项得：
解得x = 7.
五、正难则反、促成逆向思维形成
有些问题按照一般思维方式寻求解题途径比较困难，甚至无从下手，在这种情况下若引导学生逆向思维，将已知和未知转换，则容易解决.
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逆向思维能够在初中数学教学中得到充分的应用，究其原因，主要是以下两点：首先，逻辑性和严密性是数学这一学科所具有的特点，而其高度的严密性又体现在知识点之间的相互衔接，使解题过程中存在明显的因果关系；其次，学生在初中阶段，会有明显的抽象思维能力提升，再通过老师对学生逆向思维的培养，可以帮助他们更加轻松地掌握数学的基础知识。
二、如何进行初中数学教学逆向思维的开发
（一）概念教学中的逆向思维培养
以往的概念教学过程中，教师总是会忽略概念、定义等元素的双向性特征，一般只是采取从左到右的讲解方式，这就导致了学生定向思维的产生。因此教师在讲解具有双向性的概念、定义时，需要注意激励学生进行反向思考，看一看这一概念反过来是否依然可行。例如，在讲解“互为余角”这一定义的过程中，教师可以先为学生讲解：因为A、B两角相加等于九十度，那么由此证明A、B两角互为余角。待学生了解了这一定义之后，可以鼓励学生进行逆向思考，是否可以因为已知A、B两角互为余角，从而证明A、B两角相加等于九十度呢？通过这样的学习，学生就能够对定义、概念有了更全面的了解，从而在今后的解题过程中能够举一反三。
（二）公式、命题教学中的逆向思维
学生在课堂中学会某个公式的用法之后，基本上都能够将标准的公式熟记心间，可是在实际解题过程中，运用这样的标准公式有时无法将题目解答出来，这不是题目超纲的问题，而是需要学生们转换思维，逆用公式进行解答。因此，在进行公式教学时，教师可以让学生学习如何将公式从左解出右，再从右解出左。
那么在日常的公式、命题教学中如何培养学生的逆向思维呢？首先，要引导学生对该命题的逆向推理是否正确进行思考；其次，让学生思考：如果逆命题成立，应该怎样进行应用。最后，若这项逆命题不成立，还有无其他简洁的方法解答题目。
逆向思维的方法既可用在代数题中，也可用在几何证明题中，“反证法”就是逆向思维在几何证明题中的运用。“反证法”的应用一方面可以帮助学生拓宽解题思路，另一方面还能使题目的解答更加简洁。教师若要适应新课标的要求，在公式和命题教学中提高学生逆向思维的能力，应在课前进行充分的备课工作，在课堂实践和课后作业中培养学生运用逆向思维。
（三）使学生在丰富多彩的活动中体会数学，学会运用逆向思维
学生若在活动中能够自己发现数学问题，并自行解决，这样的学习方法要比老师在课堂上教导学生进行逆向思考有效得多，因此教师在教学过程中应当适当布置学生自己探索数学问题的活动。例如在教授储蓄和银行利息计算的时候，老师可以让学生进行分组，让每组学生到银行对各种储蓄方式的利息计算方法进行了解。回校后，各组学生根据自己了解到的数据编写题目，在课堂上，各组拿出自己的题目相互进行探讨，看一看所编写的题目是否合理。这样，一方面培养了学生双向思考的能力，另一方面又加强了他们的团队意识和合作交流能力，还能激发学生的学习兴趣，可谓是一举多得。
（四）将逆向思维方法渗透到日常教学之中
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首先要确立教学活动的主体――学生，要让学生主动积极地参与到教学活动中来，充分发挥他们的主观能动性，激发他们探求知识的欲望。
其次教师要不断提高自身的素质。教师所拥有的渊博的知识及超凡的人格魅力也能在一定程度上激发学生学习的积极性和主动性。
再次，教师要有意识地运用逆向思维方法分析、引导和演示一些经典的题型，从而让学生体会到逆向思维的伟大，从中发掘出数学的美。学以致用，数学来源与生活，又回归于生活，生活是一本厚实的书，掩藏着无尽的智慧。在日常生活中不乏经典的逆向思维问题，往往一个不经意中的运用，便解决了困绕以久的难题，甚至于发明创造出让人类受益不浅的成果。在教学过程中可以适当穿插这些实例，让学生意识到逆向思维的益处和重要性，从而逐渐增强学生使用逆向思维的主动性和积极性。
二、牢固地掌握并熟练地使用性质及公式，是解题的关键
根据定义、定理衍生出来的一些结论，是相关数学问题中的一部分特征。在一定范围下使用这些结论能使得我们的运算过程大大缩短，能使我们从很繁杂、抽象的运算中找到灵感，找出捷径，看到解题的曙光。
许多数学问题，实质上只需要对一些相关性质、公式、法则等进行综合运用，就能够解决。但是在实际的解题过程中，学生往往会没有思路，不知道如何着手。关键在于学生对这些性质、公式等，掌握得不熟练，不知道碰到哪类问题可以使用哪些性质、公式进行解决；而且在记忆的时候有的学生习惯于从左往右记，导致了一旦问题中出现了右边的部分，想不到把性质、公式等反过来用。
因此，在教学过程中，教师应强调公式、性质的互逆形式并教会学生对它们进行互逆记忆。在练习中训练学生体会并学会对公式的逆用，培养学生解题思维的敏锐性、灵活性、变通性；培养学生善于逆向思考的习惯，提高灵活运用知识的能力和解题效率。
三、在实际生活中获得逆向思维的启示
教书育人。教师不但要传授给学生知识，更要教会他们怎样做人，怎样生活……培养他们的生活智慧和艺术。让学生把学习中获得的思维能力带到生活中去，使他们更客观、理智地看待问题，不走极端路线。
逆向思维是对传统、惯例、常识的反叛，是对常规的挑战。它能够克服思维定势，破除由经验和习惯造成的僵化的认识模式。而循规蹈矩的思维和按传统方式解决问题虽然简单，但容易使思路僵化、刻板，摆脱不掉习惯的束缚，得到的往往是一些司空见惯的答案。其实，任何事物都具有多方面属性。由于受过去经验的影响，人们容易看到熟悉的一面，而对另一面却视而不见。逆向思维能克服这一障碍，往往能出人意料地给人以耳目一新的感觉。例如古时候“司马光砸缸”的这个故事，一般的常规想法就是“救人离水”，但是小司马光等人能力不够，于是小司马光运用逆向思维，果断地用石头把缸砸破“让水离人”，救出小伙伴。
某时装店的经理不小心将一条高档呢裙烧了一个洞，其身价一落千丈。如果用织补法补救，也只是蒙混过关，欺骗顾客。这位经理突发奇想，干脆在小洞的周围又挖了许多小洞，并精于修饰，将其命名为“凤尾裙”。一下子，“凤尾裙”销路顿开，该时装店也出了名。逆向思维带来了可观的经济效益。无跟袜的诞生与“凤尾裙”异曲同工。因为袜跟容易破，一破就毁了一双袜子，商家运用逆向思维，试制成功无跟袜，创造了非常良好的商机。
四、作业辅导及考查，以巩固对逆向思维的理解和掌握
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一、逆向思维的概念
逆向思维又名反向思维，是指在思考问题时独辟蹊径，从问题的反面出发，由结论推出条件，从而得出问题的答案.
逆向思维具有普遍性、创新性和批判性.
逆向思维体现在生活中的案例有司马光砸缸、反口令游戏、发电机的发明、洗衣机脱水缸的发明等.将逆向思维应用到初中数学中体现在将公式、定理和法则进行逆用、反证法等等[1].
二、逆向思维的作用
首先，逆向思维能够大大提高学生的积极性.在大多数情况下，顺着问题的正方向思考缺乏新意，而逆向思维具有创新的特点，能够大大激发学生的积极性.例如，在讲倒数的性质时，若学生直接对倒数相乘等于1的定理进行背诵，则容易遗忘.老师在教学时可以提出“什么样的两个数互为倒数？”“5和它的倒数1/5有什么关系？”这一系列的问题，引发学生的思考，调动学生的积极性.
其次，逆向思维能够加强学生对于知识的理解.学生利用逆向思维思考问题能够让学生从正反两面看待问题，加强学生对于知识的理解.在讲解相反数的性质时，先让学生自己举出互为相反数的例子，对学生提出问题：“5和-5是什么关系？”“2和-2相加得出什么结果？”从而得出互为相反数的两个数相加为0的结论.学生通过自己的观察得出结论，对相反数性质的理解更透彻.
三、如何培养学生的逆向思维
（一）逆向理解概念和公式
初中数学课本中出现了很多概念.老师在进行概念的讲解时，可以提出逆向问题，进行逆向讲解，加深学生的理解.例如，讲解绝对值的几何意义时，可以先在黑板上画出一条数轴，在数轴的左右两端分别找出3和-3，让学生数一数这两个点到原点的距离，提出问题：“3和-3到原点的距离一样不一样？”“距离是多少？”“3和-3这两个点到原点的距离为什么相等？”“我们把这个距离命名为什么？”再例如，在学习圆柱的侧面积时，老师可以将圆柱的侧面展开让学生观察是什么形状，学生会发现是长方形，再用长方形的面积公式进行变化，发现圆柱的底面周长和高就是长方形的长和宽，从而推理出圆柱的侧面积公式[3].
（二）对公式进行逆运用
以上题型仅仅是一些典型例子，还不够全面，初中涉及的内容量大，可以用来锻炼逆向思维能力的题很多.老师在布置课后作业时，要根据实际情况决定作业量的多少和练习的内容.
总之，逆向思维的培养在初中数学教学中至关重要，老师在教学过程中要改进教学方法，对概念、公式、定理及法则的逆向理解和运用融入到课堂教学中.只有这样，才能提高学生的数学思维能力，提高教学效率.
参考文献：
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二、合理运用概念教学，培养逆向思维意识
我们平时的概念教学中，多是遵从教材的概念、定义，从左往右地运用.久而久之，学生形成了定向思维模式，遇到一些未遇到的问题时就束手束脚，无从下手，不懂得举一反三.对于逆向看待教材中出现的概念、定义很不习惯.然而，事实上教材中的很多数学概念、定义等元素都是双向的.因此，在概念教学过程中应有意识地培养学生的逆向思维意识.
例如，在讲“互为余角”时，可以采用这样的讲解步骤：在一个三角形中，如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角，（正向思维）；在一个三角形中，若两个角互为余角，则这两个角的和为90°，且该三角形为直角三角形，（逆向思维）.
作为教师，应首先明确哪些概念的定义是可逆的，并根据自身不同情况，选择难度适中的题目来对学生加以正确引导，以促进学生逆向思维能力的提升.
三、合理运用数学公式，培养逆向思维意识
公式与法则是初中数学内容比较重要的知识内容，运用逆向思维不仅有利于学生对于数学公式法则的理解，还能够激发他们对于公式法则精髓的学习.从判定定理到性质定理、从多项式的乘法到分解因式等都是培养学生逆向思维能力的素材.同时，对于有些问题而言，如果用正向思维来解算会比较复杂，但如果用逆向思维来解题就相对比较简单.
运用逆向思维能够有效提高学生的解题速度与效率，并且能够激发起他们解题与钻研公式法则的兴趣.对于教师而言，应有意识地培养学生的逆向思维能力，比如可在日常的教学工作过程中有意识地引导他们判断逆命题的正确与否，倘若逆命题成立，应该考虑逆定理如何运用；若不成立，则应考虑其他的解题方法，以提高学生的思维灵活性，顺利完成初中数学的教学目标.
四、合理运用反证法，培养逆向思维意识
合理利用逆向思维引导学生去探究定理的逆命题的真假，不仅能使学生更加系统完善地学习知识，激发起他们的探究欲望，还能培养学生创造性地把定理题设与结论相互转化，进而形成有异于传统基本思想的逆向思维.反证法的思维特点与其他的方法不同，它是通过证明一个命题的逆命题或否命题来间接证明原命题的正确与否，这是运用逆向思维的一个典范.利用反证法解题是运用逆向思维方式解题的一种体现，并且该方法也是初中阶段较常用的一种证明方法，能够有效提升学生的逆向思维能力.
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一、应用题解题思路的创新在初中数学教学中的重要位置
初中数学应用题解题思路的创新对学生问题思考能力以及知识点的灵活运用会起到积极的重要作用，同时对于学生思维方式的有效拓宽也会产生一定的积极影响. 应用题解题过程主要是学生对知识点的运用以及思维能力进行相应的培养，而解题思路的创新使其问题思考与解决过程不断清晰，对学生学习兴趣的提高奠定坚实的基础. 而学生通过解题思路的创新带动学生问题思考的主动性加强，从而实现对初中数学教学夯实基础的作用. 从上述论述过程中，也能够看出应用题解题思路的创新在初中数学教学中的重要性所在.
二、传统初中数学应用题解题思想存在的弊端
1. 传统解题思想在初中数学应用题解题过程中广泛运用
传统初中数学应用题解题思想过于落后的现象已经成为初中数学教学中较为普遍的现象，也是学生对其解题思路难以产生及优化的主要原因所在. 在以往的教学中，教师通常根据应用题教学内容进行单一的教学过程，学生对其内容的了解程度很难进行提高，同时学生对于知识点的灵活运用也会产生较为消极的影响. 这一问题对于广大初中学生而言具有一定的代表性，也是困扰学生解题思路难以形成的关键所在.
2. 初中数学应用题教学情景模式并不能充分进行运用
在传统初中数学教学中，很多教师对于教学情境的有效安排及合理运用过程并没有注视，导致学生在接受应用题过程中只能依靠凭空想象来进行解题思路的建立. 这对广大学生而言失去了理论联系实际教学所起到的重要作用，学生学习积极性受到严重的打击，同时对于应用题的解题方法也并不能进行积极总结，导致学生对应用题教学产生一定的抵触情绪，从而限制了学生应用题解题思路的发展. 这一现象是在初中数学应用题教学中存在且较为严重的问题之一，希望能够得到广大教师们的积极重视.
3. 机械化解题过程使学生思维方式受到抑制
机械化的解题过程对于广大教师而言，对学生的思想产生一种“功能固着”的弊端，而对于广大学生而言，学生的思维方式将会产生一定的阻碍作用，这也是机械化解题过程在初中数学教学中不能适应当代初中学生发展需要的主要原因. 机械化解题过程的主要弊端在于学生对其知识点的灵活运用产生一定的阻碍作用，同时对于学生的思考问题方式不能进行积极培养，从而使得应用题解题过程变成一种固定模式，一旦更换题型，那么学生对于问题的思考与解决将无从下手. 这也是初中数学应用题解题思想探究过程中的重要组成部分，避免这一弊端已经处于迫在眉睫的状态.
三、初中数学应用题解题思路创新方向
1. 转变传统应用题教学思想，注重学生逻辑思维能力培养
学生逻辑思维能力的培养是对初中数学应用题解题思路创新的关键所在，通过传统的解题过程进行不断优化，对已知条件进行深挖，逐渐将基础知识运用到问题解决过程之中，使得解题过程逐渐变得简化，这样学生对其问题解决的难易程度的认识会有所转变. 基础知识点之间的运用过程对于学生的逻辑思维能力的培养起到关键的作用，这并不单纯是将复杂的问题进行简化，更重要的是加强了学生对知识点之间的串联过程，使得学生对知识点的运用过程逐渐熟练，对其考虑问题的方式也能进行逐步的全面化.
2. 将教学情境在初中数学应用题教学中广泛运用
教学情境的有效建立主要对学生的动手操作能力进行培养，从而对学生的记忆过程形成形象记忆，这是学生对知识点的掌握与运用的主要过程. 然而通过教学情境的有效建立确保学生能够参与到应用题解题过程之中，进而能够将自身存在的具体问题进行表达，使得解题思路的总结过程能够将学生的观点融入其中，达到问题解决方式能够吸取更为广泛的意见. 这一方面对于广大中学生而言会产生问题主动思考的兴趣，从而对于解题思路的不断创新与探究过程打下坚实的基础，希望这一方面能够对广大教师产生积极的影响.
3. 培养学生逆向思维方式，总结合理的解题思路
逆向思维对初中数学应用题教学而言具有至关重要的作用，是学生思维方式逐步提高的最终目标. 而初中数学应用题教学中，逆向思维培养的主要方法在于对问题条件进行有效的整理，找出其内在的联系，通过未知条件对已知条件进行有效的推理过程，从而实现解题思路的逐步清晰. 逆向解题思维的开发是对学生解题思路进行不断加强的主要手段之一，同时也是对解题思想进行不断明确的核心所在，希望这一方法对初中数学应用题教学过程中解题思路的创新发展起到积极的作用.
新时期对初中数学应用题教学提出了新的要求，对学生的能力提高以及教师的教学思想的不断转变也带来了巨大的挑战. 本文结合传统教学中对学生教学模式以及教学思想存在的问题进行论述，将其具体解决方法与广大教师分享. 在此之中的观点还存在一定的不足，希望得到广大学者们的积极意见与建议.
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一、正向思维
在一般几何证明题中，对于一些简单题目，正向思维方式应用得比较多，求证过程相对简单、容易，从已知条件入手，向着证明结果进行逐步推理即可，比如，证明：等腰三角形两底角的角平分线相等。正向思维过程：根据题意可知在等腰三角形ABC中，AB=AC，角平分线分别为BD和CE，最终结果就是求证：BD=CE，如图1所示。
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图1 等腰三角形ABC
求证过程：已知：AB=AC，
由等边对等角得：∠ABC=∠ACB.
已知：角平浅谈初中数学几何证明的三种思维
张祥飞
（新疆阿克苏市第三中学）分线分别为BD和CE，由角平分线定义可知：∠1=∠A+∠ACE，∠2=∠A+∠ABD
∠ACE=∠ABD
等量代换：∠1=∠2
在三角形BEC和三角形CDB中，可得：∠1=∠2，CB=BC，∠DBC=∠ECB.
因此，角边角定理可知：三角形BEC和三角形CDB全等。
由全等三角形的对应边相等可得：BD=CE。
二、逆向思维
在解题过程中，学生在思考问题时，可以选择不同的方法、不同的角度，对解题方法进行探索，有助于学生解题思路的拓展。比如，在讲授勾股定律一课时，有这样一道证明题：
求证：■+■=■
在讲解过程中，应该利用逆向思维，从结论入手，这样可以消除不必要的运算，即，对结论进行变形，此方法简单方便。
证明如下：■+■=■
将等式左边两项进行合并：■=■，在直角三角形ABC中，有AC2+AB2=BC2
因此，原式可以变形为：■=■
交叉相乘可得：AB2・AC2=BC2・CD2
使用积的乘方的逆运算可得：（AB・AC）2=（BC・CD）2
因此，AB、BC、AC、CD均为三角形的边，都是正数，由上式可得：AB・AC=BC・CD
进而，便可求得证明结果：■+■=■
三、正逆结合
在一些几何证明题目中，从结论很难找到突破口，此时学生可以对已知条件和结论进行充分分析。在初中数学中，题目中所给出的已知条件，多数在解题过程中都要使用，因此，从已知条件入手，寻找新的解题思路，比如，已知三角形某边中点，此时可以想到辅助线有中位线，或是使用中点倍长法。在梯形中，如果已知中点的话，就要想到作高线、补形结合、平移对角、平移腰等，总之，在解题中，充分使用正逆结合思维，效果往往不错。比如，如图2所示，在梯形ABCD中，已知AE垂直于DC，AB平行于CD，点E为垂足，其中AC边等于20，BD边等于15，AE边等于12，求梯形ABCD的面积？
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图2 梯形ABCD
解题过程如下：作AM平行于BD，交点M在CD的延长线上，可得到平行四边形AMDB，即AM=BD，由于三角形ADM与三角形ADB的面积相等，再加上AB平行于CD，可知三角形ABC与三角形ADB的面积相等，所以，梯形ABCD的面积等于三角形AMC的面积。
因此，在三角形AME中，ME=■=9
在三角形AEC中，EC=■=16
即，梯形ABCD的面积等于三角形AMC：SAMC=12×（9+16）×■=150
四、在初中数学几何证明中应用三种思维方式的重要性
随着新课程标准的逐步推进，初中数学教学的重要目标就是培养学生的数学思维能力和应用能力。在实际教学中，通过实例，将三种思维方式融入解题中，充分拓展学生的思维，对几何证明题目进行观察、分析、归纳和操作。在解题过程中，体验几何证明题的挑战性和探索性，在思考过程中，感受几何证明的条理性和结论的确定性，不断培养学生思维的创造性与灵活性，进而开拓学生的逻辑思维能力。
在初中数学学习中，学生对几何证明题感到困难是普遍存在的问题，尤其对于一些较为复杂且难度较大的题目，更是无从下手。在几何证明中，不论是正向思维还是逆向思维，都需要正确的证明思路，经过不同思维方式的应用，便可对题目中的已知条件进行充分利用。正逆结合通常又称为综合法，在解题过程中应用得比较多，多数证明题目都需要正向思维与逆向思维的结合，使用单一思维方式的题目比较少。正逆结合是指从题目的已知条件出发，确定相应的定理、定义，即寻找解题的依据，进而进行逐步推理，直到得出证明的结论为止。逆向思维是指从题目的结论出发，对结论成立的条件进行探索，经过逐步推理，找出所需的条件，直到已知条件出现为止。正逆结合的缺点在于进行推理的思路过多，题目中需要的定理也比较多，学生往往感到无从下手。而逆向思维法，首先认定结论，在倒推的过程中，启发思考，针对明确的目的进行相应的推理，便可了解推理的依据，进而使人了解到整个思维过程。对于一些较为复杂的证明题，“两头凑”的思维方式应用得也比较多，首先从已知条件出发，对多种结论进行推理，再从已知题目中的结论出发，对所需的条件进行推理，进而寻找两者之间的差距，便可得到相应的证明思路，达到求解目的。
综上所述，在求证几何题目之前，对于题目给出的已知条件应该详细分析，对题目中的已知图形进行详细观察，针对题目的具体情况，选择合适的解题思维，探寻新的证明思路，不断提升自身的解题能力。
